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ESTIMADOR DE ESTADO PARA SISTEMAS DE POTENCIA MINIMOS CUADRADOS PONDERADOS Y FILTRO DE KALMAN

O. ALVARDO B., H MOYANO B. UNIVERSIDAD DE CHILE

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

Abstract:

En el presente trabajo se espera analizar el comportamiento de los estimadores de estado aplicados a sistemaselctrico de potencia.El objetivo es analizar el comportamiento del estimador de mnimos cuadrados que es el ms utilizado en los SEP,frente a otros modelos matemticos como lo es el filtro de Kalman, verificar sus tiempos de respuesta y que mejora puede representar en sistemas de tiempo real. Debemos recordar que la operacin de SEP, est expuesto a soportar cambios en su operacin, debido a variaciones de la carga y/o pequeas perturbaciones, una falla es un evento de gran magnitud en donde el estimador no puede ser utilizad como herramienta para predecir el comportamiento del sistema.Por este motivo, es importante para el ingeniero entender las capacidades y limitaciones delos estimadores de estado, dado un conjunto especfico de datos sobre la red.

1. INTRODUCCION El continuo crecimiento y expansin de los sistemas elctricos de potencia debidoa la

competencia en los sectores de generacin y comercializacin, ha permitido e incentivado la interconexin de redes elctricas a fin de cumplir como objetivo principal el satisfacer la demanda de energa de los consumidores, estableciendo nuevos mecanismos de generacin como la generacin distribuida, incrementando la complejidad del sistema de informacin y control, adems que un sistema elctrico debe operar bajo ciertos parmetros y normas que definen concepto de calidad de energa.

Un elemento de gran importancia sobre el cual se enmarcan estos conceptos,es el

crecimiento de la demanda, parmetro que no se puede controlar, a esto se suman las largas distancias en que se encuentran los centros de generacin de los puntos de carga y la dinmica del sistema. El concepto de calidad de energa implica el manejo y control de variables y parmetros que cumplan con este objetivo sin que exista la necesidad de suspender el suministro del servicio elctrico.

Una caracterstica de la carga, es el de ser dinmica, dada por la composicin de la

misma (maquina rotativas, cargas trmicas, cargas de descarga); por otra parte en el tiempo no se mantiene constante pues est sujeta a horarios de uso, clima o estaciones (curvas de demanda comportamiento de la demanda en un periodo de tiempo, figura 1).

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Figura 1. Comportamiento Tpico de una Carga Residencial en un periodo de 24 horas

Debido a este comportamiento y crecimiento continuo de un SEP, hace que ciertas

variables deban de estar monitoreadas continuamente, las variables que me dan el comportamiento de un SEP se conocen como variables de estado1, en este estudio se consideran las tensiones de barra Viy susngulosi, el conocer los valores de las variables de estado permite realizar un control sobre las componentes del sistema (control sobre los sistemas de generacin, inyeccin de potencia-balance de carga generacin, control sobre sistemas de interrupcin), y que permitan que el sistema opera en un punto optimo.

El uso de equipos de medicin para el monitoreo de las variables de estado de un SEP,

puede resultar compleja ya que debido al tamao, sus costos de implementacin pueden ser elevados, figura 2.

Figura 2. Sistema de medicin

1Variable de Estado, se define como el conjunto minimo de variables que determinan en el comportamiento del sistema en cualquier instante del tiempo

-0.175

0.025

0.225

0.425

0.625

0.825

1.025

Pote

ncia

en

p.u.

tiempo

CURVA DE DEMANDA

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Por otra parte los sistemas de medicin no siempre permite conocer todas las magnitudes de las variables de estado pero a travs de algunas de estas mediciones y con la aplicacin de los modelos matemticos y sistemas informticos se puede conseguir buenas aproximaciones del comportamiento del sistema. Otro aspecto a considerar es que una medicin tiene asociado un error, el mismo que puede ser causado por los propios equipos(precisin y exactitud), lecturas erradas, transductores, sistema de transmisin utilizado, etc, la complejidad del sistema de medicin puede provocar la toma decisiones erradas en la operacin del sistema.

El uso de estimadores de estado, modelos matemticos y mediciones en tiempo real son un conjunto de herramientas que permite determinar un punto de operacin, el cual es aprovechado para monitoreo, operacin y control del sistema.

En este nuevo escenario dinmico, el estimador de estado ser requerido para manejar

sistemas ms grandes, con configuraciones no homogneas de medicin, en distintas partes de la red.

Un estimador de estado se basa en un criterio estadstico que estima el valor verdadero de las variables de estado aplicando un criterio de minimizacin o maximizacin. En el mtodo de mnimos cuadrados ese criterio est asociado a la funcin de costo, que es la diferencia al cuadrado del valor medido menos el valor calculado por el modelo matemtico que representa al sistema, esa funcin se describe a continuacin:

= [! ! !, !, !, . ,!,!,!, . .! ]!!!!!!! donde: funcinde costo = (!, !, !, . ,!,!,!, . . ) variables de estado modelo matemtico !!variancia del i!" medicin ! = i!" medicin

Formulacin del problema

Contexto Los sistemas elctricos de potencia, son un conjunto de elementos conformado por generadores, transformadores, barras, lneas de transmisin, sistema de proteccin, de medida y cargas. A travs de ellos se transmite la energa elctrica a lo largo de una regin (pas, conjunto de pases, o sectores de los mismos). Como es ampliamente conocido, la energa elctrica en la actualidad es parte fundamental dentro de las actividades del ser humano, siendo necesarias para el desarrollo de los

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sectores productivos y comerciales de un pas. Idealmente el sistema debe operar en ptimas condiciones a fin de evitar apagones o blackout generales, que producen prdidas millonarias [1].

Por otro lado, en los ltimos tiempos la creciente necesidad de interconexin de los grandes sistemas elctricos de potencia (SEP) debido a un aumento de la demanda, combinado con una creciente competencia entre generadores y distribuidores, han puesto en relieve la seguridad2 de los sistemas, as como, cuestiones econmicas que entran en conflicto[2].

En este escenario, tener mediciones de todos los elementos se vuelve una tarea vital,

idealmente se requerira puntos de mediciones de los parmetros fundamentales3 en cada nodo (barra) del SEP, como podran ser los voltajes de lnea, corrientes, potencias, entre otros. Pero esto por cuestiones econmicas y complejidad es poco factible. As que, los centros energa o de monitoreo deben escoger un conjunto de nodos principales y desde esta informacin estimar el estado total de la red para poder tomar decisiones de control.

Modelo del Sistema Elctrico de Potencia

El principal enfoque para poder atacar el problema es conocer el comportamiento de un sistema representado por sus variables de estado y el modelo matemtico asociado a ellas. Figura 2.

En los sistemas elctricos las variables que describen su comportamiento son sus

tensiones y ngulos; para un sistema de N barras se tiene n=2N-1 variables de estado necesarias, correspondientes a los mdulos de tensin en las N barras y los N-1 ngulos medidos con respecto a una barra de referencia (slack). La modelacin matemtica que asocia a estas variables estn representadas por ecuaciones no lineales de la forma:

Ecuaciones de potencia

Ecuaciones de flujo de potencia:

Siendo: Pi ,Qi medidas inyeccin de potencia activa y reactiva entre las barras i y j. Vi ,Vjlos mdulos de las tensiones entre barras i y j Pij,Qij medidas de flujo de potencia activa y reactiva entre las barras i y j. 2 Se toma el concepto de seguridad del SEP, como aseguramiento de la operacin, tanto la disponibilidad y robustez ante perturbaciones. 3 Se entiende como aquellos elementos fundamentales variantes o estticos que determinan el comportamiento de un sistema.

( )

( )1

1

cos sin

sin cos

N

i i j ij ij ij ijj

N

i i j ij ij ij ijj

P VV G B

Q VV G B

=

=

= +

=

( )( ) ( )

2

2

cos sin

sin cos

ij i j ij ij ij ij ij i

ij i j ij ij ij ij i ij ij

P VV G B G V

Q VV G B V B b

= +

=

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!" = !!desfase entre las tensiones en las barras i y j. !"parte real del elemento i,j-esimo de la matriz de admitancia nodal. !"parte imaginaria del elemento i, j-esimo de la matriz de admitancia nodal.

Figura 2. Sistema de Potencia de 6 barras, tomado de Power GenerationOperation and

Control, Wood, Wollenberg, pag. 477 !"Admitancia paralelo del modelo de la lnea que uno el nodo i con el nodo j.

Este conjunto de ecuaciones se asocian con las observaciones o mediciones que se

expresan a continuacin: = +Medicin

=!!!...!

=!(!, !, !, . ,!,!,!, . . )!(!, !, !, . ,!,!,!, . . )!(!, !, !, . ,!,!,!, . . )...!(!, !, !, . ,!,!,!, . . )

+!!!!!!...!!

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Donde: Piel vector de medidas del sistema. hifuncin no lineal que relaciona la medida i con el vector de estado x. Esto implica que para conocer el estado del SistemaElctrico de Potencia, corresponde a

conocer el conjunto de tensiones complejas de los nodos del sistema. Los tipos de medicin u observaciones ms comnmente utilizados son los siguientes:

- Flujos de potencia activa y reactiva a travs de lneas y transformadores. - Inyecciones de potencia activa y reactiva en las barras de generacin y consumo. - Mdulos de tensin en las barras del sistema. - Corrientes de lnea

Otro aspecto reelevante es que debido a la cantidad de elementos que est conformado un SEP, no se puede realizar la medicin de cada uno de ellos, siendo una de las principales aplicaciones del estimador el conocer esas variables muchos casos los parmetros

La resolucin del problema se da mediante un procedimiento iterativo determinstico.En

este documento se plantea el uso del estimador de mnimos cuadrados ponderados y el filtro de Kalman.

A continuacin se har una breve descripcin del mtodo de mnimos cuadrados

ponderados, siendo el ms utilizado en los sistemas de potencia.

2. MINIMOS CUADRADOS PONDERADOS El mtodo de mnimos cuadrados es el estimador ms utilizado en sistemas elctricos de potencia, en donde se minimiza la funcin de costo. Como se haba definido en las ecuaciones anteriores el modelo de un SEP es no lineal, a travs de la minimizacin se desarrolla la siguiente expresin que estima las magnitudes de las variables de estado considerando el modelo matemtico y las mediciones.

xi+1 =xi +[HT(x)R1H(x)]-1HT(x)R-1 [zh(x)] donde: H es la construccion dela matriz Jacobiana Res la matriz inversa de la matriz de covarianza zmedicionesu observaciones del sistema h(x)ecuaciones del modelo matematico xvariables de estado

La matriz jacobiana se obtiene a partir de la funcin de costo resultado de derivar e igualar a cero.

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= [! ! ! ]!!!!!!!

Adems se pueden definir las relaciones de las observaciones y los estados por medio de las ecuaciones de potencia activa y reactiva, corriente y flujos de potencia que se indicaron en las secciones anteriores. 3. FILTRO DE KALMAN EXTENDIDO

Sea un sistema de inters descrito por el modelo de espacio de estado dinmico no lineal: () = , + ()

Donde el vector de estado inicialX(t0)es modelado como un proceso gaussiano en la cual se tiene mediaX0 y covarianzaP0,U(t)es el vector de entradas deterministicas, yw(t)es ruido blanco gaussiano con media 0 e independiente deX(t0)y con una matriz de covarianzaQ(t). Ahora, el modelado de las observaciones tiene la siguiente forma: = ! + (!)

Donde v(ti) es ruido blanco gaussiano de media cero e independiente con una matriz de covarianzaR(ti). El estimador de estado optimo() generado por el filtro es el estimado de mnima varianza de(). El filtro es un filtro recursivo que tiene una estructura predictiva-correctora como sigue:

1. Prediccin (desde a )

El estimador de estado optimo() y la matriz de covarianza de estado P son propagadas desde la medicin en hasta el tiempo de medicin, basado en los valores previos del sistema dinmico. Esto se consigue por medio de la integracin numrica de las siguientes ecuaciones: () = , + () () = ! + +

Donde F es el jacobiano de la matriz f. 2. Filtrado (desde a )

Por comparacin del vector de mediciones Y, con el vector estimado (), el factor de correccin calculado se utiliza para actualizar el vector de estado. De esta forma el vector de actualizacin tiene la siguiente forma:

1it+ it

1it

1it+ it

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }i i i i iX t X t K t Y t h X t+ = +

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4. FILTRO DE KALMAN UNSCENTED Al igual que el Filtro de Kalman extendido, en el UKF se suponiendo un modelo de sistema de la siguiente forma:

1k k k k kx F x g q+ = + +

( )k k ky h x r= +

En donde kx es un vector de variables de estado, kF y kg son matrices de transicin de estado que definen la evolucin del sistema y kq representa el error de prediccin en el

tiempo k, las variables ky representan las observaciones del sistema. La extensin del filtro de Kalman denominada unscented es una combinacin del filtro Kalman y la transformada unscented. La transformada unscented consiste en el clculo de un conjunto de puntos extras alrededor del valor dado, en tanto que la media y la

covarianza de nuevo conjunto de puntos coincida con los valores de la variable aleatoria kx. Ms precisamente se tiene que el filtro de Kalman unscented queda definido de la siguiente forma: Calcular los sigma points:

k k k k k kX x x P x P = + Paso de Prediccin:

1k k k k kx F x g q+ = + + 2

( )1

0

Lm

k i ki

x W X +=

=

Paso de correccin: 2

( )

0k k

L Tci k k k ky y

iP W y y y y R

=

= +

2( )

0k k

L Tci k k k kx y

iP W X x y y

=

=

k k k kk x y y yK P P =

( )1k k k k kx x K y y + = + 1

k k

Tk k k ky yP P K P K + = +

Donde L corresponde a la cantidad de variables de estado del sistema, adems se define:

( ) ( )( ) ( ) 2 ( ) ( )0 0, 1 , 2m c c m

i iW W W WL L L

= = + + = =+ + +

( )2 ,L L L = + = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i iP t P t K t H t P t+ = +

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Donde determina la propagacin de los puntos sigmas alrededor de kx ; el parmetros es

usado para incorporar el conocimiento que se tenga de la distribucin de kx y es un valor que es igual a cero para la estimacin de parmetros.

En los sistemas elctricos de potencia las matrices kF y kg del modelado son prcticamente imposibles de calcular, esto es debido a que los sistemas elctricos de potencia existe una enorme dinmica, por lo cual existen varios autores que proponen el uso de la estimacin de estos parmetros por medio de un modelo bi-exponencial. El cual est definido de la siguiente forma:

( )1k k kF I = + ( )( ) ( )1 11 1 1k k k k k k k kg x a b = + + + +

( )1k k k k ka x x = + ( ) ( )1 11k k k k k kb a a b = +

Como se puede observar de las ecuaciones propuestas el modelo hace un suavizado de la curva entre los valores de medidas actuales y los valores estimados en el tiempo anterior. 5. DATOS DE PRUEBA Para la simulacin y modelacin se utiliz el sistema elctrico figura 2., compuesto de 6 barras, 3 generadores que inyectan potencia al sistema y un sistema de transmisin compuesto de 11 lneas que interconectan las barras entre si, en las tablas 1, 2 y 3 se indican los parmetros del sistema.

SISTEMA DE TRANSMISION

start end R p.u.

XL p.u.

1 2 0.10 0.20 1 4 0.05 0.20 1 5 0.08 0.30 2 3 0.05 0.25 2 4 0.05 0.10 2 5 0.10 0.30 2 6 0.07 0.20 3 5 0.12 0.26 3 6 0.02 0.10 4 5 0.20 0.40 5 6 0.10 0.30

Tabla 1.Datos del sistema de transmisin-impedancia, tomado de Power Generation Operation and Control, Wood, Wollenberg

TENSION Y POTENCIA P-Q EN BARRA

BAR V P p.u. Q p.u.

10

RA p.u. 1 1.05 0.0001 1.08 0.01 0.21 0.01 2 0 0 0.50 0.01 1.00 0.01 3 0 0 0.60 0.01 0.60 0.01 4 0 0 -0.70 0.01 -0.70 0.01 5 0 0 -0.70 0.01 -0.70 0.01 6 0 0 -0.70 0.01 -0.70 0.01

Tabla 2.Mediciones de barra, tensin y potencia P-Q, datos tomados de Power GenerationOperationand Control, Wood, Wollenberg

FLUJO DE POTENCIA ENTRE BARRAS

start end P p.u. Q p.u. 1 2 0.29 0.01 -0.15 0.01 1 4 0.44 0.01 0.21 0.01 1 5 0.36 0.01 0.15 0.01 2 1 -0.28 0.01 0.13 0.01 2 3 0.02 0.01 -0.01 0.01 2 4 0.34 0.01 0.47 0.01 2 5 0.16 0.01 0.19 0.01 2 6 0.27 0.01 0.21 0.01 3 2 -0.02 0.01 -0.06 0.01 3 5 0.18 0.01 0.17 0.01 3 6 0.44 0.01 0.49 0.01 4 1 -0.43 0.01 -0.21 0.01 4 2 -0.32 0.01 -0.46 0.01 4 5 0.05 0.01 -0.03 0.01 5 1 -0.34 0.01 -0.17 0.01 5 2 -0.15 0.01 -0.21 0.01 5 3 -0.17 0.01 -0.20 0.01 5 4 -0.05 0.01 -0.05 0.01 5 6 0.01 0.01 -0.07 0.01 6 2 -0.26 0.01 -0.24 0.01 6 3 -0.43 0.01 -0.47 0.01 6 5 -0.01 0.01 0.02 0.01

Tabla 3.Medicion del flujo de potencia P-Q en el sistema de transmisin, datos tomados de Power Generation_ Operation_ and Control, Wood, Wollenberg

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6. RESULTADOS Se presentan los principales resultados obtenidos. En la Figura 1 se muestra los datos medidos versus los datos calculados con el algoritmo de Mnimos Cuadrados Ponderados. Como se puede observar existe un ajuste de los datos con respecto a los datos reportados en la literatura.

Figura 1: Mediciones y Estimaciones en Simulacin sistema de 6 barras

Figura 2: Simulacin sistema de 6 barras con 10 mediciones menos

En los siguientes cuadros se presenta los valores reales de las variables de estado del sistema y los resultados obtenidos al aplicar el WLS , en la cuarta columna se representa un error entre estos datos. En este primer caso se utilizo una base de datos que corresponde a 34 mediciones, Tabla 4.

CASO UNO BARRA Vreal Areal Vestimado Aestimado

1 1.05000000 0 1.0496958 0.0000000 2 1.04990360 -0.064042228 1.0366533 -0.0628080 3 1.04288757 -0.066551463 1.0295903 -0.0663505 4 0.98766126 -0.073046066 0.9789329 -0.0729060 5 0.97445095 -0.089972642 0.9624136 -0.0892626 6 0.98669023 -0.099113462 0.9733629 -0.0998755

Tabla 4.Valores reales vs Valores estimados, 34 mediciones

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En el segundo caso se considero una base de datos correspondiente a 29 mediciones, Tabla 5. Observando los errores se puede ver que el impacto de disminuir la cantidad de observaciones no afecta significativamente la precisin de la estimacin, lo que implica que la observabilidad del sistema y la confiabilidad de las estimaciones puede llegar a un punto minimo optimo, con el consiguiente ahorro en la ubicacin de los medidores.

Tabla 5. Valores reales vs Valores estimados, 34 mediciones

En la Figura 3 y Figura 4 se pueden observar los resultados del filtro de Kalman con el modelado, como se puede observar la solucin no converge hacia los valores deseados. En la Figura 3, se observan los voltajes de resultados, y se observa un tendencia a hacia la no convergencia, el mismo caso se presenta con el valor de los ngulos en la Figura 4. Luego de las pruebas realizadas se estima que el problema fundamental est en la forma en que se modelo el sistema por medio del sistema bi-exponencial propuesto, el cual para los datos dados se comporta de forma inestable.

Figura 3: Simulacin sistema de 5 barras con filtro de Kalman

1 2 3 4 5 6 7-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

N Iteracion

Volta

je (p

.u)

Estimacion de Voltajes. Sistema de 5 barras Filtro de Kalman

CASO DOS

BARRA Vreal Areal Vestimado Aestimado 1 1.05000000 0 1.050019855 0 2 1.036747507 -0.03910134 1.036015461 -0.039436061 3 0.983984126 -0.053805618 0.984413272 -0.055317381 4 1.032370623 -0.035889695 1.02951416 -0.035634685 5 0.933386549 -0.083084782 0.945269707 -0.092872626 6 0.898116644 -0.109584146 0.901700933 -0.111126496

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Figura 4: Simulacin de ngulos en un sistema de 5 barras con filtro de Kalman

7. CONCLUSIONES

El estimador de mnimos cuadrados ponderados se caracteriza por su convergencia, en donde la funcin de costo es un indicativo de la calidad de mediciones. En cuanto a variaciones considerables de las magnitudes medidas el estimador puede dar valores errados e incluso no converger a una solucin. Se hipotetiza que existe una cantidad optima de mediciones que se requieren para tener una estimacin de parmetros con error minimo.

1 2 3 4 5 6 7-100

-50

0

50

100

150

N Iteracion

Grad

os

Estimacion angulos: Sistema 5 barras Filtro de Kalman

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8. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

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Anexos Algoritmo de minimos cuadrados ponderados %contruccionjacobiana %informacion impedancia entre lineas %closeall clearall nlineas=11; nbarras=6; datos=10 sele=1; %matriz impedancia Z_d=[1 2 1.00000E-01+2.00000E-01i2.00000E-02i;... 1 4 5.00000E-02+2.00000E-01i2.00000E-02i;... 1 5 8.00000E-02+3.00000E-01i3.00000E-02i;... 2 3 5.00000E-02+2.50000E-01i3.00000E-02i;... 2 4 5.00000E-02+1.00000E-01i1.00000E-02i;... 2 5 1.00000E-01+3.00000E-01i2.00000E-02i;... 2 6 7.00000E-02+2.00000E-01i2.50000E-02i;... 3 5 1.20000E-01+2.60000E-01i2.50000E-02i;... 3 6 2.00000E-02+1.00000E-01i1.00000E-02i;... 4 5 2.00000E-01+4.00000E-01i4.00000E-02i;... 5 6 1.00000E-01+3.00000E-01i3.00000E-02i]; %matriz mediciones if sele==1 %-----------------caso uno-------------------------------- %mediciones Vi covar Pi CovarQicovar V_P_Q_m=[ 1 1.05 0.0001 1.08 0.01 0.21 0.01;... 2 1.036 0.0001 0.50 0.01 1.00 0.01;... 3 0 0 0.60 0.01 0.60 0.01;... 4 0 0 -0.70 0.01 -0.70 0.01;... 5 0 0 -0.70 0.01 -0.70 0.01;... 6 0 0 -0.70 0.01 -0.70 0.01]; %6 0 00 0.01 0 0.01]; %mediciones PijCovarQij covarianza P_Q_ij_m=[1 2 0.29 0.01 -0.15 0.01;... 1 4 0.44 0.01 0.21 0.01;... 1 5 0.36 0.01 0.15 0.01;... 2 3 0.02 0.01 -0.01 0.01;... 2 4 0.34 0.01 0.47 0.01;...

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2 5 0.16 0.01 0.19 0.01;... %2 4 0 0.01 0 0.01;... %2 5 0 0.01 0 0.01;... %2 6 0 0.01 0 0.01;... %3 5 0 0.01 0 0.01;... 2 6 0.27 0.01 0.21 0.01;... 3 5 0.18 0.01 0.17 0.01;... 3 6 0.44 0.01 0.49 0.01;... 4 5 0 0.01 0 0.01;... 5 6 0.01 0.01 -0.07 0.01;... %3 6 0 0.01 0 0.01;... %4 5 0 0.01 0 0.01;... %5 6 0 0.01 0 0.01 ]; %------------------------caso dos-------------------------------- else %mediciones Vi covar Pi CovarQicovar V_P_Q_m=[ 1 1.05 0.0001 0.7657 0.01 0.268 0.01;... 2 1.036 0.0001 0.6495 0.01 0.985 0.01;... 3 0.984 0.0001 0.7036 0.01 0.610 0.01;... 4 0 0 -0.0001888705 0.001 -0.0003512131 0.001;... 5 0 00 0.01 0 0.01;... 6 0 00 0.01 0 0.01]; %mediciones PijCovarQij covarianza P_Q_ij_m=[1 2 1.9971150356E-01 1.0000E-02 -4.8169808361E-02 1.0000E-02;... 1 4 2.0563723833E-01 1.0000E-02 2.2585182887E-02 1.0000E-02;... %1 5 0 000;... 1 5 4.5753333796E-01 1.0000E-02 3.9099904429E-01 1.0000E-02;... %2 1 0 000 ;... 2 3 9.9855558320E-02 1.0000E-02 1.6703387541E-01 1.0000E-02;... 2 4 -9.3265625432E-03 1.0000E-02 3.9347264416E-02 1.0000E-02;... 2 5 2.3574042305E-01 1.0000E-02 2.6023988231E-01 1.0000E-02;... 2 6 5.1976219301E-01 1.0000E-02 5.2139742717E-01 1.0000E-02;... %3 2 0 000;... 3 5 1.5868763185E-01 1.0000E-02 9.5557235924E-02 1.0000E-02;... 3 6 6.3885643571E-01 1.0000E-02 7.2121283291E-01 1.0000E-02;... 4 5 0 000 ;... 5 6 0 000 ]; end %2 1 -1.9603196351E-01 1.0000E-02 1.1981980610E-02 1.0000E-02;... %3 2 -9.7544372580E-02 1.0000E-02 -2.1677005128E-01 1.0000E-02;... %cambio de impedancia/admitancia for i=1:nlineas for j=1:4 if j>2 Y_d(i,j)=1/Z_d(i,j); else

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Y_d(i,j)=Z_d(i,j); end end end %Construccion matriz de admitancia mat_Y=zeros(nbarras); for i=1:nbarras for j=1:nbarras if i==j for l=1:2 for k=1:nlineas if i==Y_d(k,l) % && j==Y_d(k,l) mat_Y(i,i)=mat_Y(i,i)+Y_d(k,3); end end end else for k=1:nlineas mat_Y(Y_d(k,1),Y_d(k,2))=-Y_d(k,3); mat_Y(Y_d(k,2),Y_d(k,1))=-Y_d(k,3); end end end end %separa la admitancia y suceptancia de matriz Y G=zeros(nbarras); B=zeros(nbarras); G=real(mat_Y); B=imag(mat_Y); %operadores auxiliares p=Z_d(:,1); q=Z_d(:,2); %datos de inicio %V_b=[1.0373 0.9844 0.9952 1.0087 0.995]%(nbarras,1); %V_b=rand(6,1)' %V_b=[1.05 1.049 1.042 0.987 0.974 0.9866]'; V_b=ones(6,1); %teta=[0 0.0105 0.0037 0.0019 0.0017]%zeros(nbarras,1); %teta=[0 -0.06404 -0.06655 -0.07304 -0.089972 -0.09911]'; teta=zeros(6,1); %teta=rand(5,1) ang_ref=1 Med=[P_Q_ij_m(:,3);V_P_Q_m(:,4);P_Q_ij_m(:,5);V_P_Q_m(:,6);V_P_Q_m(:,2)]; Med_base=Med; cova_b=([P_Q_ij_m(:,4);V_P_Q_m(:,5);P_Q_ij_m(:,6);V_P_Q_m(:,7);V_P_Q_m(:,3)]); cova=([P_Q_ij_m(:,4);V_P_Q_m(:,5);P_Q_ij_m(:,6);V_P_Q_m(:,7);V_P_Q_m(:,3)]).^2; %vector de estado X=[teta;V_b]

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%inicializacion de matrices P=zeros(nbarras,1); Q=zeros(nbarras,1); Pij=zeros(nlineas,1); Qij=zeros(nlineas,1); DPi_teta=zeros(nbarras,nbarras); DPv_V_b=zeros(nbarras,nbarras); DQi_teta=zeros(nbarras,nbarras); DQv_V_b=zeros(nbarras,nbarras); figure; %------------------------------------ %forrep=1:10 n=0; m=0; i=0; %D_med=zeros(length(Med),1); for i=1:length(Med) ifMed(i)==0 else n=n+1 D_med(n,1)=Med(i); %H_jac(n,:)=Hjaco(i,:); cova_m(n,n)=cova(i); %h_X(n,1)=h_x(i); end end W=cova_m^-1;%matriz de pesos % % tol_X=0.01; iteraciones=100; salida=0; alfa=1; tol=0.01; it=0; iter=0; error_delta_X=0 while salida

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for i=1:nbarras %A=zeros(6,1) for j=1:nbarras P(i)=P(i)+V_b(j)*(G(i,j)*cos(teta(i)-teta(j))+B(i,j)*sin(teta(i)-teta(j))); Q(i)=Q(i)+V_b(j)*(G(i,j)*sin(teta(i)-teta(j))-B(i,j)*cos(teta(i)-teta(j)));%-G(i,j) %A(j)=V_b(j)*(G(i,j)*sin(teta(i)-teta(j))-B(i,j)*cos(teta(i)-teta(j))); end P(i)=V_b(i)*P(i); Q(i)=V_b(i)*Q(i); end i=0; for i=1:nlineas Pij(i)=V_b(p(i))*V_b(q(i))*(G(p(i),q(i))*cos(teta(p(i))-teta(q(i)))+B(p(i),q(i))*sin(teta(p(i))-teta(q(i))))-(V_b(p(i))^2)*G(p(i),q(i)); Qij(i)=V_b(p(i))*V_b(q(i))*(G(p(i),q(i))*sin(teta(p(i))-teta(q(i)))-B(p(i),q(i))*cos(teta(p(i))-teta(q(i))))+(V_b(p(i))^2)*B(p(i),q(i)); end %matriz de los valores calculados h_x=[Pij;P;Qij;Q;V_b]; %matriz de inyeccion de potencia activa y reactiva respecto al angulo y %tension i=0; j=0; k=0; for i=1:nbarras for j=1:nbarras if i==j %derivada de P y Q respecto al angulo y tensin DPi_teta(i,j)=-((V_b(i))^2)*B(i,i); DPv_V_b(i,j)=V_b(i)*G(i,i);% DQi_teta(i,j)=-((V_b(i))^2)*G(i,i); DQv_V_b(i,j)=-V_b(i)*B(i,i); for k=1:nbarras DPi_teta(i,j)=DPi_teta(i,j)+V_b(i)*V_b(k)*(-G(i,k)*sin(teta(i)-teta(k))+B(i,k)*cos(teta(i)-teta(k))); DPv_V_b(i,j)=DPv_V_b(i,j)+V_b(k)*(G(i,k)*cos(teta(i)-teta(k))+B(i,k)*sin(teta(i)-teta(k))); DQi_teta(i,j)=DQi_teta(i,j)+V_b(i)*V_b(k)*(G(i,k)*cos(teta(i)-teta(k))+B(i,k)*sin(teta(i)-teta(k))); DQv_V_b(i,j)=DQv_V_b(i,j)+V_b(k)*(G(i,k)*sin(teta(i)-teta(k))-B(i,k)*cos(teta(i)-teta(k))); end else DPi_teta(i,j)=V_b(i)*V_b(j)*(G(i,j)*sin(teta(i)-teta(j))-B(i,j)*cos(teta(i)-

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teta(j))); DPv_V_b(i,j)=V_b(i)*(G(i,j)*cos(teta(i)-teta(j))+B(i,j)*sin(teta(i)-teta(j))); DQi_teta(i,j)=-V_b(i)*V_b(j)*(G(i,j)*cos(teta(i)-teta(j))+B(i,j)*sin(teta(i)-teta(j))); DQv_V_b(i,j)=V_b(i)*(G(i,j)*sin(teta(i)-teta(j))-B(i,j)*cos(teta(i)-teta(j))); end end end %matriz de flujo de P y Q p=Z_d(:,1); q=Z_d(:,2); i=0; k=0; for i=1:nlineas for k=p(i):q(i) if p(i)==k DPij_teta(i,k)=V_b(p(i))*V_b(q(i))*(-G(p(i),q(i))*sin(teta(p(i))-teta(q(i)))+B(p(i),q(i))*cos(teta(p(i))-teta(q(i)))); DQij_teta(i,k)=(V_b(p(i))*V_b(q(i))*(G(p(i),q(i))*cos(teta(p(i))-teta(q(i)))+B(p(i),q(i))*sin(teta(p(i))-teta(q(i)))));% DPij_V_b(i,k)=V_b(j)*(G(p(i),q(i))*cos(teta(p(i))-teta(q(i)))+B(p(i),q(i))*sin(teta(p(i))-teta(q(i))))-2*G(p(i),q(i))*V_b(p(i)); DQij_V_b(i,k)=V_b(j)*(G(p(i),q(i))*sin(teta(p(i))-teta(q(i)))-B(p(i),q(i))*cos(teta(p(i))-teta(q(i))))+2*B(p(i),q(i))*V_b(p(i)); else if q(i)==k DPij_teta(i,k)=V_b(p(i))*V_b(q(i))*(G(p(i),q(i))*sin(teta(p(i))-teta(q(i)))-B(p(i),q(i))*cos(teta(p(i))-teta(q(i)))); DQij_teta(i,k)=-V_b(p(i))*V_b(q(i))*(G(p(i),q(i))*cos(teta(p(i))-teta(q(i)))+B(p(i),q(i))*sin(teta(p(i))-teta(q(i))));% DPij_V_b(i,k)=V_b(p(i))*(G(p(i),q(i))*cos(teta(p(i))-teta(q(i)))+B(p(i),q(i))*sin(teta(p(i))-teta(q(i)))); DQij_V_b(i,k)=V_b(p(i))*(G(p(i),q(i))*sin(teta(p(i))-teta(q(i)))-B(p(i),q(i))*cos(teta(p(i))-teta(q(i)))); end end end end %matriz de mediciones i=0 for i=1:nbarras teta_barra(i,i)=teta(i); V_barra(i,i)=V_b(i); end Hjaco=[DPij_tetaDPij_V_b;... DPi_tetaDPv_V_b;...

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DQij_tetaDQij_V_b;... DQi_tetaDQv_V_b;... teta_barraV_barra]; %reduccion de las matrices en funcion de las mediciones n=0; m=0; i=0; for i=1:length(Med) ifMed(i)==0 else n=n+1 %D_med(n,1)=Med(i); H_jac(n,:)=Hjaco(i,:); %cova_m(n,n)=cova(i); h_X(n,1)=h_x(i); end end j=0; for j=1:2*nbarras if j==ang_ref else m=m+1; H_Jac(:,m)=H_jac(:,j); XI(m,:)=X(j); end end %Estimacin de minimos cuadrados %gan=(H_Jac'*W*H_Jac); %INV_gan=inv(gan); delta_Z=(D_med-h_X); delta_X=inv(H_Jac'*W*H_Jac)*H_Jac'*W*(D_med-h_X); error_delta_X(iter)=max(abs(delta_X)); error(iter)=delta_Z'*(W)*delta_Z; %funcion de costo %foric=1:length(D_med) % error=error+((D_med(ic)-h_X(ic))^2/cova_m(ic,ic)); %end iferror_delta_X(iter)

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end %it=it+1; %deltaER(it,:)=max(abs(delta_X)); %ifdeltaER(it)