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¿Vale la pena jugar? Un paseo por la

combinatoria y las probabilidades

elementales

Fran Tamayo Ordóñez

2º Bachillerato

Tutora: Carme Vidal

2014-2015

Trabajo de investigación

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ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN

2. HISTORIA DE LA PROBABILIDAD

2.1. Los primeros juegos de azar

2.1.1 Las Tabas

2.1.2 Los Dados

2.2. Precursores de la teoría de la probabilidad

2.2.1 Luca Paciolli

2.2.2 Girolamo Cardano

2.2.3 Niccolo Tartaglia

2.2.4 Galileo Galilei

2.3. Nacimiento de la teoría de la probabilidad

2.3.1. Blaise Pascal y Pierre de Fermat

2.3.2. Christiaan Huygens

2.4. Desarrollo de la teoría de la probabilidad

2.4.1. Primeras investigaciones en demografía

2.4.2. Primeras definiciones de la probabilidad

2.4.3. Formalización de teoremas básicos de la probabilidad

2.4.3.1. Teorema de la suma.

2.4.3.2. Teorema de la multiplicación.

2.4.3.3. Teorema de Bayes.

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2.4.4. Los teoremas del límite

2.4.4.1. La Ley de los Grandes Números.

2.4.4.2. Teorema Central del Límite.

2.4.5. El problema de la “ruina del jugador”

2.4.6. La paradoja de San Petersburgo

2.5. La probabilidad moderna

2.5.1. La teoría de la medida de errores

2.5.2. La formación del concepto de variable aleatoria

2.5.3. Interpretaciones y aplicaciones de la probabilidad

3-El azar y la probabilidad

3.1. Relación con otros ámbitos matemáticos

3.1.1. Probabilidad, estadística i combinatoria

3.1.1.1. Estadística.

3.1.1.2. Combinatoria.

3.2. Aproximación al concepto de probabilidad

3.2.1. Introducción

3.2.2. Definiciones diversas

3.2.2.1. Definición del Diccionario de la lengua castellana.

3.2.2.2. Definición clásica de probabilidad

3.2.2.3. Definición de Laplace.

3.2.2.4. Definición axiomática de probabilidad

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3.3. Elementos de la probabilidad

3.3.1. Conceptos básicos

3.3.1.1. Tipo de experimentos

3.3.2. El lenguaje de los sucesos

3.3.2.1. Introducción a los conceptos

3.3.2.2. Tipo de suceso

3.3.2.3. Relación entre sucesos

3.3.2.4. Operaciones con sucesos

3.3.2.5. Propiedades de la unión e intersección de sucesos

3.4. Probabilidad de sucesos

3.4.1. Frecuencias y propiedades

3.4.1.1. Frecuencia absoluta

3.4.1.2. Frecuencia relativa.

3.4.2. Probabilidad de un suceso

3.4.2.1. Probabilidad de sucesos equiprobables

3.4.2.2. Propiedades de la probabilidad

3.5. Introducción a la probabilidad condicionada

4-Introducción al experimento aleatorio

4.1. Bases de los experimentos aleatorios

4.1.1. Introducción

4.1.2. La física de los experimentos aleatorios

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4.1.2.1. Factores

4.2. Un juego de azar clásico 

4.2.1. Introducción

4.2.2. Material, hipótesis, objetivos y pautas de trabajo

4.2.2.1. Material utilizado para el experimento aleatorio

4.2.2.2. Objetivo de la experiencia

4.2.2.3. Propuesta de Hipótesis

4.2.2.4. Pautas de trabajo

4.2.4. Lanzamientos de los dados y recopilación de datos

4.2.4.1. El dado cotidiano o “de juego de mesa”

4.2.4.2. El dado de casino

4.2.4.3. El dado electrónico

4.2.5. Conclusión del experimento

5- Referencias

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Pla de Treball: Treball de Recerca

Introducció Val la pena jugar? Un passeig per la combinatòria i les probabilitats elementals

Objectius -Definició probabilitat- Historia (estudis, teories, etc)- Com calcular probabilitats-Probabilitats de guanyar en cada joc d’atzar (poker, BJ, ruleta,etc)-Fer la conclusió de si val la pena o no jugar en els diferents jocs.

Motivació personal

Com hi ha un munt de gent que juga en aquests jocs i es deixa els diners, m’agradaria veure si hi ha una ínfima possibilitat de guanyar en aquests jocs amb l’ajuda de les mates.

Índex -Definició probabilitat-Historia-Diferents teories, estudis-Com calcular probabilitats-Estudi que he fet amb cada joc-Conclusions

Fonts d’informació

-Llibre: Slansky’s Theory of Poker-http://estudiosestadisticos.ucm.es/data/cont/docs/12-2013-02-06-CT01_2011.pdf

Metodologia La meva manera d’aprendre i de fer aquest treball serà amb l’ajuda d’una amiga meva que es a la universitat i s’especialitza en això, amb estudis ja fets, llibres i informació que trobi via Internet.

Planificació 1ªQuinzena 2ªQuinzenaMaig Buscar informació

del temaPreparació del pla de treball

Juny Estudiar i aprendre càlcul de probabilitats bàsic

Estudiar i aprendre més a fons sobre el càlcul de probabilitats

Juliol Introduir aquests coneixements als jocs d’atzar

Extreure les dades obtingudes, fer un estudi i una conclusió

Agost Començar el treball escrit

Continuar amb el treball escrit

Setembre Acabar el treball escrit

Revisar treball escrit, veure i ficar el que m’hagi oblidat

Octubre Ensenyar-li el treball a la meva amiga i em doni uns consells per millorar el treball escrit i fer l’exposició oral

Començar a fer la presentació

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Novembre Acabar la presentació

Fer la presentació entendible per a tots els públics

Desembre Aprendre el que tot el que he de dir en la exposició oral i fer-me un guionet

Revisar per última vegada el treball (escrit i presentació), fer els últims retocs

“Nada sucede por casualidad, en el fondo las cosas tienen su plan secreto, aunque nosotros no lo entendamos”

Carlos Ruiz Zafón

0. AbstractÉste trabajo de investigación contiene algunas partes más simples y otras más complejas. Principalmente, lo que esperaba de mi trabajo era, en primer lugar, informarme sobre la rama de las matemáticas que estudia el azar y la probabilidad. Así, como si de una materia más se tratara, empecé a buscar información que yo (con mi nivel de matemáticas) pudiera descifrar. Qué científicos se interesaron por la materia en sus inicios, qué otros ayudaron a hacerla crecer, cuáles la formalizaron y finalmente cuál es la parte que nosotros conocemos y aplicamos.Por otro lado, me propuse de hacer una parte práctica, que me permitiera aplicar muchos de los conceptos que iría aprendiendo a nivel teórico.

Aquest treball de recerca conté algunes parts més simples i altres més complexes. Principalment, el que esperava del meu treball era, en primer lloc, informar-me sobre la branca de les matemàtiques que estudia l'atzar i la probabilitat. Així, com si d'una matèria més es tractés, vaig començar a buscar informació que jo (amb el meu nivell de matemàtiques) pogués desxifrar. Quins científics es van interessar per la matèria en els seus inicis, quins uns altres van ajudar a fer-la créixer, quins la van formalitzar i finalment quin és la part que nosaltres coneixem i apliquem.D'altra banda, em vaig proposar de fer una part pràctica, que em permetés aplicar molts dels conceptes que aniria aprenent a nivell teòric.

This research paper contains some simpler parts and more complex ones. Mainly, that my work was expected, in the first place, inform me about the branch of mathematics that studies the chance and probability. As if it were one matter more, I started to look for information that I (with my level of mathematics) could decrypt. What scientists were interested in the matter in the beginning, which helped make it grow, which formalized it and finally what is the part that we know and apply. On the other hand, I decided to do a practical part, which would allow me to apply many of the concepts that would be learning at the theoretical level.

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1. Introducción

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Lo primero que hice fue estructurar mi trabajo de investigación en tres bloques o partes, como se prefiera. Los dos primeros bloques, contendrían información más bien teórica, en cambio el último abrazaría las prácticas que yo quería llevar a cabo. Decidí afrontar el conjunto del trabajo desde tres puntos de vista muy diferentes, correspondientes a cada uno de los bloques. Por un lado planteé la historia de la probabilidad. En un segundo bloque, expuse algunos de los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad actual. Y el último quise dedicarlo a la práctica.

2. Historia de la probabilidadLos historiadores están en completo desacuerdo sobre cuál fue el inicio de la teoría de la probabilidad, algunos creen que fueron Luca Pacioli, Tartaglia y Cardano, pero ellos no definieron la teoría de la probabilidad solo resolvieron problemas de juegos de azar que luego dieron lugar a ella. La idea comúnmente aceptada es que la teoría de la probabilidad fue creada en el siglo XVII por Blaise Pascal y Pierre Fermat.

2.1. Los primeros juegos de azar

Desde tiempos inmemorables el hombre ha jugado con la probabilidad para divertirse o incluso para ganar dinero. En este apartado del trabajo hablaremos de los primeros juegos de azar. ¿Eran tan perfectos como ahora o tenían sus trucos?

2.1.1. Las tabas

Las tabas son huesos del talón de algunos animales llamados astrágalos. La taba se empezó a jugar en la época de los antiguos egipcios pero de lo que se conserva más información es desde la civilización Griega (500 a.C.).

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Nombre con el cual se denominaba a cada una de las caras del hueso

En sus inicios en la época griega la taba se usaba como un método adivinatorio, al cual le pusieron el nombre de astragalomancia. Se usaba para prever el tiempo y también en algunos rituales de carácter religioso.

Los romanos también jugaban a las tabas, las llamaban alea. Los niños romanos se divertían con el juego pero los adultos, a diferencia de los griegos, la usaban para apostar.

El juego de la taba tiene muchas modalidades, de las cuales se distinguen las que son de habilidad y las que son de azar. La modalidad de habilidad consistía en lanzar una taba al aire y antes de tocar el suelo se debían colocar otras cuatro en sus distintas posiciones, tal como se ve en la imagen (imagen 1).

Una de las modalidades que son de azar consiste en tirar la taba varias veces y ganaba quien sumaba la puntuación más alta. Como se puede apreciar en la imagen (imagen 1), el hueso de la taba tiene 4 caras desiguales, a las que se daba puntaciones de: 1, 3, 4, 6.

2.1.2. Los dados

Existen varias teorías acerca del origen de los dados pero la más antigua nos remonta hasta Egipto 2.600 años antes de Cristo. Los dados de aquella época no eran muy perfectos ya que los instrumentos que utilizaban para hacerlos eran muy rudimentarios y eso hacía que las probabilidades que salieran algunos números eran más altas que otros.

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Otra teoría acerca del origen de los dados nos dice que el juego proviene de las Cruzadas del siglo XII. Tropas inglesas asediaban el castillo llamado Hazart, este nombre es el que pusieron al pasatiempo de los dados.

En cualquier caso el juego de los dados ya se había extendido por toda Europa durante el siglo XVII, y se podían encontrar jugadores en cada taberna y posada de todo el continente. Desde aquí paso a América y allí se le dio el nombre de craps.

En el siglo XIX se produjo un cambio en la dinámica del juego de los dados.

John H. Winn invento el juego tal como lo conocemos actualmente y creó el tapete donde se introducirían las apuestas, el conocido “dibujo de Philadelphia”.

En el siglo XX, durante la Primera Guerra Mundial se podían encontrar soldados de los dos bandos jugando a los dados. De aquí le viene la fama de que se podía jugar a los dados prácticamente en cualquier sitio.

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2.2. Precursores de la teoría de la probabilidad

Uno de los primeros precursores de la probabilidad fue Richard de Fournival (1200-1250), filósofo y trovador francés que escribió el libro De Vetula. Donde postula sin demostrar empíricamente que el número de combinaciones posibles que se crean al lanzar tres dados son 216. Actualmente esto con un ordenador se puede hacer fácilmente pero en aquella época no era nada trivial, otros matemáticos fallaron al calcularlo por no tener en cuenta las distintas permutaciones de un mismo número.

2.2.1. Luca Pacioli

“Donde no hay orden hay caos”

Luca Pacioli

El segundo precursor que cabe destacar es Luca Pacioli (1445–1517), fue un fraile franciscano que en 1487 abordo uno de los problemas más importantes del reparto de las apuestas, es decir, la distribución de las ganancias a los jugadores cuando la partida se interrumpía antes de terminar. Para ello propuso un problema en particular:

Un juego de pelota en el cual se necesitan 60 puntos para ganar. El premio a repartir

es de 22 ducados. Por algún motivo el juego se interrumpe y un jugador se queda

con 50 puntos y el otro con 30. Que partición del premio le pertenece a cada uno?

La solución de Pacioli usa lo siguientes cálculos 5/11 + 3/11 = 8/11

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8/11, equivale a 22 ducados, por lo tanto al bando que va ganando le corresponden 5/11 de 22 ducados y al bando que va perdiendo le corresponden 3/11 de 22 ducados. Más tarde por parte de Girolamo Cardano y Niccolo Tartaglia se vio que la solución dada por Pacioli era errónea porque no era equitativa y estaba mal calculada.

2.2.2. Girolamo Cardano

“A muchos perjudica la carencia de medios, como me ocurrió a mi cuando en mi pobreza me vi obligado a ensenar matemáticas. No ignoraba, en efecto, cuanto prestigio perdía yo por eso en el terreno de la medicina”

Girolamo Cardano

Girolamo Cardano (1501-1576) escribió el libro Liber de ludo aleae (libro de los juegos de azar) publicado póstumamente en 1663 aunque se cree que él lo escribió en 1526. En este libro Cardano define esta expresión:

rn/tn-r

Para medir la probabilidad de ganar un juego.

t son los casos iguales posibles

r son los casos favorables

n son las veces en que se repite un juego

Cardano, al igual que Pacioli, también se ocupo del problema del reparto de apuestas y llego a la conclusión que Pacioli estaba equivocado.

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Girolamo afirmo que Pacioli estaba equivocado porque solo contaba el número de juegos ganados por los dos participantes y no contaba el número de juegos que tenían que ganar. La solución que propuso fue esta:

Parte de equipo 1 / Parte de equipo 2 = 1+2+...+(n-b) / 1+2+...+(n-a)

n es el número total de puntos a jugar.

a y b son los puntos ganados por el equipo 1 y el equipo 2 respectivamente.

Esta expresión da la proporción correcta para el caso particular expuesto por Pacioli, no para todos los casos en general.

2.2.3. Niccolo Tartaglia

Niccolo Tartaglia (1499-1557) criticó la solución dada por Pacioli poniendo el ejemplo que si un jugador había conseguido 10 puntos y el otro 0, utilizando el método de Pacioli el premio le correspondería totalmente al primer jugador descartando toda posibilidad de remontada al segundo jugador. Como eso no tenía ningún sentido, Tartaglia propuso que al jugador que vaya ganando, se le tenía que dar su apuesta más la parte proporcional que le tocaba por los puntos que había conseguido, el resto le tocaba al otro jugador.

Esta es la expresión que usó

(P/2)P·((a-b) / n)

P es el premio total

a son los puntos del jugador que va ganando

b puntos del jugador que va perdiendo

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n puntos necesarios para ganar

± Según si el jugador va ganando o va perdiendo

La idea de Tartaglia se ve claro con el ejemplo de Pacioli:

(P/2)P· ((a-b) / n) = (22/2)22·((50-30) / 60) = 18,33 / 3,66

Por lo tanto el jugador A recibe 18,33 ducados y el jugador B recibe 3,66.

Tartaglia se basaba en la ventaja que ejercía un jugador frente al otro en el momento en que se interrumpía un juego. Tartaglia no quedo muy convencido de su solución y dejó claro que desde el punto de vista matemático la solución no era exacta porque las soluciones podían dar resultados con decimales periódicos, pero para repartir equitativamente las apuestas, era buena.

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2.2.4. Galileo Galilei

Galileo Galilei (1564-1642) fue uno de los principales científicos del siglo XVII, de hecho se lo considera uno de los padres de la física y la astronomía modernas, teniendo en cuenta las grandes aportaciones que hizo en estos campos científicos como también en las matemáticas.Galileo también se ocupó de encontrar soluciones coherentes en los problemas propuestos por sus precursores respecto al reparto de apuestas y las querencias de dados. Así, en uno de sus libros titulado «Sobre las puntuaciones en lanzamiento de dados», Galileo aborda, por ejemplo, como calcular el número de resultados posibles al lanzar tres dados. A pesar de ya era conocido el resultado (216 resultados diferentes), Galilei fue el primero al llegar al resultado con el simple cálculo de 63=216. También propuso maneras diversas de saber qué combinaciones de dados eran más probables y cuántas formas diferentes de adquirirlas existían.No obstante, la aportación más importante de Galileo Galilei a la fundamentación de las primeras teorías probabilísticas fue el que él mismo denominó la teoría de la medida de errores.Galileo postuló que los errores de medida sueño inevitables y clasificó estos errores en dos tipos: los errores sistemáticos (fruto de la imprecisión del método o los enseres de medida) y los errores aleatorios. Esta clasificación, de hecho, sigue vigente en la actualidad. También observó que los errores pequeños son más probables que los grandes y que la mayoría de las medidas dan valores cercanos a la certeza.Con estos y otros muchos estudios, Galileo contribuyó a las primeras teorías de la probabilidad, y también fijó los pilares de la estadística moderna.

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2.3- Nacimiento de la teoría de la probabilidad

2.3.1. Blaise Pascal y Pierre de Fermat

La primera teoría de la probabilidad surgió como fruto de la compenetración de dos intelectuales franceses del siglo XVII: Blaise Pascal (1623–1662) y Pierre de Fermat (1601-1665). Estos encontraron, de forma independiente y paralela, respuestas matemáticas por varios problemas que se los planteó.El año 1654, ambos científicos mantuvieron correspondencia, proponiéndose mutuamente innovadoras formas de abordar los problemas, nuevos métodos que se fueron reafirmando a medida que los intelectuales los pusieron en práctica y verificar paralelamente.El gran adelanto se dio cuando B.Pascal y P.de Fermat consiguieron sacar el intríngulis de algunas incógnitas que los propuso Antoine Gombaud, «Ca-valler de Méré», sobre el reparto de apuestas. Los dos lograron conclusiones correctas por separado, y el acierto de ambos científicos fue darse cuenta que el reparto de las ganancias se tenía que hacer en función de la probabilidad de ganar de cada jugador en el momento de la interrupción. A pesar de que esto ahora pueda parecer una cuestión trivial, en aquellos tiempos no lo era, y tan un científico como el otro tuvieron que servirse de procedimientos matemáticos complejas para encontrar soluciones coherentes en el problema. De hecho, fue tan concreto el método que encontraron, que Pascal, por ejemplo, no supo resolver el mismo problema cuando se le planteó con tres o más jugadores. Dejando de lado el que Pascal y Fermat no llegaron a plantear correctamente, estos científicos hicieron aportaciones de gran importancia a los campos matemáticos de la combinatoria, la estadística, y sobre todo a la rama que se fue asentando con el nombre de probabilidad y azar. Los dos intelectuales iniciaron sus estudios a partir de problemas cotidianos aparentemente sencillos. A pesar de que las conclusiones que formularon fueron complejas (y también bastante acertadas desde el punto de vista actual), los dos científicos escribieron obras y tratados de cariz concreto, sin hacer publicaciones genéricas de los completos estudios que habían llevado a cabo con eficacia.

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Veamos como ejemplo el último de los problemas históricos que propuso Meré y que resolvieron Pascal y Fermat: “El juego consistía al lanzar 24 veces un par de dados y el problema era decidir si se el mismo apostar a favor o en contra de la aparición de al menos un seis doble.”

Solución:A= {No sacar un seis doble en una querencia de dos dados}, P(A)=35/36P(A y A y A………24 veces….y A)= (35/36)24Este número equivale a 0´5086 y por lo tanto la probabilidad del suceso contrarioes 1- P(A y A y A….......24 veces….y A)= 1- 0´5086 = 0´491.

2.3.2. Christiaan Huygens

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A diferencia de Pascal y Fermat, Christiaan Huygens (1629-1695) si dejó por escrito parto de sus deducciones en relación con la probabilidad y el azar.El intelectual holandés basó sus deducciones en los estudios previos de Pascal y Fermat, dando así cierta continuidad y evolución a las teorías tan relevantes de estos dos predecesores.Pascal y Fermat habían empezado a dar a conocer y a poner en práctica estas “soluciones” relativas a los juegos de azar de la época, hecho que incitó a Huygens (de forma indirecta, en un viaje que este realizó en París y que lo puso en contacto con científicos que trataban cuestiones de azar propuestas por B.Pascal y P.de Fermat.) a iniciar un exhaustivo estudio en cuanto a la resolución de los problemas en juegos de azar. Este estudio, que dejó por escrito en su obra «Sobre los razonamientos relativos a los juegos de dados», introduce por primera vez el concepto de esperanza matemática para variables aleatorias que toman dos o tres valores.Junto con esta aportación fundamental, Huygens también propuso formas de resolución para los problemas iniciados por Pascal y Fermat, pero además el holandés llevó los casos a situaciones todavía más complejas (introduciendo un hipotético tercer jugador en el juego, etc), aportando no tan sólo una solución a los problemas tratados, sino también una metodología capaz de dar soluciones precisas para gran parte de los problemas de azar propuestos hasta entonces.

2.4. Evolución de la teoría de la probabilidad

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2.4.1. Primeras investigaciones en demografíaHacia mediados del siglo XVII, surgen los primeros intelectuales que dejan de banda “la insignia” de los estudios probabilísticos de la época: los juegos de azar, para centrarse en el que empezó para denominarse política aritmética y que actualmente conocemos como problemas sobre demografía.El primero estudioso que se centró en la demografía y en los problemas de probabilidad y azar que se derivan de este ámbito fue el comerciante inglés John Graunt (1620-1675), que centró sus estudios a encontrar un método preciso para estimar la media de edad de los habitantes de Londres mediante la edad de defunción. Con esto introdujo el concepto de frecuencia de un suceso, remarcando el grado de aleatoriedad presente en las proporciones obtenidas. También trató otros problemas de demografía, como el de encontrar la relación entre la natalidad masculina y la femenina de Londres (que resultó ser 14:13, respectivamente).Aun así, la aportación más relevante del británico fue una observación muy concreta: cuantas más observaciones hacía más precisos eran los resultados, anticipando así el principio matemático de la estabilidad de las medias.

2.4.2. Primeras definiciones de la probabilidadPodemos decir que las definiciones iniciales de la probabilidad surgieron cuando se fueron dejando de banda los casos particulares para empezar la investigación de teorías generales e inmutables.En este proceso, que ya inició Christiaan Huygens en el transcurso de su carrera, se encontraron las primeras definiciones de probabilidad. El primero a dar una definición formal del concepto fue el suizo Jakob Bernoulli (1654–1705), que en su libro «El Arte de la conjetura» , donde explicó en términos más o menos modernos la definición de probabilidad que consiguió.Unos años más tarde, el francés Abraham De Moivre aceptó la definición de su predecesor y la reformuló diciendo algo así: “(Probabilidad): Una fracción en la que el numerador es igual al número de apariciones del suceso y el denominador es igual al número total de casos en los cuales lo dicho suceso pueda y no ocurrir. Esta fracción expresa la probabilidad que el suceso ocurra.”Otra gran aportación de Bernoulli fue que dedujo la forma de encontrar la probabilidad de un suceso a pesar de la imposibilidad de contar los casos favorables. Para hacerlo el francés se basó en el recuento de resultados que le eran favorables fachada a los que le eran adversos a posteriori (es decir, después de que el suceso hubiera tenido lugar). De este modo introdujo el concepto de probabilidad frecuentista o estadística.

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John Graunt Abraham de Moivre Jakob Bernoulli

2.4.3. Formalización de teoremas básicos de la probabilidadDurante primer cuarto del siglo XVIII se propusieron, desarrollaron y formalizaron el que actualmente se denominan los teoremas de la probabilidad clásica. Estos teoremas, que principalmente son tres (y los postulados que se derivan), fueron propuestos por varios autores de este siglo.A pesar de esto ni Pascal ni Fermat ni Huygens fueron capaces de idear estos teoremas, sí es cierto que los teoremas aparecen de forma implícita en las resoluciones de estos autores y utilizados de forma correcta.Los tres principios fundamentales, son los siguientes:

- 2.4.3.1. Teorema de la suma. El teorema de la suma fue correctamente aplicado por Pascal y también Bernoulli lo desarrolló sin encontrar respuesta en las paradojas que surgían de su aplicación. Fue finalmente Thomas *Bayes (1702-1761) quién formuló el teorema de la suma de probabilidades y también quién enunció la fórmula que actualmente sigue vigente.

- 2.4.3.2. Teorema de la multiplicación. Al igual que el teorema anterior, la multiplicación de probabilidades era ya conocida por casi todos los científicos anteriores, a través de resultados concretos. No obstante, fue Abraham De Moivre el primero que lo postuló rigurosamente.Así, en la suya obra «Doctrina de las probabilidades» el autor introdujo y escribir de esta forma la definición de sucesos independientes: “Diremos que dos sucesos son independientes si uno de estos no tiene ningún tipo de relación con el otro”, y también la de sucesosdependientes: “Dos sucesos son dependientes si la probabilidad de ocurrir de uno de ellos influye en la probabilidad de ocurrir del otro.”Con esta deducción, que más tarde se enunciaría en términos matemáticos y que sería empleada en muchos problemas y ejemplos del autor, De Moivre asentó una relación matemática entre los diversos sucesos (dependientes o independientes), el que actualmente se conoce como teorema de la multiplicación.

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- 2.4.3.3. Teorema de Bayes. Los fundamentos que propuso De Moivre obtuvieron una gran difusión, hecho que indujo a otros científicos a ampliar algunos de los teoremas que este y otros intelectuales habían ido desarrollando. Bayes, alumno de De Moivre, expresó la probabilidad condicional en función de la probabilidad de la intersección. De todos modos, el honor del teorema que trae su nombre no es únicamente suyo, puesto que fue Pierre-Simon Laplace (1749- 827) quién desarrolló gran parte del teorema en su «Experiencia con la filosofía de la teoría de la probabilidad».Laplace aplicó el teorema a problemas de mecánica celeste, la estadística médica y, incluso, a la jurisprudencia. Al igual que los otros dos teoremas, el Teorema de Bayes ya era usado anteriormente, aunque nunca antes había sido formulado.

Thomas Bayes Pierre-Simon Laplace

2.4.4. Los teoremas del límite

- 2.4.4.1. La Ley de los Grandes Números. Jakob Bernoulli era consciente que las frecuencias observadas se iban acercando a la probabilidad “real” de un suceso a medida que aumentaba el número de repeticiones del experimento. Aun así, Bernoulli quería encontrar una prueba científica que corroborara que se podía aumentar la precisión de un cálculo probabilístico aumentando el número de observaciones.También buscó la prueba que le permitiera calcular explícitamente cuántas observaciones (o repeticiones) eran necesarias para garantizar unos valores dentro del intervalo aproximado de la solución verdadera. El experimento, que consiste a repetir una prueba (con una probabilidad de éxito fija) un gran número a veces, recibió el nombre de Experimento de Bernoulli.Bernoulli aportó también una gran observación que derivó en conceptos trascendentales para el estudio de la probabilidad. Esta observación fue la de darse cuenta que dentro de la vida real, la certeza absoluta (probabilidad=1) se casi inabarcable y la imposibilidad total (probabilidad=0) casi inexistente. Así, Bernoulli deriva estos dos polos opuestos a nuevos conceptos más prácticos por el que hace los cálculos: la certeza absoluta es denominada “certeza moral” (correspondiente a una probabilidad > 0’999) y las probabilidades < 0’111 reflejan resultados “moralmente imposibles”.De hecho, fue para determinar la certeza moral de un suceso que Bernoulli

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formuló la Ley de los Grandes Números. Para hacerlo, se propuso un experimento cómo este:

Teniendo una urna con 30000 bolas blancas y 20000 de negras y, sin sabercuántas bolas de cada hay a la urna, se quiere saber la proporción entre ambostipo de bolas, sacándolas una a una, anotando el resultado y reintroduciéndolas a la urna.

Bernoulli obtuvo que eran necesarias 25.550 observaciones para determinar la proporción moralmente cierta. La intuición le decía que no hacían falta tantas de observaciones, y decidió no publicar sus conclusiones en su libro.Fue su sobrino, Nicklaus Bernoulli (1687-1759), que aplicó los mismos parámetros pero con datos de 14.000 nacimientos de niños y niñas llegando a la inesperada conclusión que la proporción total se decantaba hacia los niños en 18:17.Esta conclusión fue confirmada años más tarde por Laplace.

- 2.4.4.2. Teorema Central del Límite. Este teorema surgió fruto del anterior, y las diversas conclusiones matemáticas que se lograron fueron gracias a la complementación mutua de varios científicos, entre los que destacan Bernoulli, que asentó las bases de los Grandes Números y propuso ejemplos diversos que resolvió de forma imprecisa; De Moivre, que fue capaz de encontrar una expresión matemática compleja que respondiera de forma fiable algunos enigmas de Bernoulli (pero que dejó de banda valores que le eran desconocidos); y finalmente James Stirling (1692–1770) que descifró algunos de los términos que encara no se habían introducido coherentemente en el lenguaje matemático y los empleó satisfactoriamente.

James Stirling

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2.4.5. El problema de la “ruina del jugador”El problema de la ruina del jugador tuvo un papel crucial en el desarrollo de la teoría de la probabilidad, pues era extraordinariamente complicado para la época y exigió en su momento la creación nuevos métodos para resolverlo. Fue propuesto por primera vez por Huygens en su libro y consta del siguiente enunciado:

Los jugadores A y B tienen a y b francos, respectivamente. Después de cada juego, el ganador toma un franco al perdedor. La probabilidad de ganar de A se p y la de B se q = 1-p. ¿Cuál es la probabilidad pa que el jugador A arruine totalmente al jugador B?

Pues bien, este problema, de apariencia sencilla, llamó enormemente la atención y propició enseguida que la mayoría de científicos célebres de la época se implicaran. Fue el caso de Jakob y Niklaus Bernoulli, De Moivre y Laplace. Los resultados obtenidos por estos matemáticos demostraron que eran capaces de afrontar problemas de sucesos muy complicados y que manejaban hábilmente los teoremas de la suma, la multiplicación y la probabilidad total, incluso antes de ser formulados.La solución “matemática” la encontraron De Moivre y Bernoulli independientemente, y era la siguiente:

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2.4.6. La paradoja de San PetersburgoUna vez asentadas las bases del concepto probabilístico de la esperanza matemática, la idea general de la época era que la manera más razonable de tomar una decisión (siempre y cuando involucrara probabilidades) era optar por aquella que tuviera mayor esperanza.Esta postura quedó desacreditada cuando en 1713 Nicklaus Bernoullipropuso el siguiente juego:

El jugador A tira una moneda. Si sale la primera cara a la primera querencia, paga 2 ducados al jugador B, si sale la primera cara a la segunda querencia 4 ducados, y así si la primera cara sale a la enésima querencia paga 2n ducados. ¿Cuánto pagaría el jugador B a la A para jugar a este juego?

Calculando la esperanza matemática, los ingresos de B serían infinitos. No obstante, la probabilidad de ganar (o no ganar) 2 ducados es de 1 a 1, en cambio, la de ganar 10 es de 1 fachada 7.Este ejemplo fue conocido como paradoja de San Petersburgo, para ser esta la ciudad donde discutieron la cuestión Nicklaus Bernoulli y su hermano Daniel Bernoulli (1700-1782), que puso de manifiesto que la opción más razonable no es siempre la solución matemática más correcta. También con esta paradoja se introdujo el concepto de esperanza moral diferenciándolo del ya empleado esperanza matemática.

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2.5. La probabilidad moderna

2.5.1. La teoría de la medida de erroresLa teoría de la medida de errores fue iniciada por Galileo Galilei y continuada por otros muchos científicos, en gran parte astrónomos, como, por ejemplo, Ticho Brahe (1546–1601), que encontró que cada medida tiene un posible error y que la precisión de la medida puede aumentar si se realizan varias acotaciones y se calcula la media aritmética. Los primeros intentos de construir la teoría de medida de errores aparecieron de la mano de científicos como R. Cotes (1682–1716), T. Simpson (1710–1761) y Daniel Bernoulli. Estos autores mantuvieron ciertas discordancias sobre la clasificación de los errores, la frecuencia y la probabilidad con que ocurren o tienen tendencia a ocurrir, etc.Hay que decir que en esta época la compenetración de los autores en relación a los temas probabilísticos era mucho más grande que en los inicios, y los estudios cada vez progresaban con mayor rapidez. El interés para resolver las cuestiones sobre la probabilidad era colectivo, y es prueba el número de científicos que estudiaron los asuntos de la época:P. Chebyshev (1821–1894), A. Markov (1856–1922), A. Cauchy (1789–1857), Simeon Poisson (1781–1840), K. Gauss (1777–1855) y A. Legendre (1752–1833).De este modo, gracias a Bernoulli, se introdujo en la teoría de la probabilidad la ley de los Grandes Números, uno de los conceptos más importantes en el cálculo de probabilidades, muestreos, etc… y con amplias aplicaciones en muchos campos de la estadística y de las matemáticas y la ciencia en general. Esta ley, además, irá siendo objete de conversaciones entre matemáticos en los siglos siguientes, estando sujeta a constantes estudios, mejoras y ampliaciones hasta prácticamente nuestros días.

A. Markov A. Legendre S. Poisson

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P. Chebyshev T. Brahe T. Simpson

2.5.2. La formación del concepto de variable aleatoria

Es frecuente que en la investigación científica, en estos casos matemáticos, surjan nuevos conceptos de forma espontánea, y muy a menudo esto ocurre antes de que estos mismos conceptos puedan ser comprendidos. Esto pasó con el concepto de variable aleatoria, uno de los pilares fundamentales de la probabilidad moderna. De hecho, este concepto aparecía encubierto en gran parte de los estudios anteriores (Como los de Huygens, que incluyó variables aleatorias inconscientemente en sus estudios o Galileo, que ya habló en su tiempo de errores “aleatorios”).Los primeros pasos para definir las variables aleatorias, pero, los feudo Poisson el 1832. En su libro «Sobre la probabilidad de los resultados promedios de observaciones», no utilizó el término de variable aleatoria pero si habló de “algo” que no se puede entender como un conjunto y de sus correspondientes probabilidades.La palabra ‘variable’ fue utilizada por primera vez por Chebyshev, quien asumió implícitamente que todas las variables aleatorias eran independientes y fue A. Liapunov (1857–1918) el primero al usar sistemáticamente el término ‘variable aleatoria’ y especificó que serían independientes cuando fuera necesario.

A. Liapunov

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2.5.3. Interpretaciones y aplicaciones de la probabilidad

A partir de medios del siglo XIX, la evolución de las teorías probabilísticas ha sido más progresiva y gradual. Un golpe establecidos firmemente los pilares que fundamentan las estructuras de la probabilidad (elementos matemáticos, interrelación de conceptos, variables...) la probabilidad han ido derivando hacia vertientes más prácticas.Así como desde los inicios, las preocupaciones fueron las de buscar extremos como la posibilidad y la imposibilidad, la certeza y la mentira, el asequible y el inabarcable, la teoría y la práctica, la ciencia y la moral; gran parte de los estudios del último siglo y medio han destinado sus esfuerzos a las maneras como se puede interpretar la probabilidad de forma útil (interpretación axiomática, subjetiva, geométrica...) o como puede hacerse útil para problemas e incógnitas tangibles del ser humano (control de calidad, procesos estocásticos, martingalas, etc).

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3-El azar y la probabilidad

3.1. Relación con otros ámbitos matemáticos

3.1.1. Probabilidad, estadística i combinatoriaLa Teoría de la Probabilidad, como todo ámbito matemático, científico y humano, se encuentra íntimamente relacionado con otras ramas, géneros o subgéneros que le son cercanos, con quienes comparte en muchos casos un apoyo común. (En este caso, el matemático)Desde los inicios de la probabilidad, los ejemplos e incógnitas que se iban proponiendo requerían de muchas herramientas (para así denominarlas) para su resolución. En gran parte de los casos era por la enorme complejidad de los experimentos que se pretendía resolver.Por tan, la probabilidad está vinculada de forma directa con la física, la geometría, el álgebra, el cálculo numérico, la lógica, pero sobre todo con la estadística y la combinatoria.

- 3.1.1.1. Estadística. La Teoría de la Probabilidad se encuentra sobre todo relacionada con una parte de la estadística que se denomina estadística aplicada. Como la propia definición de este concepto explicita, la estadística aplicada consiste a la recopilación, análisis, interpretación y representación de datos. Por tan, una aportación esencial de la estadística a la probabilidad es la de un apoyo sobre el cual se permite analizar los datos que han sido recogidas previamente, y la representación de estas de forma instructiva.

- 3.1.1.2. Combinatoria. La combinatoria, como mínimo una parte de esta, incluye el "contar" el número de objetos que satisfacen un criterio (combinatoria enumerativa), decidir cuando este criterio se cumple, y construir y analizar los objetos que lo cumplen.Por lo tanto, como se puede observar repasando el primer bloque de este mismo trabajo, el simple hecho de contar (sobre todo si el conjunto a contabilizar es enormemente grande), es una de las partes más importantes estudiadas y desarrolladas a lo largo de la historia.Para determinar una probabilidad o definir un azar, por ejemplo, es fundamental recopilar y conocer qué conjunto someteremos a observación. También lo es saber cuántos resultados nos favorecen (conjunto de casos favorables) enfrente el total que pueden suceder realmente(conjunto de casos totales).En definitiva, las variaciones, permutaciones o combinaciones acontecen un pilar básico para las operaciones en el ámbito de la probabilidad.

Representación permutativa

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3.2. Aproximación al concepto de probabilidad

3.2.1. IntroducciónA lo largo de la historia se han dado muchas definiciones de probabilidad. Algunos científicos lo hicieron de forma más lingüística y formal, otros de forma más práctica y aplicable y tuvo que otras que simplemente lo expresaron en el lenguaje universal, el matemático.Aun así, en un tiempo ya relativamente reciente se dejó de lado la confrontación (más propia de la investigación del mérito personal que la del colectivo) para pasar a la complementación de las diversas posturas del momento. Este proceso trajo a los intelectuales a encontrar conclusiones muy satisfactorias en aspectos de su investigación.

3.2.2. Definiciones diversas- 3.2.2.1. Definición del Diccionario de la lengua castellana. El diccionario de la enciclopedia castellana define de esta forma la probabilidad:“Concepto que permite de expresar cuantitativamente el carácter aleatoriode un acontecimiento o fenómeno que se cree que puede suceder”, y algo probable de esta otra: “Que tiene más razones en pro que en contra de sucerteza o realización”.

- 3.2.2.2. Definición clásica de probabilidad según la «pequeña enciclopedia de las matemáticas, Ed. Pagoulatos». Esta enciclopedia matemática, que incluye definiciones y explicaciones de gran parte de los ámbitos matemáticos actuales, define la probabilidad así: “Si una *proba puede tener “n” sucesos igualmente posibles y si “m” de estos son favorables a la aparición de un suceso E, la probabilidad que ocurra este suceso E es “m” entre “n”.

- 3.2.2.3. Definición de Laplace. De hecho, la definición anterior no deja de ser una interpretación de la relación matemática encuentro por Laplace el siglo XVII, que expresó de la siguiente forma: “La probabilidad de un suceso se corresponde al número de casos favorables a que ocurra el suceso partido por el número total de casos que pueden suceder.” Cómo veremos más adelante Laplace propuso una expresión matemática para su definición, el que se denomina regla de Laplace.

- 3.2.2.4. Definición axiomática de probabilidad. Cuando la definición clásica de probabilidad no resulta ser muy útil en algunos campos prácticos, surge este otro enunciado, que, según el libro «Modern Mathematics, Ed. Pirámide», dice así: “La probabilidad P de un suceso @E, denotada por P (@E), se define en respecto a un espacio muestral Ω (conjunto de todos los posibles sucesos elementales) de forma que P verifique los Axiomas de Kolmogórov”. -Axioma 1. La probabilidad se una función que a cada valor le asigna un valor no negativo. P(A) ≥ 0 para todo suceso A. -Axioma 2. La probabilidad del suceso seguro es ud. P (Ω) = 1. -Axioma 3. La probabilidad de una sucesión numerable infinita de sucesosdisjuntos se la suma de las probabilidades de cada uno de ellos.

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3.3. Elementos de la probabilidad

3.3.1. Conceptos básicosPara empezar a tratar los conceptos que integran el conjunto de la probabilidad (ya sea elementos que lo forman, operaciones que se efectúan, etc.) hay que hacer distinciones previas.De entrada, hay que hacer una diferenciación entre los diversos tipos de experimentos. Los experimentos, entendidos como forma de entender una realidad concreta a partir de la observación y la posterior interacción con esta, se pueden dividir en muchos grupos, de los cuales ahora expondré dos.

3.3.1.1. Tipo de experimentos:

-Experimentos deterministas o determinados. Este tipo de experiencias consisten en la observación de una determinada realidad que es en cierta medida tangible y deducible, la medida de esta realidad y el posterior análisis, interpretación, clasificación y representación de la información recopilada.La medida de la velocidad de un coche a partir de cálculos físicos (que requieren cierto apoyo matemático, obviamente) en una carretera o dejar caer una bola de plomo al agua, sabiendo que se hundirá, constituyen dos claros ejemplos de este tipo de experiencias.

-Experimentos aleatorios o probabilísticos. Como el nombre ya indica, estosexperimentos u observaciones implican aleatoriedad, que, al fin y al cabo, simboliza la incertidumbre y el azar. Por tan, se puede decir que son experiencias en las cuales se conocen todos los resultados posibles pero no se sabe qué de ellos sucederá. Otra característica es que en estos experimentos, se puede prever (con mayor o menor precisión, pero casi nunca con certeza absoluta) qué acontecimientos tienen más posibilidades de suceder y qué tienen menos. Esta mayor o menor posibilidad se denomina probabilidad.Calcular qué apuesta es más razonable en un juego al casino o prever cuál será la evolución de la cotización en bolsa de una empresa son dos ejemplos que pertenecen a este grupo de experiencias.Un golpe hecho esta división, se puede observar que ambos tipo de observaciones tienen una cierta vinculación con dos grandes formas de entender la realidad. Los primeros, pueden englobarse en el conjunto de la visión empírica de la realidad, basada en todo aquello que es físicamente perceptible y conocido. En cambio, los segundos se asocian más bien con un enfoque filosófico, a la permanente y eterna incertidumbre que rodea todas las cosas.

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3.3.2. El lenguaje de los sucesos3.3.2.1. Introducción a los conceptos

En todo problema de probabilidad y por tan en todo experimento aleatorio, la unidad básica que representa una sola (que, como ya veremos, puede ser posible, segura, etc.) se denomina suceso elemental.-Un suceso elemental es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio E. Hay que destacar que los sucesos elementales son excluyentes entre ellos.

También en todo experimento donde interviene la probabilidad, es necesario conocer el conjunto de todos los resultados posibles. Este conjunto, llamado espacio muestral o universo, es el intervalo que delimita el total de sucesos que pueden ocurrir en el experimento E.-El conjunto de todos los sucesos elementales se conoce como espacio muestral y se representa con la letra Ω.

Dentro de este espacio muestral, encontramos subgrupos o subconjuntos, que no dejan de ser una unión de varios sucesos elementales. Cualquiera de estos subconjuntos dentro del universo se denomina suceso.-Un suceso es la unión de varios sucesos elementales que pertenecen al mismo espacio muestral, y siempre teniendo en cuenta que el suceso (subconjunto) tiene que abrazar un número igual o menor de valores que el universo.

Ejemplo de espacio muestral

3.3.2.2. Tipo de sucesoUn golpe definido el concepto de suceso, entendido como todo subconjunto del espacio muestral, hay que diferenciar entre estos propios sucesos, puesto que no son todos iguales, ni se relacionan todos de igual forma ni representan todos el mismo tipo de realidad.He aquí algunos tipos de sucesos diferentes:

-Suceso seguro. El suceso seguro representa una realidad que siempre se verifica y que siempre ocurre. Por tanto, coincide con el espacio muestral Ω.

-Suceso imposible. Es el opuesto al anterior. Este suceso representa una

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cierta realidad que se encuentra fuera del espacio muestral y que, por tan, no tiene ninguna posibilidad de ocurrir.

-Suceso probable. Es aquel que su probabilidad de ocurrir es más grande que la probabilidad que no ocurra.

-Suceso improbable. Es el opuesto al anterior, aquel que tiene más opciones de no ocurrir que no de hacerlo.

-Suceso equiprobable. Dos sucesos o más son equiprobables cuando tienen las mismas probabilidades de suceder. Cómo veremos más adelante, estos sucesos forman parte de una de las fórmulas más útil e importando de la probabilidad.

3.3.2.3. Relación entre sucesosLos sucesos se relacionan de forma inevitable entre ellos, ya sea porque representan realidades cercanas, opuestas, semblantes o simplemente porque unos representan realidades que se engloban en otros de mayores.No obstante, existen varios tipos de relación que unen y excluyen los diversos sucesos que se proponen.Algunas de estas formas de interrelación se plantean a continuación:

-Sucesos iguales. Dos sucesos A y B son iguales si siempre que se verifica A también se verifica B y al revés. A y B, pues, tienen los mismos puntos muestrales. Por el hecho de ser iguales, a menudo estos sucesos representan la misma realidad.

-Sucesos complementarios o contrarios. (fig.1) Se llama que el suceso A es complementario de B si A contiene todos los elementos de Ω que no pertenecen a B. Es decir, A abraza una parte de la realidad total (universo) y B abraza el resto de esta misma realidad.

-Inclusión de sucesos. (fig.2) Decimos que A está contenido en B si siempre que se verifica A también se verifica B. De todos modos, se diferencian de los sucesos iguales porque en este caso no siempre que se verifica B se verifica necesariamente A.

-Sucesos incompatibles o disjuntos o mutuamente excluyentes. (fig.3) Dados los sucesos A y B, se consideran incompatibles si no contienen ningún punto muestral en común.Por el contrario, serán compatibles si comparten una parte del espacio muestral.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

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3.3.2.4. Operaciones con sucesosEn muchos casos, si no en todos, la resolución de un problema de probabilidad requiere el trabajo constante con los sucesos. Un golpe son conocidos factores como el tipo de suceso o qué relación tiene con otros sucesos hace falta también saber operar con él. A menudo es necesario combinar varios sucesos para formar de más grandes o de más pequeños, o simplemente para encontrar la representación de una realidad concreta que ningún suceso refleja por sí solo.Las principales operaciones con sucesos son las siguientes:

-Unión de sucesos. (fig.4) Dados dos sucesos A y B, la operación unión es otro suceso constituido por todos los elementos que pertenecen al suceso A o al B (como mínimo a uno de estos).

-Intersección de sucesos. (fig.5) Dados dos sucesos A y B, la operación intersección es otro suceso constituido por los elementos comunes en los dos (A y B).

Figura 4 Figura 5

3.3.2.5. Propiedades de la unión y de la intersección de sucesosLas operaciones que acabamos de ver, tienen asociadas una serie de propiedades que facilitan el cálculo y permiten ampliar y mejorar el trabajo con sucesos en un experimento aleatorio. A continuación veremos estas propiedades:

1- Idempotente 2-ConmutativaA ᴗ A = A i A A = A A ᴗ B = B ᴗ A i A B = B A

3- Asociativa 4- Distributiva(A ᴗ B) ᴗ C = A ᴗ (B ᴗ C) A ᴗ (B ∩ C) = (A ᴗ B) (A ᴗ C)(A B) C = A (B C) A (B ᴗ C) = (A B) ᴗ (A C)

5. De los elementos neutros y universales. A ᴗ Ø = A; A Ω = A; A ᴗ Ω = Ω; A Ø = Ø

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7- De la complementación 6- Leyes de MorganA ᴗ Ā = Ω; A Ā = Ø; A = A

3.4. Probabilidad de sucesos

3.4.1. Frecuencias y propiedadesEn todo experimento aleatorio, existe la necesidad de contabilizar los

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resultados: los posibles, los que a la hora de realizar la experiencia ocurren, etc. Es en esta vertiente de la probabilidad que, como ya hemos visto, se incorporan algunos conceptos propios de la estadística útiles para la resolución de problemas. Es el caso de las frecuencias, que recopilan los diferentes sucesos y expresan cuántos golpes se repite cada uno de ellos, etc.

- 3.4.1.1. Frecuencia absoluta. Se denomina frecuencia absoluta de un suceso Al número a veces nA que se verifica A, cuando se realizan n repeticiones de un determinado experimento aleatorio.

- 3.4.1.2. Frecuencia relativa. En cambio, se da el nombre de frecuencia relativa de un suceso A al cociente entre la frecuencia absoluta de A y el número a veces n que se repite el experimento. -Propiedades de la frecuencia relativa:

1) [0 ≤ f(A) ≤ 1 para cualquier suceso A S .]

2) [f (Ω) = 1 y f () = 0.]

3) [Si A y B son sucesos incompatibles, f(A B) = f(A) + f (B).]

3.4.2. Probabilidad de un sucesoUn golpe tratados los diversos tipos de sucesos que existen a nuestra realidad, estudiadas las relaciones entre estos y también las operaciones que se derivan, hace falta finalmente conocer, por ejemplo, cuál es la probabilidad práctica de que un suceso llegue nunca a suceder, o qué es la probabilidad que sucedan dos sucesos a la vegada, etc.

3.4.2.1. Probabilidad de sucesos equiprobablesSi nos remontamos en el siglo XVII, y más concretamente a los estudios de Laplace, que figuran en este mismo trabajo, observamos que este brillante científico enuncia en su momento una serie de definiciones como la definición de Laplace. Es una definición, pero, que sólo es aplicable en problemas probabilísticos concretos. De hecho, tan sólo proporciona resultados fiablescuando se plantean sucesos equiprobables (con la misma probabilidad de ocurrir).

3.4.2.2. Propiedades de la probabilidadLa probabilidad tiene una serie de propiedades, que establecen como calcular la probabilidad de determinados sucesos en función de cómo se relacionan con los otros o de qué tipo son.Las propiedades son las que siguen:

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1. Si A y B son dos sucesos tales que A B, entonces p(A) ≤ p (B).1.1. Si A B B = A (B – A) y A (B – A) =, y por el tercer axioma e la probabilidad tenemos:

p [A (B – A)] = p(A) + p(B – A).

2. Si dos sucesos A y Ā son complementarios, sabemos que:2.1. p (A) + p (Ā) = 1, y por tanto p (Ā) = 1 – p(A).2.2. A Ā= Ω y A Ā =.2.3. p(A Ā) = p(A) + p (Ā) = p (Ω) [= 1].

3. De las expresiones anteriores se deduce que:3.1. p (Ω) = 1 y p() = 0, puesto que = Ω, y se deduce pues, que p() = p(Ω)

4. Si A y B son dos sucesos compatibles, A B , entonces:4.1. p(A B) = p(A) + p (B) – p(A B)4.2. Cómo se puede observar a la figura 6, p [A – (A B)] = p(A) – p(A B)

Figura 6

3.5. Introducción a la probabilidad condicionadaEn los experimentos de probabilidad o experimentos aleatorios, los sucesos, como ya hemos visto, tienen relaciones de dependencia o independencia, según los casos. Pues bien, la probabilidad condicionada refleja la influencia que tiene un suceso para que ocurra otro que le está vinculado y le es dependiente.

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Consideramos que A y B son dos sucesos del espacio de sucesos S de un experimento aleatorio, tal que la probabilidad de A es diferente de cero. Entonces, se denomina probabilidad de B condicionada a A, y se simboliza por p (B/A) lo cociente:

Se trata, sencillamente, de tener en cuenta una determinada información respecto de un suceso que se sabe que ha ocurrido para determinar la probabilidad de otro suceso la probabilidad del cual varía en función de si sucede o no el primero. A veces, pero el hecho que tenga lugar un determinado suceso no influye en las probabilidades que ocurran o no otros. Cuando es así, hablamos de sucesos independientes. Esta independencia entre sucesos es mutua: es decir, A es independiente de B como B lo es de A.Si A y B son dos sucesos independientes, se verifica que el cálculo de la probabilidad de la intersección entre estos sucesos es lo siguiente:

P(A B) = p(A) · p (B)

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4-Introducción al experimento aleatorio

4.1. Bases de los experimentos aleatorios4.1.1. IntroducciónCuando se realizan experimentos y observaciones probabilísticos, se acostumbran a seguir una serie de protocolos que hacen que la obtención de los resultados en estos experimentos sea más fiable y cuidadosa, el más próxima posible a la realidad. Estos pasos a seguir son, a grandes rasgos, la preparación de la experiencia, la observación de esta (y la repetición, en caso necesario), la recogida de datos, su posterior análisis y las conclusiones finales.No obstante, hay que tener en cuenta que en toda experiencia relacionada con el mundo de los sucesos hay cierta diferencia entre los cálculos matemáticos y la realidad observable en la puesta en práctica del experimento (ver mesa 1).A veces, esta diferencia se corrige de forma “automática” con la repetición del experimento numerosas veces (ver mesa 2). Por otro lado, pero, hay que tener en cuenta que son muchos los factores que influyen en el resultado de una experiencia aleatoria, y que, por pequeña que sea la influencia de cada uno de estos factores, hay que conocerlos para acercar la realidad al cálculo teórico el máximo posible y obtener una fiabilidad mayor en la obtención de resultados y conclusiones.Es el caso, por ejemplo, del lanzamiento de un dado 6 veces, donde la probabilidad teórica indica que todos los sucesos son equiprobables y, en cambio, pueden salir cuatro resultados iguales consecutivos.

Cara del dado Veces que se tendría que repetir el resultado en 12

tiradas

Veces que se repite el resultado en 12 tiradas

1 2 42 2 23 2 34 2 15 2 06 2 2

Taula 1

Cara del dado Veces que se tendría que repetir el

resultado en 12 tiradas

Veces que se repite el

resultado en 12 tiradas

Veces que se tendría que repetir el

resultado en 48 tiradas

Veces que se repite el

resultado en 48 tiradas

1 2 4 8 92 2 2 8 73 2 3 8 104 2 1 8 75 2 0 8 66 2 2 8 9

Taula 2

40

4.1.2. La física de los experimentos aleatoriosLa física se ocupa de conocer, de medir y acotar los procesos que ocurren en nuestro mundo. Se puede afirmar, con toda certeza, que la física es omnipresente, es decir, en todas partes y en todo suceso, también en los sucesos de los experimentos aleatorios. Por tanto, surge así la inevitable pregunta de ¿Cómo puede la física medir de forma tangible la incertidumbre? Bien pues, el caso es que, en muchos casos, los cálculos probabilísticos prevén con más o menos exactitud qué hechos pueden suceder. Aparentemente, la función de la física es muy opuesta, es decir, medir los hechos cuando estos ya han tenido lugar de forma “externa”.De todos modos, la física (ya no como ciencia, sino como natura universal) incide en cualquier proceso, incluido, por ejemplo, en el lanzamiento de un dado. Veamos pues, un ejemplo de todos los procesos físicos que aparentemente tienen lugar simultáneamente al lanzamiento de un dado y que influyen en el resultado de este.- Inclinación con que el dado es lanzado.- Trayectoria aproximada que se le obliga a seguir (parabólica, lineal).- Fuerza con que se lanza el dado.- Última parte del dado en contacto con el lanzador. (Parámetro que lo hace girar sobre sí mismo).- Aire en movimiento que impacta contra el dado mientras este es al aire.- Superficie donde este rebota: dureza, maleabilidad, rugosidad, etc.

4.1.2.1. Factores determinantes, Factores condicionantes y Factores negligiblesCómo hemos visto, hay una gran cantidad de factores que intervienen en cualquier experiencia. El caso, pero es que muchos de estos factores pueden ser considerados casi irrelevantes, y otros, simplemente, inmensurables (cómo, por ejemplo, la fuerza humana con que la mano tira un dado).Por lo tanto, los factores físicos se pueden dividir según tres tipos diferentes:

-Factores determinantes. No son muy corrientes en las experiencias aleatorias, puesto que estos tipos de factores determinan un resultado determinado, y, por tan, eliminan todo azar o incertidumbre. Esto, obviamente, no ocurre sacado de los sucesos conprobabilidad 1.

-Factores condicionantes. Son aquellos que influyen con más o menos bastante respeto el resultado final, pero que no determinan un de concreto. Muchos de los factores puestos como ejemplo anteriormente pertenecen a este conjunto.

-Factores negligibles. Son factores la influencia de los cuales sobre el resultado final es tan pequeña que muchos golpes no se tienen en cuenta. A veces hay factores que, como ya he comentado, no se pueden acotar y también se negligen.

Hay que decir, en conclusión, que la medida a partir de cálculos físicos de los procesos y experimentos aleatorios resulta, en general, muy imprecisa y poco fiable, por lo cual no se acostumbra a realizar. Así, por ejemplo, es más útil

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realizar un cálculo probabilístico sobre los resultados más probables de una ruleta, que estudiar los engranajes en detalle y las posibles irregularidades de estos.

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4.2. Un juego de azar clásico 4.2.1. IntroducciónCómo hemos visto repasando a grandes rasgos la historia y la evolución de la probabilidad, desde antiguo los juegos de azar han sido insignia de la incertidumbre. De hecho, los primeros interesados al “medir” la incertidumbre, abordaron en primer lugar los problemas relacionados con los juegos de dados, etc. Podemos decir, pues, que el lanzamiento de dados y las incógnitas que de este juego se derivan, son un ejemplo formidable para representar los orígenes de la incertidumbre presente en el cotidiano humano. Todo ello, sin olvidar que hoy en día los dados siguen siendo parte del ocio de cualquiera.Propongo, pues, llevar a cabo observaciones diversas relacionadas con los dados (concretamente con tres tipos de dados diferentes). La explicación detallada de la experiencia lo escribo a continuación.

4.2.2. Material, hipótesis, objetivos y pautas de trabajo

4.2.2.1. Material utilizado para el experimento aleatorioAnte todo, hay que precisar con qué material llevaremos a cabo la experiencia.Trabajaremos con tres tipos diferentes de dados, que serán estudiados y comparados:

-Dado de juego de mesa. (fig.1) Estos dados son los más comunes, los que se utilizan para juegos de mesa y otras actividades cotidianas. Su fabricación es masiva y, por tan, la perfección de uno de estos dados no se puede garantizar.

-Dado de casino. (fig.2) Son dados especialmente diseñados y fabricados para los casinos, puesto que se producen con unos materiales determinados* que proporcionan una máxima fiabilidad a la hora del juego, puesto que a menudo de ellos dependen importantes movimientos de dinero.

-Dado electrónico. (fig.3) Estos dados no requieren de ser lanzados. A partir de un chip programado, proporcionan resultados similares a los de un dado “mecánico”, pero no son muy corrientes ni empleados con mucha frecuencia.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

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4.2.2.2. Objetivo de la experienciaUna vez explicado brevemente con qué tipo de dados trabajaremos, expongo ahora qué estudio haré sobre los resultados que nos proporcionará cada uno de los dados.La idea principal es la de estudiar la equiprobabilidad entre los seis resultados del espacio muestral del experimento: “lanzar un dado”. En principio, para cualquier tipo de dado hay las mismas probabilidades que salga cualquier de los seis valores que contiene. De todos modos, la realidad no siempre se tan precisa como los cálculos a priori. También forma parte de la teoría probabilística el hecho que la repetición prolongada del mismo experimento acerca el resultado de este a los cálculos teóricos realizados.

4.2.2.3. Propuesta de HipótesisEn toda experiencia aleatoria y, en general, en toda experiencia científica, se plantean una serie de hipótesis, y estas se verifican o falsen con la puesta en práctica de dicha experiencia. Pues bien, las hipótesis que yo pretendo comprobar son las siguientes:

Un dado de casino proporciona resultados más aleatorios que cualquiera otro tipo de dado. Los dados electrónicos no proporcionan resultados realmente aleatorios debido a la carencia de factores externos que intervienen en “el lanzamiento” de estos. Un dado resulta ser más aleatorio cuando más veces se observan sus resultados.

4.2.2.4. Pautas de trabajoPara llevar a cabo la práctica hay que redactar las pautas de trabajo que se seguirán con la máxima exactitud para conseguir así resultados y conclusiones verídicas. El proceso que se seguirá de forma metódica en el transcurso de la experiencia constará de los pasos que figuran continuación:

Pasos Explicación del proceso1 Verificación Antes de realizar lanzamientos, se

verificará que todos los factores externos que intervienen son supresos o sometidos a control.

2 Lanzamientos Se realizarán los lanzamientos anotando simultáneamente los resultados, alternando los diversos tipos de dado

3 Análisis Los resultados anotados en apoyo informático se tratarán para representar las diferencias, regularidades e irregularidades observadas.

4 Conclusión Finalmente habrá que verificar o falsar las hipótesis iniciales, extrayendo conclusiones del experimento realizado.

44

4.2.4. Lanzamientos de los dados y recopilación de datos

4.2.4.1. El dado cotidiano o “de juego de mesa”

Lanzamientos Resultado Frec. absoluta

Frec. relativa

Prob. teórica

Media Desv. de frec.

rel.

10

3 0,3 1/6Teórica:

1,6

+0,14

1 0,1 1/6 -0,066

2 0,2 1/6 +0,033

3 0,3 1/6Relativa al valor:

1/4

+0,14

0 0 1/6 -1,166

1 0,1 1/6 -0,066

Total=10 Total=1 Total=1 Desv. total= 0,573

50

17 0,34 1/6Teórica:

8,3

+0,18

4 0,08 1/6 -0,086

4 0,08 1/6 -0,086

7 0,14 1/6Relativa al valor:

1

-0,026

6 0,12 1/6 -0,046

12 0,24 1/6 +0,08

Total=50 Total=1 Total=1 Desv. total=0,504

100

22 0,22 1/6Teórica:

16,6

+0,054

10 0,1 1/6 -0,066

19 0,19 1/6 +0,024

11 0,11 1/6Relativa al valor:

1

-0,056

28 0,28 1/6 +0,11

12 0,12 1/6 -0,04

Total=100 Total=1 Total=1 Desv. total=0,340

4.2.4.2. El dado de casino

45

Lanzamientos Resultado Frec. absoluta

Frec. relativa

Prob. teórica

Media Desv. de frec.

rel.

10

4 0,4 1/6Teórica:

1,6

+0,23

2 0,2 1/6 +0,033

2 0,2 1/6 +0,033

0 0 1/6Relativa al valor:

1

-0,166

1 0,1 1/6 -0,066

1 0,1 1/6 -0,066

Total=10 Total=1 Total=1 Desv. total= 0,594

50

9 0,18 1/6Teórica:

8,3

+0,01

12 0,24 1/6 +0,073

10 0,2 1/6 +0,033

8 0,16 1/6Relativa al valor:

2

-0,003

5 0,1 1/6 -0,066

6 0,12 1/6 -0,046

Total=50 Total=1 Total=1 Desv. total=0,261

100

13 0,13 1/6Teórica:

16,6

-0,036

10 0,1 1/6 -0,066

20 0,2 1/6 +0,033

18 0,18 1/6Relativa al valor:

5

+0,013

22 0,22 1/6 +0,05

17 0,17 1/6 +0,01

Total=100 Total=1 Total=1 Desv. total=0,208

4.2.4.3. El dado electrónico

46

Lanzamientos Resultado Frec. absoluta

Frec. relativa

Prob. teórica

Media Desv. de frec.

rel.

10

2 0,2 1/6Teórica:

1,6

+0,033

1 0,1 1/6 -0,066

1 0,1 1/6 -0,066

2 0,2 1/6Relativa al valor:

+0,033

2 0,2 1/6 +0,033

2 0,2 1/6 +0,033

Total=10 Total=1 Total=1 Desv. total= 0,264

50

4 0,08 1/6Teórica:

8,3

-0,086

10 0,2 1/6 +0,033

13 0,26 1/6 +0,1

6 0,12 1/6Relativa al valor:

-0,04

9 0,18 1/6 +0,02

8 0,16 1/6 -0,006

Total=50 Total=1 Total=1 Desv. total=0,285

100

14 0,14 1/6Teórica:

16,6

-0,02

22 0,22 1/6 +0,06

18 0,18 1/6 +0,02

9 0,09 1/6Relativa al valor:

-0,07

20 0,2 1/6 +0,033

17 0,17 1/6 +0,01

Total=100 Total=1 Total=1 Desv. total=0,213

4.2.5. Conclusión del experimentoEsta experiencia nos ha permitido poner en práctica tres tipos de dados diferentes. Los dados, uno de los “aparatos” de juego más antiguos y a la vez

47

uno de los más usados de la historia, se comportan de forma diversa en función de su composición, forma, etc.El que en un principio pretendía con este sencillo experimento, era comprobar qué eran las diferencias que surgían al lanzar tres tipos de dados diferentes muchas veces.La estabilidad de medias nos dice que cuanto más veces realizamos un experimento, la probabilidad de cada suceso (del que podemos calcular la probabilidad real), se va acercando a la probabilidad teórica de este suceso. Esto se observa claramente en los lanzamientos y se comprueba con el cálculo de desviación, que figura en cada mesa de valores. La desviación nos indica si los valores teóricos y reales son más parecidos o menos, y al aumentar el número de lanzamientos (10, 50,100...) esta diferencia entre teoría y realidad se va tirando pequeña. Esto sucede con cualquier de los dados que se somete a estudio.Por otro lado, las mesas de valores reflejan notables diferencias según los dados que lanzamos.

- El dado de mesa, como la parrilla de recogida de datos nos muestra, es el que proporciona resultados más imperfectos, menos aleatorios. Cómo observamos en la mesa de valores, este dado da una desviación relativamente grande al hacer pocos lanzamientos. De todos modos, a partir de 100 lanzamientos parece corregir la desviación de forma sorprendente hasta minimizarla. 

- El dado de casino, es el dado más preciso de los tres que se han sometido a estudio. Las gráficas nos indican que este dado da muy poca desviación desde el momento en que se tira unas cuántas veces. La curiosidad es que no se requieren muchos lanzamientos porque la desviación se estabiliza en los mínimos, y esto da resultados realmente aleatorios, con frecuencias relativas próximas a la teoría.

- El dado electrónico, a pesar de generar números aparentemente aleatorios, tiene algunos inconvenientes: a veces se estanca en un determinado valor repitiéndolo muchas veces, o bien parece que reinicia una sucesión de resultados concreta, etc. Hay que tener en cuenta, pero que el dado electrónico corrige sus tendencias de forma sorprendente al hacer muchos lanzamientos. Podríamos decir, que va desapareciendo su desviación cada vez más rápido con el aumento de lanzamientos, a pesar de podamos ver que parece ser más aleatorio al hacer 10 lanzamientos que 50.

5- Referencias

48

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html

http://www.vitutor.net/1/52.html

http://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/otra_cara/Juegos_de_Azar_y_Probabilidad.pdf

http://www.estadisticaparatodos.es/historia/histo_proba.html

http://estudiosestadisticos.ucm.es/data/cont/docs/12-2013-02-06-CT01_2011.pdf

Llibre: Slansky’s Theory of Poker