TRABAJOS DE PLATAFORMAUNIDAD 1

Cuantificadores

CUANTIFICADORES

Función Proposicional

Supongamos tenemos los enunciados abiertos: 

1. " x es la capital del Peru"

2. " x + 4 = 11"

Estos no tienen un valor veritativo.

Pero si en el primero de ellos hacemos x = Lima, tenemos:

"Lima es la capital del Perú" (V)

Asimismo, si en el segundo hacemos x = 9, resulta:  9 + 4 = 11 (F)

Podemos, entonces, dar la siguiente definición: "Una función proposicional es un enunciado abierto de la forma P(x) que se convierte en una proposición cuando se le asigna un valor específico a la variable".

Ejemplos:

p(x) : 2x + 5 > 11 , si x = 4 → 13 > 11 (Verdadero)

q(x) : 3x + 7 = 11 , si x = 5 → 22 = 16 (Falso)

Cuantificadores

A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado de cuantificación. Asociados a la indeterminada x, introducimos los símbolos ∀ x y ∃x, llamados cuantificador universal y cuantificador existencial respectivamente. Las expresiones

Para todo x, se verifica p(x) se denota por ∀ x : p(x)

Existe x, tal que se verifica p(x) se denota por ∃x / p(x)

Corresponden a una función proposicional p(x) cuantificada universalmente en el primer caso, y existencialmente en el segundo.

Ejemplo: Una función proposicional cuantificada universalmente es V si y sólo si son V todas las proposiciones particulares asociadas a aquella. Para asegurar la verdad de una proposición cuantificada universalmente es suficiente que sea verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la función proposicional.

Un problema de interés es la negación de funciones proposicionales cuantificadas. Por ejemplo, La negación de "Todos los enteros son impares" es "Existen enteros que no son impares"   y en símbolos: ∃x / ~ p(x)

Entonces, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuantificador en existencial, y se niega la función proposicional.

Los siguientes enunciados, formulados en base a la función proposicional p(n):

r: "Para todo número entero n, n es par"

s: "Existe un número racional n, tal que es par"

La expresión "para todo" se denota con el símbolo "" y se llama

cuantificador universal, y la expresión "existe", denotado con el símbolo "",

se llama cuantificador existencial. Estos cuantificadores unidos a una función

proposicional la transforman en una proposición. Podemos escribir las

proposiciones r y s como:

r : "n / n es par" s: " n / n es par"

EjemplosEn el conjunto de los números enteros (Z) consideremos la proposición:

p: Existen múltiplos de dos que son múltiplos de cuatro (verdadero)

La negación de p es:

~p: No existen múltiplos de dos que son múltiplos de cuatro (falso)

Equivalentemente:

~p: Todos los múltiplos de dos no son múltiplos de cuatro.

En símbolos:

p: " n Z / n es múltiplo de 2 y n es múltiplo de 4"

~p: "n Z, n no es múltiplo de 2 ó n no es múltiplo de 4"

en esta negación se usa las leyes de De Morgan.

En general, en relación a los cuantificadores tenemos:

~ [ xU / p(x)] [xU, ~p(x)]

~ [xU, p(x)] [ xU / ~p(x)]

PRACTICANDO: 1. ¿Podemos afirmar que p Δ q es equivalente a (pq) es equivalente?¿Por

qué?

2. Indica si son equivalentes. Comprueba con tablas de verdad:

a) ((p q) r) (p (q r))

b) (p (q r)) ((p q) (p r))

c) (p q) (q p)

3. Probar las leyes de De Morgan.

a) (p q) p q

b) (p q) p q

4 Probar las leyes distributivas:

a) p (q r) (p q) (p r)

b) p (q r) (p q) (p r)

5. Sean los siguientes enunciados:

p: hoy es jueves. q : mañana es viernes. r : pasado mañana es

domingo.

Indicar cuáles de las siguientes expresiones son verdaderas y cuales

falsas.

a)p q ; b)p r ; c)r p ; d) q p ; ; e)p r ; f) q

r

6. Formar los condicionales y bi condicionales posibles utilizando las

proposiciones

p = La suma de las cifras de un número es divisible por 18.

q = La suma de las cifras de un número es divisible por 9.

r = un número es divisible por 18.

s = un número es divisible por 9.

t = un número es divisible por 9 y 2.

n = un número es divisible por 3 y 6.

7. Sea P (x) = " x aumentado en 9, es mayor o igual que 13".De acuerdo a esta proposición es incorrecto señalar que:

a) ∃ x que cumple p(x) b) ∀ x > 3 se cumple p(x) c) ∃ x4 se cumple p(x)d) ∀ x > 14 se cumple p(x)

8. Si A = 0, 1, 2, 3, 4, 5 ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son

verdaderas?

a) x A / x2 = xb) x A / y A, xy 0c) x A , y A / x + 2 = yd) x A / y A, x + y es par

9. Exprese la negación de todas las proposiciones del ejercicio 1.y 2.

Números reales

Números reales

El conjunto formado por los números racionales e

i rrac ionales es e l con junto de los números reales , se des igna por

.

Con los números reales podemos rea l i zar todas las

operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando

negativo, y la div isión por cero.

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la rec ta y a

todo punto de la recta un número real .

Representación de los números reales

Los números reales pueden ser representados en la rec ta con

tanta aprox imación como queramos, pero hay casos en los que

podemos representar los de forma exacta .

Números reales. Ejercicios

1 C las i f i ca los números :

2Representa en la rec ta :

3 Representa en la recta rea l los números que ver i f i can las s igu ientes re lac iones :

|x | < 1                               |x | ≤ 1                             |x | > 1                             |x | ≥ 1

4Calcu la los va lores de las s igu ientes potenc ias :

5 Ha l la las sumas:

6 Rea l i za las operac iones :

7 Opera:

8Efectúa :

9Calcu la :

10 Rac iona l i zar

Ecuaciones e inecuaciones

Recursividad

UNIDAD 2

Función exponencial

Función exponencial y logarítmica

ACTIVIDAD 1

ACTIVIDAD 2

ACTIVIDAD 3

Funciones trigonométricas

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS