J U A N J O S É

C A N O S E LLÉS

0 Introducción 1 Análisis del método 2 Precisión del método

• 2.1 Coordenadas de Alejandría y Siena

• 2.2 Distancia de Alejandría y Siena 3 Simulación desde Alicante

• 3.1 Con el Ecuador

• 3.2 Con un punto en el mismo meridiano

• 3.3 Con cualquier otro punto 4 Otras mediciones de la Tierra

4.1 Didearco

4.2 Posidonio

Cronología Lexicología Apéndice Bibliografía

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0: Introducción En este apartado analizaremos y descubriremos los errores de la medición de

Eratóstenes del radio de la Tierra y simularemos el proceso desde diferentes puntos de nuestro planeta, como el Ecuador.

Eratóstenes (c. 284-c. 192 a.C.), matemático, astrónomo, geógrafo, filósofo y

poeta griego. Midió la circunferencia de la Tierra con una precisión extraordinaria al determinar, a través de la astronomía, la diferencia de latitud entre las ciudades de Siena (actual Asuán) y Alejandría, en Egipto. Nació en Cirene (en la actualidad Shahhat, Libia). Entre sus maestros se encontraba el poeta griego Calímaco de Cirene. Hacia el 240 a.C., Eratóstenes llegó a ser el director de la Biblioteca de Alejandría. Sus cálculos sobre la circunferencia terrestre se basaron en el conocimiento de que en Siena al mediodía, en el solsticio de verano, los rayos del sol incidían perpendicularmente sobre la tierra y, por tanto, no proyectaban ninguna sombra (Siena estaba situada muy cerca del trópico de Cáncer). En Alejandría se percató de que en la misma fecha y hora las sombras tenían un ángulo de aproximadamente 7° con respecto a la vertical. Al conocer la distancia entre Siena y Alejandría, pudo hallar a través de cálculos trigonométricos la circunferencia de la Tierra. Eratóstenes también midió la oblicuidad de la eclíptica (la inclinación del eje terrestre con respecto al plano de la órbita sobre el Sol) con un error de sólo 7' de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Tras quedarse ciego, murió en Alejandría por inanición voluntaria.

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1: Análisis del método

El método de Eratóstenes fue muy simple, el solsticio de verano en Siena

(próxima al trópico de Cáncer) los rayos solares caían con una inclinación 0º (pozo en el

que se puede ver el fondo), pero en Alejandría los rayos caían con una inclinación de

7º20’ (sombra proyectada por el obelisco); por lo tanto la Tierra tenía que ser esférica. El

cálculo fue muy sencillo, con los datos obtenidos y la distancia Alejandría-Siena, cuya

medida ya era conocida y fue obtenida de la siguiente forma:

Unos esclavos llamados cuentapasos, que habían adquirido la costumbre de dar

los pasos de longitud constante, iban al comienzo de la caravana y mediante un sistema

de bolas de arcilla y cuerdas daban las diferentes medidas a los escribanos, que estaban

situados en un carro detrás de estos y apuntaban los datos en sus tablillas de cera.

Detrás de los escribas un esclavo tiraba de un carro más pequeño cuyas ruedas no

superaban los dos pies de diámetro. En una de estas ruedas había un pequeño clavo de

metal hacia dentro que cada vuelta golpeaba una barra de metal y hacía un clinc. Además

del escribano encargado de registrar a los cuentapasos había otro encargado de registrar

los clincs en su tabla y un grupo de encargados de registrar los accidentes geográficos y

los pueblos observados. Al anochecer apuntaban todos los datos en papiros.

La distancia obtenida fue aproximadamente 790 Km en nuestro sistema actual

(ver apéndice). Eratóstenes pensó que si una diferencia de 790 kilómetros (suponiendo

que la Tierra era esférica) equivalía a 7º 20’, toda la circunferencia terrestre (360º)

equivaldría a:

kmx

xkm

500.3920'7

790*360º360

790'20º7

==

==

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2: Precisión del método En este apartado analizaremos los errores que tuvo Eratóstenes al realizar su

medida de la circunferencia terrestre.

2.1: Coordenadas de Alejandría y Siena Las siguientes coordenadas y distancias han sido obtenidas mediante el atlas de

la Encarta

Alejandría: 31º 10’ N; 29º 54’ E

Asuán / Siena: 24º 06’ N; 32º 56,25’

El error en este apartado de Eratóstenes fue que

tomó a Siena como que estaba en el trópico

exactamente y el trópico está a 23º 26’ N (cuando Siena

está a 24º 06’ N), aunque este error no nos importa ya

que el dato por el que nos guiamos habla de un lugar

concreto, sin precisar si era necesario que estuviese en

el Trópico.

2.2: Distancia entre Alejandría y Siena 790 Km. Realmente la medida original se realizó

en estadios tuvo un margen de error debido a los

arcaicos métodos de la época. Pero la medición presenta

un pequeño problema, las dos ciudades no tienes la misma longitud y su trayecto no es

paralelo a ningún meridiano por lo que dará menos de lo debido.

Para este caso lo ideal sería calcular la distancia entre paralelos, que nos da

782’222km. También Eratóstenes tuvo un error con el ángulo, ya que aproximadamente la

diferencia de latitudes es 7’04º y también la medida Alejandría-Siena es aprox. 845 km.

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3: Simulación desde Alicante

Ahora intentaremos imitar el método de Eratóstenes desde diferentes puntos del

globo. Las siguientes medidas han sido obtenidas mediante el atlas dinámico de la

enciclopedia Encarta y del libro de biología “¿en qué mundo vives? 4º ESO”

3.1: Con el Ecuador o los Trópicos o Distancia Ecuador-Alicante: 4.260km

o Latitud Alicante: 38º 20’ N

El método empleado es el siguiente:

Ponemos un gnomon en Alicante y al mediodía solar medimos la sombra que

proyecta. Mediante la tangente obtenemos el ángulo.

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El ángulo nos dará cerca de la latitud de Alicante, que sabemos que es 38º20’N y

en decimal 38’3333333º.

Con el ángulo conocido y tomando el Ecuador como ángulo 0, solo tenemos que

emplear la proporcionalidad directa y ya tenemos la circunferencia de la Tierra

xkm

==

º360260.4º2'38

3.2: Otro punto en el mismo meridiano Ampthill (Inglaterra): 0º 29’ O; 52º 01’ N

Alicante: 38º 20’ N, 0º29’ O

Distancia Ampthill-Alicante: 1520 Km (Encarta)

Para este cálculo hemos empleado el mismo proceso que en la medida anterior

con la diferencia es que el proceso se repite con un gnomon en cada ciudad en el que se

mide la sombra a la misma hora.

º2,38260.4º*360

=km 95653,006.40

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Amphtill

Gnomon: 20 cm

Sombra: 15’620 cm

Tangente: 1’2804

Ángulo: 52º 01’

Alicante

Gnomon: 20 cm

Sombra: 25’4154 cm

Tangente: 0’7869

Ángulo: 38º 20’

Con la distancia entre ambos puntos (1520 km) y la diferencia de ángulos (52º 01’

– 38º 20’= 13º 41’) podemos obtener mediante el método anterior la circunferencia de la

Tierra

kmkm 000.40º20,38º52

520.1º*360=

−

Lo correcto para estos cálculos es tomar siempre la distancia entre latitudes, pero

al ser un punto en el mismo

meridiano no es necesario.

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3.3: Cualquier otro punto

Se coloca un gnomon en Alicante y otro en Nueva York y se mide la sombra

proyectada por ambos gnomons en el mediodía solar de cada sitio.

Alicante-Nueva York: 5.840 km

Alicante

Gnomon: 20 cm

Sombra: 25’4154 cm

Tangente: 0’7869

Ángulo: 38º 20’

Nueva York:

o Gnomon: 20 cm o Sombra: 23,48 cm o Tangente: 0,8516 o Ángulo: 40º 42’

km028'338.88863'2840.5*360

=)km

como podemos ver si utilizamos la distancia en linea recta nos ocurre lo mismo

que a Eratóstenes con Alejandría y Siena, que nos da un resultado erróneo. Lo correcto

sería tomar la distancia entre paralelos.

Distancia entre paralelos 246,66666 km

km521.3763'2

6.246*360=)

)km

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4: Otras mediciones de la Tierra

De entre todos los sabios peripatéticos sobresale Didearco de Mesana (350, 290

a.C.) considerado como uno de los más importantes geógrafos griegos. En su obra

describe el ecúmene y lo dimensiona: 60000 estadios de Este a Oeste y 40000 estadios

de Norte a Sur. Con independencia de la dificultad presente al transformar dichas

medidas en unidades actuales, se puede y debe afirmarse que son menos aproximadas

que las obtenidas en el siglo siguiente por Eratóstenes de Cirene. A Didearco se la

atribuye la medida del arco de meridiano comprendido entre Siena y Lisimaquia, así como

la extrapolación para asignar a la circunferencia terrestre un total de 300000 estadios.

Para ello observó que en el cenit de Lisimaquia estaba la cabeza de la constelación del

Dragón mientras que el cenit de Siena correspondía con la de Cáncer. Como el arco

determinado por las dos constelaciones lo cifró en 1/15 de la circunferencia celeste, las

verticales de ambas ciudades abarcarían sobre la superficie terrestre un arco de idéntica

amplitud. Dado que la distancia entre ambas ciudades se estimaba en 20000 estadios,

resultaba para la totalidad de la circunferencia una longitud de 300.000 estadios

(47.400km).

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Posidonio (130, 50 a.C.) fue otro de los grandes geógrafos de la época, que se

preocupó de calcular la longitud de la circunferencia terrestre, mediante su medición,

aunque muy problemática, le asignó un valor de 180000 estadios. Se cree que para ello

se basó en el arco de meridiano Rodas Alejandría (trayecto marítimo) que estimó en 1/48

del meridiano (dato que obtuvo al observar que cuando la estrella Carinae estaba en el

horizonte de Rodas en Alejandría tenía una altura de 7º30’, equivalente a 1/48 de la

circunferencia meridiana), suponiendo que la distancia entre las dos ciudades era de 5000

estadios, resultarían para la circunferencia 240000 estadios, que se transformaría en

180000 si los 5000 estadios se redujeran a 3750, una cifra que fue luego aceptada tanto

por Marino de Tiro como por Tolomeo.

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Comparativa gráfica de las diferentes mediciones aparecidas en el trabajo.

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Cronología de personajes

Lexicología Arco de meridiano: sección de un meridiano.

Cenit: (Del m. or. que acimut, por error de transcripción de los copistas) intersección de la vertical de un lugar con la esfera celeste, por encima de la cabeza del observador.

Coordenadas: (Del lat. Ordināre (co-)) se dice de las líneas que sirven para determinar la posición de un punto, y de los ejes o planos a que se refieren aquellas líneas.

Ecuador: (Del lat. aequātor, -ōris).paralelo que se toma como 0º de latitud

Ecúmene: comunidad humana que habita una porción extensa de la Tierra.

Estadio: (Del lat. stadĭum, y este del gr. σταδιoν). medida antigua (1km = 6,33

estadios)

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Gnomon: (Del lat. gnomon, y este del gr. γνώμων) palo vertical de altura

determinada

Latitud: (Del lat. latitūdo). distancia en grados entre un paralelo y el Ecuador. Puede

ser de hasta 90º N/S.

Longitud: (Del lat. longitūdo) distancia en grados entre un meridiano con el

meridiano de Greenwich. Su máximo es 180º E/W.

Meridiano: (Del lat. meridiānus) cada una de las líneas imaginarias que atraviesan la

Tierra de polo a polo

Paralelo: (Del lat. parallēlos, y este del gr. παραλληλoς). cada una de las líneas

imaginarias que rodean la Tierra de este a oeste.

Peripatético: (Del lat. peripatetĭcus, y este del gr. περιπατητικός) persona que

enseña mientras camina

Radio: (Del lat. radĭus). línea recta comprendida entre un punto cualquiera de la

circunferencia del círculo hasta el centro del mismo

Solsticio: (Del lat. solstitĭum) Época en que el Sol se halla en uno de los dos

trópicos, lo cual sucede del 21 al 22 de junio para el de Cáncer, y del 21 al 22 de

diciembre para el de Capricornio.

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Tangente: (Del ant. part. act. de tangir ; lat. tangens, -entis).cociente entre los

catetos de un triángulo cateto opuesto / cateto contiguo. En la época de Eratóstenes

existían tablas ángulo-tangente

Trópicos: (Del lat. tropĭcus, y este del gr. τρoπικός). líneas imaginarias situadas a

aproximadamente 23º de latitud

Apéndice Un problema muy complejo ya desde la época de los griegos era el de la

unificación de las unidades para medir distancias. Aristóteles, que conocía las diferentes

formas de medición, había propuesto las siguientes unidades: la base debía de ser el

estadio ático, que consistía en 100 orguias; una orguia consistía en 6 pies; y un pie en 16

dáctilos o dedos. A su vez, 30 estadios equivalían a un parasanga, medida copiada de los

persas para calcular un hora de camino de un buen marchador.

La equivalencia actual entre estadios y metros era aproximadamente 1000m =

6’33 estadios.

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Bibliografía Enciclopedia Encarta 2003 (y componentes)

Libro de Biología 4º de ESO “¿En qué mundo vives?”

Imágenes: mapas extraídos del atlas dinámico de la Encarta 2003

Portada y análisis del método recibidas por correo

Resto: propias.

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