Trabajo Para Logica

7/24/2019 Trabajo Para Logica

1/19

Introduccin

La teora de conjuntos es una rama de las matemticas que estudia las

propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas

como objetos en s mismas. Los conjuntos y sus operaciones ms elementalesson una herramienta bsica en la formulacin de cualquier teora matemtica.1

Sin embargo, la teora de los conjuntos es lo suficientemente rica como

para construir el resto de objetos y estructuras de inters en matemticas:

n!meros, funciones, figuras geomtricas,..." y junto con la lgica permite estudiar

los fundamentos de esta. #n la actualidad se acepta que el conjunto de a$iomas

de la teora de %ermelo&'raen(el es suficiente para desarrollar toda la matemtica.

)dems, la propia teora de conjuntos es objeto de estudio per se, no slo

como herramienta au$iliar, en particular las propiedades y relaciones de los

conjuntos infinitos. #n esta disciplina es habitual que se presenten casos de

propiedades indemostrables o contradictorias, como la hiptesis del continuo o la

e$istencia de un cardinal inaccesible. *or esta ra+n, sus ra+onamientos y

tcnicas se apoyan en gran medida en la lgica matemtica.

#l desarrollo histrico de la teora de conjuntos se atribuye a eorg -antor,

que comen+ a inestigar cuestiones conjuntistas /puras0 en la segunda mitad del

siglo 2, precedido por algunas ideas de 3ernhard 3ol+ano e influenciado por

4ichard 5ede(ind. #l descubrimiento de las paradojas de la teora cantoriana de

conjuntos propici los trabajos de 3ertrand 4ussell, #rnst %ermelo, )braham

'raen(el y otros a principios del siglo .


2/19

Conjuntos

#n matemticas, un conjunto es una agrupacin de objetos considerada

como un objeto en s. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa:

personas, n!meros, colores, letras, figuras, etc. -ada uno de los objetos en lacoleccin es un elemento o miembro del conjunto.1 *or ejemplo, el conjunto de los

colores del arcoris es:

)2 6 74ojo, 8aranja, )marillo, 9erde, )+ul, )il, 9ioleta;

, ?, @, 11, 1>, ...;


3/19

resto de objetos matemticos, como los n!meros y las funciones, entre otros. Su

estudio detallado requiere pues la introduccin de a$iomas y conduce a la teora

de conjuntos.

Notacin

#s una manera de decir cul est en un conjunto. #l conjunto se nombra

generalmente con una may!scula como esto:

) 6 7definicin del conjunto;

La definicin del conjunto est dentro de las llaes: 7;. Eay dos estilos de la

definicin del conjunto que pueden estar en llaes.

Lista: Si un conjunto tiene apenas algunos elementos, el conjunto puede ser

definido enumerando todos los elementos:

3 6 7libro, lpi+, borrador;

#n esta definicin, el conjunto 3 tiene tres elementos: libro, lpi+, y borrador.

4egla:


4/19

71, =, ..., n; se pueden emparejar uno a uno, sin que sobre ning!n elemento en

ninguno de los dos conjuntos. #n matemticas esto se e$presa como:

, &=, &1, H, 1, =, >, ...; forman un conjunto

infinito y numerable.

Los puntos en una recta, representados por un n!mero real, forman un

conjunto infinito y no numerable.

Los conjuntos infinitos poseen las siguientes propiedades:


5/19

La unin de dos conjuntos es infinita siempre que al menos uno de ellos

sea infinito.

-ualquier conjunto que contenga un conjunto infinito es infinito a su e+.

#l conjunto potencia de un conjunto infinito es infinito a su e+.

Conjunto universal

es un conjunto formado por todos los objetos de estudio en un conte$to

dado. *or ejemplo, en aritmtica los objetos de estudio son los n!meros naturales,

por lo que el conjunto uniersal para este caso puede ser el conjunto de los

n!meros naturales 8. )l conjunto uniersal tambin se le denomina conjunto

referencial, unierso del discurso o clase uniersal, seg!n el conte$to, y se denota

habitualmente por < o 9.

La eleccin de un conjunto uniersal se hace por coneniencia, para

establecer una distincin clara entre los objetos matemticos, todos ellos en el

conjunto uniersal" y los conjuntos formados por dichos objetos, todos ellos

subconjuntos del conjunto uniersal. #scogido un conjunto uniersal, para cada

conjunto de objetos e$iste su complementario, que contiene todos los elementos

que no estn en dicho conjunto.

#n teora de conjuntos, los objetos matemticos estudiados incluyen a los

propios conjuntos. #l conjunto uniersal abarcara entonces no slo objetos

simples como n!meros, sino tambin conjuntos de n!meros, conjuntos de

conjuntos de n!meros, etc. Sin embargo, en este caso suponer la e$istencia de un

conjunto uniersal llea una contradiccin conocida como la paradoja de 4ussell.

#n matemticas, especialmente en teora de conjuntos, un conjunto ) essubconjunto de un conjunto 3 si ) Kest contenidoK dentro de 3. 4ecprocamente,

se dice que el conjunto 3 es un superconjunto de ) cuando ) es un subconjunto

de 3.


6/19

; 71, =, >, M;

7=, M, N, ...; 71, =, >, ..; 6 8 C 78!meros pares; 78!meros naturales; D

Diagramacin de conjuntos

Los diagramas de 9enn son ilustraciones usadas en la rama de la

Aatemtica y Lgica de clases conocida como teora de conjuntos. #stos

diagramas se usan para mostrar grficamente la agrupacin de cosas elementos

en conjuntos, representando cada conjunto mediante un crculo o un alo. La

posicin relatia en el plano de tales crculos muestra la relacin entre los

conjuntos. *or ejemplo, si los crculos de los conjuntos ) y 3 se solapan, se

muestra un rea com!n a ambos conjuntos que contiene todos los elementos

contenidos a la e+ en ) y en 3. Si el crculo del conjunto ) aparece dentro del

crculo de otro 3, es que todos los elementos de ) tambin estn contenidos en 3.


7/19

Diagrama de dos conjuntos

-onsidrese el ejemplo a la derecha:

supngase que el conjunto ) Cel crculo

anaranjadoD representa, por ejemplo, a todaslas criaturas ias con solo dos piernas

motrices y que el conjunto 3 Cel crculo a+ulD

contiene a todas las criaturas que pueden

olar. #l rea donde ambos crculos se superponen Cque recibe el nombre de

interseccin entre ) y 3, o interseccin ) & 3D contendra por tanto todas las

criaturas que, al mismo tiempo, pueden olar y tienen slo dos piernas motrices.

2maginemos ahora que cada tipo distinto de criatura ia est representado

con un punto situado en alguna parte del diagrama. Los humanos y los pingOinos

estaran dentro del crculo naranja Cel conjunto )D en la parte en la que no se

superpone con el crculo a+ul Cel conjunto 3D, ya que ambos son bpedos y no

pueden olar. Los mosquitos, que tienen seis piernas motrices y pueden olar,

estaran representados con un punto dentro del crculo a+ul fuera de la

interseccin ) & 3. Los loros, que tienen dos piernas motrices y pueden olar,

estaran representados por un punto dentro de la interseccin ) & 3. -ualquier tipo

de criatura que ni tuiera dos piernas ni pudiera olar Ccomo por ejemplo las

ballenas o las serpientesD, estara representado mediante puntos fuera de ambos

crculos.

#l diagrama de 9enn representado en el ejemplo 1 puede describirse como

la relacin entre el conjunto ) y el conjunto 3. #l rea combinada de ambos

conjuntos recibe el nombre de unin de los conjuntos ) y 3. La unin en este caso

contiene todos los tipos de criaturas que tienen dos piernas, pueden olar, oambas cosas a la e+. #l rea donde los conjuntos ) y 3 se solapan se define

como la interseccin de ) y 3. -ontiene todos los tipos de criaturas que

pertenecen a la e+ a ) y a 3, es decir, que tienen dos piernas y pueden olar.


8/19


9/19

estas representaciones usando elipses, as como indicaciones para la creacin de

diagramas con cualquier cantidad de curas, partiendo del diagrama de tres

crculos.

Diagramas de Venn de Edwards

Q. '. #dPards dise representaciones para diagramas de 9enn de ms de

tres conjuntos, proyectando el diagrama sobre una esfera. Se pueden representar

fcilmente tres conjuntos tomando tres hemisferios en ngulos rectos C$6H, y6H y

+6HD.


10/19

representar de forma eidente dos afirmaciones adicionales: los comestibles no

estn hechos de metal, y las cosas hechas de metal no son comestibles.

Diagrama de Johnston

Los diagramas de Bohnston se usan para ilustrar afirmaciones lgicas como

ni ) ni 3 son ciertas, y son una forma isual de ilustrar tablas de erdad. *ueden

ser idnticos en apariencia a diagramas de 9enn, pero no representan conjuntos

de elementos.

Diagrama de Peirce

Los diagramas de *eirce, creados por -harles *eirce, son e$tensiones de

los diagramas de 9enn que incluyen informacin sobre afirmaciones e$istenciales,

disyuntias, de probabilidades y otras relaciones.

Maa de !arnaugh


11/19

mapa de Rarnaugh se reali+a de forma directa, albergando un H un 1,

dependiendo del alor que toma la funcin en cada fila. Las tablas de Rarnaugh se

pueden utili+ar para funciones de hasta N ariables.

"eraciones fundamentales de conjunto

La unin de dos Co msD conjuntos es una operacin que resulta en otro

conjunto cuyos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales. *or

ejemplo, el conjunto de los n!meros naturales es la unin del conjunto de los

n!meros pares positios * y el conjunto de los n!meros impares positios 2:

* 6 7=, M, N, ...;

2 6 71, >, ?, ...;

8 6 71, =, >, M, ?, N, ...;

La unin de conjuntos se denota por el smbolo , de modo que por ejemplo, 8 6

* 2.

La unin de conjuntos posee tambin propiedades similares a las operaciones con

n!meros:

*ropiedad asociatia. La unin de los conjuntos ) y 3 - es igual que la

unin de los conjuntos ) 3 y - :C)3D - 6 ) C3 -D

*ropiedad conmutatia. La unin de los conjuntos ) y 3 es igual a la unin

de los conjuntos 3 y ) :)3 6 3 ).

#lemento neutro. La unin de un conjunto ) con el conjunto aco es el

mismo conjunto ):

)6 )

#a interseccin


12/19

5e dos Co msD conjuntos es una operacin que resulta en otro conjunto

que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. *or ejemplo,

dado el conjunto de los n!meros pares * y el conjunto de los cuadrados - de

n!meros naturales, su interseccin es el conjunto de los cuadrados pares 5 :

* 6 7=, M, N, T, 1H,...;

- 6 71, M, , 1N, =?, ...;

5 6 7M, 1N, >N, NM, ...;

La interseccin de conjuntos se denota por el smbolo U por lo que 5 6 * U -.

La interseccin de conjuntos posee tambin propiedades similares a las

operaciones con n!meros:

*ropiedad asociatia. La interseccin de los conjuntos ) y 3 U - es igual a

la interseccin de los conjuntos ) U 3 y - :C) U 3D U - 6 ) U C3 U -D

*ropiedad conmutatia. La interseccin de los conjuntos ) y 3 es igual a la

interseccin de los conjuntos 3 y ) :) U 3 6 3 U ).

#lemento absorbente. La interseccin de un conjunto ) con el conjunto

aco es:) U 6

Iodas estas propiedades se deducen de propiedades anlogas para la conjuncin

lgica.

#n relacin con la operacin de unin e$isten unas leyes distributias:

*ropiedad distributia

)C3 U -D 6 C) 3D U C) -D, y por tanto:)C) U 3D 6 )) U C3 -D 6 C) U 3D C) U -D, y por tanto:) U C)3D 6 )

#a diferencia


13/19

#ntre dos conjuntos es una operacin que resulta en otro conjunto, cuyos

elementos son todos aquellos en el primero de los conjuntos iniciales que no estn

en el segundo. *or ejemplo, la diferencia entre el conjunto de los n!meros

naturales 8 y el conjunto de los n!meros pares * es el conjunto de los n!meros

que no son pares, es decir, los impares 2:

8 6 71, =, >, M, ?, ...;

* 6 7=, M, N, T,...;

2 6 71, >, ?,...;

-omo no hay ning!n n!mero par que no sea un n!mero natural, la diferencia *

menos 8 no tiene el elemento correspondiente, por lo que es el conjunto aco. La

diferencia entre dos conjuntos ) y 3 se denota por ) V 3 ) W 3, por lo que: 8 V * 6

2, y tambin * W 8 6 .

5e la definicin de la diferencia de conjuntos, puede deducirse inmediatamente:

#lemento neutro. La diferencia entre un conjunto y el conjunto aco es el

propio conjunto:) W 6 )

La diferencia de un conjunto menos l mismo es el conjunto aco:) W ) 6

#stas igualdades son un caso particular de la siguiente propiedad:

La diferencia entre dos conjuntos es el conjunto aco si y slo si el primero

es un subconjunto del segundo:

) W 3 6si y slo si ) 3

La diferencia entre dos conjuntos es igual al primer conjunto si slo si ambos

conjuntos son disjuntos:

) W 3 6 ) si y slo si ) U 3 6


14/19

La interseccin de dos conjuntos es la parte que tienen en com!n, mientras

que la diferencia es la parte que no comparten. #sto se traduce en la siguiente

propiedad:

5ados dos conjuntos, su interseccin y su diferencia son disjuntos entre s,pero su unin es el primero de los conjuntos iniciales:

C) U 3D U C) V 3D 6 , pero C) U 3D C) V 3D 6 )

#sto quiere decir que la interseccin y la diferencia entre ) y 3 son una

CposibleD particin de ).

La diferencia de conjuntos est muy relacionada con el complemento de un

conjunto:

#l complemento de un conjunto es la diferencia entre el conjunto uniersal y

l mismo:

)6 < V )

#s por esto que la diferencia de dos conjuntos, ) menos 3, se denomina

tambin el complemento relatio de 3 respecto de ): ) V 3 es el complemento

absoluto de 3, considerando a ) como el conjunto uniersal . Las leyes de 5e

Aorgan y otras propiedades del complemento de un conjunto tienen entonces su

contrapartida en la diferencia de conjuntos, si se tiene en cuenta que

Si se considera un conjunto uniersal, la diferencia entre dos conjuntos es

la interseccin del primero con el complemento del segundo:

) V 3 6 ) U 3

El comlemento

es otro conjunto que contiene todos los elementos que no estn en el

conjunto original. *ara poder definirlo es necesario especificar qu tipo de


15/19

elementos se estn utili+ando, o de otro modo, cul es el conjunto uniersal. *or

ejemplo, si se habla de n!meros naturales, el complementario del conjunto de los

n!meros primos * es el conjunto de los n!meros no primos -, que est formado

por los n!meros compuestos y el 1:

* 6 7=, >, ?, @, ...;

- 6 71, M, N, T, ,...;

) su e+, el conjunto - es el complementario de *. #l conjunto

complementario se denota por una barra ertical o por el superndice /0, por lo

que se tiene: *6 -, y tambin - 6 *.

#l conjunto complementario de ) es la diferencia Co complementario

relatioD entre el conjunto uniersal y ), por lo que ambas operaciones

Ccomplementario y diferenciaD tienen propiedades similares.

*uesto que la nocin de complementariedad est relacionada con la

negacin en lgica, la primera posee propiedades similares a la segunda:

*ropiedad inolutia. #l complementario del complementario de ) es el

propio ):C)D6 )

La unin de un conjunto y su complementario es el conjunto uniersal:

))6 , M; es el conjunto 71, =, >, M;.

la 2nterseccin de los conjuntos ) y 3, denotada ) U 3, es el conjunto de

todos los objetos que son miembros de ) y 3. La interseccin de 71, =, >; y

7=, >, M; es el conjunto 7=, >;.

5iferencia simtrica de los conjuntos ) y 3, denotado ) 3 o )3,

ejemplo, para los conjuntos 71,=,>; y 7=,>,M;, el conjunto diferencia simtrica

es 71,M;. #s la diferencia de conjuntos de la unin y la interseccin, C) 3D V

C) U 3D o C) V 3D C3 V )D.

Permutaciones $ Com%inaciones

*ara entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es

una combinacin y lo que es una permutacin para establecer su diferencia y de

esta manera entender claramente cuando es posible utili+ar una combinacin y

cuando utili+ar una permutacin al momento de querer cuantificar los elementos

de alg!n eento.


18/19

Permutaciones

#s todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posicin que

ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

Com%inaciones

#s todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posicin

que ocupa cada uno delos elementos que constituyen dicho arreglo.

Conclusin

La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar

objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultio y en

otras ocasiones en palabras como hato, rebao, piara, parcelas, campesinado,

familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una coleccin de elementos

claramente entre s, que guardan alguna caracterstica en com!n. \a sean

n!meros, personas, figuras, ideas y conceptos.


19/19

#n matemticas el concepto de conjunto es considerado primitio y ni se da

una definicin de este, sino que se trabaja con la notacin de coleccin y

agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitias las

ideas de elemento y pertenencia.

La caracterstica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es

decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto.

*or ejemplo si se considera el conjunto de los n!meros dgitos, sabemos que el >

pertenece al conjunto, pero el 1 no. *or otro lado el conjunto de las bellas obras

musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan

incluir distintas obras en el conjunto.

Documents

Trabajo Para Logica