SECCIONES CÓNICAS

PARÁBOLA: La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que participan de la propiedad de equidistar de un punto fijo llamado foco y de una recta fija, que no pasa por el punto, llamada directriz. Esta cónica, se describe geométricamente como la curva que resulta al interceptar un cono recto circular y un plano paralelo a la generatriz del cono.

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA: Al punto fijo llamado foco lo representaremos con F, a la recta fija llamada directriz con DD' . La distancia entre el foco y la directriz lo representamos por p, en donde p>0. El vértice de la parábola con V La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco y por el punto de la parábola llamado vértice (V), se llama eje de la parábola. La posición del eje determina la posición de la parábola. La parábola siempre es simétrica con respecto a su propio eje.

De acuerdo a la definición de la parábola, el punto medio entre la directriz y el foco pertenece al lugar geométrico y se llama vértice. Directriz de la parábola es la recta perpendicular al eje de la parábola y está a la misma distancia del vértice que el vértice del foco.

Gráfica y ecuación:

( x−h )2=4 p ( y−k )

( y−k )2=4 p (x−h )

ELIPSE: Por definición la elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, participantes de la propiedad relativa: que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Los dos puntos son conocidos como focos de la elipse, mientras que la constante será representada por 2a.

Ecuación:

( x−h )2

a2+

( y−k )2

b2=1

( x−h )2

b2+ ( y−k )2

a2=1

Circunferencia: La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que participan de la propiedad de equidistar de un punto fijo llamado centro.

Ecuación

( x−h )2+( y−k )2=r2

Hipérbola: Esta curva está definida como el lugar geométrico de todos los puntos contenidos en un plano, que tienen la propiedad común relativa de que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante, que representaremos por 2a.

Ecuación

( x−h )2

a2−

( y−k )2

b2=1

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS

Dado un triángulo ABC no rectángulo, puede solucionarse utilizando el teorema del seno o el teorema del coseno:

TEOREMA DEL SENO: Es una relación de proporcionalidad en la que se relacionan los lados y el seno del ángulo opuesto:

sen Aa

= senBb

= senCc

Ejercicios:

Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20º. Calcula la distancia entre Alberto y Camilo.

sin 2025

=sin A12

sin A=12sin 2025

sin A=0.1642

A=sin−10.1642

A=9,45

B=180−(20+9,45)

B=150.55

sin 2025

=sin 150,55x

x=25sin 150,55sin 20

x=35,93metros

Los flancos de un triángulo forman un ángulo de 80º con la base. Si el triángulo tiene 30 centímetros de base, calcula la longitud del lado x.

A=180−(80+80)

A=20

sin 80x

= sin2030

x=30sin 80sin 20

x=86,38 cm

TEOREMA DEL COSENO: Se emplea para resolver triángulos no rectángulos en los cuales se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, o se conocen las medidas de los tres ángulos pero se desconocen las medidas de los ángulos

Ejercicios:

Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50º, y otro B, situado al otro lado y en línea recta, con un ángulo de 60º. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B.

d2=62+44−2 (6 ) (4 ) cos110

d2=36+16+16,42

d2=68,42

d=8,27

Hallar las medida del lado desconocido del triángulo:

x2=252+282−2 (25 ) (28 ) cos110

x2=1409+478,83

x2=1887,83

x=43,45

CONVERISONES

De grados a radianes:

Para convertir un ángulo A dado en grados, a radianes, se multiplica por π180

120 °=120π180

=2π rad3

200 °=200π180

=10π rad9

De radianes a grados:

Para convertir un ángulo dado en radianes, en un ángulo sexagesimal dado en grados, se

multiplica por 180π :

5π rad4

=5π rad4

∙ 180π

=225°

6π rad5

=6 πrad5

∙ 180π

=216 °