Trabajo Final

5/11/2018 Trabajo Final - slidepdf.com

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE INGENIERÍAS

ANALISIS NUMÉRICO EIPABTrabajo colaborativo 3

(Ecuaciones diferenciales ordinarias. Problema de vaciado de tanques)

Teoría Preliminar

Considere el tanque sin ninguna forma que se muestra en la figura siguiente:

Donde:Fe = Flujo de entrada de líquido al tanque (m3 /s)Fs = Flujo de salida de líquido al tanque (m3 /s)H = Nivel del líquido en el tanque (m)Ao = Area del orificio del fondo del tanque (m2)v = Velocidad de salida del líquido por el orificio (m/s)ρe = ρe = ρ = densidades a la entrada, salida y en el tanque.V = Volumen de líquido en el tanque (m3)A(h) = Area de la sección transversal del tanque en función de la altura, h (m2)

Se ha escogido un tanque amorfo para hacer el planteamiento lo más general posible.

Desarrollo y construcción del modelo matemático.

El objetivo inicial es desarrollar un modelo matemático que permita predecir la formacomo cambia el nivel del líquido en el tanque, h en función del tiempo.

El balance de masa para el tanque, lleva a la ecuación general

ρeFe - ρsFs = dm/dt

Suponiendo que la densidad se mantiene constante entonces ρe = ρe = ρ y comom = ρ V entonces la ecuación anterior se reduce a:

Fe

Fs

h



Fe - Fs = dV/dt (1 ecuación, 2 incógnitas, Fs, V)

A partir del balance de energía se tiene que

E cinética = E potencial, se tiene que, m v2 /2 = m g h y por lo tanto v = √(2gh)

En el balance de energía anterior no se tuvo en cuenta las perdidas de energía porfricción y/o contracción del líquido al salir por el orificio. Para hacer el modelo más real eincluir estas perdidas se toma v = c√(2gh). Donde c se le llama coeficiente de arrastre y esun número menor que uno que se toma como 0.6 para agua en orificios circularescompletamente pulidos.

Ahora Fs = Ao v = Ao c√(2gh) (2 ecuaciones, 3 incógnitas, h)

Además se sabe del calculo integral que la relación entre el área de la sección transversaldel tanque, A (h) y el Volumen es V = ∫ A(h) dh por lo que:

dV/dh = A(h) y aplicando la regla de la cadena se deduce que:

dt

dhh A

dt

dh

dh

dV

dt

dV )(== (3 ecuaciones, 3 incógnitas)

Luego el balance de masa se reduce a:

dt

dhh Aghc AoFe )(2. =−

Esto es una ecuación diferencial de primer orden, no lineal y de variables separable.

Para resolver la EDO anterior es necesario conocer A(h). Es decir el área de la seccióntransversal del tanque en función de la altura. Sin embargo, esto depende de la geometríadel tanque.

Se deja como ejercicio al lector demostrar los siguientes resultados:

Tanque Cilíndrico con radio de la base R y altura H: A (h) = constante = π R2 Tanque Cónico con radio de la base R y altura H: A (h) = π r2 = π (Rh/H)2 Tanque Esférico con radio R: A (h) = π r2 = π 2.R.h-h2

Objetivo de la actividad

Utilizando el método de Euler y Runge-Kutta de orden 4 determine el tiempo de vaciado de untanque lleno de agua con la siguiente geometría:

Cilíndrico de altura 4m y radio de la base de 1mCónico de altura 4m y radio de la base de 1mHemisferico de radio 1m

Copare sus resultados con la solución analítica y entregue un informe en el que incluya:



1. Explicación de la estrategia propuesta para determinar el tiempo de vaciado utilizando

técnicas numéricas.

2. Tabla comparativa del tiempo de vaciado obtenido por vía analítica, numérica por Euler,Numérica por RK4 con sus respectivos errores absoluto y relativo.

3. Si desarrolla algún programa debe detallar el código fuente con su respectiva explicación.

4. Comparación de resultados para diferentes pasos.

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