http://cuentos-cuanticos.com/2011/10/11/gauge-esto-gauge-lo-otro-%C2%BFque-es-una-teoria-gauge/

Un fluido perfecto se define como que tiene en cada punto una velocidad v, de tal manera que un observador en movimiento con esta velocidad ve el fluido a su alrededor como isotrpico. Este ser el caso si el recorrido libre medio entre colisiones es pequea en comparacin con la escala de longitudes utilizados por el observador. (Por ejemplo, una onda de sonido se propaga en el aire si su longitud de onda es grande en comparacin con el recorrido libre medio, pero en longitudes de onda muy cortas viscosidad se vuelve importante y el aire deja de actuar como un fluido perfecto.) Vamos a traducir la definicin anterior de un fluido perfecto en una afirmacin sobre el tensor de energa-momento toma la forma caracterstica de simetra esfrica:

Hidrodinmica y Hidrosttica

En ausencia de la gravitacin, el tensor de energa-momento de un fluido perfecto que dada por (2.10.7) (5.4.1) donde U es el lquido de cuatro velocidad, U = ........... El tensor contravariante que se reduce a (5.4.1), en ausencia de la gravitacin es (5.4.2) donde U es el valor local de [] para un elemento de fluido comvil. Tenga en cuenta que P y D siempre se definen como la presin y la densidad de energa medida por un observador en un marco localmente inercial que pasa a estar en movimiento con el fluido en el instante de la medicin, y por lo tanto son escalares. Las condiciones de conservacin de la energa-momento dan las ecuaciones hidrodinmicas (5.4.3). El ltimo trmino representa la fuerza de la gravedad en el sistema. Tenga en cuenta tambin que, dado que [] en ausencia de gravedad, tenemos que en presencia de la gravitacin que (5.4.4). Tomemos como ejemplo el caso de un fluido en equilibrio hidrosttico. Ya que al no moverse, (5.4.4) da []. Adems, todas las derivadas temporales de [], P o D, se desvanecen. En particular, [] y []. Multiplicando (5.4.3) por [] da a continuacin (5.4.5). Esto es trivial para [], mientras que para L tipo espacio no es ms que la ecuacin relativista ordinaria de equilibrio hidrosttico, con la excepcin de que P + D aparece en lugar de la densidad de masa, y [] aparece en lugar del potencial gravitatorio. Esta ecuacin es soluble si P se da en funcin de la D. A continuacin, encontramos que (5.4.6). Por ejemplo, si [] viene dada por una ley de potencia: (5.4.7) entonces (5.4.6) da para [] (5.4.8) y para [] (5.4.9). Esto, por cierto, muestra que la gravitacin no puede producir equilibrio hidrosttico en un fluido altamente relativista finito con [], porque entonces (5.4.9) da (5.4.10). Desde D debe desaparecer fuera del fluido, [] tendra que convertirse en singular en su superficie.

Derivacin de las ecuaciones de campo.

Las ecuaciones de campo de la gravitacin inevitablemente van a ser ms complicados que los de electromagnetismo. Las ecuaciones de Maxwell son lineales debido a que el campo electromagntico no efecte por s mismo cargo, mientras que los campos gravitatorios son portadores de energa y momento, por lo que deben contribuir a su propia fuente. Es decir, las ecuaciones de campo gravitacionales tendrn que ser ecuaciones diferenciales parciales no lineales, la no linealidad que representa el efecto de la gravitacin sobre s mismo. Al tratar con estos efectos no lineales somos guiados una vez ms por el principio de equivalencia. En cualquier punto X en un campo gravitatorio arbitrariamente fuerte, podemos definir un sistema localmente inercial de coordenadas tal que (7.1.1) (7.1.2)

De ah que para X cerca de X, el tensor mtrico [] puede ser diferente del [] slo por los trminos cuadrticos en []. En este sistema de coordenadas del campo gravitatorio es dbil cerca de X, y podemos aspirar a describir el campo por la ecuacin diferencial parcial lineal. Y una vez que sabemos lo que estas ecuaciones de campo dbil son, podemos encontrar las ecuaciones de campo generales mediante la inversin de la transformacin de coordenadas que hizo que el campo dbil. Por desgracia. tenemos muy poca informacin emprica sobre las equations.This de campo dbil no es por cualquier razn fundamental, sino ms bien porque la radiacin gravitacional es tan dbil genera y absorberd por la materia, que an no ha ciertamente sido detectado. Sin embargo, aunque perdonable, nuestra ignorancia nos impide proceder tan directamente como lo hicimos en los captulos anteriores, y algunas conjeturas ser inevitable. En primer lugar recordemos que en un campo esttico dbil producido por una densidad de masa relativista D, la componet tiempo-tiempo del tensor mtrico viene dado aproximadamente por []. [Vase la ecuacin. (3.4.5).] Aqu [] es el potencial newtoniano, determinada por la ecuacin de Poisson [] wher G es la constante de Newton, igual a [] es cgs unidades. Furtherore, la densidad de energa [] para la materia no relativista es slo igual a su densidad de masa []. La combinacin de lo anterior, tenemos entonces [] (7.1.3). Esta ecuacin de campo slo se supone que tiene para los campos estticos dbiles generados por la materia no relativista, y no es ni siquiera Lorentz invariante tal como est. Sin embargo, (7.1.3) nos lleva a suponer que la ecuacin de campo dbil para una distribucin general [] de energa y el momento tomar la forma (7.1.5) en la que G es un tensor que se reduce a G para campos dbiles. En general, habr una variedad de tensores T que se puede formar a partir del tensor mtrico y de sus derivados, y que reducir en el lmite de campo dbil para un dar G. Imaginemos T Tobe expande en una suma de productos de derivados de la mtrica, y clasificar cada trmino en funcin del nmero total de N de los derivados de los componentes mtricas. (Por ejemplo, un trmino con [] podra ser lineal en tercera derivadas de la mtrica, o un producto de una primera derivada con un segundo derivado, o un producto de tres primeras derivadas.) El conjunto de G debe tener las dimensiones de un segunda derivada, por lo que cada trmino del tipo [] aparece multiplicada por una constante que tiene las dimensiones de longitud al poder []; tales trminos se volvern insignificantes para los campos gravitacionales de lo suficientemente grande o pequea escala espacio-tiempo si [] o [], respectivamente. Con el fin de remoce la ambigedad en G, supondremos que las ecuaciones del campo gravitatorio son uniformes en escala, de manera que slo un acuerdo con [] son permitidas. Vamos a revierw lo que sabemos sobre la mano del lado izquierdo de la ecuacin de campo (7.1.5): (A) Por definicin G es un tensor. (B) Por supuesto, G se compone slo de un acuerdo con [] derivadas de la mtrica; es decir G contiene slo trminos que son lineales en las segundas derivadas o cuadrtica en las primeras derivadas de la mtrica. (C) Puesto que T es simtrica, por lo que es G. (D) Desde T se conserva (en el sentido de la diferenciacin covariante) tambin lo es G: (7.1.6) (E) Para un campo estacionario dbil producido por la materia no relativista del componente 00 de (7.1.5) debe reducir a (7.1.3), por lo que en este lmite (7.1.7). Estas propiedades son todo lo que necesitamos para encontrar G. Vimos en la seccin 6.2 que la forma ms general de la construccin de un terreno y satisfecho (A) y (B) es por la contraccin del tensor de curvatura R. La propiedad antisimetra de R se discute en la Seccin 6.6 muestra que hay slo dos tensores que pueden ser formado por la contratacin de R; es decir, el tensor de Ricce [], y la curvatura escalar []. Por lo tanto (A) y (B) requiere G para adoptar la forma (7.1.8). donde C y C son constantes. Este es automticamente simtrica [vase la ecuacin. (6.6.7)]. as que (C) no nos dice nada nuevo. Uso de la identidad de Bianchi (6.8.3) da la divergencia covariante de G como [] para (D) permite dos posibilidades, debido a que (7.1.8) y (7.1.5) dan [].

As, si [] se desvanece, la as es necesario que [], y este no es el caso en presencia de la materia no relativista no homognea. Llegamos a la conclusin entonces de que [], por lo que (7.1.8) se convierte en (7.1.9). Por ltimo siempre ha [], por lo que se trata aqu de un caso en que [], o el uso de (7.1.9), [] Por otra parte, nos ocupamos aqu con un campo dbil, por lo que []. Por consiguiente, la curvatura escalar est dada por [] o (7.1.10) Usando (7.1.10) y (7.1.1) en (7.1.9), nos encontramos con (7.1.11). Para el clculo de R para un campo dbil podemos utilizar la parte lineal de R, dada por la ecuacin. (6.6.2) como [].

De ah que (7.1.11) da [] y comparando esto con (7.1.7), encontramos que (E) se satisface si y slo si []. Ajuste [] en (7.1.9) completa nuestro clculo de G: (7.1.12). Con (7.1.5), esto da a las ecuaciones de campo de Einstein (7.1.13). Una forma alternativa es a veces til. Contratante (7.1.13) con [] da [] o [] (7.1.14) y usando esto en (7.1.13), tenemos [] (7.1.15). Por supuesto, tambin podemos ir de (7.1.15), vemos que la ecuacin de campo de Einstein en el espacio vaco tiene una categora [] (7.1.16). En un espacio-tiempo de dos o tres dimensiones que esto implicara la desaparicin del tensor de curvatura completa R, y la consecuente ausencia de un campo gravitatorio. (Vea la Seccin 6.4.) Slo en cuatro o ms dimensiones que pueden existir campos verdadera gravitatorio en el espacio vaco. Podramos estar dispuestos a relajar el supuesto (B), y permitir G contiene trminos con menos de dos derivados de la mtrica. La libertad de usar primero derivados no permite que las nuevas disposiciones en G (ver Seccin 6.1), pero si podemos utilizar el propio tensor mtrico, entonces uno nuevo plazo es posible, igual a [] veces al L. constantes Las ecuaciones FIEL sera luego leer []. El trmino [] fue introducido originalmente por Einstein por razones cosmolgicas (que desde entonces han desaparecido); por esta razn, L se denomina la constante cosmolgica. Este trmino satisface los requisitos (a), (C) y (D), pero no satisface (E), por lo que L debe ser muy pequea para que no se interfiera con los xitos de la teora de la gravitacin de Newton. Excepto en el captulo 16, estoy asumiendo a lo largo de este libro que [].

RCOLES, 18 DE MARZO DE 2009El tensor energa-tensinEn la ecuacin tensorial fundamental de la Relatividad General, el tensorTque aparece en el lado derecho de dicha ecuacin:G= 8GT

conocido como eltensor energa-tensin, eltensor energa-impulsoy tambin comotensor energa-momentum, es la extensin del concepto bsico del4-vectorenerga-momentum utilizado en el espacio-tiempoplanode cuatro dimensiones de la Teora Especial de la Relatividad, generalizado hacia un espacio-tiempocurvo.

Antes de intentar dar un significado fsico al tensorTcuatri-dimensional de la Relatividad General, empezaremos por dar una interpretacin a un tensor en un espacio ordinario de tres dimensiones utilizado en los estudios de la teora de la elasticidad, del cual parte precisamente el origen de la palabratensininterpretada en el sentido usual de la mecnica clsica.

Imaginemos por un momento que tenemos en nuestras manos un bloque cbico hecho de hule, al cual le ponemos encima en su cara superior la palma de nuestra mano mientras que la cara inferior la dejamos reposar en contacto sobre la superficie de una mesa de madera con la cual haya suficiente friccin para que el bloque de hule permanezca en la misma posicin al irse deformando conforme empezamos a aplicar una fuerza superficiallateralen la cara superior del bloque a la cual llamaremos, produciendo unatensin mecnicasobre la superficie del mismo capaz de deformar ligeramente al bloque en el sentido en el cual aplicamos la tensin. Conociendo el coeficiente de elasticidad del hule, podemos calcular sin problema alguno el grado de deformacin del bloque de hule suponiendo que la cara inferior que est en contacto con la mesa permanece inmvil.

Si la cara superior del bloque de hule la identificamos con un sistema de coordenadas Cartesianas situando simtricamente una esquina de la cara superior del bloque de hule en el origen de dichas coordenadas, entonces podemos aplicarle la tensin en una direccin que coincida con el eje-x. Del mismo modo, podemos aplicarle la tensin en una direccin que coinicida con el eje-y. Pero si le aplicamos la tensin en una direccin que no coincida ni con el eje-x ni con el eje-z, entonces la tensin estar caracterizada por cuatro componentes posibles: xx, xy, yx, y zz. Estos cuatro componentes pueden ser agrupados dentro de un solo smbolo que representa a los cuatro,un tensor covariante (o contravariante) de orden dos en un espacio de dos dimensiones, al cual por comodidad llamaremos.

La situacin se complica si adems de aplicar una tensin mecnica a la cara superior del bloque de hule le aplicamos tambin una tensin mecnicahacia abajo, en la direccin de un tercer eje-z. En tal caso, tenemos una distribucin ms elaborada de tensiones como nos lo muestra la siguiente figura:

En este caso, tenemos un total de nueve componentes, los cuales tambin pueden ser agrupados dentro de un solo smbolo que representa a los nueve componentes,un tensor covariante (o contravariante) de orden dos en un espacio de tres dimensiones.

Si lo que estamos describiendo es un mismo y nico fenmeno fsico, entonces la deformacin del bloque de hule que tenemos arriba debe ser exactamente la misma si imprimimos una rotacin al sistema de coordenadas con el que estamos describiendo los componentes. Naturalmente, al girar el sistema de coordenadas, lascomponentes individualesvan a cambiar, y si tenemos expresiones matemticas en funcin de dichos componentes, tambin van a cambiar.Pero el smbolobajo el cual agrupamos a dichos componentes sigue siendo el mismo. De este modo, si encoordenadas generalizadas-usando notacin (x1, x2, x3)- tenemos la siguiente situacin:

entonces tras imprimir una rotacin al sistema de coordenadas tendremos algo como lo siguiente:

Ahora bien, puesto que el sistema de coordenadas indicado -coordenadas Cartesianas- es un sistema de coordenadas arbitrario, lo podemos reemplazar por otro siempre y cuando el fenmeno fsico que est siendo descrito no cambie al cambiar el sistema de coordenadas. Naturalmente, para ciertos problemas habr un sistema de coordenadas cuyo uso ser mil veces preferible a los dems sistemas de coordenadas que podamos utilizar en virtud de la simplificacin que podamos obtener en nuestros clculos matemticos bajo cierto sistema. De cualquier manera, lo que no cambiar notacionalmente en lo absoluto es el smbolo del tensorTbajo el cual se agrupan los componentes. Un cierto tensorTpodr ser descompuesto en los componentes propios de un sistema de coordenadas rectangulares o en los componentes propios de un sistema de coordenadas esfricas,pero el tensor en s no cambia en nada.

Ahora veremos ms a fondo lo que nos representa el tensor energa-tensin que aparece en la Relatividad General. En coordenadas generalizadas, las componentes de dicho tensor de orden dos para el cual utilizaremos aqu notacin contravariante se acostumbran exhibir mediante una matriz como la siguiente:

Aunque un cudruplo de coordenadas generalizadas lo podemos representar de la siguiente manera con los ndices empezando desde uno:(x1, x2, x3, x4)

en muchos textos se acostumbra comenzar la simbolizacin numrica indexal desde cero:(x0, x1, x2, x3)

extendindose dicha representacin al mismo tensor energa-tensin de modo tal que tenemos un componente como T00. Esto no debe representar problema alguno, y el contexto del trabajo cientfico o del libro de texto consultado debe ser suficiente para dejar en claro cul es la convencin seguida.

Antes de continuar, es importante dejar una cosa en claro:

El tensor de Einstein (simbolizado como G) y el tensor mtrico g son dos cosas completamente distintas que no deben ser confundidas en ningn momento y bajo ninguna circunstancia.

Es hasta cierto punto desafortunado el que para poder representar a la matriz que agrupa a los componentes del tensor mtricogse acostumbre usar con cierta frecuencia la misma letra G que la que usamos para representar al tensor de curvatura de Einstein; y ms desafortunado an el que la misma letra se utilice para representar a la constanteGde la gravitacin universal. Para evitar ambigedades, podramos inventar nuevos smbolos, pero esto simplemente reemplazara una confusin con otra al requerir el aprendizaje de smbolos venidos de otros alfabetos, razn por la cual nos apegaremos aqu al uso de los smbolos ms tradicionales.

Una caracterstica fundamental que tomamos como dada es quelos componentes del tensor energa-tensin T son simtricos, o seaT= (Tij) = (Tji) al igual que los componentes del tensor de curvatura de EinsteinGque est al otro lado de la ecuacin deben serlo consecuentemente. Si se desea, se puede llevar a cabo un interesante ejercicio matemtico suponiendo que ni el tensorG(y por lo tanto tampoco el tensorT) son simtricos, pero esto complica enormemente las cosas y no resulta claro que una suposicin as podra llevarnos a ninguna conclusin til, de modo que nos aferraremos a la suposicin esencial de la simetra en estos tensores a lo largo de esta obra.

A primera vista, para quienes estn acostumbrados a pensar en trminos de la fsica clsica, deber parecerles extrao que para poder describir a la densidad de la energa y el momentum vistos desde marcos de referencia distintos se requiera de un tensor de orden dos sin ser suficientes los vectores N-dimensionales, pero el tensor de orden dos resulta ser indispensable. Para describir la energa y el momentum relativistas deuna sola partculaciertamente nos basta un 4-vector. Pero para poder describir ungasde partculas, o para poder describircampos(como el campo electromagntico) necesitamos de un tensor de orden dos que nos pueda combinar la densidad de la energa (energa por unidad de volumen), el flujo de energa (o la densidad del momentum que en realidad vienen siendo lo mismo) y el flujo de momentum, algo que excede las capacidades de un simple vector.

Considrese una caja en reposo de dimensiones x, y y z de volumen V = xyz que encierra un total de N partculas:

Por una vieja costumbre cuyo origen se desconoce a ciencia cierta, dentro de la Relatividad General a esta coleccin de partculas flotando en estado de reposo dentro de la caja se ha dado por llamarlepolvo, aunque en realidad esta designacin tiene poco que ver con eso que se acumula en los muebles. La densidad de partculas en dicha caja, el nmero de partculas por unidad de volumen que llamaremosn, ser N/V. Ahora bien, la energa en reposo de cada partcula, de acuerdo con la Teora Especial de la Relatividad, ser m0c. Habiendo un total de N partculas en la caja, la energa total contenida en dicha caja ser Nm0c. Ladensidad de energaen dicha caja que llamaremos ser igual a la energa total dividida entre el volumen de la caja: = Nm0c/V =nm0c

Pongamos ahora a la caja en movimiento a lo largo de la direccin del eje-x con una velocidad V. Por los efectos de la contraccin relativista de longitud:

x se reducir a x' por un factor de 1 - V/c, entanto que las longitudes perpendiculares a la direccin del movimiento permanecern iguales. Esto significa que el nmero de partculas por unidad de volumen ahora ser:n/1 - V/c

Pero la densidad de partculas no es lo nico que cambia al ponerse la caja en movimiento. La energa en reposo de cada partcula aumenta en un factor de 1/1 - V/c. Consecuentemente, la densidad de energa de la caja para un observador que ve a la caja en movimiento aumenta no en un factor de 1/1 - V/csino endosfactores de dicha cantidad, resultando en un factor combinado de aumento:

Siendo el factor de aumento en la densidad de energa no 1/1 - V/csino:1/(1 - V/c)

podemos ver que nos ser imposible representar a la densidad de energa simplemente como un vector (un tensor de orden uno) como lo habamos estado haciendo al estar haciendo cambios de un marco de referencia a otro. De hecho la densidad de energa resulta ser el principal componente de un tensor de orden dos,precisamente el tensor energa-tensin.

En trminos algo crudos, podemos visualizar al tensor energa-tensin como algo que nos describeel flujo de la energa-momentum en el espacio-tiempo ya sea plano o curvo. Es importante aclarar aqu otro punto de confusin considerable entre los principiantes: la energa-tensinT(un tensor de orden dos) y la energa-momentum (un vector, el cual a su vez es un tensor de orden uno) son dos cosas completamente diferentes. La energa-tensin es un objeto de orden mayor (un tensor de orden dos) construdo conceptualmente a partir del vector energa-momentum (un tensor de orden uno).

Existen varias interpretaciones matemticas que se le pueden dar al tensor energa-tensin. Una de ellas nos dice que el tensor energa-tensin es algo que llamamos unmapa bi-linearde una representacin vectorial de un elemento de 4-volumen a la representacin vectorial del 4-vector energa-momentum contenidodentrode dicho elemento de 4-volumen. Otra de ellas radica en un lgebra conocida comolgebra Clifford(conocida tambin comolgebra geomtrica) desarrollada por William K. Clifford que nos demuestra que la forma correcta de representar a un volumen es como un vector, aunque esto tal vez parezca extrao a quienes estn acostumbrados a pensar que algo que se mide en litros o en metros cbicos se le pueda asignar una direccin. Pero esto no debe parecernos tan extrao si recordamos que al hablar acerca del flujo de un campo de vectores (campo vectorial) a travs de una superficie tambin nos ha sido posible representar a una porcin de superficiedAcomo unvectorndAmediante un vector normal (perpendicular)ntrazado en cada punto de dicha superficie. Esto no es lo nico extrao de las lgebras Clifford. Otra caracterstica de tales lgebras es que en ellas es posible sumar cantidades escalares (las cuales no tienen direccin ni sentido) a cantidades vectoriales, de modo tal que no es inusual encontrar en dichas lgebras operaciones tales como:C=e+V

en dondeees un escalar yVes un vector. Hay quienes encuentran esto demasiado incmodo y comparan la suma de escalares y vectores como el llevar a cabo una suma de manzanas y naranjas pese a que esto ocurre todo el tiempo cuando preparamos una ensalada de frutas. Las lgebras Clifford eventualmente nos llevan a lo que llamamos elclculo exterioren el cual encontramos definido elproducto cua(wedge product) que entre sus caractersticas tiene la propiedad de que la suma de dos vectores no es conmutativa porque el orden en el cual se toma la suma (simbolizada comouv) nos d el sentido de larotacinque podemos asignar a dicha operacin:

La ruta de anlisis basada en las lgebras Clifford en la que hablamos de vectores, bivectores y trivectores es precisamente la ruta de ataque que siguen Charles Misner, Kip Thorne y John Archibald Wheeler en su venerable y voluminoso libroGravitation, pero seguir esta ruta nos sacara fuera del mbito del clculo tensorial en el que hemos estado trabajando, razn por la cual omitiremos adentrarnos en este tema. Las lgebras Clifford y el clculo exterior son tiles para darnos un poco ms de comprensin en el tema que estamos tratando, pero no son absolutamente indispensables. Einstein pudo obtener y desarrollar sus ecuaciones de campo mantenindose por completo dentro del mbito del clculo tensorial, y aqu podemos hacer lo mismo.

Lo primero que haremos ser construr un tensor de curvatura de EinsteinG. Podemos hacerlo recurriendo a las coordenadas Cartesianas rectangulares que utilizamos en la Teora Especial de la Relatividad para denotar las coordenadas de un objeto en un marco de referencia 4-dimensional:(ct, x, y, z)

Pero siendo los tensores objetos matemticos que permanecen invariantes al pasar de un sistema de coordenadas a otro, podemos darnos el lujo de unir la coordenada temporal con el sistema de coordenadas esfricas para as especificar los cuatro componentes de un 4-espacio de la manera siguiente:(t, r, , )

A continuacin, acomodaremos estos cuatro componentes en un rengln a un lado de los mismos cuatro componentes acomodados formando una columna, como si fusemos a construr una tabla con ambos:

Con este esqueleto procedemos a escribir adentro del espacio vaco uno a uno los componentes del tensor de curvatura de Einstein. Podemos escribirlos como los componentes de un tensor covariante de orden dos, los componentes de un tensor mixto, o los componentes de un tensor contravariante de orden dos, todo es cuestin de gustos que al fin y al cabo podemos subir y bajar los ndices a nuestro antojo con la ayuda del tensor mtricog. Lo haremos aqu representndolos como los componentes contravariantes de un tensor de orden dos:

Esto automticamente nos fija la manera en la cual tenemos que escribir los componentes del tensor energa-tensinT, tambin como componentes de un tensor contravariante de orden dos, dada la igualdad tensorial:G= 8GT

que nos lleva a:

Como podemos ver, la representacin matricial de los componentes del tensor energa-tensinTno parece darnos mucha informacin sobre la naturaleza de los mismos. La interpretacin de su significado fsico se antoja un reto. Pero ello se debe a que no hemos considerado al 4-vector energa-momentum como el verdadero punto de partida para obtener una interpretacin fsica. Recordemos cmo el 4-vector energa-momentum:(E/c,p) = (E/c, p1, p2, p3)

en cierta forma deriva del 4-vector de coordenadas del espacio-tiempo Lorentziano al obtener primero de ste el 4-vector velocidad y posteriormente el 4-momentum con la inclusin de la masa en reposo m0. Podemos establecer una correspondencia entre la representacin matricial dada arriba paraTy una tabla que consta de cuatro renglones y cuatro columnas en la cual acomodamos como tabuladorhorizontala los componentes del 4-vector posicin y en la cual acomodamos como tabuladorverticala los componentes del 4-vector energa-momentum:

Para los componentes del tensor energa-tensinTcuyo significado fsico se dar a continuacin, se acostumbra utilizar como gua la siguiente definicin general:Tab=_____________________________________flujo de momentumaatravesando una superficie debconstante

Y al hablar aqu del momentum estamos hablando de4-momentum.

Es importante tener presente que en el 4-espacio de la Teora de la Relatividad tenemos no tres sinocuatrosuperficies que en un sistema de coordenadas Cartesianas (rectangulares) podemos identificar de la siguiente manera: (1) una superficie det= constante (la que corresponde a la coordenada cero o la coordenada temporal), (2) una superficie dex= constante, (3) una superficie dey= constante, (4) una superficie dez= constante. Al hablar acerca de unflujode energa-momentum a travs de una superficie como la superficiexen realidad estamos hablando acerca de un flujo a travs de todas las superficies dex= constante. A continuacin tenemos una representacin esquemtica de un flujo de energa-momentum a travs de tres de los cuatro tipos de superficie:

En sentido vertical, de abajo hacia arriba, tenemos un flujo de energa-momentum a travs de varias superficies det= constante (la primera superficie podra representar un tiempo de 1 segundo, la segunda superficie podra representar un tiempo de 2 segundos, y as sucesivamente). No es necesario que algo se est moviendo de un lado a otro para que ocurra este flujo, puesto que basta con que una partcula u objeto est en reposo absoluto para que el reloj que marca el tiempo siga avanzando. La partcula avanza en el tiempo. Pero en el sentido del eje-x, la partcula u objeto ciertamente est cambiando de posicin continuamente, pasando de unahipersuperficieplanaxa otra. Aqu si hay movimiento, aqu si hay un flujo observable con nuestros sentidos. Lo mismo se puede decir acerca de un flujo que ocurre a lo largo del eje-y atravesando los planos dey= constante. Y lo mismo puede decirse acerca de un flujo que ocurre a lo largo del eje-z atravesando los planos dez= constante, aunque no haya sido posible ya representarlo dentro de la figura de arriba.

El primer componente que identificaremos dentro del tensor energa-tensinTarreglado con sus componentes identificadores en forma de tabla -en los cuales hemos puesto en el tabuladorhorizontala los componentes del 4-vector posicin y en la cual hemos puesto en el tabuladorverticala los componentes del 4-vector energa-momentum- es el que est situado en la esquina superior izquierda, de color amarillo, identificado como el componente T00en muchos libros de texto. Este es un componente extremadamente importante del tensor energa-tensinT. Este componente puede leerse directamente como el0-momentum(masa relativista, que es a su vez energa) de un fludo que est fluyendo no en alguna direccin en particular sino fluyendo en el0-espacio(el tiempo) como ocurre con un observador que est en reposo en un diagrama espacio-tiempo de Minkowski. Este, por lo tanto y sin lugar a dudas, es el componente que nos suministra ladensidad de la masa relativista(el equivalente energtico de la masa dividido entre el cuadrado de la velocidad de la luz en conformidad con la relacin E = mc)simbolizada como , y en un marco de referencia esttico nos representa la cantidadtotalde masa-energa sumada al combinado total de todos los dems tipos de energa (electromagntica, calorfica, energa de rotacin, etc.).

Si todo lo que tenemos en el marco de referencia para el cual se est especificando el tensor energa-tensinTes un cuerpo o una coleccin de partculas (polvo) en absoluto reposo, entonces el componente T00ser la nica entrada en el tensor; todos los dems componentes sern iguales a cero. Sin embargo, si ponemos dicho cuerpo o dicha coleccin de partculas en movimiento en cierta direccin, entonces habr una transferencia oflujode masa-energa de un lugar a otro. Pero es importante tener en cuenta que dicho movimiento no se llevar a cabo simplemente a una velocidad ordinaria V en tres dimensiones, sino que se llevar a cabo a una4-velocidadrelativista que el tensor energa-tensin de orden dos debe estar preparado para manejar. Esto nos lleva al verdadero punto de origen del tensor energa-tensinT. Del mismo modo en que el4-momentumPunifica los conceptos clsicamente dispares de la energa y el momentum por medio del 4-vector velocidadU:P=m0U

no debe sorprendernos que el equivalente requerido para la Relatividad General se base en la extensin directa de este concepto generalizndolo con elproducto tensorial directodel 4-vector velocidadUconsigo mismo, reemplazndose a la masa en reposo (que es tambin el equivalente a una energa en reposo en base a la relacin E =m0c) con la densidad de la masa del conjunto de partculas flotantes que constituyen el polvo:T= UU

Es recomendable tomarse un poco de tiempo para comparar ambas expresiones antes de seguir adelante.

En un sistema arbitrario de coordenadas xen el cual la 4-velocidad del polvo esU= (U), una vez identificada la densidad de energa (energa por unidad de volumen) del polvo como entonces todas las componentes contravariantes posibles del tensorTestarn dadas en notacin de componentes por:T= UU

Es momento de recordar la definicin bsica de la 4-velocidad, la cual es:U= (U0, U1, U2, U3) = (c, v1, v2, v3)

Con esta definicin, podemos escribir la definicin dimensionalmente correcta del componente T00:T00= U0U0= (c)(c) = c

Dimensionalmente hablando, esta relacin explica el por qu dividiendoT00entre c nos proporciona una densidad de masa (el factor gamma es adimensional).

Habiendo identificado el significado fsico de T00, ahora para mayor comprensin haremos aqu un cambio de coordenadas y utilizaremos las coordenadas Cartesianas rectangulares en lugar de las coordenadas esfricas con las que comenzamos arriba, con lo cual los componentes del tensor energa-tensinTque vamos a identificar quedan destacados de la siguiente manera:

Esto significa que haremos:(E/c,p) = (E/c, p1, p2, p3) = (E/c, px, py, pz)

Hecho este ligero cambio y en base a la definicin general que se ha dado arriba procederemos a identificar a los componentes T0j, para j 0, los cuales son:T0j= U0Uj= (c)(vj) = cvj

Dimensionalmente hablando, esto nos dice que T0jes el flujo de masa relativista (energa) en la direccin hacia la cual apunta la velocidadvj. Es as que tenemos a T01(de color ciano) como elflujo de masa (energa) a travs de la superficie 1(la superficie perpendicular al eje-x). Obsrvese que al no ser ambos ndices del tensor energa-tensin iguales a la componente temporal como ocurre con T00= Ttt,queda liberado uno de los ndices para poner las cosas en movimiento,la situacin que antes era esttica se vuelve dinmica. Pero en coordenadas Cartesianas tenemos otras dos coordenadas, de modo tal que podemos identificar al siguiente componente (tambin de color ciano), el componente T02, como elflujo de masa (energa) a travs de la superficie 2, (la superficie perpendicular al eje-y), y podemos identificar al siguiente componente (tambin de color ciano), el componente T03como elflujo de masa (energa) a travs de la superficie 3(la superficie perpendicular al eje-z).

Cambiaran en algo estas ltimas definiciones si en lugar de coordenadas Cartesianas hubiramos utilizado coordenadas esfricas? En nada, ya que en coordenadas esfricas si especificamos algo como la fijacin de uno de los ngulos a un valor determinado estamos anclando una coordenada angular dejando libres las otras dos coordenadas (la coordenada radial y la otra coordenada angular),justo lo que necesitamos para definir una superficie en coordenadas curvilneas, de modo tal que aqu tambin tendramos un flujo de masa (energa) a travs de una 2-superficie:

En general, si utilizamoscoordenadas generalizadas, podemos identificar aT0icomo elflujo de masa (energa) a travs de la superficie xi(la cual puede ser x1, x2o x3).

Por ltimo, tenemos que para i 0 y j 0:Tij= UiUj= (vi)(vj) = vivj

Esto lo podemos interpretar como eli-momentumfluyendo en laj-direccinpor unidad de rea por unidad de tiempo atravesando la superficie dej= constante.

PROBLEMA:Demostrar que los componentesTij= UiUj= (vi)(vj) = vivj

para i 0 y j 0del tensor energa-tensinTse pueden interpretar como un flujo de i-momentum fluyendo por unidad de rea por unidad de tiempo a travs de una superficie-j.

Los pasos para llegar a esta interpretacin se detallan a continuacin:

En el primer paso, simplemente multiplicamos y dividimos por un elemento infinitesimal de tiempodty un elemento infinitesimal de la superficiedAjque est siendo atravesada por la masa (energa) en movimiento. En el segundo paso, el producto devjydtnos d la distancia infinitesimal recorrida en ese tiempodtpor la masa en movimiento, distancia que multiplicada pordAjnos d el elemento infinitesimal de volumendV:

La densidad de masa la podemos tomar como un elemento infinitesimal de masa propiadm0dividida entre un elemento infinitesimal de volumendV. En el tercer paso, agrupamos bajo un mismo parntesis al elemento infinitesimal de masa propiadm0y a la velocidadvjformando de este modo el elemento infinitesimal de momentumdPi. Lo que tenemos a fin de cuentas es un flujo de i-momentum fluyendo a travs de la superficie-j.

De este modo, podemos identificar al primer componente diagonal de color caf ubicado en T11como el1-momentumfluyendo en la1-direccinpor unidad de rea por unidad de tiempo. El flujo de momentum por unidad de tiempo equivale clsicamente a una fuerzaF= d(mv)/dt que est siendo ejercida por dicho momentum sobre la hipersuperficie1= constante. Y siendo sta una fuerza por unidad de rea, lo cual es ni ms ni menos que lapresinejercida por el polvo, se trata precisamente de la presin que est ejerciendo el polvo sobre una superficie perpendicular a la direccin 1 a lo largo de la cual est fluyendo el polvo (que en este caso tomamos como el eje-x):

Del mismo modo, identificamos al segundo componente diagonal de color caf ubicado en T22como el2-momentumfluyendo en la2-direccinpor unidad de tiempo por unidad de rea, lo cual podemos interpretar tambin como la presin que ejerce el polvo sobre una superficie perpendicular a la direccin 2 a lo largo de la cual est fluyendo el polvo (que en este caso podemos tomar como la superficie perpendicular al eje-y). Y finalmente, identificamos al tercer componente diagonal de color caf ubicado en T33como el3-momentumfluyendo en la3-direccin, lo cual podemos interpretar tambin como la presin que ejerce el polvo sobre una superficie perpendicular a la direccin 3 a lo largo de la cual est fluyendo el polvo (que en este caso podemos tomar como la superficie perpendicular al eje-z).

Veamos ahora los componentes del tensor energa-tensinT= (Tij) que corresponden a los bloques de color verde, los componentes cruzados. Un trmino como T12vendra siendo la transferencia de 1-momentum en la 2-direccin. Pero cmo puede ser esto posible? se preguntarn quiz algunos. Cmo es posible que algo que est fluyendo nica y exclusivamente en la direccin del eje-x transfiera algn efecto a una coordenada que le es perpendicular? Una transferencia de este tipo de una coordenada a otra slo puede llevarse a cabo a travs de algn tipo de friccin o de viscosidad en el fludo, precisamente el tipo de fenmeno que di origen a la creacin del concepto matemtico del tensor. De all provienen precisamente las designaciones para los componentes comoxyyyzdel tensor que nos describe las tensiones mecnicas en el bloque de hule descrito arriba. De no ser por este tipo de transferencias cruzadas de una coordenada a otra, no necesitaramos de los tensores.

En cuanto a los componentes del tensor energa-tensinT= (Tij) con j = 0 que corresponden a los bloques de color rojo, el componente T10es identificado como el flujo de1-momentuma travs de una superficie de t = constante, lo cual viene siendo ladensidad del momentum a lo largo de la direccin 1. Obsrvese que hay una diferencia muy sutil en la interpretacin fsica que se ha dado arriba para T01(el flujo de la componente de masa-energa del 4-vector energa-momentum a travs de la superficie 1) y la definicin que se est dando aqu para T10. Esto, desde luego, puede causar consternacin despus de haberse afirmado que el tensor energa-tensin es simtrico, lo cual implica necesariamente que T01= T10. Seguimos hablando de lo mismo o estamos hablando de dos cosas diferentes? En las aplicaciones prcticas que se han dado hasta la fecha del tensor energa-tensinT, no se han encontrado an circunstancias en las cuales Tij Tjipara i j ni se han concebido ejemplos en los cuales ocurra tal anomala. Sin embargo, esto podra muy bien cambiar con el advenimiento de unaTeora Cuntica de la Gravedad, y tendra la repercusin inmediata de que los componentes del tensor de EinsteinGtampoco seran simtricos. De hecho, hay miembros respetables de la comunidad cientfica que han estado investigando activamente esta posibilidad, aunque an no nos es posible ver claramente cmo ensamblar las piezas de este rompecabezas que eludi al mismo Einstein.

Adems del trmino depolvoque usamos arriba para describir a una coleccin de partculas en reposo, en la Relatividad General manejamos tambin el trmino defludocomo algo que fluye sin impedimento mecnico alguno, sin fuerzas de friccin internas entre sus sub-elementos adyacentes de volumen que obstaculicen el movimiento del fludo en general. Especficamente, estamos hablando de unfludo perfecto, aqul en el cual no hay rozamientos o viscosidades o fricciones internas ni transferencias de calor, aqul para el cual todos los trminos espaciales Tijdel tensor energa-tensinTen que i j son iguales a cero. El fludo perfecto es la generalizacin del concepto del gas ideal usado en la termodinmica.

Para un fludo perfecto, si no hay transferencias de calor, en elmarco de referencia comvil(el marco de referencia en el cual el fludo est instantneamente en reposo) los componentes T0i=Ti0del tensor energa-tensinTtendrn un valor de cero, ya que la energa puede flur de un lado a otro nicamente si las partculas pueden flur tambin. Y en lo que respecta a la ausencia de viscosidad, esto significa que las fuerzas deben ser siempre perpendiculares a la superficie, lo cual implica que todos los trminos espaciales Tijdel tensor energa-tensinTen que i j deben ser iguales a cero, lo cual implica a la vez queTen su representacin matricial debe ser una matriz diagonal. Y puesto que la ausencia de viscosidad es algo que debe ser independiente de los ejes espaciales de las coordenadas, la matriz debe seguir siendo diagonal paratodoslos marcos de referencia comviles del fludo. La nica matriz que puede permanecer diagonal en todos los marcos de referencia debe ser un mltiplo de la matriz identidad, y por lo tanto todos sus trminos diagonalesdeben ser iguales. La superficie-x slo tendr sobre ella una fuerza que viene del eje-x, y lo mismo se puede decir para las otras dos superficies. Estas fuerzas por unidad de rea que deben ser todas iguales en un fludo perfecto es lo que llamamos lapresin. De este modo, tenemos que para las componentes espaciales del tensorTse debe tener Tij=pijen dondepes la presin y ijes el tensor delta Kronecker.

Y as, de acuerdo con lo que hemos visto, un fludo perfecto (visto desde un marco de referencia en reposo, sin friccin alguna, bajo una mtrica Lorentziana) tendr el siguiente tensor energa-tensin (se ha dado aqu a la velocidad de la luz cuyo cuadrado divide a las componentespel valor de uno con el fin de simplificar la escritura de la matriz):

en dondees la densidad de masa (energa) del fludo (el componente T00en este caso) en kilogramos por metro cbico ypes la presin ejercida por el fludo en la direccin especificada (los componentes T11, T22y T33) en newtons por metro cuadrado. No es difcil verificar que si el fludo est en movimiento a una 4-velocidadU= (U) en donde U= dx/d con respecto a otro marco de referencia, los componentes del tensor energa-tensin se pueden escribir tensorialmente en notacin de componentes de la siguiente manera:Tab= (+p/c) UaUb+pgab

siendog= (gab) el tensor mtrico del espacio-tiempo que estamos considerando como Lorentziano bajo la mtrica:g00= - c____g11= g22= g33= 1

gij= 0____para i j

A modo de ejemplo, en un marco de referencia comvil, el nico componente de la 4-velocidad que no es cero es el componente temporal, con lo cual U0U0= (1)(1) = 1 y para a= b= 0 tenemos:T00= (+p/c) U0U0+pg00=

En notacin tensorial ms compacta, la frmula se puede escribir de la siguiente manera:T= ( + p/c)UU+g-1

Un fludo con trminos de viscosidad o elementos anmalos agregara trminos cruzados a la frmula, lo cual no es deseable a menos de que haya una buena razn para ello.

Hemos escogido representar aqu a los componentes del tensor energa-tensinTcomo los componentes de un tensor contravariante de orden dos, pero igualmente podramos haber escogido una representacin covarianteT= (Tab) para los mismos, estamos en completa libertad de hacerlo siempre y cuando en las operaciones tensoriales acomodemos los ndices de modo tal que las operaciones tensoriales (tales como lacontraccinocasionada por los ndices repetidos de acuerdo a la convencin de sumacin y la derivada covariante de algn tensor o tensores) se sigan llevando a cabo como se deben llevar a cabo. As, lo que aqu menos llamado T00en otros libros y publicaciones ser llamado T00o inclusive T11si se escoge numerar los ndices de las coordenadas generalizadas a partir de uno en lugar de a partir de cero, porque en la Teora de la Relatividad todo es relativo, inclusive sto.

PROBLEMA:Cul ser la representacin del tensor relativista energa-tensin a escala astronmica para un fludo no relativista como una nebulosa o una estrella de secuencia principal?

En un fluido no relativista como una nebulosa o una estrella de la secuencia principal, todos los componentes del tensor de energa-tensin son nulos o de muy poca importancia, salvo el elemento T00que corresponde a la densidad de masa-energa y que es el nico que contribuye sensiblemente a la atraccin gravitatoria y a la curvatura del espacio-tiempo. Naturalmente, si queremos medir la contraccin de volumen producida por la masa-energa presente en una determinada regin, tenemos que aplicar las ecuaciones de campo dadas por la frmula tensorial fundamental de la Relatividad General.

PROBLEMA:Demustrese que si el tensor energa-tensinTrepresenta la energa-momentum de un fludo perfecto, entonces dicho tensor puede ser utilizado para expresar la ley de la conservacin de la energa y el momentum. (No es necesario recurrir a la derivada covariante para resolver este problema).

Considrese el siguiente corte seccional de un elemento cbico de lados L del fludo a lo largo del plano-z (estamos considerando nicamente a los componentes espaciales del tensor):

Supondremos que el flujo de energa se puede llevar a cabo a travs de cualquiera de los lados del cubo. Tmese por ejemplo la caraddel cubo, de color azul. La razn del flujo de energa a travs del rea L dicha cara es:LT0x(en x = 0)

Del mismo modo, la razn del flujo de energa a travs del rea L de la cara opuesta del cubo, la carab, debe ser:- LT0x(en x = L)

Este trmino tiene un signo negativo puesto que representa energa fluyendofueradel volumen del cubo, mientras que el trmino anterior tiene un signo positivo puesto que representa energa fluyendohacia adentrodel volumen del cubo.

El flujonetode energa en el sentido del eje-x ser igual a la suma de los dos trminos anteriores, o sea:LT0x(en x = 0) - LT0x(en x = L)

Esto a su vez debe ser igual a la contribucin a lo largo del eje-x a la razn de aumento (o disminucin) de energa en el interior del cubo, o sea:(L3T00)/t

Del mismo modo, para la caraadel cubo, de color rojo, la razn del flujo de energa a travs del rea L dicha cara es:LT0y(en y = 0)

y la razn del flujo de energa a travs del rea L de la cara opuesta, la carac, debe ser:- LT0y(en y = L)

Enunciados similares aplican al flujo de energa en las caras del cubo situadas en el plano-z.

Sumando todas las contribuciones de flujo de energa al interior del volumen del cubo que aumentarn (o disminuirn) la densidad de energa del cubo, tenemos:(L3T00)/t =_____________LT0x(en x = 0) - LT0x(en x = L)+ LT0y(en y = 0) - LT0y(en y = L)+ LT0z(en z = 0) - LT0z(en z = L)

A continuacin, podemos dividir todo entre L3y tomar el lmite L 0. Al hacer esto, podemos aplicar la definicin de la derivada ordinaria (no es necesaria aqu la derivada covariante puesto que estamos trabajando en el marco de referencia comvil!):

Con esto, la expresin se nos reduce a:

Podemos escribir esto de una manera ms compacta usando la notacin de la coma y pasando todo del lado izquierdo:T00,0+ T0x,x+ T0y,y+ T0z,z= 0

Alicando la convencin de sumacin para ndices repetidos, esto se reduce a:T0j, j= 0

Esta es precisamente la ley de la conservacin de la energa.

Del mismo modo, repitiendo los mismos pasos, encontramos que el momentum tambin debe ser conservado. La nica diferencia es que el ndice 0 debe ser cambiado a cualquier coordenada espacial que corresponda al componente del momentum que debe ser conservado. La ley general para la conservacin de la energa-momentum del tensor energa-tensinTdebe ser por lo tanto:T, = 0

Esto que acabamos de derivar es vlido para un espacio-tiempoplano, Lorentziano, o sea en el mbito de la Teora Especial de la Relatividad. Si queremos que el resultado sea vlido para un espacio-tiempocurvo, o sea en el mbito de la Relatividad General, la coma debe ser reemplazada por un semicolon, lo cual significa que la diferenciacin ordinaria debe ser reemplazada por una diferenciacincovariante.

PROBLEMA:Usando la relacinT, = 0,demustrese que para un sistema acotado en el cualT= (T) = 0afuera de cierta regin acotada de espacio:

Sobreentendindose que la integral es una integraltriplellevada a cabo sobre un3-volumen, usaremos a nuestro favor la simetra del tensor mtrico, con lo cual T0, = T0, y:

Se ha utilizado en el ltimo paso la identidad T, = 0 haciendo = 0.

Algo que resulta ser de extrema utilidad al estar manejando tensorialmente asuntos que tienen que ver con la conservacin de ciertos parmetros fsicos es el hecho de que el teorema de Gauss, extendido al 4-espacio relativista, nos permite convertir leyesdiferenciales(que involucran derivadas) de conservacin en leyesintegralesde conservacin. Con el fin de dejar esto aclarado, utilizaremos como referencia el 4-vector posicin relativista definido de la siguiente manera (con los ndices corriendo de 1 a 4 en vez de correr de 0 a 3):(x1, x2, x3, x4) = (ct, x, y, z)

y desarrollaremos unos resultados trabajando primero sobre un 4-vector generalT= (T), el cual puede representar cualquier cantidad, y tras esto sobre un 4-tensor de orden dosQ= (Q) que extiende de modo natural el resultado obtenido para el 4-vectorT.

PROBLEMA:Demostrar que si un 4-vectorT= (T)satisface la relacin:

o bien:

y si los componentes deTson diferentes de cero en una regin espacial finita, entonces la integral sobre un 3-espacio (tomando dentro del integrando a la primera componente -la componente temporal- del vectorT):

es una invariante.

La demostracin de este teorema requiere el empleo del teorema de Gauss generalizado hacia un 4-espacio, en donde una integral de volumen es equivalente a una integral llevada a cabo sobre una superficie que encierra a dicho volumen:

siendo dSun elemento infinitesimal de una3-superficieque encierra un 4-volumen, con lo cual la integral puesta en el lado izquierdo de esta frmula es una integralcudruplemientras que la integral en el lado derecho de la frmula es una integraltripleque se debe llevar a cabo sobre una 3-superficiecerrada. A continuacin tenemos una rebanada del 4-volumen sobre el cual se deben llevar a cabo las integraciones (hay otros dos diagramas espacio-tiempo que se pueden construr para x2y x3):

En este diagrama espacio-tiempo de Minkowski en el cual los ejes verticales son los ejes temporales, lashipersuperficiesA y C son seleccionadas de modo tal que los componentes (espaciales) de Tse desvanecen en A y en C (obsrvese que las normales a las superficies A y C son perpendiculares al eje temporal x1). Esto siempre es posible porque se supone que la regin sobre la cual los componentes de Tson diferentes de cero es de extensin finita. La superficie B es seleccionada de modo tal que sea perpendicular al eje-x1(obsrvese que la normal dS1es paralela a x1) mientras que la superficie D es seleccionada de modo tal que sea normal (perpendicular) al eje-x1(aunque no lo parece, esto debe ser obvio tomando en cuenta la forma en la cual se construyen los diagramas de Minkowski para el sistema de referencia S que se supone en movimiento). Aqu los xy losxson coordenadas en dos marcos de referencia inerciales (Lorentzianos) arbitrarios. Haciendo uso del hecho de que TdSes un escalar (teniendo por lo tanto el mismo valor en todos los marcos inerciales de referencia), el lado derecho del teorema de Gauss como est enunciado arriba nos permite afirmar que:T1dS1+T1dS1= 0

T1dS1= -T1dS1

y puesto que:dS1= - d3x___dS1= d3x___(con signos diferentes, vase el diagrama de arriba)

se deduce entonces que:T1d3x =T1d3x

y por lo tantoT1d3x

es una invariante.

El argumento utilizado para llevar a cabo esta demostracin tambin nos sirve para confirmar que la integral I es una constanteen el tiempo; slo basta considerar el lmite en el que ambos marcos inerciales de referencia son idnticos (S = S) de modo tal quex1coincida con x1yx2coincida con x2.

Ahora generalizaremos el resultado anterior de un vector a un tensor de orden dos. Supngase que tenemos un 4-tensor de orden dosQ= (Q) que satisface la condicin:

Sea tambinA= (A) un 4-vector cuyos coeficientes no varan con respecto a su posicin en el espacio-tiempo (tommoslos como meras constantes numricas). EntoncesAQ= AQ= (T) =Tdebe satisfacer la relacin:

y por lo tanto:

debe ser una invariante por el resultado que obtuvimos en el problema anterior. Sin embargo, recurriendo a la convencin de sumacin para ndices repetidos, podemos escribir:I = AB

en donde:

Se sigue entonces de laley del cociente para tensores(la cual nos dice que siBes un tensor cualquiera y si el productoXBnos produce otro tensorC, o seaXB = C, entonces la cantidadXes tambin un tensor) que si ABes una invariante para un Aarbitrario (recurdese que lo hemos definido como un 4-vector cuyas componentes no varan con respecto a su posicin en el espacio-tiempo, siendo meras constantes numricas), entonces Bse debe de transformar como un 4-vector (constante en el tiempo). En pocas palabras:Qd3x

es una invariante.

Los dos resultados que hemos obtenido, tanto para un 4-vector como para un 4-tensor de orden dos, son los que nos permiten convertir leyesdiferencialesde conservacin en leyesintegralesde conservacin.

Un ejemplo de la aplicacin de lo que hemos obtenido consiste en demostrar que a partir de la ley de la conservacin para la carga elctrica, J= 0, se encuentra que la carga total contenida en cierta regin es a la vez constante en el tiempo e invariante para todos los marcos de referencia.

PROBLEMA:Demostrar que la ley de la conservacin de la carga elctrica, escrita en forma diferencial:J= 0

implica el resultado de que la carga total contenida en cierta regin es a la vez constante en el tiempo e invariante para todos los marcos de referencia.

La expresin J= 0 es una leydiferencialde conservacin. Usando los resultados anteriores y tomando en cuenta que de acuerdo a la electrodinmica el componente temporal del 4-vectorJes igual a J1= c en donde es la densidad de la carga elctrica (carga por unidad de volumen), podemos escribir la ley integral de conservacin de la siguiente manera:

Una vez expresada de esta manera la leyintegralde conservacin de la carga elctrica, la conclusin es inmediata: la carga elctrica es constante en el tiempo y es una invariante para todos los marcos de referencia.

En este ltimo problema hemos dado un salto breve hacia el tema de la electrodinmica relativista (el cual trataremos ms a fondo en entradas posteriores) con el fin de que el lector se vaya acostumbrando y se vaya familiarizando con el tratamiento tensorial de casi todo lo que tiene que ver con los temas fundamentales de la fsica.

El tensor energa-tensin que hemos estudiado aqu es uno que tiene que ver con la materia como fuente primaria de masa-energa para provocar una curvatura del espacio-tiempo. Pero no es la nica fuente para producir tal cosa. Posteriormente estudiaremos otro tensor, eltensor electromagntico energa-tensin, en el cual la energa es la contenida en un campo electromagntico. Cualquier fuente de energa, trtese de energa nuclear, energa solar, lo que sea, todo ello tendr su propio tensor energa-tensin, y el efecto total combinadosumado tensorialmente(componente a componente) ser lo que producir la curvatura geomtrica del espacio-tiempo. Esto significa que el tensorTen las ecuaciones de campo de la Relatividad General es en realidad una suma de tensores, todos ellos expresados necesariamente en el mismo sistema de coordenadas (y desde luego en el mismo sistema de unidades), de modo tal que las ecuaciones de campo de la Relatividad General son realmente:G= 8G(T1+ T2+ T3+ ...)

Sin embargo, y para fines prcticos, podemos limitarnos a trabajar con el tensor que hemos estudiado aqu, porque es el nico que a fin de cuentas produce una curvatura apreciable que puede ser confirmada a travs de las observaciones astronmicas.