Tranformada de Laplace-56 Ejercicios Resueltos

ECUACIONES DIFERENCIALES

DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL

TRANFORMADA DE LAPLACE

I.

1. Demostrase que xf t t , es de orden exponencial cuando ;t R

DEMOSTRACIÓN

Definición:

La función F 0, R , es de orden exponencial si existen constantes c o y

tal que , 0.tF t ce t

2. ¿La función xf t t , es de orden exponencial en 0, ?

SOLUCIÓN

Definición:

La función F 0, R , es de orden exponencial si existen constantes c o y

tal que , 0.tF t ce t

Rpta: No es de orden exponencial

3. ¿Cuáles de las siguientes funciones son continuas por tramos en 0, ? Razónese la

respuesta.

a) 1

1

tf t

t

Rpta: No es continua por tramos 0,

b) 2

2

2

tf t

t t

Rpta: Es continua por tramos en 0,

c) 1

tf t e Rpta: No es continua por tramos en 0,

d) 2f t t Rpta: Es continua por tramos en 0,

4. Demostrar que para cualquier número real , ( )atF t e f t es continua por tramos

en 0, , siempre que f lo sea.

DEMOSTRACIÓN

5. Demuéstrese que las funciones dadas son continuas por tramos y de orden exponencial

en 0, .

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DEMOSTRACIÓN

a) .cosnf t t kt Rpta: No es continua por tramos 0,

b) 1 cos kt

f tt


c) 1 te

f tt

Rpta: No es continua por tramos 0,

d) 1 senkt

f tt


6. Hallar la transformada de Laplace L F t si:

a) 2.cosf t t t

SOLUCIÓN

2 22

2 2 2 22

2 2 2 2 2 3

2 2 4 32 2

1( )

1 1 1

1 2 (1 ) 4 (1 )( 1) 2 6

( 1)1 1

f s L F t

s d s sL cost L t cost

s ds s s

d s s s s s s s s

ds ss s

Rpta:

3

32

2 6

1

s sf s

s

b) 2. .costf t t e t

SOLUCIÓN

Se sabe que el ejercicio anterior es 2.cosf t t t y por propiedad:

32

32

2( 1) 6( 1). .cos

( 1) 1

t s sL t e t

s

Rpta:

3

32

2 1 6 1

1 1

s sf s

s

c) 2

32 3t

f t t e

SOLUCIÓN

/ 3 2 / 3 / 3 2 / 3

2 / 3 2 / 3 2 / 3

2 2 2

2 . 3

2. 3 (3 3 )

1 1 1( ) ( )

3 3 3

t tL F t L t e e L e e

e e e sL F t

s s s

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Rpta:

2 / 3

2

(3 3 )

1( )

3

e sf s

s

7. Demostrar que

22

3

6 2

1

sL t sent

s

DEMOSTRACIÓN

2 22 22

2 2 2 22

22 2 2 2

4 3 3

1 211 1

1 1

2 1 2 1 2 2 2 1 8 6 2

1 1 1

sd d dL t sent L sent

dsds ds s s

s s s s s s s

s s s

Por lo tanto,

2

3

6 2

1

sf s

s

L.q.q.d.

8. Demostrar que

2

3

2 2

7cos

9 1

s sL t

s s

DEMOSTRACIÓN

Propiedad: 3 cos 3 3coscos

4

t tt

3

2 2

2 2 22

2 2 2 2 2 2

cos 3 3cos 1 1 3cos cos 3 3cos

4 4 4 9 1

1 3 9 74 28

4 49 1 9 1 9 1

t t s sL t L L t t

s s

s s s ss s s

s s s s s s

Por lo tanto,

2

2 2

7

9 1

s sf s

s s

L.q.q.d

9. Halla 3.cosL t t

SOLUCIÓN

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2

23 2 2 23 3 33

3 2 2 2 2 22 2

22 2 2 3

3 3

4 32 2

3 22 2 2 3

62

cos1

1 2 1cos 1 1 1

1 1 1

2 1 2 1 2 1 2 61 1

1 1

6 6 1 3 1 2 2 61

1

sL t

s

s s sd s d d sL t t

ds s ds dss s

s s s s sd d s s

ds dss s

s s s s s s

s

2 2 3

42

4 4 2 4 2 4 2

4 4 42 2 2

6 6 1 3 2 2 61

1

6 6 12 36 6 36 6 6 36 61 1

1 1 1

s s s s s

s

s s s s s s s

s s s

Rpta:

4 2

42

6 36 6

1

s sf s

s

10. Halla 2 .cossen t t

Lt

SOLUCIÓN

22 3 3

33

2 4 2

3 3

2 4 2

2

1 cos cos.cos cos cos cos cos

7cos cos

1 10 9

cos cos 7

1 10 9

1 2 1 4

2 41

s s

s

t tsen t t t t t tL L L L L

t t t t t

s s sL t L t

s s s

t t u u uL L du du

t t u u u

udu

u

3 3

4 2 2 4 2 4 2

2 4 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

20 8 1 2 1 4 20 1 8

2 4 410 9 1 10 9 10 9

1 1 2ln 1 ln 10 9

2 4 9 1

1 92

9 1 9 1 9

s s s s

s s s

s s

u u u u u u udu du du du

u u u u u u u

uu u u du

u u

Au B u Cu D uu Au B Cu Ddu du

u u u u u u

3 2

2 2

1

9 9

9 1

1 1, 0, 0,

4 4

s

s

du

A C u B D u A C u B Ddu

u u

A B C D

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2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 4 2

2 1 14 4

4 49 1 9 1 9 1

1 2 1 2 1 1ln 9 ln 1

8 8 8 89 1

1 1 1 10 ln 9 0 ln 1 ln 9 ln 1

8 8 8 8

1 1ln 1 ln 10 9

2 4

s s s s

s ss s

s s

u u

u u udu du du du

u u u u u u

u udu du u u

u u

s s s s

u u u

2 2

2 4 2 2 2

2 4 2 2 2

2 4 2 2 2

1 12 4 22 4

2

9 1

1 1 1 1ln 1 ln 10 9 ln 9 ln 1

2 4 8 8

1 1 1 10 ln 1 0 ln 10 9 0 ln 9 0 ln 1

2 4 8 8

1 1 1 1ln 1 ln 10 9 ln 9 ln 1

2 4 8 8

ln 1 ln 10 9 ln

s

s s s s

udu

u u

u u u u u

s s s s s

s s s s s

s s s

1 12 28 8

1 1 1 1 32 2 2 2 24 4 8 4 8 2

1 1 1 1 22 2 2 22 8 2 8

9 ln 1

9 1 1 9 1 1 9ln ln ln

8 11 9 1 9

s s

s s s s s s

ss s s s

Rpta: 2

2

1 9ln

8 1

sf s

s

11. Halla L sen a t

SOLUCIÓN

Propiedad: cos cossen a t sena t asent

2 2 2

cos cos

1 . coscos

1 1 1

L sen a t L sena t asent

s s sena asena a

s s s

Rpta: 2

cos .

1

a s senaf s

s

12. Halla 2cosL bt

SOLUCIÓN

2

2 2

1 cos 2 1 1 1cos 1 cos 2

2 2 2 4

bt sL bt L L bt

s s b

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Rpta: 2 2

1 1( )

2 4

sf s

s s b

13. Demostrar que:

a)

2 22

2 2

2cosh

4

s aL at

s s a

DEMOSTRACIÓN

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

1cosh 2

2 4

1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 8

4 2 2 4 44 4

1 4 8 2

4 4 4

at atat ate e

L at L L e e

s s s a

s a s a s ss a s s a

s a s a

s s a s s a

Por lo tanto,

2 2

2 2

2

4

s af s

s s a

L.q.q.d.

b)

22

2 2

2

4

aL senh at

s s a

DEMOSTRACIÓN

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

1h 2

2 4

1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 8

4 2 2 4 44 4

1 8 2

4 4 4

at atat ate e

L sen at L L e e

s s s a

s a s a s ss a s s a

a a

s s a s s a

Por lo tanto,

2

2 2

2

4

af s

s s a

L.q.q.d.

c) 2 2

4 4

2cos .

4

a s aL at senat

s a

DEMOSTRACIÓN

2 2

2cos . 1 1 2cos . 2

2 2 2 4

at senat aL at senat L L sen at

s a

Por lo tanto, 2 2

2

2 4

af s

s a

L.q.q.d.

d) 3

4 4cos .cos

4

sL at at

s a

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DEMOSTRACIÓN

2

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 cos 2 1 1cos .cos cos

2 2 4

1 4 2

2 4 4

at sL at at L at L

s s a

s a s s a

s s a s s a

Por lo tanto,

2 2

2 2

2

4

s af s

s s a

L.q.q.d.

e) 2

4 4

2s h .

4

a sL en at sen at

s a

DEMOSTRACIÓN

2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2

2 2 2 2

1s h . . . .

2 2

2 2 2 21

2 2 2 2 2 2

4

2 2 2 2 2

at atat ate e

L en at sen at L sen at L e sen at e sen at

s sa a s sa aa a a

s sa a s sa as a a s a a

a sa

s sa a s sa a

2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 4 42 4 2 2 42 2

2

2 2 2 2

2 2 2

44 4 22 2

sa

s a sa s a sa

sa sa a s

s as s a a sas a sa

Por lo tanto, 2

4 4

2

4

a sf s

s a

L.q.q.d

f) 2 2

4 4

2s h .cos

4

a s aL en at at

s a

DEMOSTRACIÓN

2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2

2 2 2 2

1s h .cos .cos .cos .cos

2 2

2 2 2 21

2 2 2 2 2 2

4

2 2 2 2 2

at atat ate e

L en at at L at L e at e at

s sa a s sa as s s

s sa a s sa as a a s a a

s sa

s sa a s sa a

2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 4 42 4 2 2 42 2

2

2 2 2 2

2 2 2

44 4 22 2

s a

s a sa s a sa

s a s a s a

s as s a a sas a sa

Por lo tanto, 2

4 4

2

4

s af s

s a

L.q.q.d.

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14. Hallar la transformada de Laplace de F(t) si :

a) , 2

2, 2

t tF t

t

SOLUCIÓN

2 2

20 2 0

22

2

2 2

0 2

2( ) 2

= du=dt

= v=-

2 2 4 = (- ) =-

s s

st st st st

stst

st st sst s

L F t e tdt e dt e tdt es

u t

edv e

s

e e ete e

s s s

22

2 2

1 1 21 2+ =-

ss s ee

s s s

Rpta: 2

2

1 1 2( ) =-

ss eL F t

s

b) ( 2 )t dF t te sen t

dt

SOLUCIÓN

2 2

2

2 2 22

2

22

2 2( ) 02

4 4

2 d 2 2s 8 . =- ( ) =

ds4 4 4

2 s-1 8( 2 )

s-1 4

t

sds senL sen t

s sdt

s sL t

s s s

dL te sen t

dt

Rpta:

2

22

2 s-1 8( ) =

s-1 4

L F t

c) , 2

0, 2

sent tF t

t

SOLUCIÓN

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2

0 2

22 2

0 00

( ) 0

= du= cos tdt

= v=-

1 cos

st st

stst

stst st

L F t e sentdt e dt

u sent t

edv e

s

ee sentdt sent e tdt

s s

2 22 2

2 2

0 00 0

= cos du=- dt

= v=-

1 cos

stst

st stst st

st

u t sent

edv e

s

e ee sentdt sent t e sentdt

s s s

e sentd

2 22

2 2

0 0 0

2 -2 s

2 2 2

. cos1 1

1 -e 1 = -( - ) =

1 1 1

st st

s

e et s sent t

s s

e

s s s

Rpta: -2 s

2

-e 1( ) =

1L F t

s

d)

0 ,2

3cost ,

2 2

30 ,

2

t

F t t

t

SOLUCIÓN

3 3

2 2 2

30

2 2 2

3

2

2

( ) 0 cos 0 cos

= cos du=- dt

= v=-

cos cos

st st st st

stst

st

L F t e dt e tdt e dt e tdt

u t sent

edv e

s

ee tdt t

3322

2 2

3

2

2

1

= du=cos dt

= v=-

cos cos

stst

stst

st

e sentdts s

u sent t

edv e

s

ee tdt t

33 322 2

2

2 2 2

3 3332 222

2 22

1cos

2 1cos cos

1 1 1

st stst

s

st stst

esent e tdt

s s s

s ee ee tdt t sent

s s s s s

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Rpta:

3

22 1( ) =

1

s

s eL F t

s s

e)

, 2

8-3t , 2 3

4 , 3< t 4

0 , t>4

t t

tF t

t

SOLUCIÓN

2 3 4

0 2 3 4

2 3

2 2

0 2

( ) 8 3 4 0

= du=dt

= v=-

= 3 3 4

st st st st

stst

st st st st st st st

L F t e tdt e t dt e t dt e dt

u t

edv e

s

e e e e e e e et t t

s s s s s s s

4

2

3

2 3 4 3 4 3 2

2 2 2 2

1 1 2 8 3 1 7 2 1 2 1=

st

s s s s s s s

s

s e s e e s e e s e s e

s s s s

Rpta: 4 3 2

2

7 2 1 2 1( ) =

s s se s e s eL F t

s

f) 3

0

cos 4

t

tF t e t t dt

SOLUCIÓN

Rpta:

2

22

16 3( )

3 3 16

sF s

s s

2

2

22 2

2

22 2

22

0

2

3

22

0

cos 416

16cos 4

16 16

16

16 16cos 4

16

16 3cos 4

3 3 16

t

t

t

sL t

s

d s sL t t

du s s

s

sf s sL t t dt

s s s s

sL e t t dt

s s

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g) 2

2

0

cos 3

t

tdF t e t dt

dt

SOLUCIÓN

2

2

0

2

2

2

0

2

22 2

0

cos 3

cos 39

1cos 3

1 9

1cos 3

1 9

1 10cos 3 1

1 91 9

t

t

t

t

t

t

t

dF t e t dt

dt

sL t

s

sL e t

s

sL e t dt

s s

s sd sL e t dt

dt ss

Rpta:

2

10

1 9

sf s

s

h) 2

0

t

t tdF t te t e sent dt

dt

SOLUCIÓN

2 2 2

2

2

2

2

2

2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

22

2 cos

1

1

22

2 1

cos1

2cos

2 1

2 22 cos

2 1 2 1

2 cos2 1

2 1 2 2 5

2 1

t t t

t

t

t t

t t

dL e sent e sent e t

dt

L sents

L e sents

sL t

s

sL e t

s

sL e sent e t

s s

d sL t e sent e t

ds s

s s s s

s

2

22 1s

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22

22

0

22

22

0

2 22 2 22 2

422

2 22 2

322

5

2 1

5

2 1

2 2 1 5 2 1 4 2 1 2

2 1

2 2 1 5 2 1 4 2

2 1

t

t

t

t

d sL t e sent dt

dt s s

d d sL t t e sent dt

dt ds s s

s s s s s s s

s s

s s s s s s

s s

Rpta:

22 2 2 2

322

4 8 1 5 2 5 2

2 1

s s s s s sf s

s s

15. Si ( )f s L f t ,demostrar que para r>0;

1 lnt s r

L r F ar fa a

SOLUCIÓN

ln

ln

1 ln

1

ln ln

1 ln

t

t

rt

rt

s rL r F ar f

a a

L F r f s

sL F ar f

a a

f x r

f x t r

f x e

s rL e F ar f

a a

Rpta: ln 1 lnrt s rL e F ar f

a a

16. Demostrar que;

2 32

32 2

6 2bs bL t senbt

s b

DEMOSTRACIÓN

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222

2 2 2 22 2

22 2 2 2 2 2 2

4 32 2 2 2

2 3 2 2 3

3 32 2 2 2

21

2 2 .2. . 2 2 8

2 2 8 6 2

b sd b dL t senbt

dsds s b s b

b s b bs s b s b s b bs

s b s b

bs b bs bs b

s b s b

Por lo tanto,

2 3

32 2

6 2bs bf s

s b

L.q.q.d.

17. Demostrar que;

1sent

L arctgt s

DEMOSTRACIÓN

2

1

1L sent

s

2

1 1

1 s

s

sentL du arctgu arctg

t su

Por lo tanto, 1

f s arctgs

L.q.q.d.

18. Calcular L F t si:

a) 3

0

2

t

tF t e tsen t dt

SOLUCIÓN

3

0

2

2 2 22 2

22

22

0

3

2 22 2

0

2

22

4

2 4 42 1 1

4 4 4

4

4 42

4

4 42

6 133 4

t

t

t

t

t

F t e tsen t d

L sen ts

d s sL tsen t

ds s s s

s

sf sL tsen t

s s s

L e tsen ts ss

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Rpta:

22

4( )

6 13F s

s s

b) 3 2t sen tF t e

t

SOLUCIÓN

3

2

2 2

3

2

22

4

2 2 1 12 2

2 2 2 24 4

2 3

2 2

t

s s s

t

sen tF t e

t

L sen ts

sen t u sL du du arctg arctg

t u u

sen t sL F t L e arctg

t

Rpta: 3

( )2 2

sF s arctg

19. Calcular 3

0

2t te sen t

L dtt

SOLUCIÓN

2

2 2

3

3

0

22

4

2 2 1 12 2

2 2 2 24 4

2 3

2 2

3

2 1 32 2

2 2

s s s

t

t t

L sen ts

sen t u sL du du arctg arctg

t u u

e sen t sL arctg

t

sarctg

f se sen t sL dt arctg

t s s s

Rpta: 1 3

( )2 2

sF s arctg

s

20. Calcular 3sen t

Lt

:

SOLUCIÓN

Propiedad: 3 3 3

4

sent sen tsen t

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3

2 2

3

2 2 2 2

3 3 1 1 3 33 3

4 4 4 1 9

1 3 3 3 1 3 1

4 4 41 9 1 9

3 1 3 1 1 3

4 3 3 4 4

s s s

ss

sent sen tL sen t L L sent sen t

s s

sen tL du du du

t u u u u

uarctg u arctg arctg arctg

s s

Rpta: 3 1 1 3

( )4 4

f s arctg arctgs s

21. Halle

2at bte e

Lt

SOLUCIÓN

22 2

2 2

2 2

2

1 2 12

2 2

2 1 1 12

2 2

l n 2 2 l n l n 2

0 ln 2 0 ln

at bt a b tat bt

a b tat bt

a b tat bt

s s s

s s s

e e e e eL L

t t

L e e es a s a b s b

e e eL du du du

t u a u a b u b

u a u a b u b

s a s a b

2

20 ln 2 ln

2 2

s a bs b

s a s b

Rpta:

2

( ) ln2 2

s a bf s

s a s b

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Halle 3

tsent sen tL e

t

3

2 2

3

2 2

3

3 3 14 3 3

4 4

1 7 3

4 1 9

7 1 3 1

4 41 9

7 1 7 1 1 3

4 4 3 4 4

s s

s s

sent sen tL sent sen t L sent L sent sent sen t

s s

sent sen tL du du

t u u


s s

sent sen tL

7 1 1 3

4 1 4 1

te arctg arctgt s s

Rpta: 7 1 1 3

( )4 1 4 1

f s arctg arctgs s

22. Halle 3

tsent sen tL e

t

3

2 2

3

2 2

3

3 3 14 3 3

4 4

1 7 3

4 1 9

7 1 3 1

4 41 9

7 1 7 1 1 3

4 4 3 4 4

s s

s s

sent sen tL sent sen t L sent L sent sent sen t

s s

sent sen tL du du

t u u


s s

sent sen tL

7 1 1 3

4 1 4 1

te arctg arctgt s s

23. Evaluar .cosL senkt kt

SOLUCIÓN

2 2

2 .cos 2.cos

2 2

1 1 22

2 2 4

senkt kt sen ktL senkt kt L L

kL sen kt

s k

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Rpta: 2 2

( ) , 04

kf s s

s k

24. Hallar L F t

si 3

0

( ) cos 4

t

tF t e t t dt

SOLUCIÓN

2

2 2

2 2 22 2

2

22 2

22

0

2

3

22

0

cos 416

16 2 16cos 4 1 1

16 16 16

16

16 16cos 4

16

3 16cos 4

3 3 16

t

t

t

sL t

s

s s sd s sL t t

ds s s s

s

sf s sL t t dt

s s s s

sL e t t dt

s s

Rpta:

2

22

3 16( )

3 3 16

sf s

s s

25. Hallar L F t

si:

a) 3

0

2

t

tF t t e sen t dt

SOLUCIÓN

2

3

2

2

3

20

22

4

22

3 4

2

3 4 22

3 4

t

t

t

L sen ts

L e sen ts

f s sL e sen t dt

s s s s

2

3

22 220

3 4 2 32

2 1 13 4 3 4

t

ts s s

dL t e sen t dt

ds s s s s

Rpta:

2

222

3 12 13( )

3 4

s sf s

s s

b) 3

0

2

t

tF t t te sen tdt

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SOLUCIÓN

2

2 2 22 2

3

22

22

3

22

0

3

22

0

2

22

4

2 22 42 1 1

4 4 4

4 32

3 4

4 3

3 4 4 32

3 4

4 32 1

3 4

4 3

1

t

t

t

t

t

L sen ts

sd sL tsen t

ds s s s

sL te sen t

s

s

sf s sL te sen tdt

s s s s

sdL t te sen tdt

ds s s

s s

2 22 2

422

4 2 3 4 2

422

5 4 2 3 4 2

422

4 4 3 3 4 4 3 4 3

3 4

4 3 3 8 3 16 4 3 16 3 4 3 8 3 16

3 4

4 3 4 3 32 3 64 32 3 64 3 16 3 64 3

3 4

s s s s s

s s

s s s s s s s s s s

s s

s s s s s s s s s s s s

s s

5 4 3 2

422

5 4 3 2

422

4 3 12 3 32 3 32 3 64 3 641

3 4

4 3 12 3 32 3 32 3 64 3 64

3 4

s s s s s s s s

s s

s s s s s s s s

s s

Rpta:

5 4 3 2

422

4 3 12 3 32 3 32 3 64 3 64

3 4

s s s s s s s s

s s

c) 3

0

2t

t sen tF t e dt

t

SOLUCIÓN

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3

0

2

2

0

3

0

2

22

4

2 1 12 2

2 2 2 24

2 12 2

2 2

2 1

3 2

t

t

s s

t

t

t

sen tF t e dt

t

L sen ts

sen t u sL du arctg arctg

t u

sarctg

f ssen t sL dt arctg

t s s s

sen t sL e dt arctg

t s

3

2

Rpta:

1 3( )

3 2 2

sf s arctg

s

d) 0

cos 2t te t

F t dtt

SOLUCIÓN

0 0 0

2

cos 2 cos 2

1

1

cos 24

t t tt t

t

e t e tF t dt dt dt

t t t

L es

sL t

s

2

2

2

2 2

2

2

0

cos 2 1 1ln 1 ln 4

1 4

1 1 4ln 0 ln ln

14 4

4ln

1cos 2 1 4ln

1

t

ss

s

t t

e tL L du u u

t t u u

u s s

su s

s

f s se t sL dt

t s s s s

Rpta: 21 4

( ) ln1

sf s

s s

26. Hallar L F t

si ,t < 4

( )cos ,t > 4

sentF t

sent t

SOLUCIÓN

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4

0 4 4

,t < 4( )

cos ,t > 4

( ) cos

= du= cos tdt

= v = -

st st st

stst

sentF t

sent t

L F t e sent dt e sent dt e t dt

u sent t

edv e

s

4

0

= cos du=- dt

= v = -

( )

stst

st

u t sent

edv e

s

L F t e sent dt

4 4

4 4 0 40 4

4 4

4 0 44 0 4 4

cos - cos - cos

- cos - - - cos cos cos

st st st stst st

st st st st st st st st

e e e ee sent dt e t dt sent t dt sent t dt

s s s s

e e e e e e e et sent dt sent sent t t dt t dt se

s s s s s s s s

4

4 4 4

2 2

0 40 4 4 0 4

4 4 4

2 2

00 4 4 0 4

- - - cos - cos - cos

- - - cos - cos - cos



nt dt

e e e e e e esent sent t t sent dt t sent dt

s s s s ss s

e e e e e e esent sent t t sent dt t se

s s s s ss s

2

4 44

cos st ste e

nt dt sent t dts s

Rpta: 3 1 1 3

( )4 4

f s arctg arctgs s

27. Hallar 3 .cos3 .cos 4tL e t t

SOLUCIÓN

Propiedad: 2cos cos cos cosA B A B A B

3 3 3

2

2 2 2 2

1 1.cos 3 .cos 4 .2 cos 4 .cos 3 . cos 7 cos

2 2

3 3 251 3 3

2 3 49 3 1 3 49 3 1

t t tL e t t L e t t L e t t

s ss s

s s s s

Rpta:

2

2 2

3 3 25( )

3 49 3 1

s sf s

s s

28. Calcular 3 3 2. .tL e t sen t

SOLUCIÓN

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3 3 2 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3

3 2 233 3

4 3 2 4 2 22

1 cos 2 1. . . . . . 1 cos 2

2 2

1 1 1. . cos 2 . . cos 2

2 2 2

1 1 1 6 1 3 1 4 2cos 2 1 1

2 2 2 2 24 4

t t t

t t t t

tL e t sen t L e t L e t t

L e t e t t L e t L e t t

d s d sL t L t t

s ds s s ds s

22 2 2

4 42

2 2 3 3

4 3 4 32 2

4

4 4 4 2 .2. 4 23 11

2 4

4 4 4 2 43 1 3 1 4 16 16 81

2 24 4

32

s s s s sd

dss s

s s s sd d s s s s

ds dss ss s

d

ds

3 22 2 3 23

3 4 62 2

3 8 4 8 2 4 28 32

4 4

s s s s s ss s

s ss s

2 2 3 2 4

4 4 4 42 2

2 4

3 3 2 3 3

4 42

3 8 4 8 43 3 36 322 2

4 4

36 3 32 31 3. . . . 1 cos 2 2

2 3 3 4

t t

s s s s s s s

s ss s

s sL e t sen t L e t t

s s

Rpta:

2 4

4 42

72 3 2 3 643( )

3 3 4

s sf s

s s

29. Hallar , .n

L t a n Z es un entero positivo

SOLUCIÓN

Rpta:

1

2 1

1( ) ! ...

1 ! 2 ! 1!

n n

n n

a a aF s n

n s n s s s

30. Hallar .cosL sen at bt

SOLUCIÓN

Propiedad: 2 cossenA B sen A B sen A B

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2 22 2

1 1.cos 2 .cos

2 2

1 1

2 2

L sen at bt L sen at bt L sen a b t sen a b t

a b a bL sen a b t sen a b t

s a b s a b

Rpta:

2 22 2

1( )

2

a b a bf s

s a b s a b

31. Hallar 2atL e sen bt

SOLUCIÓN

2

2 2

2

2 22 2

1 cos 2 11 cos 2

2 2

11 cos 2

4

1 1 1 41 cos 2

2 2 4 2 4

at at at

at

bL e sen bt L e L e b

sL b

s s b

s a bL e b

s a s a b s a s a b

Rpta:

2

2 2

4( )

2 4

bf s

s a s a b

32. Hallar 2

2

0

cos 3

t

tdL e t dt

dt

SOLUCIÓN

2

2

0

2

2

2

20

22

2 20 0

0

2

cos 3

cos 39

1cos 3

1 9

1

1 9 1cos 3

1 9

1cos 3 cos 3 cos 3 1 cos 3 0

1 9

1cos 0

1 9

t

t

t

t

t

t t

t t t t

dL e t dt

dt

sL t

s

sL e t

s

s

f s s sL e t dt

s s s s

s sdL e t dt s e t dt e t e t

dt s s

s ss e dt

s

0 0

20 0

2

0

2 2 2 20

1cos 0 1 cos 0 0 1

1 9

1 1 1 1 9 101 1

1 9 1 9 1 9 1 9

t ts se e s dt

s

s s s s s s s ss t

s s s s

Rpta: 2

10( )

1 9

sf s

s

33. Calcular 3

2cosL t t

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SOLUCIÓN

Rpta:

3

30 2

31 (3 )

2( )

2 !

n

nn

n

F s

n s

34. Calcular 2

0

s t sentL e dt

t

SOLUCIÓN

2

2

2

0

2

2

2

2

2

0

1

1

1

21

2

12

2

s t

ss

s t

s t

sentL e dt

t

L sents

sentL du arctg u arctg s

t u

sentL e arctg s s

t

arctg s sf ssentL e dt arctg s s

t s s s

Rpta:

1

f s arctgs

35. Hallar cos cos

t

at btL

te

SOLUCIÓN

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

cos cos cos cos

cos

cos 1 2 1 1ln ln

2 2 2 2

cos 1ln 1

2 2

t t

t

ss

t

at bt at btL L e L e

t tte

sL at

s a

at uL du u a s a

t u a

atL e s a

t

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2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 22 2

2 22 2

cos

cos 1 2 1 1ln ln

2 2 2 2

cos 1ln 1

2 2

cos cos 1 1ln 1 ln 1

2 2 2 2

1ln 1 ln 1

2 2 2

ss

t

t

sL bt

s b

bt uL du u b s b

t u b

btL e s b

t

at btL s a s b

te

s a s b

2 2

2 2

11ln

2 1

s b

s a

Rpta:

2 2

2 2

11ln

2 1

s bf s

s a

36. Calcular 2

0

a t sentL e dt

t

RESOLUCIÓN

2

2

2 2

22

0

1 1( )

1 1( )

1 1( )

a t

a t

sentL arctg

t s s

sentL e arctg

t s a s a

sentL e dt arctg

t s as s a

Rpta:

22

1 1( )f s arctgs as s a

37. Calcular la transformada de Laplace de: 2

t

t z

a

dL te z e senz dz

dz

RESOLUCIÓN

2

2

2 2 0

2

22

22 2

22

22

0

22

0

1

( 2) 1

( ) (0)( 2) 1

5

( 2) 1 ( 2) 1

1 5

( 2) 1

( 1) 5

( 1) ( 3

z

z z

z

t

z

t

t z

L e senzs

d sL e senz s L e senz e sen

dz s

d d s sL z e senz

dz ds s s

d sL z e senz dz

dz s s

d sL e z e senz dz

dz s s

22

22

22

0

) 1

( 1) 5

( 1) ( 3) 1

t

t zd d sL te z e senz dz

dz ds s s

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Rpta:

2 2

3 22 2 2

( 4 1)(5 22 22) 2

( 1) 6 10 6 10

s s s sf s

s s s s s

38. Hallar cos cos

t

at btL

te

RESOLUCIÓN

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

cos cos cos

1 1cos cos

( 1) ( 1)

(cos cos ) 1 1

( 1) ( 1)

(cos cos ) 1 1ln ( 1) ln ( 1)

2 2

t t t t

t t

t

s s

t

L e at e bt L e at L e cosbt

s sL e at e bt

s a s b

e at bt u uL du du

t u a u b

e at btL s a s b

t

Rpta:

2 2

2 2

11ln

2 1

s bf s

s a

39. Calcular 2

2

0

t

u t senuL te du

u

RESOLUCIÓN

2

0

2

2

0

1( )

1( )

1

1 1( )

1

1 1( )

2 1

u

t

u

t

t u

senuL arctg

u s

senuL e arctg

u s

senuL e du arctg

u s s

senu dL te e du arctg

u ds s s

Rpta:

2 2

1

11

( 1) 1 22

arctgs

f ss ss

40. Demostrar que:

22

3

0 0 0

4 4yt xsenz

L dz dydx arctgz s s

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RESOLUCIÓN

2

0

22

3

0 0 0

1 1( )

1 1

y

yt x

senzL dz arctg

z s s

senzL dz dydx arctg

z s s

41. Calcular 0

tsenu

L duu

RESOLUCIÓN

2

2

0

1

1

1/

1 2

1 1 1( ) ( )

2

s

s

t

L senus

senuL arctgu arctgs

u u

senuL du arctgs arctg

u s s s

Rpta:

1 1

( )f s arctgs s

42. Calcular 0 0

t tsenu

L duduu

RESOLUCIÓN

0

2

0 0

1 1( )

1 1( )

t

t t

senuL du arctg

u s s

senuL dudu arctg

u s s

Rpta:

2

1 1( )f s arctg

s s

43. Demostrar que: 2

3

0 0

ln( 1)

bt ax u

y

e ab sL dudydz

u s ab

RESOLUCIÓN

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2

3

0 0

ln( 1)

bt ax u

y

e ab sL dudydz

u s ab

Rpta:


0 0 0

1 1( )

yt xsenz

L dzdydx arctgz s s

RESOLUCIÓN

0

3

0 0 0

1 1( )

1 1( )

y

yt x

senzL arctg

z s s

senzL dzdydx arctg

z s s

Rpta:


0 0 0

1 1( )

yt xsenz

L dzdydx arctgz s s

RESOLUCIÓN

0

3

0 0 0

1 1( )

1 1( )

y

yt x

senzL arctg

z s s

senzL dzdydx arctg

z s s

Rpta:

46. Calcular

2

0

cos 3 cos 2t

z zL dz

z

RESOLUCIÓN

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2

0

2

2 2 2

2 2

2

0

cos 3 cos 2

cos 3 cos 2 cos 3 2

cos 3 cos 2 1 4ln( )

9 4 2 9

cos 3 cos 2 1 4ln( )

2 9

t

s s

t

z zL dz

z

z z z cos zL L L

z z z z

z z u u sL du du

z z u u s

z z sL dz

z s s

Rpta:

2

2

1 16ln( )

2 36

sf s

s s

47. Calcular 2

0

( )

t

t zdL e z e senz dz

dz

RESOLUCIÓN

2

2

2 0

2 2

22

2 2

22

22

0

22

0

1

( 2) 1

1( ) (0)

( 2) 1 ( 2) 1

5( )

( 2) 1 ( 2) 1

5( )

( 2) 1

( 1) 5( )

( 1

z

z

z

t

z

t

t z

L e senzs

d sL e senz s e sen

dz s s

d d s sL z e senz

dz ds s s

d sL z e senz dz

dz s s

d sL e z e senz dz

dz s

2) ( 3) 1s

Rpta:

2

22

1 51

1 3 1

sf s

s s


1

t sentL e arctg

t s

RESOLUCIÓN

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2

1/ ( )

1 2

1( 1) ( )

2 1

s

s

t

sentL arctgu arctg s

t u

sentL e arctg s arctg

t s

Rpta: No se cumple la igualdad

SOLUCIÓN

2

2

1

1

1

21

12

ss

t

L sents

sentL du arctg u arctg s

t u

sentL e arctg s

t

Rpta:

12

f s arctg s

49. Calcular la transformada de Laplace de la función

,si t e

1 ,si t e impar

t t s parF t

t t s

RESOLUCIÓN

t =n ,n 1

t ,si 0 t<1 0

t -2 ,si 1 t<2 1

t-2 ,si 2 t<1 2

t-4 ,si 3 t<4 3

t-4 ,si 4 t<5 4

.

.

t n

para n

para n

para n

F t para n

para n

por escala unidad queda f(t)= t + (t -2-t)u(t-1)+(t -2-(t-2))u(t-2)+(t -4-(t-2))u(t-3)+.............

+( ) 2 ( 1) 2 ( 3) 2 ( 5) ...... 2 ( (2 1)) k

2 ( 1) 2 ( 3) 2 ( 5) .( )

f t t u t u t u t u t k

L t u t u t u tL f t

..... 2 ( (2 1))

se sabe L u(t-a)

3 5 71 1 2 (2 1)( ) 2( ....... )

2 21

u t k

ate

s

s s s se e e e k sL f t e

s s s s ss s k

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Rpta: 1 2 (2 1)

21

k se

ss k

50. Calcular cos

t

at cosbtL

te

SOLUCIÓN

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

cos cos cos cos

cos

cos 1 2 1 1ln ln

2 2 2 2

cos 1ln 1

2 2

t t

t

ss

t

at bt at btL L e L e

t tte

sL at

s a

at uL du u a s a

t u a

atL e s a

t

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 22 2

2 22 2

cos

cos 1 2 1 1ln ln

2 2 2 2

cos 1ln 1

2 2

cos cos 1 1ln 1 ln 1

2 2 2 2

1ln 1 ln 1

2 2 2

ss

t

t

sL bt

s b

bt uL du u b s b

t u b

btL e s b

t

at btL s a s b

te

s a s b

2 2

2 2

11ln

2 1

s b

s a

Rpta:

2 2

2 2

11ln

2 1

s bf s

s a

51. Calcular 0

t

u senuL t e du

u

RESOLUCIÓN

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0

2

2

0

2

0

2

1

12

21

1 12

11 12 12

1 1( )

t

u

ss

u

t

u

t

u

senuF s L t e du

u

L sen us

sen uL du arctg u arctg s

u u

sen uL e f s arctg s

u

arctg sf ssenuL e du arctg s

u s s s

f ssenuL t e du d

u s s

2

1 1( )

1 (1 ( 1) )arctg

s s s

1.

Rpta:

2 2

1 1 1

1 1 1f s arctg

s s s s

52. Calcular

3 3

0 0

1t x ye

L dydxy

Rpta: f(s)= 2

1ln( )

( 1)

s

s s

53. Calcular 2

0

( )

t

tdL te dt

dt

3

0

3 3

2

0 0

1 11

1

1 1ln( ) ln( ) ln( )

1 ( 1)

1 1ln( )

( 1)

1 1ln( )

( 1)

y

y

x y

t x y

F s L es s

e sL s

y s s

e sL dy

y s s

e sL dydx

y s s

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2

2 2 2 2

2 2

2 2

0

0 00

0

( ) ( )

2

= du=-2t

= v = -

t

t

stt st t t st t

t t

stst

sst t t

dL f t L te dt

dt

eL e e e dt e e te dt

s s

u e e dt

edv e

s

ee te dt te

2 2

2 2 2

2

0 00

2

2t

=t du= ( -2t )

= v = -

tst t st t

t t t

stst

e e dt e e dts s

u e e e dt

edv e

s

=

54. cosate bt

Lt

2 2 2 2

2 2 2 2

2

cos cos( )

1 1 1( )

( )

cos 1 2cos ( ) ( )

2

cos 1(

( )

at at

atat

s

s

ss

at

e bt e btL f t L L L

t t t

eL e L du ln u a ln

s a t u a s a

s bt uL bt L du ln u b ln s b

ts b u b

e btL ln ln s b

t s a

2 22 ) ln( )

s b

s a

Rpta: 2 2

ln( )s b

s a

55. 2

0

tsenu

L duu

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2

0

2

2

2

22

2

222

2

1 cos 2

2

1 2 1

2 2 2 2( 4)

1 1 1 1ln( ) ( 4)

2 2 24

1 1 4(ln( ) ln( 4)) ln

2

t

s s s

sen uF s L du

u

xsen u

cos u sL sen u L L

s s

sen u xL dx dx x ln x

u x x

ssen usL

s su

sen uL

u

2 4ln

s

s

Rpta: 2 4

lns

s

56. 2

8

2

0

cos 4

t

t tdL te e tdt

dt

28

2

0

2 2

0

2

2 22

0

2 2

2

0

( ) cos 4

1 1cos 4 cos 4 .

16 ( 1) 16

1 ( 1)(0) (0) 1 1cos 4

( 1) 16 ( 1) 16

(2 1)(( 1) 16)cos 4

t

t t

t

t

t

t

t

t

df s L te e tdt

dt

s sL t L e tdt

ss s

s s sds F FL e tdt

s sdt

d s sL t e tdt

dt

2 2

2 2 2 2

2 28

2 2 2

0

2 ( 1) ( 1) 32 16

(( 1) 16) (( 1) 16)

( 9) 32( 9) 16cos 4

(( 9) 16)

t

t t

s s s s

s s

d s sL e t e tdt

dt s

Rpta: 2

2 2

( 9) 32( 9) 16

(( 9) 16)

s s

s

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Tranformada de Laplace-56 Ejercicios Resueltos