RODRGUEZ, RAFAEL HUGO
Anlisis Numricos 2011 -TP 2
TRABAJO PRCTICO N 2 EJERCICIO 1 Suponga que se tiene que se
tiene que medir la longitud de un clavo y de una viga para un
edificio y se obtiene 8cm y 8998cm respectivamente. Si los valores
verdaderos son 9cm y 8990cm respectivamente. Calcule a) el error
verdadero y b) el valor relativo porcentual en cada caso. a) El
error verdadero para el clavo es: Ev = valor verdadero - valor
aproximado Ev = 9cm - 8cm = 1cm El error verdadero para la viga es:
Ev = valor verdadero - valor aproximado Ev = 8990cm - 8998cm =
-8cm
b) El valor relativo porcentual para el clavo es: ev = (Ev/valor
verdadero) * 100% Ev = (1cm/ 9cm) * 100% = 11,11% El valor relativo
porcentual para la viga es: ev = (Ev/valor verdadero) * 100% Ev =
(8cm/ 8990cm) * 100% = 0,08%
EJERCICIO 2 Estimacin de error con mtodo iterativo. Calcular la
funcin exponencial ex para x=0,4 y con 3 cifras significativas
usando la serie de Mclaurin: ex = Se solicita: a) Construir una
tabla con los trminos de la serie que contenga: el resultado de
cada trmino, el error relativo porcentual t y el error relativo
porcentual a un valor aproximado a. b) Determinar el nmero del
trmino necesario para cumplir con el criterio de error |a | < s.
s = (0,4 x 102-3) % = 0,04% Termino 1 2 3 4 5 6 Resultado 1 1,4
1,48 1,49 1,49106 1,49108 Ev% 32,967 6,155 0,792 0,122 0,055 0,049
Ea% 28,571 5,495 0,671 0,067 0,001 1
RODRGUEZ, RAFAEL HUGO
Anlisis Numricos 2011 -TP 2
EJERCICIO 3 Elabore un programa de computador que resuelva la
ecuacin cuadrtica general ax2 + bx + c = 0 (an en el caso de races
complejas), usando aritmtica finita y que intente evitar la prdida
de cifras significativas en el clculo de las races. Calcular las
races de una ecuacin cuadrtica con: a=1 B=3000,001 c=3 Las races
verdaderas son: X1= -0,001 X2= -3000 a) Calcule la cota del error
cometido en los distintos pasos del clculo. b) Calcule el error
relativo porcentual comparndolo sus resultados con las races
verdaderas. c) Proponga una formulacin alternativa que reduzca el
error. CODIGO EN JAVA//EJERCICIO N 3 - MTODOS NUMRICOS - PROGRAMADO
EN JAVA public class Ejercicio3 { public static double
getDecimal(int numeroDecimales,double decimal)//Funcin para truncar
el valor { decimal = decimal*(java.lang.Math.pow(10,
numeroDecimales)); decimal = java.lang.Math.round(decimal); decimal
= decimal/java.lang.Math.pow(10, numeroDecimales); return decimal;
} public static double[] raices(double a,double b,double c) {
double x1= (-b+ Math.sqrt(Math.pow(b, 2)- 4*a*c))/(2*a); double x2=
(-b- Math.sqrt(Math.pow(b, 2)- 4*a*c))/(2*a); return new double[]
{x1,x2}; } public static void main(String[] args) { double x1;
double x2; double a =1; double b = 3000.001; double c = 3;
System.out.println("x1 = "+ getDecimal(3,Ejercicio3.raices(a, b,
c)[0]));//x1 System.out.println("x2 =
"+getDecimal(3,Ejercicio3.raices(a, b, c)[1]));//x2 } }
SALIDA DE COMPUTADORA
EJERCICIO 5 Dada la serie y su respectiva funcin. Determinar:
Procedimiento de obtencin de la aproximacin, error absoluto, error
relativo, error aproximado porcentual. Concluya.
2
RODRGUEZ, RAFAEL HUGO
Anlisis Numricos 2011 -TP 2
Serie ln x = 2 [ ln x = (2x +1) X = 0,85 Ex = 0,0001
(
)
(
)
]
ln 2,7 = 0,993251773 Valor de la raz
Termino Resultado 1 -0,162162162 2 -0,162517521 3 -0,162518922 4
-0,162518929
ea((AproxActualEt(Valor Verd - Valor et(errorVerd/Valorverd)*10
AproxAnter)/AproActual)*100 Aprox) 0 ) 1,155413935 1,163263904
1,155769294 1,163621677 0,218658885 1,155770695 1,163623088
0,000862053 1,155770702 1,163623095 4,30719E-06
EJERCICIO 6 Emplee la expansin de Taylor de cero hasta tercer
orden para predecir f(2) si ( ) Usando como punto base x = 1.
Calcule el error relativo porcentual verdadero para para cada
aproximacin.
Funcin: ( ) Punto base: x=1 Valor verdadero: ( ) n=0( )
n=1( ) ( ) ( )
70
n=2( ) ( ) ( )
= 138
n=3 3
RODRGUEZ, RAFAEL HUGO
Anlisis Numricos 2011 -TP 2
( ) ( ) ( )
n 0 1 3 4
Error Relativo Porcentual Valor Verdadero Valor Aproximado Error
Verdadero Verdadero 102 -62 164 160,7843137 102 8 94 92,15686275
102 77 25 24,50980392 102 102 0 0
EJERCICIO 7 Utilice aproximaciones en diferencias de O(h) hacia
atrs y hacia adelante y una aproximacin de diferencias central de
O(h2) para estimar la primera derivada de la funcin f(x). Evale la
derivada en x=2 usando un tamao de incremento compare los
resultados con el valor exacto de la derivada. Interprete les
resultados considerando el trmino residual de la expansin en la
serie de Taylor. Funcin: ( ) h=1 xi = 2 xi+1 = 3 xi-1 = 1 Primera
Derivada ( ) Valor verdadero de: xi = 2 ; ( ) xi+1 = 3 ; ( xi-1 = 1
; (( )
102 ) 554 ) -62
Diferencia dividida hacia adelante( )( ) ( )
= %
= 452
v=
Diferencia dividida hacia atrs( )( ) ( )
=
(
)
=164 4
RODRGUEZ, RAFAEL HUGO
Anlisis Numricos 2011 -TP 2
v=
%
Diferencia dividida centrada( )( ) ( )
= %
(
)
= 308
v=
Conclusin: La aproximacin en diferencias centrales es ms exacta
que en las diferencias hacia adelante y hacia atrs.
EJERCICIO 8 Considere la expansin en serie de Taylor de sen (x)
alrededor de x=/4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Valor verdadero:( ) ( )
( )(
)
(
)
( )
( ) (
)
( )
(
)
( )
( )
)
( )
(
) ( )
(
)
(
) (
( (
)( ) (
)
(
(
(
) )
(
(
) )
) )
EJERCICIO 9 Analizar la funcin f(x)=ex. Realice una comparacin
con solucin analtica del paracaidista y concluya.
La expresin ex. Se puede obtener aplicando directamente la
funcin, por ejemplo: e3=20,08553692 o haciendo la expansin ex = e3
=
y la solucin analtica en el caso del paracaidista es:( )
5
RODRGUEZ, RAFAEL HUGO
Anlisis Numricos 2011 -TP 2
si directamente aplicamos la formula analtica del paracaidista
el resultado estar mucho mas lejos que aplicando la expansin de
Taylor ya que esta tiene mucha mas precisin porque los trminos se
desglosan individualmente.
EJERCICIO 10 La aproximacin sen x=x se usa a menudo para |x|
pequeo. Estime, con la ayuda del teorema de Taylor, el erro de
truncamiento al usar esta frmula. Para que rango de calores de x de
esta aproximacin de resultados con una precisin de por lo menos
seis cifras decimales exactas? rango=1,2,3,4 Seno(1)=0,017452406
Seno(2)=0,034899496 Seno(3)=0,052335956 Seno(4)=0,069756473 valor
verdadero
( )
( )
( )(
)
(
( )
(
) )
(
( )
(
) )
6
