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ECUACIONES NO LINEALES.
1 ) Aplicar el método de bisección a : ( si es aplicable )
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2) Aplicar el método de regla falsa (si es aplicable).
a)
b)
c)
d)
e)
3)
a)
b)
c)
4. Aplicando el método de Newton-Raphson.
Usaremos el siguiente algoritmo:
xn+1=xn−f (xn)/ f ' (xn)
a) xx=10→ f ( x )=x x−10=0
i. Vemos intervalos por busca.
x -4 -2 -1 0,1 1 2,5 2,8 3 4
f(x) -10
-9,75-
11-9,21
-9
-0,12 7,867 17 246
ii. Analizando convergencia en x=2,5
Donde:
f ' ( x )=x x+x x ln (x)
f ' ' ( x )=xx [ (1+lnx )2+1/x ]
|f (2,5 ) f ' ' (2,5)f ' (2,5)2 |≈0,1323<1∴ cumpleconvergencia .
iii. Haciendo las iteraciones respectivas
i X(n)Algoritmo
X(n+1)
01 2,50000 2,50622
02 2,50622 2,50618
03 2,50618 2,50618
Por lo tanto la solución sería para x=2,50618
b) f ( x )=2x−tan ( x )=0
i. Vemos intervalos por busca.
x -1,2 -1,1 -1 0 1 1,1 1,2
f(x) 0,17 -0,24 -0,44 0,00 0,44 0,24 -0,17
ii. Analizando convergencia x=1,1
Donde:
f ' ( x )=x−¿¿
f ' ' ( x )=1−2(secx)2tanx
|f (1,1 ) f ' ' (1,1)f ' (1,1)2 |≈0.3011<1∴cumple convergencia.
iii. Realizando iteraciones.
i X(n) Desarrollo del Algoritmo X(n+1)
1 1,10000 1,16256
2 1,16256 1,16510
3 1,16510 1,16549
4 1,16549 1,16555
5 1,16555 1,16556
6 1,16556 1,16556
Por lo tanto la solución sería para x=1,16556
c) sinx= x+1x−1
→ f ( x )=sinx− x+1x−1
=0
i. Vemos intervalos por busca.
x -3 -1,5 -0,5 -0,2 0 1 2
f(x)
-0,64 -1,19 -0,15 0,46 1 INDEF -2,09
ii. Analizando convergencia para x= -0,5
f ' ( x )=cosx+2(x−1)−2
f ' ' ( x )=−senx−4 (x−1)−3
|f (−0,5 ) f ' '(−0,5)f ' (−0,5)2 |≈0.077<1∴cumple convergencia.
iii. Realizando iteraciones.
i X(n) Algoritmo X(n+1)
1 -0,50000 -0,41730
2 -0,41730 -0,42036
3 -0,42036 -0,42036
Por lo tanto la raíz de de f(x)=0 es x= -0,42036
d) cos x−x ex=0→ f ( x )=cos x−x ex
i. Vemos intervalos de raíces por el método gráfico.
Se da la sgte. Forma:
cosx=xe x → f 1 (x )=f 2(x)
F1: Rojo
F2: Azul
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
ii. Analizando criterio de convergencia x=0,45
f ' ( x )=−senx−ex( x+1)
f ' ' ( x )=−cosx−ex (x+2)
|f (0,45 ) f ' ' (0,45)f ' (0,45)2 |≈ 0,125<1∴ cumple convergencia.
iii. Iteraciones.
i X(n) Algoritmo X(n+1)
1 0,45000 0,34413
2 0,34413 0,05168
3 0,05168 -0,84265
4 -0,84265 -2,10568
5 -2,10568 -1,75657
6 -1,75657 -1,89567
7 -1,89567 -1,85333
8 -1,85333 -1,86743
9 -1,86743 -1,86287
10 -1,86287 -1,86436
11 -1,86436 -1,86388
12 -1,86388 -1,86403
13 -1,86403 -1,86398
14 -1,86398 -1,86400
15 -1,86400 -1,86399
16 -1,86399 -1,86400
17 -1,86400 -1,86400
Por lo tanto una de las raíces x= -1,864
e) x10−10 x+4=0→f ( x )=x10−10x+4
i. Obteniendo los intervalos de raíces por el método busca
x -1,0 0,2 0,5 0,8 1,0
f(x) 15,0 2,0 -1,0 -3,4 -5,0
ii. Analizando criterio de convergencia.
f ' ( x )=10 x9−10 x+4
f ' ' ( x )=90 x8
|f (0,2 ) f ' ' (0,2)f ' (0,2)2 |≈0,00004<1∴ cumpleconvergencia .
iii. Iteraciones.
i X(n)Algoritmo,
X(n+1)
1 0,2 0,4
2 0,4000001 0,40001
3 0,4000105 0,40001
Por lo tanto ua raíz serìa x= 0,40001
f) lnx−( x−2 )2=0→ f ( x )=lnx−( x−2 )2
i. Obteniendo los intervalos por el método busca.
x 0,50 1,2 1,50 2,00
f(x) -2,94 -0,46 0,16 0,69
ii. Analizando convergencia.
f ' ( x )=1x−2(x−2)
f ' ' ( x )=−1x2
−2
|f (1,2 ) f ' ' (1,2)f ' (1,2)2 |≈0,507<1∴cumple convergencia.
iii. Iteraciones.
i X(n)Algoritmo,
X(n+1)
1 1,2 1,38809
2 1,388087 1,41201
3 1,4120094 1,41239
4 1,4123911 1,41239
Por lo tanto una raíz es x= 1,41239
5. Resolver por cualquiera de los métodos estudiados en clase las
siguientes ecuaciones no lineales.
a) √3 senx=cosx →√3 senx−cosx=0
Utilizaremos el método de bisección.
i. Vemos intervalos por método busca.
x -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) -2,00 -1,71 -1,00 -0,05 0,92 1,99
ii. Iteraciones.
Sea:
c=(a+b)/2
f(a)*f(c)<0 , b=c y f(a)*f(b)>0 , a=c ;
i a b c f(a) f(c)f(a)*f(c
)
01
0,50000 1,000000,7500
0
-0,04719317
1
0,448944096
-0,0211
9
02
0,5 0,750,6250
0
-0,04719317
1
0,202455085
-0,0095
5
03
0,5 0,6250,5625
0
-0,04719317
1
0,077782827
-0,0036
7
04
0,5 0,56250,5312
5
-0,04719317
1
0,015302299
-0,0007
2
05
0,5 0,531250,5156
3
-0,04719317
1
-0,01594738
2
0,00075
06
0,515625 0,531250,5234
4
-0,01594738
2
-0,00032255
1
0,00001
07
0,5234375 0,531250,5273
4
-0,00032255
1
0,007489931
0,00000
08
0,5234375 0,527343750,5253
9
-0,00032255
1
0,003583697
0,00000
09
0,52343750,52539062
50,5244
1
-0,00032255
1
0,001630574
0,00000
10
0,52343750,52441406
30,5239
3
-0,00032255
1
0,000654011
0,00000
11
0,52343750,52392578
10,5236
8
-0,00032255
10,00016573
0,00000
12
0,52343750,52368164
10,5235
6
-0,00032255
1
-7,84106E-05
0,00000
13
0,523559570,52368164
10,5236
2-7,84106E-
054,36597E-
050,0000
0
14
0,523559570,52362060
50,5235
9-7,84106E-
05-1,73754E-
050,0000
0
15
0,523590088
0,523620605
0,52361
-1,73754E-05
1,31422E-05
0,00000
16
0,523590088
0,523605347
0,52360
-1,73754E-05
-2,11663E-06
0,00000
17
0,523597717
0,523605347
0,52360
-2,11663E-06
5,51277E-06
0,00000
Por lo tanto una raíz es cuando x= 0,52360
b) 0,9 x2+1,7 x+25=0
Buscando intervalos por el método busca.
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 x
f(x) 25,2 24,2 24,375 25 26,075 27,6 29,575 32 f(x)
No es posible encontrar un intervalo, lo confirma la gráfica mostrada
y el discriminante de la ecuación cuadrática.
∆=√1,72−(4 )(0,9)(25)∴no presenta soluciones reales
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 424
26
28
30
32
34
36
38
40
c) x2−2 xe− x+e−2x=0
i. Hallando el intervalo de la raíz por el método busca.
x -3 -2 -1 -0,5 -0,1 0,1 0,4 0,61 0,7 5 20
f(x)
532,94
88,15
13,83
4,62
1,45
0,65
0,07
0,004
0,04
24,93
400,00
No se puede encontrar un intervalo. A continuación se
muestra la grafica de la curva para verificar que no es
convergente.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-200
-100
0
100
200
300
400
ii. Utilizando el método de iteración de punto fijo obtenemos un
resultado aproximado aunque la grafica con converge.
Despejamos “x”:
x=0,5 ( x2 ex+e−x )=g (xn)
i x(n+1) g(xn)
1 0,4 0,07307
2 0,07307 0,73352
3 0,73352 0,06417
4 0,06417 0,76332
5 0,76332 0,08833
6 0,08833 0,68414
7 0,68414 0,03226
8 0,03226 0,87609
9 0,87609 0,21131
10 0,21131 0,35787
11 0,35787 0,11648
12 0,11648 0,59840
13 0,59840 0,00237
14 0,00237 0,99054
15 0,99054 0,38336
16 0,38336 0,08892
17 0,08892 0,68226
18 0,68226 0,03125
19 0,03125 0,87980
20 0,87980 0,21616
21 0,21616 0,34745
22 0,34745 0,12890
23 0,12890 0,56273
24 0,56273 0,00005
Por lo tanto una solución aproximada de la raíz x= 0,56273.
6. Utilizando la ecuación de Van de Waals para aproximar la ecuación de
estado del gas metano, calcular el volumen que ocupa un mol de este
gas a presión de 500bar y temperatura de 300k, siendo a=2,304bar mol -
2dm6, b=0,04307mol-1dm3, R=0,08314 bar
Para resolver este problema debe tener en cuenta el:
a) El método de Newton-Raphson.
Despejando la ecuación en función del volumen:
P V 2+ (an2−nbP−nRT ) V−a n3b=0
Remplazando:
P=500 ;̄ n=1mol ;a=2,304 ¯mol−2d m6 ;
b=0,04307 ¯mol−2dm6 ;T=300K ;
R=0,08314 m̄ol dm3K−1
Luego:
f (V )=500V 2−44,173V −0,0992332=0
i. Encontrando intervalos por método de busca obtenemos:
V 1∈ [−0,01 ;0 ] ,V 2∈ [0,09 ;0,1 ]
ii. Analizando Convergencia.
Para V1:
f ' (V )=1000V −44,173
f ' ' (V )=1000
|f (−0,01 ) f ' ' (−0,01)f ' (−0,01)2 |≈0,05547<1∴ cumpleconvergencia .
Para V2:
|f (0,09 ) f ' ' (0,09)f ' (0,09)2 |≈0,083<1∴ cumpleconvergencia .
iii. Realizando las iteraciones respectivas.
i X(n) X(n+1)
1 -0,01000 -0,00275
2 -0,00275 -0,00220
3 -0,00220 -0,00219
4 -0,00219 -0,00219
∴ V1= -0,00219 dm3, ya que el valor de V debe ser positivo.
i X(n) X(n+1)
1 0,09000 0,09054
2 0,09054 0,09054
∴ V2= 0,09054 dm3, ya que el valor de V debe ser positivo.
7.-Hace años, un empresario llamó a un ingeniero para saber como poder
encontrar cuanto aceite queda en un tanque de almacenamiento. El tanque era
esférico y de 6 pies de diámetro. Le sugirió consiguiera una regla de acero de 4
pies como regla de nivel.
Sabiendo la altura a la cual la varilla de nivel llega a ser mojada en aceite, uno
sabría el “h de altura” del aceite en el tanque. Por lo tanto, el “v del volumen” de
aceite.
Pero el no para allí. El quería diseñar una regla de acero de modo que él
consiguiera directamente la lectura del volumen a partir de la varilla de nivel
¿Cómo diseñaría tal varilla de nivel?
Sugerencias:
- Utilizar un método no lineal para resolver el problema.
- Realice las consideraciones pertinentes para la escala del diseño de la
regla de nivel.
El principio de Arquímides establece que el empuje a que está sometido un cuerpo
sumergido en un líquido es igual al peso del fluido desplazado. Al plantear esta
condición de equilibrio para una esfera de radio 1cm y densidad r=0,75gm/cm3, se
consigue la ecuación h3-3h3+3=0, donde “h” es la altura de la parte de la esfera
que está sumergido.
a) Localice las raíces.
b) Obtenga aproximaciones con el método de Newton-Raphson y bisección.
Las frecuencias naturales de viga en voladizo uniforme está relacionado a las
raíces Bi de la ecuación de frecuencia.
fi = i-ésima frecuencia natural (cps)
m = masa de la viga.
L = longitud de la viga
E = módulo de elasticidad.
I = momento de inercia de la sección transversal.
Determinar los dos menores frecuencia de una viga de acero de 0.9 metros de
longitud con una sección rectangular de 25mm x 2.5mm.
La densidad del acero es 7850 kg/m3 y E = 200GPa
a) Localice las raíces
b) Obtenga aproximaciones, usando Newton-Ruptson y ***falsa.
Un cable de acero de longitud “s” es suspendido como se muestra en la figura.
El máximo esfuerzo de tensión en el cable, el cual ocurre en los soportes es:
Además:
Encontrar
a) Localice las raíces
b) Obtenga las aproximaciones utilizando dos métodos numéricos para hallar
las raíces de una ecuación
PRACTICA DE SISTEMAS LINEALES
1) Considere el siguiente circuito
Use la regla de Kirchoff, ley de Ohm y la aplicación de los nodos de Kirchoff en los nodos P ( o Q si ud. Prefiere ), respectivamente.
a) Determine el sistema de ecuaciones lineales donde las incógnitas son las intensidades.Utilizando las leyes de Kirchoff en las mallas:
2 I1+0.5 I 3=32 I2+0.5 I 3=16I 1+ I 2−I 3=0
[2 0 0.50 2 0.51 1 −1 ][ I1
I2I3
]=[ 3160 ]b) Encuentre el algoritmo iterativo con el método de Gauss Seidel, comprobando si el
método converge.- Al comprobar el criterio de convergencia en la tercera fila:
|1|<|1|+|1|el criterio no cumple.- Pero el criterio de convergencia es una condición suficiente más no necesaria, y el
sistema de ecuaciones si puede ser resuelto por este método, realizando una reducción de Gauss F3-0.5F1, F3 : 0 1 -1.25 y comprobando el criterio de convergencia |-1.25|>|1| con lo cual el sistema si cumple el criterio de convergencia.
c) Realice las iteraciones necesarias para resolver el problema usando todas las cifras significativas exactas.
0.0833
[I]= 6.4167
6.3333
d) ¿Es posible acelerar la convergencia utilizando el método de SOR? Justifique.e) Si su respuesta es afirmativa, realice las iteraciones necesarias para obtener todas las
cifras significativas exactas.
2) Dado T= 0°
T= 0° T= 100°
T=200°
Los ejes del plato cuadrado son mantenidos a las temperaturas mostradas. Asumiendo conducción de calor estable, la ecuación diferencial que gobierna la temperatura T en el interior es:
∂2T∂ x2
+ ∂2T∂ y2
=0
Si la ecuación es aproximada por diferencias finitas usando la malla mostrada obtenemos las siguientes ecuaciones algebraicas para las temperaturas en la malla de puntos:
-4 1 0 1 0 0 0 0 01 -4 1 0 1 0 0 0 00 1 -4 0 0 1 0 0 01 0 0 -4 1 0 1 0 00 1 0 1 -4 1 0 1 00 0 1 0 1 -4 0 0 10 0 0 1 0 0 -4 1 00 0 0 0 1 0 1 -4 10 0 0 0 0 1 0 1 -4
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
001000= 0 100 200 200 300
1 2 34 5 6 7 8 9
a) Utilizando el método de Jacobi hallar la solución de A X= B con un error de truncamiento menor o igual a 10-6. ¿Es convergente el método?
- Verificando la convergencia, verificamos si la matriz coeficientes es diagonalmente dominante.
|-4|> |1|+|1||-4|> |1|+|1|+|1|Repetimos el proceso en todas las filas, y aseveramos que el método sí converge.
- Hallamos las soluciones del sistema, usamos en Matlab el método de Jacobi. Configurándolo y usamos:x0=[0;0;0;0;0;0;0;0;0] :vector inicialA: Matriz de coeficientesb: Matriz de valores de igualdadx= Jacobi(A,b,x0,0.000001,100)y el resultado obtenido es
-21.4286-38.3929-57.1429-47.3214-75.0000-90.1786-92.8571
-124.1071-128.5714
b) Ahora con el método de Gauss Seidel.c) Intente con el método de SOR. Debe determinar aproximadamente un W óptimo.
d) Suponiendo que las componentes de las matrices dadas tienen errores inherentes absolutos menores que 10-5, acote el error total de la solución que halló.
3) Considerando el Sistema Ax= b
A = 7 2 3 4 9 8 11 15 7 8 6 0 5 7 6 14 5 6 8 2 5 4 9 21 14 6 7 5 9 8 2 15 6 5 8 9 4 6 5 7 6 4 5 9 14 6 3 2 9 6 8 1 2 8 4 8
6 5 8 9 4 7 2 9b = 2 3 5 7 1 10
8 5
Implemente los programas necesarios para poder determinar lo siguiente:
a) ¿es el método de Jacobi convergente? Justifique.
b) ¿ES el método de Gauss Seidel convergente? Justifique.c) Resuelva el sistema por el método de Jacobi, partiendo del vector nulo y obteniendo con
aproximación de 10-3.- x0=[0;0;0;0;0;0;0;0]- x= Jacobi(A,b,x0,0.00001,100)- x =
1.0e+088 *
-1.4907 -1.0258 -1.1514 -2.2039 -2.2007 -1.6405 -1.8000 -0.9547
d) Resuelva por el método de Gauss Seidel, partiendo del vector nulo y obteniendo la solución con aproximación de 10-3.
¿Cuál de los métodos es mejor? Parta de otro vector.- X1=[1;1;1;1;1;1;1;1]- x= Jacobi(A,b,X1,0.00001,100)- x =
1.0e+089 *
1.4222 0.9787 1.0985 2.1027 2.0996 1.5652 1.7174 0.9109
4) Dadas la siguientes matrices: A y b:
A= b=
23 1 2 0 0 0 5 0 0 9 1 100 2 0 0 1 0 0 5 0 2 2 114 0 5 1 0 0 5 0 0 0 0 4 2 0 0 7 0 1 0 0 5 2 144 0 6 0 0 9 0 1 1 0 0 44 1 1 1 0 5 0 0 0 6 1 2 1 4 1 0 0 0 7 0 1 1 133 9 0 0 5 5 0 0 1 2 9 11 7 9 0 0 1 9 0 1 0 7 100
0.4838 12.1825 300.0000 0 0 0 0 0 0 0
a) Utilizando el método de Jacobi, hallar la solución de A x= b con un error de truncamiento menor o igual a 10-6. ¿Es convergente el método?
- Si verificamos la convergencia en la fila 4: |4|<|10|, el método no seria convergente, al resolver el sistema con ayuda de MATLAB:x0=[0;0;0;0;0;0;0;0;0;0]b=[sin(0.505); exp(2.5); 300; 0;0;0; 0;0;0;0]x= Jacobi(A,b,x0,0.000001,100)Obtenemos:x =
1.0e+004 *
-1.7515 -0.0804 -0.0915 -0.4715 -0.3389
-0.2064 -6.7124 -0.1667 -1.7782 -0.3023
- Sin embargo al realizar otra operación para hallar las soluciones del sistema como A \b obtenemos:A\b
ans =
6.1620 -0.2206 2.2714 -0.2247 1.1286 0.4839 -27.8564 -0.0943 4.6100 -0.6980Obtenemos resultados muy diferentes, por tanto podemos afirmar que el método no es convergente y no puede ser solucionado por el método de Jacobi.
b) Item que a) pero con el método de Gauss Seidel.
c) Item que a) pero con el método de SOR debe determinar aproximadamente un w óptimo.
d) Suponiendo que las componentes de las matrices datos tienen errores inherentes absolutos menores que 10-5 , acote el error total de la solución que halló.
5) El sistema de andamios consiste en tres barras rígidas ligeras que cuelgan, las ecuaciones del equilibrio para este sistema son como sigue:
T E+T F=P3P3−4T F=0
T C+T D−T E=02T E−3T D=0
T A+T B−T D−T F=0−9T B+T C+4T D+T F=0
Donde están las tensiones, Ta, Tb, etc; en las cuerdas A,B, etc, respectivamente. Escribir un programa de Matlab que solucione para todas las tensiones de la cuerda cuando P3 = 1000 N y también calcule la suma de los valores absolutos de todas las tensiones de la cuerda.
Se pide:
a) Resolver primero usando funciones estándar del Matlab.- Creamos el sistema A T= b
A = 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 -4 0 0 1 1 -1 0 0 0 0 -3 2 0 1 1 -1 -1 0 -1 0 -9 1 4 0 7
b = 1000 -1000 0 0 0 0
- Hallamos la solución A \bA\bans = 555.5556 444.4444 250.0000 500.0000 750.0000 250.0000
Que podemos comprobar fácilmente partiendo de la igualdad “2”
b) Usando el método de Jacobi y Gauss Seidel, demostrando previamente su convergencia. Los resultados deben tener una máxima precisión. La presentación de sus resultados indicando las iteraciones más significativas.
- Primero ordenamos la matriz coeficientes y su consecuente matriz B1
a =
1 1 -1 -1 0 -1 0 -9 1 4 0 7 0 0 1 1 -1 0 0 0 0 -3 2 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 -4
B1 =
0 0 0 0 1000 -1000
Obtenemos una matriz triangular inferior, a partir de la cual podríamos hacer operaciones entre filas para hacer cumplir el método de convergencia.
Ejemplo para al aplicar el criterio de convergencia en la fila 3: |1|<|1|+|-1|Pero realizando sumando 1/3(f4), resultaría: |1|>|0|+|-1/3| con lo cual el criterio si cumpliría, de manera semejante podemos convertir las filas en las que el criterio no cumpliría para demostrar que si es posible desarrollar el sistema por Jacobi y en consecuencia por Gauss Seidel.
- Entonces haciendo uso de la herramienta MATLAB.
X0=[0;0;0;0;0;0]x= Jacobi(a,B1,X0,0.000001,100) , obtenemos :x =
555.5556 444.4444 250.0000 500.0000 750.0000 250.0000
c) ¿Es posible encontrar w óptimo? Justifique.
6) Dado:
La formulación para los desplazamientos de las estructuras estáticamente indeterminada se reduce a una ecuación simétrica: Ku =p , donde:
K = 27.5800 7.0040 -7.0040 0 0 7.0040 29.5700 -5.2530 0 -24.3200 -7.0040 -5.2530 29.5300 0 0 0 0 0 27.5800 -7.0040 0 -24.3200 0 -7.0040 29.5700
p= 0 0 0 0 -45
>> p=[0; 0; 0; -45]t
Determine los desplazamientos u, de las juntas.a) Analice la convergencia para Jacobi y Gauss Seidel
- Al analizar la convergencia: En las filas F2 y F5, el sistema no cumple con la convergencia.
b) Intente encontrar un valor de w óptimo para el método de Sobre relajación SOR y aplíquelo a la solución de este problema usando una rutina en MATLAB.
c) Resuelva para Jacobi y Gauss Seidel usando sus propias rutinas en MATLAB y haga un cuadro comparativo tolerancia vs Número de iteraciones.
7) Considerando el siguiente circuito:
Las reglas de Kirchoff son las siguientes:Regla del nodo: la Suma algebraica de las corrientes en un nudo es cero.Regla de la malla: la suma algebraica de las fuerzas electromotrices en cualquier malla es igual a la suma de los productos IR en la malla.Implemente los programas necesarios para poder determinar lo siguiente:a) Escriba el sistema de ecuaciones considerando las leyes de Kirchoff.
3450 I1−500 I 2=5−500 I 1+957 I 2−330 I 3=9
−330 I 2+459 I 3=12
b) ¿Es el método de Jacobi convergente? Justifique.Analizando la convergencia en las tres filas: |3450|>|-500||957|>|830||459|>|-300| Por tanto es una matriz triangularmente dominante y si cumple con la convergencia.
c) ¿Es el método de Gauss Seidel convergente? JustifiqueLa convergencia se cumple puesto que se trata de una matriz triangularmente dominante.
d) Resuelva el sistema por el método de Jacobi, partiendo del vector nulo y obteniendo la solución con una aproximación de 10-6.Haciendo uso de la herramienta MATLAB: creamos el sistema R I= V
R = 3450 -500 0 -500 957 -330 0 -330 459
V = 5 9 12
x0=[0;0;0]- Ejecutamos: x= Jacobi(R,V,x0,0.00001,100) y obtenemos
x =I=
0.0056 0.0284 0.0465
e) Resuelva el sistema por el método de Gauss Seidel, partiendo del vector nulo y obteniendo la solución con una aproximación de 10-6.
8) Sea el sistema de ecuaciones lineales
[ 0.003152 −15.28−0.009413 45.60 ][ x1
x2]=[ 14.98−44.75]a) Obtener la solución utilizando dos algoritmos, eliminación de Gauss con pivoteo parcial y
eliminación de Gauss con pivoteo total.
b) Estimar el número de condiciones de la matriz de coeficientes.
c) En base a los resultados obtenidos por los puntos a) y b) , indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas y por qué:- El primer algoritmo está mal condicionado.- El segundo algoritmo está mal condicionado.- El problema está mal condicionado.
9) Sea el sistema de ecuaciones lineales
[ 1.38 −0.2350.742 −0.125 ][ x1
x2]=[ 1.660.891]a) Hallar la solución mediante eliminación de Gauss, obteniendo la descomposición de la
matriz coeficientes.b) Demostrar que el método de Jacobi converge y el método de Gauss Seidel lo hace más
rápido.
10) Sea el sistema de ecuaciones lineales:
[0.01235 −2.2385.462 0.008406][ x1
x2]=[1.37010.85]
a) Resolver por el método de Jacobi. Efectuar las modificaciones necesarias para garantizar la convergencia. Trabajar con 5 dígitos de precisión.Para garantizar la convergencia solo intercambiamos F1 y F2
[ 5.462 0.0084060.01235 −2.238 ][ x1
x2]=[10.851.370]|5.462|>|0.008406||-2.238|>|0.01235|
b) Explicar la convergencia o no de los algoritmos del punto a) en términos de la norma de la matriz de iteración.
c) Si el sistema se expresa simbólicamente como A x = b, escribir un algoritmo que evalúe e informe la matriz de iteración a partir de A y b
11) Resuelva el siguiente sistema utilizando el método de Gauss Seidel, iterando hasta que la diferencia entre dos valores sucesivos de x, y o z sea menor que 0.02. Indicar si esto ultimo significa que la solución obtenida está en un intervalo de radio 0.02 alrededor de la solución exacta.
10 x+2 y+6 z=28x+10 y+4 z=7
2 x−7 y−10 z=−17
Haciendo uso de la Herramienta MATLAB, y con una tolerancia de 0.02. Obtenemos los siguientes valores:
X= 1.5173Y= -0.3542Z=2.2483
Desarrollando el sistema con métodos clásicos obtenemos:
X=1.5201Y= -0.3522Z= 2.2506
Y realizando una diferenciación de los valores exactos y los obtenidos con tolerancia 0.020.00280.00200.0023
Resultan ser aproximadamente 0.02 pero no necesariamente implica que estamos en in intervalo de radio menor que 0.02 del punto exacto de solución.
12) Resolver el siguiente sistema utilizando el método de Gauss Seidel:a+d=2
a+4b−d=4a+c=2c+d=2
13) Considerar el sistema poco denso de ecuaciones:
2a−b=1
−a+2b−c=1
−b+2c−d=1
−c+2d=1
Mostrar que el sistema permanece poco denso cuando se lleva a la forma triangular utilizando el método de eliminación de Gauss. Hallar la solución por Gauss y luego por Gauss Seidel.
- Le damos forma al sistema A.X =B
A =
2 -1 0 0
-1 2 -1 0
0 -1 2 -1
0 0 -1 2
b =
1
1
1
1
Dándole forma triangular con las operaciones consecutivas: F2+0.5F1; F3+2/3F2; F4+3/4F3
A = 2.0000 -1.0000 0 0 0 1.5000 -1.0000 0 0 -1.0000 2.0000 -1.0000 0 0 -1.0000 2.0000
b = 1.0000 1.5000 1.0000 1.0000
A = 2.0000 -1.0000 0 0 0 1.5000 -1.0000 0 0 0 1.3333 -1.0000 0 0 -1.0000 2.0000
b = 1.0000 1.5000 2.0000 1.0000
A = 2.0000 -1.0000 0 0
0 1.5000 -1.0000 0 0 0 1.3333 -1.0000
0 0 0 1.2500b = 1.0000
1.5000 2.0000 2.5000
El sistema sigue siendo poco denso.Hallando la solución por Gauss
a= 2b= 3c= 3d= 2
14) Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
3.210 x1+0.943x2+1.020 x3=2.3000.745 x1+1.290 x3=0.740
0.875 x1−2.540 x2+0.247 x3=3.390
a) Efectuar las modificaciones necesarias para poder garantizar la convergencia utilizando e método de Gauss-Seidel.- Damos forma al sistema AX=b
A =3.2100 0.9430 1.02000.7450 0 1.29000.8750 -2.5400 0.2470
b =2.30000.74003.3900
- Realizando un cambio de filas en el sistema:F2 y F3
A =3.2100 0.9430 1.02000.8750 -2.5400 0.24700.7450 0 1.2900
b =2.30003.39000.7400
-Verificamos la convergencia para el método de Gauss Sidel:
|3.21|>|1.963|
|-2.54|>|1.1220|
|1.29|>|0.745|
b) Resolver iterando hasta alcanzar una precisión máxima de 3 dígitos significativos, sin exceder un máximo de 5 iteraciones. Trabajar con una precisión que garantice un error de redondeo despreciable.- Haciendo uso de la herramienta MATLAB las soluciones del sistema con una tolerancia
de 0.001 y con un máximo de 5 iteraciones es:x = 1.0050 -0.9895 -0.0027
c) Establecer la cantidad de dígitos significativos obtenidos en el punto a), para cada una de las 3 componentes del vector solución. Indicar si se verifica el criterio para acotar el error de incremento por medio de la norma de la diferencia entre dos vectores solución consecutivos.
d) Determine cómo influye un error absoluto de 0.01 en el primer coeficiente de la primera ecuación sobre los valore calculados de x1,x2 y x3.-Si el error es positivo:
A = 3.2200 0.9430 1.0200 0.8750 -2.5400 0.2470 0.7450 0 1.2900
x' = 1.0015 -0.9905 -0.0008
- Si el error es negativo x’’
A = 3.2000 0.9430 1.0200 0.8750 -2.5400 0.2470 0.7450 0 1.2900
X’’ = 1.0084-0.9885 -0.0047
