Trabajo verano Matem. Aplic I · Trabajo verano 2014 Página 3 • Dividir el número 40 en dos partes tal que el doble de la suma de la mitad de la parte mayor con el triple de la

MATEMÁTICAS APLICADAS I 1º BACHILLERATO Trabajo verano 2014

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TRABAJO SEPTIEMBRE Matemáticas Aplicadas a las

Ciencias Sociales I 1º Bachillerato


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TEMA 1. (CORRESPONDE A LA UNIDAD DIDÁCTICA 3 DEL LIBRO)

Ecuaciones y sistemas

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

1) 19

743

73

4−

+=

−−

−+ x

xxx

2)

31

131

+

−=

x

xx

3) 051

34

3191

320

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − xxx

4) 4

11449

322

43

1162

22 xxxxx −−=−−

5) 3

41=+

xx

6) 02032 24 =−− xx

7) 024048 =−− xx

8) 1202 33 =− xx

9) 3

1259 +=−+

xx

10) 013132 =−+− xx

11) 3363+

=+++x

xx

12) 0312 2 =+−++ xxx

2. Resuelve los siguientes problemas de ecuaciones: a) PRIMER GRADO • Busca un número tal que su tercera parte sumada con su triple excede en 20 unidades al doble de dicho número. Sol. = 15 • Busca un número tal que el triple de la suma de dicho número con su mitad excede en 20 unidades al cuádruple de dicho número. Sol. = 40 • La diferencia entre el doble de un número y su mitad , difiere en 60 unidades al triple de dicho número.- Calcula el número. Sol. = 40 • La suma de dos números es 40.- Se sabe que la suma de la quinta parte del mayor con el doble del menor excede en 10 unidades al mayor.-Calcula dichos números. Sol. = 25 y 15


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• Dividir el número 40 en dos partes tal que el doble de la suma de la mitad de la parte mayor con el triple de la parte menor excede en 16 unidades al triple de la parte mayor. Sol. = 28 y 12 • La diferencia de dos números es 8. Se sabe que la suma del doble del mayor con el triple del menor difiere en 4 unidades al cuádruple del mayor. Busca dichos números. Sol. = 20 y 12 • Busca dos números enteros consecutivos sabiendo que si le sumamos al triple del menor la mitad del mayor, el resultado difiere en 7 unidades al cuádruple del menor Sol. = 15 y 16 • La suma de tres números consecutivos excede en 3 unidades al triple del menor. Calcula dichos números: Sol. = 10 , 11 y 12 • Calcula dos números pares consecutivos tal que la suma del quíntuplo del menor con la mitad del mayor es igual al quíntuplo del mayor. Sol. = 18 y 20 • Busca dos números pares consecutivos tal que al dividir el mayor por el menor nos da 1 de cociente y 2 de resto. Sol. 20 y 18. • Divide el número 19 en dos partes tal que al dividir la parte mayor por la menor nos da 3 de cociente y 3 de resto. Sol. = 15 y 4 • Busca dos números pares consecutivos sabiendo que las tres cuartas partes del mayor sumadas con el doble del menor excede en 8 unidades al doble del mayor. Sol. = 10 y 12

• Si sumamos un mismo número a los dos términos e la fracción 58

obtenemos una

fracción equivalente a 34

.Calcula dicho número. Sol.=4

• Busca un número de dos cifras, sabiendo que dichas cifras suman 10 y tal que al invertir el orden de las cifras el número que resulta excede en 18 unidades al número propuesto. Sol. = 46 • Busca un número de dos cifras sabiendo que éstas suman 10 y tal que el triple de dicho número excede en dos unidades al número que resulta invirtiendo las cifras. Sol. = 28 • Busca un número de dos cifras sabiendo que éstas suman 6 y tal que el número excede en 3 unidades a la mitad del número que resulta invirtiendo sus cifras. Sol. = 24 b) SEGUNDO GRADO • Busca un número tal que su cuadrado excede en 300 unidades al quíntuplo de dicho número. Sol = 20 • Busca un número tal que el doble de la suma del triple de dicho número con su mitad excede en 3 unidades al cuadrado de la suma de dicho numero con la unidad. Sol = 4 • Busca dos números cuya suma es 12 y tal que la suma de los cuadrados de los dos números es igual a 80. Sol = 4 y 8 • Busca dos números pares consecutivos si sabemos que la suma de sus cuadrados excede en 28 unidades al cuádruple del mayor. Sol = 4 y 6. • Busca un número de 2 cifras sabiendo que dichas cifras suman 10 y que el cuadrado del número es igual a 900. Sol = 3


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3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

1)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++

=−+−

=+−

132

342

6423

zyx

zyx

zyx

2) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+−

13

1

yx

yx

3)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=+−

=+

=−+−

3262

54

43

zyx

yx

zyx

4)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=+

=−

=++

252

532

1

zy

zx

zyx

5)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=+−

=−+

=+−

658

42

32

zyx

zyx

zyx

6)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=+−−

=−++

=++−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=+−

−=+−

=−+

2

2

0b)

13

12

62a)

tzyx

tzyx

tzyx

yx

zyx

zyx

7)

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=−+

=+−

−=−+

=+−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=−+−

=+−

=++−

12442

933

33

32b)

73

42

13a)

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:

i) ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

=+

3221

2

yx

yx ii)

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+−

5

122

yx

xyy iii)

⎩⎨⎧

=−+=+

132112

yxyx

iv) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

3220111

yxyx v)

⎩⎨⎧

=+

=

3415

22 yxxy

vi) ( )⎩⎨⎧

=+

=

25

42yx

xy


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vii) ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=+

19

8222

xy

yx viii)

⎩⎨⎧

=−

=

16512

22 yxxy

ix) ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

−=

xyyx

44

2

x) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−+

=++

002

22

22

yyxxyx

xi) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

44

22

22

yxyx

xii) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=++−

=+−

3531

22

22

yxyxyxyx

5. Resuelve los siguientes problemas :

1. Calcula las edades de una madre y sus dos hijos sabiendo que hace 14 años la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento, que dentro de 10 años la edad de la madre será la suma de las edades que los hijos tengan en ese momento, y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor tendrá 42 años. Sol: madre 44 años, hijo mayor 18 e hijo menor 16.

2. De tres números x, y, z, sabemos lo siguiente: que el primero más el segundo suman

cero; que el primero más el tercero suman 1; que la suma de los tres es cero y, para terminar, que el primero multiplicado por un número k más el doble de la suma del segundo y el tercero da 1. ¿Qué puedes decir del valor de k? ¿Cuánto valen los tres números? Sol: k=3, x=1, y=-1, z=0.

3. En un cajero automático se introducen billetes de 10, 20 y 50 euros. El número total

de billetes es 130 y el total de dinero es 3000 €. Se sabe que el número de billetes de 10 € es α veces los billetes de 50 €. a) Calcula el número de billetes de cada tipo suponiendo que 2=α . b) Para 3=α , ¿qué ocurre con la situación del cajero planteada? c) Siguiendo con 3=α , si se tuvieran 100 billetes en el cajero, ¿cuánto dinero debería haber para que sea posible una composición del cajero? Sol: a) 80 billetes de 10 €, 10 de 20 € y 40 de 50 €. b) El sistema no tendría solución. c) 2000 €.

4. Eva, Marta y Susana son tres jóvenes amigas que se comprometen a leer El Quijote

este verano. Cada una por separado, y en función del tiempo del que dispone, decide leer un mismo número de páginas cada día hasta terminar la obra. Eva leerá diariamente 5 páginas más que Marta, y esta, 6 páginas más que Susana. Por ello, Eva terminará la obra dos semanas antes que Marta, y esta, 30 días antes que Susana. ¿Cuál es el total de páginas que tiene la versión de la inmortal obra cervantina que leen estas amigas? Sol: 1400 páginas.

5. Una persona ha obtenido 4500 € de beneficio por invertir un total de 60000 € en tres

empresas, ALFA, BETA y GAMMA. Se sabe que el dinero invertido en la empresa ALFA fue M veces la suma de las cantidades invertidas en las empresas BETA y GAMMA y que los beneficios de la inversión fueron del 5% en la empresa ALFA, 10% en la empresa BETA y 20% en la empresa GAMMA. a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales cuya resolución permita calcular la inversión realizada por esta


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persona en cada empresa. b) Prueba que para M>0 el sistema es compatible determinado. c) Calcula la solución para M=2. Sol: 40000 € en ALFA, 15000 en BETA y 5000 en GAMMA.

6. En cierta heladería, por una copa de la casa, dos horchatas y cuatro batidos te cobran

34 € un día. Otro día, por 4 copas de la casa y 4 horchatas te cobran 44 €. Y un tercer día, te piden 26 € por una horchata y cuatro batidos. ¿Tienes motivos para pensar que alguno de los tres días te han presentado una cuenta incorrecta? Sol: Sí, pues el sistema es incompatible.

7. Dos amigos invierten 20000 € cada uno. El primero coloca una cantidad A al 4% de interés, una cantidad B al 5% y el resto al 6%. El otro invierte la misma cantidad A al 5%, la B al 6% y el resto al 4%.

Determina las cantidades A, B y C, sabiendo que el primero obtiene unos intereses de 1050 € y el segundo de 950 €. Sol: A=5000 €, B=5000, C=10000

8. Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de 6384 €. El

precio original era de 12 €, pero también ha vendido copias defectuosas con descuentos del 30% y del 40%. Sabiendo que el número de copias defectuosas fue la mitad del de copias en buen estado, calcula a cuántas copias se le aplicó el 30% de descuento. Sol: 120

9. Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 € y un total de 2000 €. Si el

número de billetes de 10 € es el doble que el número de billetes de 20 €, averigua cuántos billetes hay de cada tipo. Sol: 50 billetes de 10 €, 25 de 20 y 20 de 50 €.

10. Se dispone de tres cajas A, B, y C con monedas de 1 €. Se sabe que en total hay 36 €.

El número de monedas de A excede en 2 a la suma de las monedas de las otras dos cajas. Si se traslada una moneda de la caja B a la caja A, esta tendrá el doble de monedas que B. Averigua cuántas monedas había en cada caja. Sol: 19 en A, 11 en B y 6 en C.

11. Un especulador adquiere 3 objetos de arte por un precio total de 2 millones de euros.

Vendiéndolos, espera obtener de ellos una ganancias del 20%, del 50% y del 25%, respectivamente, con lo que su beneficio sería de 600000 €. Pero consigue más, pues con la venta obtiene ganancias del 80%, del 90% y del 85%, respectivamente, lo que le da un beneficio total de 1’7 millones de euros. ¿Cuánto le costó cada objeto? Sol: 0’5 millones, 0’5 millones y 1 millón de euros respectivamente.

12. Antonio tiene un año más que Juan, y Luís, uno más que Ángel. Determina la edad de

los cuatro sabiendo que la de Luís es la suma de la tercera parte más la séptima parte de la de Antonio y que la de Ángel es la suma de la cuarta parte más la quinta parte de la de Juan. Sol: Antonio 21, Juan 20, Luís 10 y Ángel 9.


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TEMA 2. (CORRESPONDE A LA UNIDAD DIDÁCTICA 4 DEL LIBRO)

Inecuaciones y sistemas

1) Resuelve las siguientes inecuaciones: 1) Inecuaciones de primer grado a) ( x - 2 )2 > (x + 2)⋅ ( x - 2) + 8 R. ] - ∞ , 0 [ b) ( x - 1 )2 < x ( x - 4) + 8 R. ] - ∞ , 7/2 [ c) 3 - ( x - 6) ≤ 4x - 5 R. [ 14/5 , + ∞ [ d) 3x - 5 - x - 6 < 1 4 12

R. ] - ∞ , 21/8 [

e) 1 - x - 5 < 9 + x 9

R. ] -67/10 , + ∞ [

f) x + 6 - x + 6 ≤ x . 3 15

R. [ 120/11 , +∞ [

g) Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el intervalo real para x, tal que cada

expresión represente un número real.

i) 5+x R. [ -5 , +∞ [

ii) 6

2+x

R. ] - 6 , +∞ [

iii) 112

−−

xx

R. [ - 1 , 1 [ ∪ ] 1, + ∞ [

2) Inecuaciones de segundo grado o mayor a) x2 ≥ 16 R. IR - ] -4 , 4[ b) 9x2 < 25 R. ] - 5/3 , 5/3 [ c) 36 > ( x - 1) 2 R. ] - 5 , 7 [ d) (x + 5)2 ≤ ( x + 4 ) 2 + ( x - 3 )2 R. IR - ] 0 , 8 [ e) x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6) R. ] - 2 , 6 [ f) x2 - 3x > 3x - 9 R. IR - ⎨3⎬ g) 4 ( x - 1) > x2 + 9 R. ∅ h) 2x2 + 25 ≤ x ( x + 10 ) R. ⎨5⎬ i) 1 - 2x ≤ (x + 5)2 - 2(x + 1) R. IR j) 3 > x ( 2x + 1) R. ] -3/2 , 1 [ k) x ( x + 1) ≥ 15(1 - x2 ) R. IR - ] -1 , 15/16 [ l) ( x - 2 ) 2 > 0 R. IR - ⎨2⎬ m) ( x - 2)2 ≥ 0 R. IR n) ( x - 2)2 < 0 R. ∅ o) ( x - 2)2 ≤ 0 R. ⎨2⎬ p) (x + 3)(x – 2)(x – 6)<0 R.


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q) x(x – 2)(x + 4)≤ 0 r) (x2 – 4)(x2 – 9)>0 s) x4 – 5x2 + 4 ≤ 0 3) Inecuaciones fraccionarias

a) 01>

−xx

R. IR - [ 0 , 1 ]

b) 03

6<

−+

xx

R. IR - [ -6 , 3 ]

c) 025

≥−−xx

R. [ 5 , 10 ]

d) 2512>

+−

xx R. ] - ∞ , -5 [

e) 251>

+−

xx

R. ] -11 , -5 [

f) 03

1≤

−x R. ] - ∞ , 3 [

g) 011≥

+−

xx

R. IR - [ -1 , 1 [

h) 21>

−x

R. ] - 1/2 , 0 [

i) 13 +

≤− x

xx

x R. ] - ∞ , -1 [ ∪ [ 0. 5[

j) xxx

>++

322

R. IR - [ - 2/3 , 3 ]

k) 13

2

+≥−

xxx

R. IR - ]-3/2 , 3 ]

l) 0642

≥+−

xx

R. ] - 6, -2 ] ∪ [ 2 , +∞ [

m) 0)3)(6)(1(

)7)(1(>

+−−−+

xxxxx R. ] -3, -1 [ ∪ ] 1 , 6 [ ∪ ] 7 , + ∞ [

n) 142 ≤

x

R. IR - ] -2 , 2 [

ñ) 0512

<−+

xx

R. ] - ∞ , 5 [

o) )11(2)3(3x

x −≥+ R. ] -2 , -1/3 ] ∪ ] 0, + ∞ [

p) x

x 54 <− R. ] - ∞ , -1 [ ∪ ] 0. 5 [


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q) 815≥+

xx R. ] 0 , 3 [ ∪ [5 , + ∞ [

r) 112

≥+

xx

R. ] 0 , + ∞ [

s) )1(5313 +>⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − xx

R. ] - ∞ , -3 [ ∪ ] 0 , 1/5 [

t) 012 <

−xx R. ] - ∞ , - 1[ ∪ ] 0 , 1 [

u) x

x 84120 −>+ R. ] -12 , -7 [ ∪ ] 0 , + ∞ [

v) 1025<+

xx R. ] - ∞ , 0 [

w) 692 −≥+ xx

x R. ] 0 , + ∞ [ ∪ ⎨-3⎬

x) 2121

+>+x

x R. ] -1 /2 , 0 [ ∪ ] 2 , + ∞ [

2) Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

2.1) ⎭⎬⎫

>+>−

0401

xx

2.2) ⎭⎬⎫

<+>−

1221

xx

2.3) ⎭⎬⎫

+>−−<+

1223132

xxxx

2.4) ⎭⎬⎫

+<>−

10201

xxx

2.5) ⎪⎭

⎪⎬⎫

+>+

≥−

12

222

xxxx

2.6) ⎪⎭

⎪⎬⎫

+−>+−

−>+

xx

xx

425321

242

SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

2.7) ⎭⎬⎫

−><+yx

yx3

52 2.8)

⎭⎬⎫

<+−>+

00

yxyx

2.9) ⎭⎬⎫

<−+>−+

01563032

yxyx

2.10) ⎭⎬⎫

+−>+≥

52

xyxy

2.11) ⎭⎬⎫

<−−>+−

09320632

yxyx

2.12)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

<>+

>

40

yxy

xy

2.13) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

−>−−<<−−

xyyx

yx

444

02

2.14)

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

>><

>+−<+

003

015

yxxyx

yx

2.15)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

≥≥<+<+

01

25544058

yx

yxyx


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3) Resuelve los siguientes problemas de aplicación de las inecuaciones y de los sistemas de inecuaciones:

3.1) Halla un número natural sabiendo que los 32 del mismo es menor que 4 y sus

54 son

mayores que 1. 3.2) Las edades de 2 hermanos difieren en 7 años, ¿ cuáles pueden ser si su suma es menor que 20? 3.3) La edad del padre es menor que el triple de la edad del hijo, y hace 5 años, la edad del padre era mayor que el doble de la de su hijo. ¿ Entre qué años está comprendido la edad del hijo, sabiendo que la suma de edades es 40? 3.4) Halla dos números cuya suma es 8 sabiendo que el primero es menor que el doble del segundo. 3.5) En una caja hay tornillos defectuosos y no defectuosos. Sabemos que en total hay 200 tornillos, y que el doble de defectuosos es menor que el número de no defectuosos. ¿ Cuántos tornillos defectuosos puede tener la caja? 3.6) En una clse hay en total 40 alumnos. En un examen de Matemáticas resulta que el triple de aprobados es mayor que el doble de suspensos. ¿ Cuál es el menor número de aprobados posible? 3.7) Se ha de hacer una compra de libros y discos por valor de 200 a 300 euros. Si la compra de libros ha de ser el triple de la de discos, ¿entre qué valores ha de estar la cantidad destinada a discos? Análogamente para los libros.


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TEMA 3. (CORRESPONDE A LA UNIDAD DIDÁCTICA 6 DEL LIBRO ) Funciones reales. Propiedades globales

1) Hallar el dominio y el recorrido de la función 3

1)(

−

+=

x

xxf .

2) Dada la función y x= +2 3 , hallar el dominio.

3) Halla el dominio ,el recorrido yx

x=−− 4 .

4) Halla el dominio de ( )( )f x x x( ) = − −1 2 .

5) Hallar el dominio de yxx=+−

24 .

6) Averiguar cuáles de las siguientes funciones son pares , impares, o ninguna de las dos:

a) f x x( ) = 2 b) g xx

x( ) =

+

3

2 1. c) h x x x( ) = −3 2 2 .

7) Siendo f xxx( ) =

+−

1 22 5 , g x

xx( ) =−+

12 , hallar:

a) g fo

b) f go

8) Dadas las siguientes funciones, determina sus dominios y Simetrías: f x xx

( ) =−2 1

,

f x xx

( ) = −+112 , f x x( ) = +2 3 , ( ) ( )f x x x( ) = − −1 2 , f x x

x( ) = +

−24

y f x xx

( ) = −−

3162

9) Halla el dominio de la función 932

1)( 223

3

−+−+

−= x

xxxxxf

10) Calcular el dominio de y = ln xx++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

.

11) Dominio y Simetría de f(x) = x3 -3x2.

12) Idem de a) y = xx

3

2 4−. b) y =

( )x

x

3

21−. c) y = 2

9

2

2xx−

.


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13. Halla la función inversa de las siguientes funciones:

1) y = 6x + 4 2) y =

21

−−

xx

3) y = 86 +x 4) y = 3(x+9)

5) y = 32

4+−

xx 6) y =

36

++

xx

14. Sean las funciones reales f(x) = x+5 y g(x) = x2 + 3x -10 .Hallar a) ( )gf + (x) b) ( )gf − (x)

15. En los siguientes ejercicios se definen las funciones f y g. Determinar las funciones resultantes ( )( )xgf + , ( )( )xgf − , ( )( )xgf . , ( )( )xgf , ( )( )xgf o , ( )( )xfg o

1. ( ) 1+= xxf ( ) 4−= xxg

2. ( ) 2+= xxf ( ) 63 −= xxg

3. ( ) 5−= xxf ( ) 12 −= xxg

16. Indica cuál de las gráficas siguientes representan una función. En caso de ser función, indica su dominio, su imagen y los puntos de corte.


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17. En las siguientes gráficas determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento e indica los mínimos o máximos relativos (si los tiene).

18. A partir de la gráfica, indica el tipo de simetría que presenta cada una de las siguientes funciones:


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19. Haz un estudio completo ( dominio, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, simetrías, recorrido, acotación, asíntotas) de las siguientes gráficas:

20. Esboza la gráfica de la función que se ajusta a las siguientes condiciones:

estrictamente creciente en ] -∞ , 2[

estrictamente decreciente de 2 en adelante corta a los ejes en los puntos ( -1, 0), ( 0, 1)y ( 4, 0) cuando +∞→x , −∞→)x(f

21. Esboza la gráfica de la función que se ajusta a las siguientes condiciones:

es siempre creciente corta a los ejes en los puntos (1, 0), (0, -2)y (4, 0) tiene dos asíntotas verticales en x=1 y x=2 tiene una asíntota horizontal en y = 1.


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TEMA 4. (CORRESPONDE A LA UNIDAD DIDÁCTICA 10 DEL LIBRO) Límites de funciones. Continuidad 1) Hallar los siguientes límites de funciones:

a) 35

23x 2

0 −+−

→ xxLim

x

b) 55

23x 2

1 −+−

→ xxLim

x

c) 35

23x 2

2 −+−

→ xxLim

x

d) 20 951

xxLimx −→

e) 20 95x

xxLimx −→

f) 34

34

0 23x

xxxLim

x −−

→

g) 34

34

23x

xxxLim

x −−

∞→

h) 35

23x 2

−+−

∞→ xxLim

x

i) 35

23x 2x1

2

0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++−

→ xxLim

x

j) x

Limx

2

0

x-1-1 →

k) x

Limx

51

x51

0

−+

→

l) 1

23x 2

2

1 −+−

→ xxLim

x

m) 1133x 23

23

1 +−−−+−

→ xxxxxLim

x

n) 11x

1 −−

→ xLimx

o) 3

3 3 −

−→ x

xLimx

p) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−−

−→ 912

32

23 xxLimx

q) 1

1852x 34

23

1 −+−

+−+→ xxx

xxLimx

r) 44

4x 2

2

2 ++−

−→ xxLimx

s) 1133x

23

23

+−−

−+−∞→ xxx

xxLimx

t) 2

3x1x2

0⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

→xLim

u) 13

2

1

2

11x

−+

→ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++ x

x

x xLim

v) 3

1 x

Limx −∞→

w) 30

1 x

Limx +→

x) 30

1 x

Limx −→

y) 40

1 x

Limx −→

z) x

x xxxLim ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +∞→ 3

3

323

MATEMÁTICAS APLIC. I 1º BACHILLERATO Trabajo verano 2014

Página 18

2) Dada la función :calcula , 32)( += xxfh

Limh

f(x)-h)f(x 0

+→

3) Calcula a y b para que 022

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−+∞→ x

xbaxLimx

4) Estudia las tendencias y la continuidad de las funciones del

5) Estudia los puntos y tipos de discontinuidad de las siguientes funciones: Dibuja las

dos primeras funciones y comprueba gráficamente la continuidad.

a) ⎩⎨⎧

≥−<−

=0 xsi 320 xsi 1x

)(2

xxf

b) ⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

≤=1 x si 12

1 xsi x1

)(x

xf

c) ⎩⎨⎧

≥−<

=0 xsi 32

0 xsi 2)(

x

xxf


Página 19

d) ⎩⎨⎧

≥+<

=0 xsi 1

0 xsi e)( 2

x

xxf

e) ⎩⎨⎧

≥−<

=1 xsi 22

1 xsix )(

xxf

f)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=2 xsi

41

2 xsi 21

)(

x

xf

g) ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<=0 xsi 2-

0 xsi 1-x

1)(

xexf

h) ⎩⎨⎧

≥+<

=0 xsi 10 xsi 2-3x

)(x

xf

i)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

≠+−

=-1 xsi

43

-1 xsi 11x

)(3

4

xxf

6) Dibuja una función f(x) que cumpla:

a) ;3)( ;2)( ;)( 1;f(x)Lim01x

==∞==→−→−∞→∞→

xfLimxfLimxfLimxxx

b) 2)0( ;3)( ;2)( ;)( ;0f(x)Lim01x

===−∞==→−→−∞→

+

∞→fxfLimxfLimxfLim

xxx

c) 2)0( ;0)( ;2)( ;)( ;f(x)Lim011x

===−∞=∞= −

±∞→→→→ +−fxfLimxfLimxfLim

xxx

d) 1)1( ;3)( ;0)( ;2)( 1;f(x)Lim11x

===== +

−∞→→→∞→ −+fxfLimxfLimxfLim

xxx

e) que sea par y discontinua en x =-1 f) que sea impar y periódica de período T=2 g) que tenga cinco raíces. h) que tenga una asíntota vertical en x=2 y una asíntota horizontal en y=0 i) que tenga por asíntota la recta y=-x+1


Página 20

TEMA 5. (CORRESPONDE A LA UNIDAD DIDÁCTICA 11 DEL LIBRO Y ALGO DE LAS UNIDADES 7 Y 8 ) Introducción a las derivadas y sus aplicaciones

1. Hallar las derivadas de las siguientes funciones:

1) 865243)( 2345 ++−−+= xxxxxxf 2) 1552

93

74

3)(234

−++−= xxxxxf

3) 2

125)(342 xxxxf +−

= 4) ( )( )53 153)( xxxxxf ++−=

5) 342 1252)(

xxxxf

+−= 6) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=23

)(2

xxxf

7) 2

9723)( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=x

xxf 8) ( )13

5)(2

−−

=x

xxf

9) 11)( −=x

xf 10) 323)( 24 +−=xx

xf

11) 33)( 5 +=x

xf 12) xxf 12)( =

13) ( ) ( )xxxf 4113)( 2 −−= 14) ( )523

5

)(xx

xxxf−

=

15) ( )425 2)( xxxf −= 16) 41)( xxf −=

17) ( ) 423)( −−= xxxf 18)

3

13)( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=xxxf

19) 2

1)(x

xxf += 20) ( ) 142)( 24 −+−= xxxf

21) 1)( 2 −= xxxf 22) xxexf 35 2

)( +=

23) ( )32ln)( += xxf 24) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=x

xxf31

ln)(2

25) xsenxf 3)( = 26) xsenxf 3)( =

27) 3)( senxxf = 28) 2

cos)( xxf =

29) 3)( arcsenxxf = 30) )21()( xarctgxf −=

31) x

exfx

=)( 32) x

xexfx

−=

1)(

33) xexf =)( 34) )5log()( 2xxf =

35) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= 2

12ln)(xxxf 36) ( )2)5log()( xxf =

37) xxxf 4cos)( 2= 38) )13()( 2 −= xsenxf 39) )1()( 2 −= xtgxf 40) )(ln)( xsenxf =


Página 21

41) )()( 3xarctgxf = 42) xexf cos)( =

43) aecsenxxf 3)( = 44) x

xsenxf )(ln)( =

45) 3 3ln)( xxf = 46) 510)( += xxf


Página 22


Página 23

1) Halla los máximos y mínimos de las siguientes funciones:

a) 23 3)( xxxf −=

b) 16833

)( 23

+−+−= xxxxf

c) 1

)4(2)( 2

2

+−

=xxxf

d) 1

)(2

−=

xxxf

2) Calcular máximos, mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento para la

función f(x)= xx++112 .

3) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones:

a) xxf 37)( −=

b) 22)( xxg =

c) 596)( 23 −+−= xxxxh

d) 1

1)( 2 +=

xxt

4) Obtener los puntos de inflexión de la función 43)( 23 +−= xxxf

5) Descomponer el número 98 en dos sumandos tales que la suma de sus raíces

cuadradas sea un máximo.

6) Dada la función 2)( 23 −++= bxaxxxf , halla los valores de a y b para que se

cumpla cada una de las siguientes condiciones:

a) La función tiene extremos relativos para x=1 y para x=-1.

b) La función tiene un solo extremo relativo, que corresponde a x=1.

c) Estudia el crecimiento y decrecimiento y halla los extremos de )(xf en cada

uno de los dos casos anteriores.

7) Halla los valores de a y b para que la función 1)( 23 +++= bxaxxxf tiene

extremos relativos en x=0 y en x=2. Para dichos valores de a y b estudia el

crecimiento y decrecimiento


Página 24

8) La producción de fresas en un invernadero depende de la temperatura T , en ºC, del

mismo según la función: 32·27·12060)( TTTTP −++= (P en Kg.). ¿A qué

temperatura se conseguirá el máximo número de Kg. de fresas en el invernadero?

9) El número de individuos, en millones, de la población de un país viene dado por la

función: 300006250

000100)( 2 ++

=t

ttP , donde t se mide en años. Halla el año en el

que la población fue mínima y máxima y su tamaño.

10) Un agricultor quiere valar una finca rectangular uno de cuyos lados limita con un

río. Sólo piensa vallar los tres lados restantes y quiere saber el coste mínimo que

tendrá que pagar si el metro de valla vale a 8 euros y la finca tiene una superficie de

2 000 m2

11) Realiza un estudio completo de las siguientes funciones: a) 5126 23 −+−= xxxy

b) 215

−+

=xxy

c) x

xy−

=2

2

d) 43

52 −−

+=

xxxy

e) 2

2

)1( −=

xxy

f) 11

2

2

+−

=xxy


Página 25

TEMA 6 (UNIDAD DIDÁCTICA 14): Introducción a las integrales y sus aplicaciones

1. Halla las siguientes integrales:

1) ∫ dxx5 3 2) ∫+−+ dx

xxxx

2

23 753 3) ∫+ dxxsenx2

cos 4) ∫ − dxe x

5) dxx

x∫ − 5

22 6) ∫

−dx

xtgx

2cos35

7) ∫+ dxx

xx2 8) dxx∫ + 3

9) ∫ ++ dx

xxx

42

2 10) ∫ xdxsenxcos 11) ∫ +++ dxxx

x16

23

2

12) ∫ dxx

e x

13) ∫++

+ dxxx

x32

12

14) ∫ +dx

ee

x

x

21 15) ∫ + xdxx 5)1( 202 16) ∫

−dx

xx

412

17) ∫ dxx

x)cos(ln 18) ∫ + dxxtg )23( 19) ∫ ⋅ dxx x2 20) ∫ +⋅ dxxarctgx )1(

21) ∫ ⋅ xdxx ln 22) ∫ + dxx )1ln( 23) ∫ + dxexx x)( 2 24) ∫ arctgxdxx 2

25) ∫ dxex x32 26) ∫ +dx

x 2211 27) dx

x∫ + 53 28) ∫ +

dxx

x41

29) ∫ − dxxx 21

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Trabajo verano Matem. Aplic I · Trabajo verano 2014 Página 3 • Dividir el número 40 en dos partes tal que el doble de la suma de la mitad de la parte mayor con el triple de la