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Método de las fuerzas para vi-gas 1

bremente apoyado y calculando, las rotaciones producidas en cada extremo. En estos casos las rota-ciones son las reacciones de los tramos cargados con un diagrama triangular de momento flexionan-tes. Nuevamente se hace notar que en los cálculos se ha considerado el valor de EI en cada tramo. Los va-lores calculados permiten plantear la matriz [θ].

En el siguiente paso se resuelve la ecuación 4.7 para obtener los valores de las incógnitas (M) que en este caso son los valores de los momentos de apoyo sobre barra en cada extremo de los tramos de viga. Al igual que en los ejemplos anteriores, no se incluye la inver-sión de la matriz, la cual se efectuó con el programa Excel.


EJEMPLO 4.7. RESOLUCON DE UNA VIGA CONTINUA DE DI-FERENTES PROPIEDADES POR EL METODO DE LAS FUER-ZAS

DATOS:

SOLUCION: Paso a) Planteamiento de la viga isostática.

Paso b) Deformaciones de la viga isostática dos cálculos se presentan al final del ejemplo

EJEMPLO 4.7. (continuación)

Paso c) aplicación de los momentos unitarios y rotatorios correspon-dientes dos cálculos se presentan al final del ejemplo.


Paso d) planteamiento matricial y obtención de los momentos.

Paso e) reacciones finales y cálculo de las fuerzas cortantes y momen-tos flexionantes.


ANEXO. CALCULO DE LOS GIROS

1. Viga isostática.

Viga real

Viga conjugada




1. Viga conjugada con momen-to en B.


2. Viga conjugada con momen-to en C.

246 revoluciones de estructuras indeterminadas por el método de las fuerzas

EJEMPLO 4.7 (continuación)

3. Viga conjugada con momen-to en D.

3.4 metodo de las fuerzas para armaduras.

3.5 4.4.1 planteamiento general.


En la sección 2.6.2 se explicó que las armaduras podían ser externamente indeterminadas. Las primeras son aquellas que tienen u numero de reacciones d apoyo mayor que el numero de ecuaciones de equilibrio su-mado al numero de ecuaciones de equilibrio de condición. Por lo tanto la obtención de las reacciones de apoyo por el mé-todo de las fuerzas se hace exactamente igual que para las vigas. Desde luego, las defle-xiones de la armadura isostáti-ca, tanto la producidas por las cargas externas como las pro-ducidas por las cargas unita-rias, se calculan por los méto-dos presentados en la sección 3.7.7.

Las armaduiras internamente indeterminadas se resuelven también siguiendo los pasos fundamentales del método de las fuerzas de la sección 4.2, pero la armadura isostática, equivalente a la viga isostática, se logra eliminando miembros redundantes de la armadura , osea, miembros que pueden suprimirse sin que la armadura se vuelva inestable.

En os siguientes ejemplos se resu-leven una armadura externamente indeterminada y otra internamente indeterminada.

Ejemplo4.8

Se trata de una armadura continua de dos claros. El grado de indeter-minación entera es 1, mientras que internamente es isostática ya que se cumple la ecuación 2.11.

La armadura isostática se ha plan-teado en el paso a eliminando el apoyo intermedio. En el paso b se muestra la deflexión en el punto 12

calculada como se presenta en la sección 3.7.7. esta deflexión se calcula con la ecuación.

Al final del ejemplo de incluye la tabla para el calculo de esta defle-xión que resulto de 62313/E cm y que es la incompatibilidad geomé-trica de la isostática.

Observese que como el valor del modelo de elasticidad E es cons-tante puede factorizarse n los cál-culos.


En el paso C se calcula la defle-xión que pro duce la carga unita-ria aplicada en el punto l3, para lo cual se utiliza la ecuación.

También se incluye en la tabla que esta al final del ejemplo el cálculo de esta deflexión. En el paso d se plantea la ecuación de corrección de la incompatibilidad geométrica. Como el grado de indeterminación es igual a l, en vez de un sistema de ecuaciones resulta una sola ecuación. Ya conocida la reacción en l2, se pueden calcular las otras reacciones cuando las ecuaciones

Las fuerza finales en las barras de la armadura pueden calcularse ahora sumando las corresponden-cias al paso b con las correspon-dientes al paso c, multiplicado es-tas además por el valor de la reac-ción X8. Las primeras son las pro-ducidas por las cargas eternas en las barras de la armadura cuando se ha suprimido en apoyo B, y las segunda son las que produciría una fuerza igual a la reacción B sin que actúen cargas externas.puede vers que la suma es igual a las fueras que se presentan en la ar-madura hiperestática mostrada al inicio del ejemplo. Los cálculos correspondientes se muestran

Ejemplo 4.8 RESOLUCION DE UNA ARMADURA CONTINUA DE DOS CLAROS, ETERNAMENTE INDETER-

MINADA., POR EL METODO DE LAS FUERZAS.

En la ultima columna de la tabla que esta al final del ejemplo. Para ilustrar lo que siginifica este calcu-lo considerese la barra I0 L1. En la armadura isostática, las cargas externas producen una fuerza de tensión, F, de 225 KN en esta ba-rra. Si a esta misma armadura isostática se aplica ahora una fue-ra igual a la reacción X8, ósea de 252 KN hacia arriba, en la barra aparecerá una fuerza igual a la producida por la carga unitaria del paso C1 p, multiplicada por el valor de X8 y con signo contrario, esta segunda fuerza valdrá, entonces 106251-252 = 157.51. La fuerza total F, será la suma de las dos an-teriores, f=f + x8 p. para el caso en cuestión, la fuerza total en la barra será f 225.157.5 =67.5 KN, valor mostrado en el primer ren-glón de la tabla incluida al final del ejemplo. De esta manera se han calculado en la última colum-na de la tabla las fuerzas en todas las barras, mismas que se mues-


tran también en el croquis del paso e.

El procedimiento descrito es mu-cho más expedito que resolver nuevamente la armadura isostáti-ca con la carga externas uy la reacción X8 actuando simultánea-mente, forma en que también po-drían encontrarse las fuerzas tota-les.

Ejemplo 4.8 (continuación)

Paso a) panteamiento de la arma-dura isostática.

Paso b) deformación de la armadu-ra isostática dos cálculos se mues-trn al final del ejemplo.

Paso c) aplicación de la carga uni-taria y su deflexión correspondien-te los cálculos (muestran el final del ejemplo)



Paso d) planteamiento de la ecua-ción de compatibilidad geométrica y cálculo de la fuerza correctiva.

Paso e) reacciones finale y cálcu-los de las fuerzas internas.



ANEXO, CALCULO DE LAS FUER-ZAS INTERNAS Y D FLEXIONES.

1. Eliminando el apoyo central considerado como redundante, se calculan las fuerzas.

2. Retirando las cargas externas y colocando una carga unitaria en el apoyo central, se calculan las fuerzas de p.

3. Las reacciones y las fuerzas finales en la barra se calcula-ron en la siguiente tabla.



Ejemplo 4.9 La armadura de este ejemplo es isostática internamente, ya que tiene dos reacciones de apoyo y hay dos ecuaciones de equilibrio pero internamente es hiperestática de grado 1 de acuerdo con la ecuaciones


2.12. Para plantear la armadu-ra isostática debe eliminarse uno d los miembros para que se cumpla la ecuación 2.11 pero debe elegirse un miembro que puede eliminase ya que la armadura se vuelve inestable. Por ejemplo si se eliminase el miembro L1 U1 la armadura se-ria inestable ya que no estaría formado por triángulos. En cambio pueden eliminarse los miembros U1 I2 o U2 I1 y la ar-madura sigue siendo estable. En el i a de este ejemplo se ha eliminado el miembro U2 I1. El miembro puede eliminarse in-teligentemente pero el mismo, afecto, se logra en vez de eli-minarlo se corta algún punto, ya que no podría resistir ningu-na

Fuerza axial. Es la que se si-gue en el ejemplo por que toma en cual a de formación propia del miembro. En el paso b se ha calculado las fuerzas en todos los miembros de la armadura isostática, son las fuerzas F de la tabla a la que no se incluyen todos los cálcu-los. También se ha calculado la incompatibilidad geométrica en la isostática, que en este es el desplazamiento A qué ocurre entre dos secciones del corte. Como en armadura original la barra U2 L1, se coloca una fuer-za unitaria a ambos lados del corte, como se muestra en la figura 4.3 y se calcula las fuer-zas en las barras producidas por la fuerza unitaria. Son las fuerzas p mostradas en la ta-bla. Teniendo las fuerzas P y p, la deflexión se A se calcula con la ecuación.

Que es equivalente a la ecuación de 3.54 del capítulo 3.

El segundo miembro de esta ecuación es la suma de los va-lores de la columna 7 de la ta-bla.


Figura4.3. introducción de una fuerza unitaria de la armadura isostática del ejemplo 4.9 En el paso C se calcula la de-formación S producida por una carga unitaria aplicada a am-bos lados del corte efectuado en la barra U2 11. Para hacer este cálculo, se deben introdu-cir fuerzas unitarias virtuales en los mismos puntos donde se colocan las fuerzas unitarias que corrigen los errores de geometría de la isostática, por lo tanto, la deformación o se calcula con la formula.

Ejemplo 4.9 RESOLUCION DE UNA ARMADURA SIMPLEMNTE APOYADA E INTERNAMENTE INDETERN¡MINADA, POR EL METODO DE LAS FUERZAS.

Ya que tanto la fuerza que co-rrige la incompatibilidad de geometría como la fuerza vir-tual para el cálculo de defor-maciones produce los mismos esfuerzos p de la columna 6 de la tabla del paso b.En el paso d se corrige la in-compatibilidad de geometría planteando la ecuación.

Y despejando el valor de X. en este caso la fuerza real de la barra U2

L1. L igual que en el ejemplo ante-rior, como solo hay un grado de indeterminación, en vez de un sis-tema de ecuaciones resulta una ecuación.

Como se explicó en el ejemplo anterior las fuerzas finales en cada barra F, serán la suma de las fuerzas en la armadura isostática, F, y de las fuerzas P multiplicada por el valor de la incógnita X. estos colores se han calculado en la columna 9 de la tabla incluida en el paso b. Después de analizar los dos ejemplos anteriores puede de-ducirse un procedimiento para resolver armaduras que sean indeterminadas tanto externa-mente como internamente. Se deben eliminar tanto reaccio-nes de acojo como miembros de la armadura, en nuev tal que esta resulte isostática in-ternamente y externamente.


Las fuerzas unitarias para co-rregir las inopatibildades de geometrías se colocaran en las reacciones eliminadas y en los miembros cortadas o elimina-das.


Paso b) calculo de las fuerzas f y de la deflexión correspondiente a la armadura isostetica.


Ejemplo 4.9 (continacion)

Paso c) aplicación de la carga uni-tario en el miembro U2 L1 y cálculo de las fuerzas p y su correspon-diente deflexión.

Paso d) planteamiento de la ecua-ción de compatibilidad geométrica y cálculo de la fuerza correctiva.

Paso e) reacciones finales y calcu-lo de las fuerza finales f en las ba-rras.


4.4.2 planteamiento matricial para armaduras.

Los mismos principios aplicados al planteamiento matricial del méto-do de las fuerzas en vigas hiperes-táticas se aplican a armaduras hi-perestaticas, ya sea que su inde-terminación sea externa o interna. Se trata también de escribir el sis-

tema de ecuaciones 4.2 en la for-ma matricial4.4. Si la armadura es externamente indeterminada, las deflexiones A serán las deflexiones de la armadura isostática en los apoyos suprimidos bjo la acción de las cargas reales, y las deflexiones o serán las que ocurran en los mismos apoyos bajo la acción de las cargas unitarias. Si es interna-mente indeterminada, A serán las deformaciones en los extremos de los mienmmbros cortados bajo la acción de las cargas reales y 8 se-ran las mismas deformaciones pero bajo la acción de las cargas unitarias aplicadas en los cortes. En armaduras indeterminadas ex-trenamente e internamente, las A y las 8 incluyen ambos tipos de deformaciones.

Ejemplo 4.10

Se ilustra el planteamiento matri-cial para una armadura hiperelati-ca. La armadura mostrada tiene un grado de indeterminación interna.

La armadura isostática se ha plan-teado eliminando el apoyo en B y cortando el miembro U L. En el paso a se muestra esta armadura con sus cargos externas.

En el paso b se resuelve la arma-dura isostática y se calculan la de-flexión en el punto B, donde se eli-minó el apoyo, y el desplazamien-to en el miembro cortado (véase la tabla al final del paso b). Estas deformaciones


Se calcularon con la ecuación, 4.8. las fuerzas p2 son las producidas por una fuerza unitaria en el punto B y las fuerzas p0 las producidas por una fuerza unitaria en el miembro cortado U2 L1. Como el signo de A0 resulto negativo, en el miembro cortado ocurriría un acortamiento, ya que las fuerzas unitarias introducidas en este miembro son de tensión.

En el paso c se introducen las car-gas unitarias para corregir las in-compatibilidades geométricas de la isostática, ósea A6 Aa. Las defor-maciones producidas por estas cargas unitarias se calcularon con la ecuación 4.9. A continuación, se plantean en el paso de las ecuaciones matriciales 4,4 Y 4,5 con lo que se resuelven las incóg-nitas X8 y X9. La primera es el valor de la reacción en el apoyo B, y la segunda el valor de la fuerza axial en el miembro U2 L3.

Finalmente en el paso se presen-tan las fuerzas totales en las ba-rras de la armadura. En este caso con dos grados de indetermina-ción, hay que sumar las fuerzas F´ de la isostática con las cargas ex-ternas (paso a), las fuerzas µ8 de la isostática con la carga unitaria aplicada en B (primer paso del cro-quis c) multiplicadas por el valor obtenido de la incognita X8 y las fuerza p0 de la isostática con la fuerza con la fuerza unitaria apli-cada en la barra U3 L2 (segundo

croqiuis del paso c) multiplicadas por el valor obtenido de la incogni-ta XD .por ejemplo, en la barra 121y

la fuerza total será:

De esta manera se calcularon las fuerzas en todas las barras. Las cuales se presentan también en la última columna de la tabla del paso b.

256.

Ejemplo4:10: resolución de una armadura con indeterminación externa y entera por el plantea-miento matricial.

Datos:

Paso a) planteamiento de la arma-dura isostática.


Paso b) cálculo de las fuerzas F y deflexiones correspondientes.



258.resolucion de estructura inde-terminandas por el método de las fuerzas.


Paso c) aplicación de las cargas unitarias y cálculos de las defor-maciones.


Paso d) cálculo de las redundan-cias por el planteamiento matri-cial.



Paso e) cálculo de las reacciones finales y las fuerzas en las barras.

3.6 Método de las fuerzas para marcos.

Se aplican los mismos principios generales expuestos en la sección 4.2. Para transformar un marco indeterminado en u científico, se eliminan las reacciones de apoyo redondeadas. Esto pude haberse de diversas maneras. Por lo que conviene elegir un marco estático en el que se resuelva mas rápido el cálculo de deformaciones tam-bién en marcos puede hacerse el planteamiento matricial usando las ecuaciones 4.4 para establecer el sistema de ecuaciones y 4.5 para

resolverlo. Esto de ilustra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 4.11

Se presenta el caso sencillo de un marco con un solo grado de inde-terminación. En el paso

A se plantea el marco isostático que se obtiene eliminando la com-ponente horizontal de reacción en el apoyo D. esto equivale a trans-formar este apoyo en uno libre.

En el paso b se calcula la deflexión que corresponde a la componente de reacción eliminada, ósea, la de-


flexión horizontal del punto D, bajo la acción de las cargas externas. Se utilizó el método del trabajo virtual (sección 3.7.7-0. Para hacer este cálculo , que se muestra al final del ejemplo, se obtuvieron primer las tres componentes de reacción.

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