CIRCULACINLa circulacin se define como la integral de lnea alrededor de una trayectoria cerrada en el instante t de la componente tangencial de velocidad a lo largo de la trayectoria. Si denota la circulacin, se tiene:

Figura 1

Donde c es la trayectoria cerrada. La figura ilustra los trminos incluidos en la integral.

TEOREMA DE STOKESPara deducir el teorema de Stokes, examnese la circulacin alrededor de una trayectoria rectangular infinitesimal cuyo plano es paralelo al plano xy, como se muestra en la figura 2. La integracin de lnea se lleva a cabo en cuatro pasos:

Figura 2. Rectngulo infinitesimal en el plano xy

A-B: ds corresponde a dx, y debido a la longitud infinitesimal de la trayectoria no se necesita integracin. Por consiguiente, para esta seccin se tiene Vxdx como contribucin a la circulacin.

B-C: de manera similar, ds es ahora dy, y la componente tangencial de V va en la direccin y, y tiene un valor que puede darse mediante una expansin de Taylor de las condiciones de la esquina A (vase la fig. 2). Luego, se obtiene.

( ) De manera que la contribucin a la circulacin del lado BC es: .

C-D: ahora el vector ds tiene la direccin negativa de x. En una forma semejante al anlisis anterior, la velocidad tangencial ser: ( ) .

Por tanto, la integral de lnea para CD es igual a:

D-A: ahora el vector ds va en la direccin -y, de manera que la integracin de la ltima parte es -Vydy.

Al sumar los trminos anteriores y cancelar lo que sea posible, se llega al siguiente resultado:

(

)

. (1)

Al examinar la ecuacin se notar que es 2 z, es decir, el doble del componente del vector velocidad angular perpendicular al plano del elemento de rea. Recordando que 2 , = rot V, puede decirse que .. (2)

En esta deduccin se utiliz un elemento de rea con forma rectangular slo por conveniencia; la anterior ecuacin es cierta para cualquier elemento infinitesimal de rea. Considrese ahora un rea plana finita hipottica A dentro de un flujo, la cual se divide en elementos infinitesimales de rea, como se muestra en la figura 3, y a cada uno de ellos se aplica la ecuacin (1).

Figura 3. rea plana finita en el plano xy.

Si alrededor de cada elemento existe movimiento en el mismo sentido, es decir, en el sentido de las manecillas del reloj o al contrario, entonces las integrales de lnea se anulan en todas partes excepto en la frontera exterior c cuando se integran los trminos de la ecuacin para cubrir la regin completa A. Esto debe quedar claro debido a que para cada frontera interna se tienen integrales en direcciones opuestas, con lo que en el interior, el resultado neto para la circulacin total es cero. Luego, puede decirse que:

ste es el teorema de Stokes bidimensional el cual iguala la circulacin de un campo vectorial alrededor de una trayectoria plana con la componente del rotacional del campo perpendicular a la superficie plana encerrada por la trayectoria. Para establecer el teorema general de Stokes, examnese una superficie curva hipottica dentro de un flujo, limitada por una curva no coplanar c. Esta superficie tambin se subdivide en elementos infinitesimales de rea.

Figura 4. Superficie curva

Como se muestra en la figura 4, Al considerar la ecuacin (2) para uno de estos elementos de rea, puede decirse que (3)

Donde la componente del vector rotacional requerida claramente es perpendicular al elemento de rea. Al integrar la ecuacin (3) para todos los elementos de rea sobre la superficie, se anulan las integrales en todas las fronteras internas si se mantiene el mismo sentido de integracin de lnea con todos los elementos de rea, como se explic antes. El resultado es el conocido teorema de Stokes en tres dimensiones. Luego.

De esta manera se relaciona una integral de lnea, que es la circulacin del campo de velocidad para cualquier curva c, con una integral de superficie, que es la integracin de la componente perpendicular del rotacional del campo de velocidad sobre cualquier superficie envolvente para la cual c es un borde. Debe tenerse en cuenta que a pesar de que se ha deducido el teorema de Stokes utilizando un campo de velocidad, ste puede plantearse apropiadamente con cualquier campo vectorial continuo B.

TEOREMA DE HELMHOLTZ Para conocer ms acerca de la vorticosidad conviene escribir la ecuacin de vorticidad en forma lagrangiana de una forma diferente, que puede obtener con una transformacin sencilla. Dividiendo la ecuacin por , y reagrupando trminos de la siguiente manera

De tal manera que se obtiene:

(

)

.. (4)

Que se denomina ecuacin de Helmholtz. La ecuacin (4) tiene una notable interpretacin: la variacin del vector asociado a un elemento de fluido es proporcional a la de un elemento material de longitud infinitesimal , paralelo a . est dada por:

En efecto, la variacin de un elemento material de longitud

Que es idntica a la ecuacin de Helmholtz con

en lugar de .

La ecuacin de Helmholtz tiene tambin una interpretacin en trminos del momento angular. En efecto, consideremos un elemento material homogneo cilndrico de longitud cuyo eje es paralelo a w. se sabe que dicho elemento rota como un cuerpo rgido, con una velocidad angular dada por:

Luego el mdulo del momento angular del elemento es

Donde C es un factor numrico constante. Supongamos ahora que el elemento se ha estirado, adquiriendo una longitud , y al mismo tiempo han variado su radio y su densidad, que valen ahora r y , y su velocidad angular, que ahora es w. Su momento angular es entonces

Puesto que su masa se mantiene constante porque es un elemento material.

Figura 5. Interpretacin de la ecuacin de Helmholtz.

A partir de la constancia de la masa

Obtenemos

Pero hemos visto que las variaciones de

y w/ son proporcionales; entonces

De donde obtenemos

Sustituyendo

Y por lo tanto:

Es decir, la ecuacin de Helmholtz es tambin un enunciado de la conservacin del momento angular de un elemento de fluido. Si en un determinado momento la vorticosidad es nula en el interior de un cierto volumen material, seguir siendo nula siempre en ese volumen. Esto quiere decir que la vorticosidad no se transfiere de una regin material a otra del fluido, sino que es arrastrada por el movimiento del fluido. En este traslado, el valor de w vara de acuerdo con las deformaciones del elemento de fluido segn lo establece la ecuacin de Helmholtz, pero nunca aparece vorticosidad en un elemento de fluido donde era nula, ni se anula en un elemento donde tena un valor finito.

TEOREMA DE KELVINEn los flujos ideales barotrpicos con fuerzas de volumen conservativas, la circulacin de la velocidad a lo largo de una lnea material cerrada se mantiene constante. Este enunciado se conoce con el nombre de Teorema de Kelvin, y se puede considerar como la forma integral de la ecuacin de Helmholtz. La circulacin de u alrededor de una curva material cerrada C se define como:

En general se tiene que

Figura 6 Circulacin de u alrededor de una curva material cerrada C y flujo de la vorticosidad concatenado por la misma

Pero todos los elementos dl son elementos materiales, puesto que conforman una lnea material cerrada; luego, se puede escribir

Reemplazando esta expresin y empleando la ecuacin de Euler en la forma:

Queda:

Donde hemos expresado

En forma conveniente. De esta forma vemos que ambas integrales son nulas, puesto que sus integrandos son diferenciales totales, lo que demuestra el enunciado del Teorema de Kelvin. Dado que es una constante, si aplicamos el teorema de Stokes a la ecuacin obtenemos.

.(*)

Donde S es una superficie material abierta cualquiera dentro del fluido, que se apoya sobre la curva C (Fig. 7). La superficie S es arbitraria, puesto que

La ecuacin (*) muestra entonces que el flujo de concatenado por toda curva material C es invariante.

TEOREMA CIRCULACION BJERKNESTrabajo publicado en 1898 que contena una nueva versin del Teorema de la Circulacin, junto con la descripcin de numerosas aplicaciones, entre ellas varias muy concretamente atmosfricas. Antes de mencionar algunas, es preciso esbozar el famoso Teorema de la Circulacin. Lord Kelvin haba definido aos antes la Circulacin Relativa, en realidad una magnitud relacionada directamente con la Vorticidad, como: Donde la integral se aplica a cualquier curva cerrada del fluido y dl es un vector elemental dirigido a lo largo de la curva. Con notacin moderna, el Teorema de la Circulacin de Bjerknes puede expresarse como:

Donde C es la Circulacin Relativa de Kelvin, k el volumen especfico (inverso de la densidad) y p la presin. Aplicando el teorema de Stokes: Donde B es el vector definido por B k; es decir, un vector dirigido de mayor a menor valor de la densidad, G = - p es el Gradiente de Presin dirigido de las altas a las bajas presiones y A la superficie.

De acuerdo al teorema, cuando los vectores B y G tienen distinta direccin, aparece una rotacin que se desarrolla del vector B al G, tal como muestra la figura siguiente, que apareci en el trabajo de Bjerknes de 1898:

Figura 7

En las dos figuras siguientes, tambin del trabajo de 1898, Bjerknes ofrece dos ejemplos plenamente atmosfricos: la circulacin de la brisa de mar y la seccin vertical de una depresin.

Figura 8

En la figura superior, la presin (lneas a trazos) disminuye uniformemente, tanto en el mar como en la costa, a la derecha, pero la densidad representada por las lneas continuas disminuye ms lentamente sobre la costa, debido al calentamiento solar del terreno durante del da que se transmite al aire superficial. Por tanto, el vector B en la zona cercana a la costa no tiene direccin vertical como el G, sino oblicua y de acuerdo al teorema se establece un movimiento circular. El aire se mueve en superficie del mar a la costa, y por encima debe haber un flujo de retorno que cierra el ciclo. Esto es exactamente lo que sucede con la brisa marina diurna.

Figura 9

En esta otra figura, Bjerknes mostraba la seccin vertical de una depresin con el aire ms clido en su parte central de forma que la densidad en esa zona disminuye ms lentamente que la presin con relacin a las zonas exteriores. A ambos lados, el gradiente de presin se dirige hacia arriba pero la disminucin de densidad se desva hacia el centro de la depresin. La rotacin en el sentido B a G a ambos lados del centro configura un sistema con dos circulaciones de sentido contrario a cada lado, convergencia en superficie, ascenso del aire en la parte central y divergencia en niveles altos, es decir la estructura bsica de una depresin con centro clido.