Trabajo N° 07

5/8/2018 Trabajo N° 07 - slidepdf.com

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA INGENIERÍA CIVIL

FLUJO PERMANENTE GRADUALMENTE VARIADO A SUPERFICIE LIBRE

Mecánica De Fluidos II 1




RESUMEN

El siguiente trabajo tiene por finalidad hacer un análisis del flujo

gradualmente variado, a lo largo de un canal, ya que cuando las condiciones

de escurrimiento, en una misma sección, permanecen invariables en el

tiempo, pero varían paulatinamente a lo largo del eje de la canalización. Luegola ecuación resultante que gobierna esta particularidad se llama “Ecuación del

Eje Hidráulico”

Luego de plantearse una serie de hipótesis para su estudio, se llegará a

una ecuación diferencial para este tipo de flujo a superficie libre, pero ahora

para solucionar dicha ecuación, será necesario utilizar métodos numéricos

para su solución, ya que dicha ecuación nos servirá para determinar la curva

de remanso en un canal.

Dichos métodos antes mencionados no son más que la solución de la

integración exacta de la ecuación diferencial del flujo permanente

gradualmente variado a superficie libre, siendo dos los más importantes y son

el método directo por etapas y el método de etapas fijas.

Finalmente con el fin de comprender mejor este tipo de flujo, se planteará

un problema con el fin de calcularlo con un método, para luego comprobar los

resultados obtenidos con otro método.





I. INTRODUCCIÓN

El flujo variado puede ser clasificado como rápidamente variado o

gradualmente variado. En el caso de flujo rápidamente variado, la profundidad

de flujo cambia abruptamente en una distancia comparativamente corta, por

ejemplo, en un resalto hidráulico. En el otro caso, se requieren distancias

mayores para que alcancen a desarrollarse los perfiles de flujo gradualmente

variado. En un canal con flujo permanente uniforme pueden existir causas que

retardan o aceleran la corriente de forma que pasa a condiciones variadas que

se manifiestan por un aumento o disminución de la profundidad del flujo,

respectivamente.

1.1 OBJETIVOS

Analizar el flujo no uniforme y gradualmente variado en un canal,

así mimo la ecuación del eje hidráulico, usando para ello un

ejemplo de aplicación para luego con la ayuda métodos

numéricos podremos llegar a una solución aproximada de este

tipo de problemas.

1.2 JUSTIFICACIÓN

Es necesario que para el diseño de canales que tengan a lo largode su trayectoria un vertedero, que servirá para varios fines, se

pueda determinar la posición del eje hidráulico y la altura del

canal en la zona de influencia de la superficie de remanso.

II. REVISIÓN DE LITERATURA

2.1 Flujo Libre, M. E. Guevara A., Departamento De Hidráulica,

Facultad De Ingeniería Civil, Universidad del Cauca.

Flujo permanente variado

0≠∂∂L

V 0≠

∂∂L

y 0≠

∂∂t

V

El flujo variado puede ser clasificado como rápidamente variado o

gradualmente variado. En el caso de flujo rápidamente variado, la

profundidad de flujo cambia abruptamente en una distanciacomparativamente corta, por ejemplo, en un resalto hidráulico. En el

otro caso, se requieren distancias mayores para que alcancen a





desarrollarse los perfiles de flujo gradualmente variado. En un canal

con flujo permanente uniforme pueden existir causas que retardan o

aceleran la corriente de forma que pasa a condiciones variadas que se

manifiestan por un aumento o disminución de la profundidad del flujo,

respectivamente.

a) Flujo variado retardado

Se presenta cuando la velocidad del flujo disminuye, y por

ende aumenta la profundidad en el sentido de la corriente.

Algunas causas que retardan el flujo son: disminución brusca de

la pendiente del canal; interposición de obstáculos en el lecho del

canal como vertederos, presas, compuertas de control. Paracondiciones iniciales de flujo uniforme lento, se tendrá flujo

gradualmente variado; para condiciones de flujo uniforme rápido

se presentará un resalto hidráulico al pasar a condiciones de

remanso.

b) Flujo variado acelerado

Se presenta cuando la velocidad del flujo aumenta, y por

ende la profundidad disminuye en sentido de la corriente; ocurrecuando la pendiente del canal aumenta bruscamente o cuando

existe una caída vertical.

Figura N° 01. Flujo gradualmente variado

Controles en el flujo

Un control en el flujo es cualquier estructura o característica que

determina una relación entre caudal y profundidad.





El estado de flujo uniforme puede ser considerado como una

condición de control en el flujo, ya que con una ecuación como la de

Manning se puede establecer una relación entre Q y y . Sin embargo,

flujo uniforme es el estado que el flujo tiende a adoptar en canales

largos, uniformes y sin controles. Si hay algún tipo de control, el flujo

tiende a volverse variado. Esta transición de flujo puede ser gradual o

abrupta. Ejemplos de controles son: compuertas, presas, caídas

verticales, cambios de pendiente, tal como se ilustra en las siguientes

figuras.

Figura N° 02: Ejemplos de Controles en el Flujo





Ecuación general de flujo gradualmente variado

El problema del flujo gradualmente variado se reduce a

determinar la variación longitudinal del perfil de flujo a lo largo delcanal:

0≠∂∂ x

y o, 0≠

∂∂ x

V

Para deducir la ecuación general de flujo variado se parte de las

ecuaciones de energía total y de energía específica. Lo que interesa

inicialmente es saber como varía la energía específica con relación a x y

a y .

g

v y z H

2

2

++=

H : Energía total

z : Posición respecto al plano de referencia

y : Energía de presión

γ

P

V : Velocidad del flujo

Figura N° 03: Componentes de la Energía

El cambio de energía total a lo largo del canal está dado por:

++=

++=

g

V y

dx

d

dx

dz

g

V y z

dx

d

dx

dH

22

22

g

V y E 2

2

+=

E : Energía Específica





,dx

dE

dx

dz

dx

dH+= ,

dx

dz

dx

dH

dx

dE−=

Si se adopta la convención de que la variación de un parámetro

con relación a otro es negativa si desciende en el sentido del flujo y

positiva si asciende, , se obtiene:

Sf dx

dH−= es el cambio de energía respecto a la distancia x , es decir la

pendiente de fricción; siempre es negativa para el sistema de

convenciones especificado.

=−= 0Sdx

dz es el cambio de elevación del fondo del canal con respecto a

la distancia, o pendiente del fondo; para el sistema de convenciones

especificado es negativa cuando decrece en el sentido de flujo, pero

puede ser positiva si asciende.

Entonces, Sf Sdx

dE−= 0 (1)

Por otra parte:

,2

2

g

V y E += ,

22

2

gA

Q y E +=

g

AQ y E

2

22 −

+=

,13

2

dy

dA

gA

Q

dy

dE−= ,1

3

2

dy

Bdy

gA

Q

dy

dE−= ,1

3

2

gA

BQ

dy

dE−=

h

RgY

V F = ⇒ 3

2222

gA

BQ

gA

BV

B

Ag

V F R ===

2

1 RF dy

dE

−= (2)

De (1), se tiene que ( )dx SSdE f −=0

De (2), se tiene que ( )dy F dE R−= 1

Combinando (1) y (2) se obtiene la ecuación general de flujo

gradualmente variado:

2

0

1 R

f

F SS

dx dy

−

−= (3)





Esta ecuación describe la variación de la profundidad de flujo en un

canal de forma arbitraria como función de S0, Sf y F R2

La ecuación (3) no es explícitamente solucionable, pero existen varias

soluciones por medio de métodos numéricos que se verán mas

adelante.

Análisis de la ecuación (3)

Si 0=dx

dy ⇒ →=− 00 f SS Flujo Uniforme

¿Qué pasa con FR2=1?. Ocurre básicamente en un sitio en donde

haya transición de flujo subcrítico a supercrítico. En ese sitio se presenta

la profundidad crítica y es un punto de control.

Perfiles de Flujo

En el análisis de flujo en canales abiertos es necesario predecir el

comportamiento de los perfiles de la lámina de agua. Esto se puede

hacer con un análisis del comportamiento de la pendiente de la

superficie del agua en función de las variables geométricas e hidráulicas

del flujo, como se hará a continuación.

Para el cálculo de los perfiles del flujo es útil determinar la

relación entre las pendientes de fondo (S0), de fricción (Sf ) y del número

de Fraude FR que intervienen en la ecuación general de flujo variado

2

0

1 R

f

F

SS

dx

dy

−

−

= . S0 depende básicamente de la topografía, pero se va a

demostrar a continuación que Sf y FR2 son funciones del inverso de y.

Considerando la ecuación de Chezy: ,f RSCV = se obtiene:

,2

2

RC

V Sf =

32

2

22

2

AC

PQ

RAC

QSf == (4)

3

22

gA

BQF R = (5)





Se observa en las ecuaciones (4) y (5) que tanto Sf como F R2,

tienen una gran dependencia del inverso del cubo del área. P no se

diferencia mucho de B, especialmente en canales anchos. Como el área

mojada es una función de la profundidad del agua, A = f( y ), es de

esperar que Sf y F R2, disminuyan al aumentar y , o que ambos aumenten

al disminuir y , para todos los casos de secciones transversales.

De lo anterior y de un análisis del comportamiento y la interacción

de las variables hidráulicas se puede establecer el siguiente juego de

desigualdades.

y < y n corresponde a Sf > S0 y y > y n corresponde a Sf < S0

y < y c corresponde a F R > 1 y y > y c corresponde a F R < 1 Para flujo uniforme se tiene que y = y n, S0 = Sf

En la condición de flujo crítico F R = 1.

Las líneas representadas por la solera del canal, la profundidad

normal del flujo y la profundidad crítica, dividen el canal en tres

secciones en la dimensión vertical como se puede observar en la Figura

04. Por convención, estas zonas se numeran del 1 al 3 empezando por la

porción superior.





Figura N° 04: Sistema de clasificación de perfiles de flujo gradualmentevariado.

Existen cinco clases de perfiles de flujo gradualmente variado: M,

S, C, A, y H. Los perfiles en canales con pendientes menores que la

crítica, se denominan perfiles de pendiente suave (M). Los perfiles en

canales de pendiente mayor que la crítica se denominan de pendientefuerte (S). Los perfiles en canales con pendiente igual a la pendiente

crítica se llaman críticos (C). Los perfiles en canales con pendiente





negativa se denominan adversos (A) y los perfiles en canales

horizontales se denominan horizontales (H).

Para cada zona y para cada tipo de pendiente del canal, la

pendiente del nivel del agua puede ser positiva o negativa,

presentándose flujo retardado o acelerado respectivamente.

Métodos de Cálculo

Para el cálculo de perfiles de flujo gradualmente variado se utiliza

la ecuación (3) que no tiene solución explícita puesto que ni la

pendiente de fricción en flujos reales ni el número de Froude son

conocidos, por lo que hay que recurrir a métodos numéricos que tratande aproximar una solución.

Se deben hacer algunas suposiciones, entre ellas:

Se consideran subtramos de análisis relativamente pequeños, de

tal forma que se pueda considerar flujo uniforme y así determinar

la pendiente de fricción utilizando una ecuación de resistencia al

flujo, usualmente Manning.

La pendiente del canal es pequeña, por ende la profundidad deflujo medida verticalmente es aproximadamente igual a la

profundidad medida perpendicularmente al fondo, es decir que no

se requiere corregir la profundidad de flujo por la pendiente.

El coeficiente de rugosidad es independiente del tirante hidráulico

y constante en todo el tramo en consideración.

Para conocer la variación de la profundidad del flujo

gradualmente variado en relación con la longitud del canal ya sea hacia

aguas arriba o aguas abajo de la sección de control, se emplean

métodos teóricos aproximados entre los cuales los más usados son: el

método tramo a tramo, directo por pasos y el de integración gráfica.

Estos métodos son aplicables a canales prismáticos y no prismáticos.

Independientemente del método de cálculo seleccionado es

importante resaltar que para los cómputos se debe considerar el tipo de

flujo, ya sea subcrítico o supercrítico, crítico, o con pendiente horizontal

o adversa y definir el tipo de perfil de flujo: M, S, C H o A,respectivamente. También, se deben localizar los respectivos controles





al flujo, puesto que en flujo subcrítico el cálculo se hace desde aguas

abajo y en flujo supercrítico desde aguas arriba.

La pendiente de fricción se debe determinar a partir de algunaecuación de resistencia al flujo, por ejemplo la de Manning.

El proceso de cálculo es usualmente el siguiente:

1. Determinar parámetros básicos de diseño: topografía, suelos,

caudal, etc.

2. Diseñar completamente el canal por tramos y conocer todos los

elementos geométricos de la sección transversal para cada

tramo: y, A, P, R, y h, S0, etc.

3. Determinar el tipo de pendiente del canal: subcrítica, supercrítica,

crítica, horizontal o adversa.

4. Identificar los controles del flujo: compuertas, presas, vertederos,

cambios de pendiente, caídas.

5. Determinar los elementos hidráulicos en la sección de control.

6. Analizar los perfiles de flujo que se presentan aguas arriba y

aguas abajo del control: M, S, C, H, A.

7. Calcular los perfiles de flujo a partir de la sección de control.

En general, existen dos casos de cálculo:

a) Solución directa: Se conoce la variación de profundidades del

agua (dy ) y el problema es encontrar la distancia entre ellas (dx ).

b) Solución por iteraciones: Se desconoce la variación de

profundidades del agua (dy ) y se conoce la distancia entre ellas

(dx ). Como tanto Sf como F R son funciones de y y ésta solo se

conoce en la sección de control, la profundidad del agua en la

siguiente sección debe encontrarse por aproximaciones

sucesivas.

Método Directo por Etapas

En este método toda la longitud del canal con flujo

gradualmente variado se divide en subtramos cortos a partir del

control. Se calcula la profundidad del agua en una sección partiendo de





la profundidad del agua en la sección de control y se prosigue etapa

por etapa, tomando como base la profundidad del agua que se ha

calculado. Es un método simple aplicado a canales prismáticos.

En la Figura Nº 05 se puede plantear la ecuación de energíaentre los puntos 1 y 2.

Figura N° 05: Esquematización del Cálculo del Método Directo por Etapas.

x Sg

V y z

g

V y z f ∆+++=++

22

2

2

22

2

1

11

,021 x S z z ∆=−g

V y E ii

2

2

1+=

f SS

EE x −−=∆

0

12

x ∆ : Longitud de cada tramo

E1 : Energía específica para la sección inicial del tramo

E2 : Energía específica para la sección final del tramo

S0 : Pendiente del canal en tanto por uno (m/m; cm/cm)

Sf : Pendiente de fricción, también denominada gradiente

hidráulico medio del subtramo.

2

21 f f

f

SSS

+=

2

32

=

ii

f R A

QnS

ien sistema métrico de unidades

Otra alternativa es calcular Sf para la profundidad media del

subtramo dada por;





+=

2

21y y

y m

y1 : Profundidad del agua en la sección inicial del tramoy2 : Profundidad del agua en la sección final del tramo

2

32

=

mm

f R A

QnS en sistema métrico de unidades

Am : Area de la sección media de profundidad y m

Rm : Radio hidráulico de la sección media de profundidad y m

Q : Caudal

n : Coeficiente de rugosidad del canal según Manning

Para aplicar este método se debe conocer la profundidad de la

sección inicial y la clase de variación. Tomando incrementos o

decrementos ∆ y , la profundidad siguiente será y 2 = y 1 ± ∆ y .

El signo es (+) si la variación es retardada hacia aguas abajo y el

signo es (-) si es acelerada.

El valor de los intervalos que se adopten (∆ x, ∆ y ) puede ser

cualquiera, pero entre más pequeño sea, es mayor la exactitud del

método.

=∆∑= x L Longitud total de flujo gradualmente variado

Ref. Nº 01: Pág. 52 – Pág. 66

2.2 Mecánica de Fluidos II, Ing. Osvaldo Ortiz Vera, Facultad De

Ingeniería Civil, Universidad Nacional de Cajamarca, 2006

Método de Etapas Fijas

Consiste en determinar la cota de agua del eje hidráulico a una

distancia fija preconcebida a partir de una sección de control. Se aplica

también a secciones irregulares (cauces naturales)

Procedimiento





1. En la sección de control se determina H1 y S1:

,2

2

1111

g

V y z H ++=

34

1

21

2

1

R

V nS =

2. Asumir un valor probable para la cota del eje hidráulico, esto es lacota de la superficie piezométrica, con la cual es posibledeterminar.

,

2

'

2

2222

g

V y z H ++=

34

2

2

2

2

2

R

V nS =

3. Calcular y verificar los valores de la cota de la línea de energía enbase a la altura total y la pérdida H2.

[ ]21122

'' SS x

HH +∆

+=

4. Si: ;''' 22 HH ≅ la cota supuesta es correcta, de lo contrario probar

con otro valor de la cota del eje hidráulicoRef. Nº 02: Pág. 17 – Pág. 18

III. MATERIALES Y MÉTODOS

El esquema adjunto, representa un canal rectangular diseñado deconcreto con máxima eficiencia hidráulica, para conducir un gasto de

1.5 m3/seg., con pendiente 1/1000. Si el vertedero mostrado tiene una

altura de 1.00 m., determinar la posición del eje hidráulico y la altura delcanal en la zona de influencia de la superficie de remanso.

Solución

Determinación de las características geométricas del canal.

b =2yA=2y2

P=4yR=y/2Q=1.5 m3/seg.





S0=0.001H0=1.00 m

Según la ecuación de Manning para flujo uniforme, se puede aplicar:

21

032

SRn

AQ =

n=0.016 Cto. Ordinario

Reemplazando:

21

0

32

2

2

2

S

y

n

y

Q

=

83

21

31

83

21

031

0 0 1.0*2

0 1 6.0*5.1

2

=

=

S

Q n y

m y 83.0= ⇒ Tirante Normal

b=1.66 m

A=1.38 m2

P=3.32 m

Determinación de la sección de control

mHHH y 00.1001 =⇒+=

⇒= bhQ2

32.2 Perfil de CRAGER

32

32

66.1*2.2

5.1

2.2

=

=

b

Qh

h=0.55 m

y1=1.55 m

Determinación de la Curva de Remanso – Método de Etapas Fijas

1. En La sección de control se tiene





( ) 2

2

2

1

2

1

2

1

111

66.1*55.0*81.9*2

5.155.1250

22++=+=++=

gA

Q y

g

V y z H

z1=250 m (Asumido)

H1=250 + 1.55 + 0.14

H1=251.69

segm

bh

QV 64.1

66.1*55.0

5.1

*1 ===

mR 33.0

55.0*266.1

66.1*55.01 =

+

=

0 0.0

3 3.0

6 4.1*0 1 6.0*

34

22

34

1

2

1

2

1===

R

V nS

2. Asumiendo un tirante hidráulico: y2=1.50 m

2

2

2

22

2

2

222

22'

gA

Q y z g

v y z H ++=++=

mH

H

14.252'

02.050.162.250'

2

2

=++=

seg

m

A

QV 60.0

66.1*50.1

5.1

2

2 ===

mR 53.050.1*266.1

66.1*50.12 =

+=

0 0 0.0

5 3.0

6 0.0*0 1 6.0*

34

22

34

2

2

1

2

2===

R

V nS

3. Gradiente Promedio


( )22

250.1*66.1*81.9*2

5.150.162.250' ++=H




( ) ( )0002.00030.02

1

2

121 +=+= SSSm

0016.0

=mS

4. mSS

HH x

m

00.7500016.0001.0

69.25114.252

0

12 −=−−

=−−

=∆

5. Verificación

( ) ( ) mSS x

HH 143.2520002.00030.02

333.28369.251

2'' 2112 =++=+

∆+=

Como: 143.252140.252''' 22 ≅⇒≅HH

Entonces m x 00.750−=∆ esta correcto, el resultado negativo

indica que se habrá avanzado aguas arriba.

IV. RESULTADOS Y DISCUSION

Tenemos que m x

00.750

−=∆ el resultado negativo indica que se habráavanzado aguas arriba.

V. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Puesto que la curva de la energía especifica se traza para un gasto

fijo, este gasto puede estar fluyendo con distintos tirantes; para

cada tirante hay un área, y para cada área hay una velocidad.

Es importante a la hora de resolver este tipo de problemas,proceder a la resolución por ambos métodos, tanto por el directo

por etapas, como por el método de etapas fijas, ya que con ello

aseguraremos la veracidad de nuestros resultados.

Muy aparte también se tiene otro método alternativo, que es el

método de integración, así como el método de la integración

gráfica, esto se lo deja para futuras investigaciones.

VI. BIBLIOGRAFÍA





Flujo Libre, M. E. Guevara A., Departamento De Hidráulica,

Facultad De Ingeniería Civil, Universidad del Cauca.

Hidráulica de los Canales Abiertos, Chow V. T., Editorial Diana,

Primera Edición, México, 1982. Manual de Hidráulica, Azevedo N., J. M. y Acosta A., G., Sexta

edición. Harla, S. A. de C. V. México, 1975.

Revestimiento de Canales de Riego, Organización de las Naciones

Unidas para la Agricultura y la Alimentación, Kraatz D. N., Roma,

1977.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE

CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL

DE INGENIERÍA CIVIL

MECÁNICA DE FLUIDOS II

FLUJO PERMANENTE GRADUALMENTE VARIADO A SUPERFICIE LIBRE

DOCENTE : Ing. ORTÍZ VERA, Oswaldo





CICLO : VI

GRUPO : “A”

ALUMNO : ALCÁNTARA PORTAL, Víctor Franz

Cajamarca, 28 de Septiembre del 2006


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Trabajo N° 07