INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE

PROF. ALBINO SANCHEZ BARROS

PROFESORADO DE MATEMATICAS

CATEDRA: ANALISIS II

Trabajo Resumen: Derivada

Introducción

La derivación es una de las operaciones que el Análisis Matemático efectúa

con las funciones, y permite resolver numerosos problemas de geometría,

economía, física y otras disciplinas.

DERIVADA

Recta Tangente y Derivada

Para introducir el concepto de derivada, se recurre por lo general a un problema físico y otro geométrico: El cálculo de la velocidad instantánea de un móvil y la definición de la recta tangente a una curva en un punto de la misma respectivamente. Se considerara solo la segunda situación de la recta tangente. En la figura, la recta que debería ser la recta tangente a la curva en el punto P, intercepta a la curva en otro punto Q.

Figura 1

Para obtener una definición adecuada de la recta tangente a la grafica de una función en un punto, se emplea el concepto de límite, a fin de definir la pendiente de la recta tangente en el punto. Después, la recta tangente se determina por medio de su pendiente y el punto de tangencia. Se desea definir la pendiente de la recta tangente a la grafica de f en el punto

P (x₁, f (x₁)) en una función f continua en x₁.

Sea I un intervalo abierto que contiene

(x₂, f(x₂)) otro punto sobre la grafica de

la figura.

Cualquier recta que pase por dos puntos de una curva

secante, en la figura tenemos rectas secantes para varios valores de

Interpretación geométrica

La figura 3 muestra una recta secante particular. En esta figura derecha de P. Sin embargo como lo muestra la Figura 2

Figura 3

La diferencia de las abscisas de

“delta x”) de modo que

. Donde

de x. En la figura 4, Δx se hace cada vez más pequeño, el punto Q se aproxima

cada vez más a P, obteniéndose un haz de rectas secantes

posición limite de estas secantes es la de la

abierto que contiene a x₁, en el cual está definida

otro punto sobre la grafica de f tal que x₂ también este en

Figura 2

Cualquier recta que pase por dos puntos de una curva se denomina recta

figura tenemos rectas secantes para varios valores de

Interpretación geométrica

muestra una recta secante particular. En esta figura Sin embargo Q puede estar a la derecha o a la izquierda de

la Figura 2

Figura 4

La diferencia de las abscisas de Q y P en la figura 3 se denota por

Donde Δx puede ser positivo o negativo. Δx es el incremento

se hace cada vez más pequeño, el punto Q se aproxima

cada vez más a P, obteniéndose un haz de rectas secantes; cuando

posición limite de estas secantes es la de la tangente a la curva en P,

definida f. Sea Q

también este en I, como en

se denomina recta

figura tenemos rectas secantes para varios valores de x₂.

muestra una recta secante particular. En esta figura Q esta a la puede estar a la derecha o a la izquierda de P

Figura 4

se denota por Δx (se lee

es el incremento

se hace cada vez más pequeño, el punto Q se aproxima

cuando Δx 0 la

a la curva en P,

determinando el ángulo α con el semieje positivo de las x, cuya tangente

trigonométrica del mismo es tg α = ΔY Δx

Considerando el límite en la igualdad para Δx 0

Lim ΔY = Lim tg α = tg Lim α

Δx 0 Δx Δx 0 Δx 0

Donde Lim ΔY = tg Lim α Δx 0 Δx Δx 0

El límite del primer miembro es, por definición, la derivada de la función, el límite del segundo miembro, cuando Δx tiende a 0, el incremento de la función

ΔY también tiende a 0, la recta secante se transforma en la tangente

geométrica a la curva en el punto P, por lo tanto el ángulo trigonométrico α

tiende al ángulo α que forma la tangente geométrica a la curva en el punto P,

localizado este ultimo α sobre las abscisas y queda.

y = tg lim α = tg α o sea y = tg α

α α abs

Definición de recta tangente a la grafica de una función

Se supone que la función f es continua en x₁. La recta tangente a la grafica de f

en el punto P (x₁, f (x₁)) es:

I) La recta que pasa por P y tiene pendiente dada por

Si este límite existe.

II) La recta x = x₁ si

Si no se cumple ninguno de los dos incisos de la definición, entonces no existe

la recta tangente a la grafica de f en el punto P (x₁, f (x₁)), o sea la derivada en

x₁ que se verá enseguida

La figura muestra la grafica de una función f y su recta tangente cuando

existe la pendiente de la función para x₁

Cociente incremental

La pendiente de la recta secante PQ en la figura 3 está determinada por

Como x₂ = x₁ + Δx, la ecuación anterior puede escribirse como

Expresión conocida como cociente incremental, representa una variación media de crecimiento o de decrecimiento de la función en el intervalo

[x₁ ; x₁ + Δx], para tener una idea más aproximada de la rapidez de la variación

de la función, se consideran Δx cada vez menores en la Figura 3, considerando al

punto P como fijo y que el punto Q se mueve a lo largo de la curva hacia P, es decir Q tiende o se aproxima a P. Esto equivale a decir que Δx tiende a 0. Si la

recta secante PQ tiene una posición límite, es esta posición límite la que se quiere como la recta tangente a la grafica de f en el punto P. Se desea así, que

la pendiente de la recta tangente a la grafica de f en P sea el límite de

conforme Δx tiende a 0, si este límite existe es igual a +∞ o a - ∞, entonces

conforme Δx tiende a 0 la recta PQ tiende a la recta que pasa por P y es

paralela al eje Y. Derivada de una función en un punto

Se llama derivada de una función continua en un punto, al límite del cociente incremental cuando el incremento de la variable independiente tiende a 0.

La derivada de la función f(x) en el punto x₀ se representa con cualquiera de

las dos notaciones siguientes:

De acuerdo a lo dicho:

Este límite finito es un número. Como consecuencia de lo visto: si hay derivada de una función para un determinado x, hay tangente a la curva en el punto correspondiente y recíprocamente

Ejemplo

Encontrar una ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto (2,3). Dibujar la parábola y mostrar un segmento de la recta tangente en (2,3) Solución primero se calcula la pendiente de la recta tangente en (2,3) con

se tiene:

Así, la recta tangente en (2,3) tiene pendiente 4. De la forma punto-pendiente

de la ecuación de una recta se obtiene

La figura presenta la parábola y un segmento de la recta tangente en (2,3)

Ejemplo

a) Calcular la pendiente de la recta tangente a la grafica de , en el

punto (x₁, f (x₁)) b) Determinar los puntos de la grafica donde la recta tangente es horizontal y utilizar estos puntos para dibujar la grafica de f Solución a)

Aplicando la fórmula para encontrar la pendiente

Se obtiene finalmente pendiente y derivada de la función

b) La recta tangente es horizontal en los puntos donde la pendiente es 0,

considerando a se tiene

Luego de reemplazar el valor encontrado de x₁ en la función, se obtiene las

coordenadas en donde la recta tangente es horizontal, es decir en los puntos (-1,2) y (1,-2). Al localizar estos puntos y algunos otros se obtiene la siguiente grafica

Definición de función derivada y particularidades de la notación Hasta ahora se ha considerado la derivada de una función en un punto. En los problemas en general, es necesario conocer la derivada de la función en distintos puntos

Notación

El uso del símbolo f´ para la derivada de la función f fue introducido por el matemático francés Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Esta notación destaca que la función f´ se deriva (o proviene) de la función f y su valor en x es f´(x). Y´ se utiliza también como notación para la derivada de f(x). Con la función f definida por la ecuación y = f(x) se considera que

Donde Δy se denomina incremento de y de

nota un cambio en el valor de la función cuando x varía en Δx, al utilizar esta

fórmula y escribir en lugar de f´(x) la formula de la derivada de una

función se transforma en el símbolo fue empleado como

notación para la derivada por primera vez por el matemático alemán Gottfried

Wilheim Leibniz (1646-1716) y Sir Isaac Newton (1642-1727), cuando se utiliza como notación para la derivada de una función se debe tener en cuenta que no se considera una razón, sino simplemente como signo para la derivada, significa la derivada de “y” con respecto a “x” Ejemplo

Calcular si y =

Solución se ha dado y = f(x) donde f(x)=

Se racionaliza el numerador

Al dividir numerador y denominador en Δx (ya que ) se obtiene

Otras dos notaciones para la derivada de una función f son

Cada una de estas notaciones permite indicar la función original en la expresión para la derivada. Por ejemplo se puede escribir el resultado del ejemplo anterior como:

Propiedades de las funciones derivables Sea f(x) y g(x) 2 funciones definidas en un intervalo común en cada punto en que f(x) y g(x) tienen derivada, también tienen derivada la suma f(x) + g(x), f(x) – g(x), f(x).g(x), el cociente f(x)/g(x) con g(x) = 0 y además el producto por una escalar c.f(x). La obtención de las formulas: 1)

g´(x) = c.f´(x)

La derivada de la multiplicación de una función por una constante es igual a la derivada de la función multiplicada por la constante 2) Si f y g son funciones y si h es la función definida por h(x) = f(x) + g(x)

y si f´(x) y g´(x) existen, entonces h´(x) = f´(x) + g´(x)

Dx [f(x) + g(x)] = Dx f(x) + Dx g(x)

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus derivadas si estas derivadas existen, extendiendo el resultado por inducción matemática, la derivada de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma de sus derivadas si estas derivadas existen. 3) Si f y g son funciones y si h es la función definida por h(x) = f(x) . g(x)

y si f´(x) y g´(x) existen, entonces h(x) = f´(x) . g(x) + f(x) . g´(x)

La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda función más la primera función por la derivada de la segunda función. 4) Si u y v son funciones y si y es la función definida por

si u´(x) y v´(x) existen, entonces y´(x) = u´(x). v(x) + u(x). v´(x) v²

Diferenciabilidad y continuidad El proceso de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación Definición

Si f(x) es una función derivable en un intervalo y x₀ es un punto del mismo, se

define, de acuerdo con Leibniz, diferencial de la función en el punto x₀

correspondiente a un incremento Δx de la variable independiente, al producto

de la derivada de la función en el punto por el incremento de la variable independiente. El símbolo de diferencial es d y se tiene:

El primer miembro se lee: diferencial de la función f en el punto x₀. También

la diferencial de la función y = f(x) en el punto, se designa con y se tiene

Interpretación geométrica de la diferencial en un punto Dado x₀, se elige Δx, P es el punto de la curva que corresponde a x₀, por el

punto P se traza la tangente. En el triangulo PTB se verifica

es la pendiente de la recta tangente en P luego es igual a la derivada de la función

En x₀ ; el segmento PB = Δx, se reemplaza y se

tiene:

Es decir que la diferencial en un punto es el incremento de la ordenada de la tangente en el punto correspondiente

El incremento de la función es Δy = AB

En este caso particular la diferencial es mayor que el incremento, pero puede ocurrir que sea menor o igual, como ocurre en los siguientes ejemplos

En particular, la diferencial de de f(x) = x es:

Es decir que la diferencial de la variable independiente, es igual al incremento de la misma.

Se reemplaza en la definición Δx por dx y se tiene

O bien

Las dos últimas expresiones de la derecha, indican que la derivada de una función, es igual al cociente entre el diferencial de la función y la de la variable independiente; esta notación tiene la ventaja de destacar la variable respecto a

la cual se deriva pues se lee: la derivada de y con respecto de x

Se comienza con la discusión acerca de diferenciabilidad y continuidad con el ejemplo siguiente Sea

Aplicando la fórmula alternativa de función derivada, si el limite existe

La figura muestra la grafica de f trazada en el rectángulo [-6,6] , [-4,4]

TEOREMA Si una función f es diferenciable en un número x₁, entonces f es continua en x₁

Demostración para demostrar que f es continua, se debe probar que se cumplen las tres condiciones de la definición de función continua, es decir, se debe probar que: i)f(x₁) existe

ii)

iii)

Por hipótesis f es diferenciable en x₁. Por tanto, existe f´(x₁), debido a la formula

equivalente de la derivada de un función

f(x₁) existe, por lo tanto se cumple la condición (i).

Ahora si se considera

(1) Como

Aplicando el teorema de limite de un producto al miembro de la derecha en (1) se obtiene

(2) Por el siguiente teorema de límite

El límite de la expresión (2) equivale a

De esta ecuación se concluye que se cumplen las condiciones (ii) (iii) para la continuidad de f en x₁. Por tanto el teorema se ha demostrado

Una función puede no ser diferenciable en un número c por alguna de las siguientes razones 1. La función f es discontinua en c como se ve en la grafica

2. La función f es continua en c, pero la grafica de f tiene una recta tangente vertical en el punto donde x = c de la figura

3. La función f es continua en c pero la grafica de f no tiene recta tangente en el punto donde x = c en la figura se observa un cambio brusco o pico en ese punto

Lo anterior precisa establecer la definición de derivadas laterales Derivadas Laterales i) Si la función f está definida en x₁, entonces la derivada por la derecha de f

en x₁, denotada por f´ ₊ (x₁), está definida por

Si existe el limite ii) Si la función f está definida en x₁, entonces la derivada por la izquierda de

f en x₁, denotada por f´ ₋ (x₁), está definida por

Si existe el límite Definición

Decimos que existe f´(x₁) si y solo si existen las derivadas laterales y son

iguales o sea si existe f´(x₁) ⇒∃f´ ₊ (x₁) ∃f´ ₋ (x₁) y f´ ₊ (x₁) = f´ ₋ (x₁)

-Ejemplo Sea f la función valor absoluto definida por

Con su grafica

si el limite existe

Como los limites laterales cuando x=0, la grafica de la función absoluto no

tiene recta tangente en el origen

Como este tipo de funciones

Son continuas en un número pero no son diferenciables en ese número, se puede concluir que la continuidad de la función en un número diferenciabilidad de la misma en el punto en cuestión. Sin embargo, ldiferenciabilidad implica

funciones

Son continuas en un número pero no son diferenciables en ese número, se puede concluir que la continuidad de la función en un número diferenciabilidad de la misma en el punto en cuestión. Sin embargo, l

implica continuidad, lo cual quedo establecido en el teorema

Son continuas en un número pero no son diferenciables en ese número, se puede concluir que la continuidad de la función en un número no implica la diferenciabilidad de la misma en el punto en cuestión. Sin embargo, la

continuidad, lo cual quedo establecido en el teorema