Clculo de desplazamientos por trabajo virtualResumen

Uno de los mtodos ms comunes para calcular los desplazamientos en las estructuras es el de la carga unitaria. Aunque se puede recurrir directamente a las expresiones simples propuestas por el mtodo, es til identificar que el mtodo se basa en dos principios bsicos. Estos son el concepto de energa y la ley de la conservacin de la energa. En el primero se deducen los teoremas de Castigliano y de Engesser, mientras que con el segundo se formula el mtodo de la carga unitaria. Este mtodo se presenta para el caso particular de vigas en flexin y armaduras.

Teoremas de Energa

Castigliano 1879.- Energa de deformacin elstica restringida a estructuras con diagramas lineales de carga-desplazamiento (comportamiento elstico).Engesser 1889.- Energa complementaria, sin especificar que la estructura tenga un diagrama lineal.Asumiendo el diagrama carga-desplazamiento mostrado:

Fig. 1. Estructura sujeta a carga axial Fig. 2. Diagrama carga - desplazamiento

El trabajo realizado para un incremento de es P y por definicin este trabajo es igual al incremento en la energa de deformacin elstica. Entonces el incremento total de la energa elstica U cuando la carga aumenta de 0 a P1 ser:

Esta integral es igual al rea bajo la curva de la lnea 0A. De esa misma ecuacin puede obtenerse:

Si la energa total es parcialmente derivable con respecto a un desplazamiento, el resultado da la carga debido a ese desplazamiento en su lnea de accin.

Puesto que la lnea 0A es una recta, las reas arriba y bajo de ella sern iguales, entonces:

de donde se deduce que :

Si la energa total es parcialmente derivable con respecto a una carga aplicada, el resultado da el desplazamiento de esa carga en su lnea de accin.

El segundo teorema de la energa elstica o teorema de compatibilidad de Castigliano trata de las relaciones entre la energa de deformacin elstica y la accin de una fuerza en una estructura estticamente indeterminada. En este se establece que la energa elstica total parcialmente derivable con respecto a la carga redundante es igual a la falta igual a la falta inicial de juste de dicho elemento. Si no hay falta de ajuste la derivada parcial ser igual a cero:

Esta ecuacin representa una condicin para el valor mnimo de la energa de deformacin elstica. El incremento en tal energa es, sin embargo, igual al trabajo correspondiente al desplazamiento de las cargas aplicadas. De esta manera, la relacin implcita en la ecuacin anterior expresa tambin una condicin para el valor mnimo del trabajo realizado (Principio del trabajo mnimo)Como aplicacin del segundo teorema, supngase un marco doblemente empotrado:

Fig.3 Estructura estticamente indeterminada de 3er grado

Si las redundantes se consideran las reacciones en B (soporte completamente fijo), segn la parte II del teorema se tendr:

Esto implica que existen tres condiciones de compatibilidad que representan tres ecuaciones para resolver las tres incgnitas.

Principio de Fuerzas Virtuales

Supngase una estructura cualquiera en equilibrio sujeta a cargas externas R y esfuerzos internos correspondientes a . Bajo estas cargas, la estructura tendr deformaciones externas r y deformaciones internas .

Fig. 6. Estructura en equilibrio

Supngase ahora que la misma estructura se somete a un conjunto de cargas imaginarias . Estas cargas virtuales producirn esfuerzos virtuales . En esta estructura un trabajo imaginario o virtual, ocurrir fuera y dentro de la estructura.

Fig. 7. Estructura sujeta a fuerzas virtuales

El trabajo virtual externo est dado por las fuerzas virtuales desplazndose en la direccin de las deflexiones reales r. El trabajo virtual interno est dado por los esfuerzos virtuales internos desplazndose en la direccin de las deformaciones internas reales. De acuerdo con el principio de fuerzas virtuales:

Trabajo virtual externo = trabajo virtual interno: =

Este principio puede usarse para encontrar las deflexiones en puntos dados de una estructura. Supngase por ejemplo que se quiere encontrar la deflexin hacia abajo del punto A bajo la carga real R y las deformaciones reales correspondientes . Se escoger un sistema virtual de fuerzas hacia abajo actuando en A, cuyos esfuerzos internos correspondientes son . Ya que la nica fuerza virtual externa es una fuerza aplicada en A, el trabajo virtual externo ser simplemente el producto de la fuerza virtual por la deflexin real:

El trabajo interno virtual ser la integral de los esfuerzos virtuales internos desplazndose las deformaciones internas reales:

donde cada esfuerzo virtual realizar su trabajo a travs de la deformacin real correspondiente. Igualando los trabajos se tiene:

Si es una fuerza unitaria, entonces:

Para utilizar este procedimiento en estructuras reales, se requiere calcular el trabajo virtual interno para varios tipos de estructuras, por ejemplo:

Elemento barra.- Considrese una deformacin uniforme real con el desplazamiento correspondiente donde A y E permanecen constantes:

Fig. 9. Barra sujeta a carga axial

La deformacin real se asocia con el esfuerzo real y con la carga real P por :

entonces

Supngase que el elemento se somete a esfuerzos correspondientes a una fuerza virtual :

Fig. 10. Barra sujeta a carga virtual

El trabajo virtual ser

Ya que el rea es constante

sustituyendo

= Producto de la fuerza virtual P y la deformacin real interna .

Pero la deformacin interna real se puede expresar en trminos de la fuerza interna real:

entonces = (fuerzas virtuales) (desplazamientos reales)

Si se tienen varios miembros (i.e. armaduras) el trabajo virtual interno total ser la suma del trabajo hecho en cada miembro:

Elemento viga (deformacin por flexin)

Considrese una rebanada de longitud dx sujeta a deformaciones reales por flexin:

Fig. 11. Elemento diferencial de viga

Y

Supngase ahora que esta rebanada se somete a esfuerzos virtualescorrespondientes a un momento virtual :

Fig. 12. Seccin sujeta a momento virtual

Ya que , M, E e I son constantes

Para una rebanada de longitud dx

= Producto del momento virtual interno y la curvatura real internaPara el miembro completo, dW se obtiene integrando la cantidad anterior a lo largo de la longitud:

[Fuerzas virtuales (momentos)] [Deformaciones reales ()]

Para estructuras que no tienen tangentes de referencia explcitas, el principio de los trabajos virtuales es mucho ms fcil que el de rea de momentos.

Estructuras planas cargadas fuera del plano (retculas)Considrese una rebanada de long dx sujeta a deformaciones por torsin:

Asumiendo que la seccin es libre de torcerse

G = mdulo de cortante J = Rigidez a torsin (St. Venant)n = Coeficiente de Poisson

Supngase ahora que esta rebanada est sujeta a una torsin virtual . El trabajo interno est dado por:

[esfuerzos virtuales (torsin)] [deformaciones reales(distorsin por unidad de longitud)]

Clculo de deflexiones en vigas por trabajo virtualSupngase una viga sujeta a las cargas P1 y P2 que producen esfuerzos internos y por lo tanto una compresin S en cualquier fibra del rea transversal dA.

El trabajo externo es: 1.-)

La energa total almacenada es: 2.-)

Por la ley de la conservacin de la energa (principio de trabajo virtual):3.-)

Igualmente si se aplica una carga unitaria en cualquier punto:4.-)

Si se agrega gradualmente P1 y P2 (figura 14b), el trabajo externo es:5.-)

La energa interna adicional almacenada es:6.-)

Entonces el trabajo total externo en la figura 14c) es:7.-)

Y la energa total interna es:8.-)

Nuevamente por la ley de la conservacin de la energa:9.-)

Restando 3) y 4) de 9):10.-)

La ecuacin 10) se puede aplicar para encontrar la deflexin o rotacin en cualquier punto de una estructura, donde dL puede ser provocada por cargas aplicadas, cambios de temperatura, errores de fabricacin o asentamientos de los apoyos.

Deflexiones en vigas

Supngase que el momento producido por las cargas es M en cualquier fibra y el momento debido a la carga unitaria es m. El esfuerzo debido a 1 es (m y / I) y la fuerza u ser:

11.-)

adems S / dA es el esfuerzo provocado por las cargas en la fibra estudiada. Por la ley de comportamiento lineal (Hooke): f = E, entonces:

12.-)

de modo que la deformacin en la fibra ser :

13.-)

adems por Navier :

y substituyendo en la ecuacin anterior:

14.-)

Si se substituye 14) y 11) en 10):

15.-)

16.-)

Si en lugar de una carga unitaria se aplica un par unitario se obtendr el giro:

17.-)

donde m es el momento en cualquier seccin, correspondiente a un par unitario en el punto de la viga descargada donde se quiere determinar la rotacin.

Procedimiento general para el clculo de deformaciones en armaduras

Para el caso de una barra sujeta solo a carga axial, se dedujo que si la carga virtual es unitaria, el trabajo interno da como resultado el desplazamiento en el punto y en la direccin en la que se aplica dicha carga:

Entonces

donde Po representa las fuerzas en las barras debidas al sistema de carga real y Pi representa las fuerzas en las barras debidas a la carga unitaria. Usualmente se disponen los clculos en forma tabular.

Bibliografa de referenciaChu-Kia Wang, Statically indeterminate structures, I.S.E., 1953Yuan-Yu Hsieh, Teora elemental de estructuras, PHH, 1970White, Gergely & Sexsmith, Estructuras estticamente indeterminadas, Vol. 2, Limusa 1972J.S. Kinney, Anlisis de estructuras indeterminadas, CECSA, 1960A. Ghali & A. Neville, Anlisis estructural, Diana