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8/3/2019 TrabajoTopologia4

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TRABAJO DE TOPOLOGIA

HAIDER MONTES MASMELA

Cod. 070200362008

OSCAR ANDRES LUGO CAPERA

Cod. 070200022008

DEIVER SUAREZ GOMEZ

Cod. 070250112008

Profesor

ANTON ARNOLD OOSTRA VAN NOPPEN

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA

MATEMATICAS CON ENFASIS EN ESTADISTICA

2011



Topologıa

Trabajo No. 4

(A entregar: Miercoles 15 de febrero, 10 a.m.)

4.1. Sean X , Y espacios topologicos y sean M ⊆ X , P ⊆ Y subconjuntos

arbitrarios. Demuestre las igualdades siguientes en el espacio producto X ×Y .

a) (M × P )◦ = M ◦ × P ◦

Recordemos que si A ⊆ B y C ⊆ D entonces A × C ⊆ B × D. Dado que

M ◦ ⊆ M y P ◦ ⊆ P entonces M ◦ × P ◦ ⊆ M × P , donde M ◦ × P ◦ es un

abierto para la topologıa producto de X × Y . Como (M × P )◦ es el mayor

abierto contenido en M × P , entonces

M ◦ × P ◦ ⊆ (M × P )◦

Recıprocamente, sea (x, y) ∈ (M ×P )◦, usando la base que define la topologıa

producto existen A abierto en X y B abierto en Y tales que (x, y) ∈ A×B ⊆

M × P . En consecuencia x ∈ A ⊆ M e y ∈ B ⊆ P , de donde x ∈ M ◦ e

y ∈ P ◦. O lo que es lo mismo (x, y) ∈ M ◦ × P ◦, por lo tanto

(M × P )◦ ⊆ M ◦ × P ◦

De las contenecias obtenidas se concluye que (M × P )◦ = M ◦ × P ◦

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b) M × P = M × P

Demostremos que si C cerrado en X y D cerrado en Y , entonces C × D es

cerrado para la topologıa producto de X × Y .

(x, y) ∈ (C × D)c ↔ (x, y) ∈ (X × Y ) ∧ (x, y) /∈ (C × D)

↔ (x ∈ X ∧ y ∈ Y ) ∧ (x /∈ C ∨ y /∈ D)

↔ ((x ∈ X ∧ y ∈ Y ) ∧ (x /∈ C )) ∨ ((x ∈ X ∧ y ∈ Y ) ∧ (y /∈ D))

↔ ((x ∈ X ∧ x /∈ C ) ∧ y ∈ Y ) ∨ (x ∈ X ∧ (y ∈ Y ∧ y /∈ D))

↔ (x ∈ C c ∧ y ∈ Y ) ∨ (x ∈ X ∧ y ∈ Dc)

↔ (x, y) ∈ (C c × Y ) ∨ (x, y) ∈ (X × Dc)

↔ (x, y) ∈ ((C c × Y ) ∪ (X × Dc))

Por tanto (C × D)c = (C c × Y ) ∪ (X × Dc), donde (C c × Y ), (X × Dc) son

abiertos para la topologıa producto, es decir, (C × D)c es abierto para la

topologıa producto, lo que significa que C × D es cerrado para la topologıa

producto.

Dado que M es cerrado en X y P es cerrado en Y , de lo anterior resulta que

M × P es cerrado para la topologıa producto. Es claro que M ⊆ M y P ⊆ P

entonces M × P ⊆ M × P y como M × P es el menor cerrado que contiene

a M × P , entonces

M × P ⊆ M × P

Recıprocamente, sea (x, y) ∈ M × P y V una vecindad abierta del punto

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(x, y). Existe un abierto A × B de la base de la topologıa producto con

(x, y) ∈ A × B ⊆ V . Como x ∈ M e y ∈ P tenemos que A ∩ M = ∅ y

B ∩ P = ∅, ası

∅ = (A ∩ M ) × (B ∩ P ) = (A × B) ∩ (M × P ) ⊆ V ∩ (M × P )

es decir (x, y) ∈ M × P , por tanto

M × P ⊆ M × P

De las contenecias obtenidas se concluye que M × P = M × P

4.2. a) Pruebe que la imagen de un abierto del espacio producto X × Y por

la primera proyeccion πX : X × Y → X es un abierto de X .

Sean (X, τ ), (Y, σ) dos espacios topologicos, y sabemos que una base para latopologıa producto de X × Y es aquella formada por los conjuntos A × B

tales que A ∈ τ y B ∈ σ. Sea M un abierto para la topologıa producto,

entonces M es un abierto basico o es union de abiertos basicos.

• Si M es un abierto basico, significa que M = A×B con A ∈ τ y B ∈ σ,

por tanto πX(M ) = πX(A × B) = A ∈ τ , es decir, πX(M ) es abierto

de X .

• Si M es union de abiertos basicos, significa que existe una coleccion

{Ai × Bi}i∈I tal que M =i∈I

(Ai × Bi) con Ai ∈ τ y Bi ∈ σ para todo

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i ∈ I , y recordemos que si f : V → W , {V j} j∈J ⊆ V se tiene que

f j∈J

V j

=

j∈J

f (V j) por tanto

πX(M ) = πX

i∈I

(Ai × Bi)

=i∈I

πX(Ai × Bi) =i∈I

Ai ∈ τ

Es decir, πX(M ) es abierto de X .

b) Muestre mediante un ejemplo que la imagen de un cerrado del espa-

cio producto R×R (ambos con la topologıa usual) por la primera proyeccion

π1 : R2 → R no necesariamente es un cerrado de R.

En el espacio R×R , tomemos el subconjunto H = {(x, y) ∈ R2; xy = 1}.

Definamos f : R× R → R de la forma f (x, y) = xy − 1, f definida de esta

manera es una funcion continua en R × R y sabemos que {0} es cerrado

en R ya que {0}c = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) es abierto, ademas se cumple que

f −1

({M })c

= f −1

({M }c

) para cualquier M ⊆R

, entonces

f −1({0})c = f −1({0}c) = f −1 ((−∞, 0) ∪ (0, +∞))

y como f es continua significa que f −1({0})c es abierto por ser imagen

recıproca de abiertos, por tanto f −1({0}) es cerrado. Ademas

f −1({0}) = {(x, y) ∈ R2; f (x, y) ∈ {0}}

= {(x, y) ∈ R2; f (x, y) = 0}

= {(x, y) ∈ R2; xy − 1 = 0}

= {(x, y) ∈ R2; xy = 1}

= H

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con lo que se concluye que H es cerrado en R×R.

A hora aplicamos la primera proyeccion en H nos damos cuenta que π1(H ) =

R−{0} que no es un cerrado de R, dado que (R−{0})c = {0} que es cerrado

mas no un abierto de R.

Por lo tanto la imagen de un cerrado del espacio producto R × R (ambos

con la topologıa usual) por la primera proyeccion no necesariamente es un

cerrado de R.

4.3. Sea {X i}i∈I una familia arbitraria de espacios topologicos y sea M i ⊆ X i

para cada i ∈ I . Pruebe que en el espacio producto

i∈I X i se tienei∈I

M i =i∈I

M i.

Sea x ∈ i∈I

M i y V x una vecindad abierta del punto x = (xi). Existe un

abiertoi∈I

Ui de la base de la topologıa producto con x ∈i∈I

Ui ⊆ V x.

Como xi ∈ M i tenemos U i ∩ M i = ∅ para cada i ∈ I y ası

∅ =i∈I

(U i ∩ M i) =

i∈I

U i

∩

i∈I

M i

⊆ V x ∩

i∈I

M i,

luego x ∈i∈I

M i, es decir

i∈I M i ⊆ i∈I M i

Recıprocamente, como cada proyeccion pi es continua, se tiene

pi

i∈I

M i

⊆ pi

i∈I

M i

= M i

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Para cada i ∈ I . Recordemos que si A ⊆ B y C ⊆ D entonces A×C ⊆ B×D,

de donde es posible obtener

i∈I

pi

i∈I

M i

⊆i∈I

M i

Se cumple tambien que si A ⊆i∈I

X i entonces A ⊆i∈I

pi(A) (Ver figura)

A ⊆

pi(A), i = 2.

Luego, dado que

i∈I M i ⊆

i∈I X i se tiene

i∈I M i ⊆i∈I

pi

i∈I

M i

,

entonces

i∈I M i ⊆

i∈I

M i

De las contenecias obtenidas se concluye que

i∈I M i =i∈I

M i

4.4. En un conjunto arbitrario X , sea M ⊆ X un subconjunto fijo y con-

siderese la topologıa τ = {∅} ∪ {A ⊆ X : M ⊆ A} (ver ejercicio 1.1). ¿Esta

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topologıa es T 0?

Sea x, y ∈ X con x = y.

• Si x ∈ M e y /∈ M , es evidente.

• Si x, y /∈ M , existe {x} ∪ M ∈ τ tal que x ∈ {x} ∪ M e y /∈ {x} ∪ M ,

Tambien existe {y} ∪ M ∈ τ tal que x /∈ {y} ∪ M e y ∈ {y} ∪ M .

• Si x, y ∈ M , no existe A ∈ τ tal que x ∈ A e y /∈ A.

Por lo tanto esta topologıa no es T 0.

Observaci´ on . Si para esta topologıa tomamos M como un conjunto uni-

tario, resulta que la topologıa es T 0.

4.5. a) Muestre que todo subespacio de un espacio T 1 tambien es T 1.

Sea (X, τ ) un espacio topologico T 1, A ⊆ X y sean x, y ∈ A con x = y. Dado

que x, y ∈ A entonces x, y ∈ X y como X es T 1, existe M ∈ τ tal que x ∈ M

e y /∈ M ; tambien existe P ∈ τ tal que x /∈ P e y ∈ P .

Por tanto, para la topologıa de subespacio de A, existe M ∩A abierto, tal que

x ∈ M ∩ A e y /∈ M ∩ A, igualmente, existe P ∩ A abierto tal que x /∈ P ∩ A

e y ∈ P ∩ A.

Por lo tanto todo subespacio de un espacio T 1 tambien es T 1.

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b) Muestre que el producto de dos espacios T 1 tambien es T 1.

Supongamos que (X, τ ), (Y, σ) son espacios topologicos T 1. Sean (x, y), (z, w) ∈

X × Y de tal forma que (x, y) = (z, w). Es claro que (x, y) = (z, w) si:

i) x = z e y = w

ii) x = z e y = w

iii) x = z e y = w

i) Sean x, z ∈ X con x = z, como X es T 1 existe A1 ∈ τ tal que x ∈ A1 y

z /∈ A1, y tambien existe A2 ∈ τ tal que x /∈ A2 y z ∈ A2.

Sean y, w ∈ Y con y = w, como Y es T 1 existe B1 ∈ σ tal que y ∈ B1 y

w /∈ B1, y tambien existe B2 ∈ σ tal que y /∈ B2 y w ∈ B2.

Por tanto, en la topologıa producto de X × Y existe el abierto A1 × B1 tal

que (x, y) ∈ A1 × B1 y (z, w) /∈ A1 × B1, igualmente existe el abierto A2 × B2

tal que (x, y) /∈ A2 × B2 y (z, w) ∈ A2 × B2.

Con lo cual, la topologıa producto de X × Y es T 1.

ii) Sean x, z ∈ X con x = z, como X es T 1 existe A1 ∈ τ tal que x ∈ A1 y

z /∈ A1, y tambien existe A2 ∈ τ tal que x /∈ A2 y z ∈ A2.

Por tanto, en la topologıa producto de X × Y existe el abierto A1 × Y tal

que (x, y) ∈ A1 × Y y (z, w) /∈ A1 × Y , igualmente existe el abierto A2 × Y

tal que (x, y) /∈ A2 × Y y (z, w) ∈ A2 × Y .

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En conclusion, la topologıa producto de X × Y es T 1.

iii) Sean y, w ∈ Y con y = w, como Y es T 1 existe B1 ∈ τ tal que x ∈ B1 y

z /∈ B1, y tambien existe B2 ∈ τ tal que x /∈ B2 y z ∈ B2.

Por tanto, en la topologıa producto de X × Y existe el abierto X × B1 tal

que (x, y) ∈ X × B1 y (z, w) /∈ X × B1, igualmente existe el abierto X × B2

tal que (x, y) /∈ X × B2 y (z, w) ∈ X × B2.

En conclusion, la topologıa producto de X × Y es T 1.

4.6. Demuestre que un espacio topologico X es T 2 si y solo si la diagonal

∆X =

(x, x) : x ∈ X

es un cerrado en el espacio producto X × X .

⇒)

Supongamos que X es T 2 y sea (x, y) ∈ ∆cX arbitrario, significa que x = y.

Es claro que x, y ∈ X ya que (x, y) ∈ X × X y como X es T 2 existen H, G

abiertos en X tales que x ∈ G, y ∈ H y G ∩ H = ∅.

Supongamos que (G × H ) ∩ ∆X = ∅, es decir, existe (z, z) ∈ ∆X el cual

cumple que (z, z) ∈ G × H entonces z ∈ G y z ∈ H , significa que G ∩ H = ∅,

que seria una contradiccion. Entonces (G × H ) ∩ ∆X = ∅ es decir, G × H ⊆

∆cX .

Entonces (x, y) ∈ G×H ⊆ ∆cX con G×H abierto para la topologıa producto,

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es decir, (x, y) es un punto interior de ∆cX y como (x, y) es arbitrario significa

que ∆cX es abierto, y por lo tanto ∆X es cerrado.

⇐)

Supongamos que ∆X es cerrado. Sean x, y ∈ X con x = y, lo que significa

que (x, y) ∈ ∆cX y como ∆X es cerrado, entonces ∆c

X es abierto. Luego

(x, y) es un punto interior de ∆cX , entonces existe U abierto para la topologia

producto de X ×X tal que (x, y) ∈ U ⊆ ∆cX , de donde se obtiene U ∩∆X = ∅.

Dado que U es abierto para la topologia producto de X × X , existe {Ai ×

Bi}i∈I tal que Ai, Bi son abiertos de X para cada i ∈ I y U =i∈I

(Ai × Bi).

Como (x, y) ∈ U entonces para algun i0 ∈ I , existen Ai0, Bi0 abiertos en X

tales que (x, y) ∈ Ai0 × Bi0 , ası x ∈ Ai0 e y ∈ Bi0.

Supongamos que Ai0 ∩ Bi0 = ∅, entonces existe z ∈ X tal que z ∈ Ai0 y

z ∈ Bi0, por tanto (z, z) ∈ Ai0 × Bi0 ⊆ U , es decir, U ∩ ∆X = ∅, lo cual es

una contradiccion. Luego Ai0 ∩ Bi0 = ∅ y por lo tanto X es T 2.

4.7. Sean f, g : X → Y dos funciones continuas entre espacios topologicos.

Pruebe que si Y es un espacio T 2 entonces el conjunto de coincidencia

x ∈ X : f (x) = g(x)

es un cerrado en el espacio X .

Sea p ∈ X de tal forma que p /∈ x ∈ X : f (x) = g(x), lo que significa que

f ( p) = g( p). Dado que Y es un espacio T 2, existen A, B abiertos disyuntos

en Y tales que f ( p) ∈ A y g( p) ∈ B, como f y g son continuas entonces

f −1(A) y g−1(B) son abiertos de X.

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Ya que f ( p) ∈ A como g( p) ∈ B significa que p ∈ f −1(A) y p ∈ g−1(B), es

decir p ∈ f −1(A) ∩ g−1(B) con f −1(A) ∩ g−1(B) abierto.

Sea q ∈ f −1(A) ∩ g−1(B) entonces q ∈ f −1(A) y q ∈ g−1(B) lo que sig-

nifica que f (q) ∈ A y g(q) ∈ B, dado que A y B son disyuntos, entonces

f (q) = g(q), es decir, q ∈

x ∈ X : f (x) = g(x)c

. En conclusion

f −1(A) ∩ g−1(B) ⊆

x ∈ X : f (x) = g(x)c

.

El razonamiento anterior nos dice que para cada punto p ∈ x ∈ X :

x ∈ X : f (x) = g(x)

c

f (x) = g(x)c

existe un abierto que lo contiene, con lo cual podemos escribir

a x ∈ X : f (x) = g(x)c como la union de aquellos abiertos, es decir,x ∈ X : f (x) = g(x)

ces abierto. Por lo tanto

x ∈ X : f (x) = g(x)

es

cerrado.

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