ANALISIS ESPECTRAL E INTRODUCCION AL TRATAMIENTO DE SERIES MEDIANTE FILTROSI.L.R. KLEINAREA DE MODELIZACIN MACROECONMICAJulin Moral Carcedo

LOS CICLOS ECONMICOSLas economas de mercado experimentan fluctuaciones en los ritmos de crecimiento de un conjunto amplio y diverso de series: produccin, empleo, precios, consumo, inversin, etc,.Tales oscilaciones son recurrentes y sistemticas aunque con patrones variables de amplitud y duracin.Estos fenmenos se denominan ciclos econmicos. (National Bureau of Economic Research)

LOS CICLOS EN ECONOMIAGRANGER .Spectral analysis of economic time series.1964.

Ondas de Kondratieff, este economista ruso planteaba la existencia de ciclos largos de entre 40 y 60 aos. Sin evidencias empricas claras. Ondas de Kuznets, ciclos de 20 aos en variables como el PNB, emigracin y poblacin. Con evidencia emprica. "Building cycle". Evidencia de la existencia de ciclos de 15-20 aos en el sector de la construccin. Ciclos de Hansen, este economista plantea la existencia de ciclos "mayores" de perodo 6-11 aos (debidos a cambios tecnolgicos) junto con ciclos "menores" de duracin entre 2-4 aos ( ciclo de inventario/ existencias).Business cycle, definidos por el NBER (National Bureau of Economic Research) como un tipo de fluctuacin encontrado en la actividad econmica agregada, de duracin media 4 aos y rango entre 1-12 aos.Sub-ciclos de Mack, llamados as por tener una duracin corta de 24 meses, encontrados en series de pedidos, precios, inventarios, etc.

ANALISIS ESPECTRAL*

ANALISIS ESPECTRAL

ANALISIS ESPECTRAL*

ANALISIS ESPECTRAL

ANALISIS ESPECTRAL*

ANALISIS ESPECTRAL

Como modelizar fenmenos recurrentes:Funciones peridicasA, amplitud de la oscilacin.T, perodo., desfase.Expresiones alternativas:

Es evidente la periodicidad?ciclo1=cos(2*pi*t/10)+cos(2*pi*t/40)+cos(2*pi*t/20)+cos(2*pi*t/25)+u

Deteccin de periodicidades ocultas:El correlograma.Idea bsica:Una funcin peridica se repite transcurrido T (perodo), por lo tanto presentar la mxima correlacin con el retardo Ty sus mltiplos enteros. Puede demostrarse que la autocorrelacin de una funcin peridica es peridica, del mismo perodo que dicha funcin.

Deteccin de periodicidades ocultas:El periodogramaEl periodograma se asimila a un sintonizador de un receptor de radio, as, la serie que observamos sera la seal emitida por una radio y el periodograma no sera mas que el dial que busca en que frecuencia se oye mejor la seal emitida.

El periodograma: formulacin.Modelo que sigue la serie observada:Asumimos que las frecuencias, w, son:Se determinan los parmetros, a y b, segn:Se calcula el periodograma I(w)

El periodograma: Interpretacin.El periodograma mide aportaciones a la varianza total de la serie de componentes peridicos de una frecuencia determinada (w).Si el periodograma presenta un pico en una frecuencia, indica que dicha frecuencia tiene mayor importancia en la serie que el resto.ciclo1=cos(2*pi*t/10)+cos(2*pi*t/40)+cos(2*pi*t/20)+cos(2*pi*t/25)+uN=200; 200/10=20; 200/40=5; 200/20=10; 200/25=8

El periodograma: Interpretacin.De izqda. a drcha. aumenta la frecuencia (disminuye el perodo)

El periodograma y la transformada de FourierEl periodograma est basado en una herramienta matemtica denominada Transformada de Fourier, segn la cual una serie, que cumpla determinados requisitos, puede descomponerse como suma de un nmero finito o infinito de frecuencias. Del mismo modo, a partir de la representacin frecuencial puede recuperarse la serie original a travs de la Transformada Inversa de Fourier.En este punto, es preciso sealar las diferencias existentes entre procesos discretos peridicos, aperidicos y estocsticos en trminos frecuenciales: Las series peridicas presenta un periodograma discreto, es decir, solo existe "masa" espectral en aquellas frecuencias contenidas en la serie, siendo stas un nmero discreto. Las series aperidicas presentan un periodograma contino, es decir, existe "masa" en un "infinito" nmero de frecuencias. Las series estocsticas presentan densidad espectral en un rango contino de frecuencias.

SERIE PERIODICASERIES APERIODICASPERIODOGRAMAPERIODOGRAMA

SERIES ESTOCASTICASPERIODOGRAMA (DE ESA REALIZACION)

LA ESTIMACION DEL ESPECTROEl espectro o densidad espectral se define para procesos estocsticos estacionarios como la transformada de Fourier de la funcin de autocovarianza (teorema de Wiener-Khintchine). Su estimador natural es el periodograma, antes visto. Como hemos comprobado es un instrumento adecuado para la deteccin de procesos peridicos puros, sin embargo en el caso de procesos estocsticos presenta serias limitaciones, las ms importantes son la inconsistencia y la correlacin asintticamente nula entre ordenadas del periodograma. Esto implica que no converja al verdadero espectro cuando la muestra se amplia y que el periodograma muestre un comportamiento errtico.

LA ESTIMACION DEL ESPECTRO: METODOS NO PARAMTRICOSA fin de solucionar los problemas antes comentados se propone, en este tipo de mtodos, ponderar el espectro por unos valores denominados ventanas espectralesEstimador sin aplicar enventanadoEstimador enventanadoExiste un amplio nmero de ventanas espectrales, Tukey, Parzen, Hamming, etc.

LA ESTIMACION DEL ESPECTRO: METODOS NO PARAMTRICOSSi bien la utilizacin de ventanas espectrales permite eliminar la inconsistencia y la irregularidad del periodograma como estimador, el que se suavicen las ordenadas del periodograma introduce la dificultad de diferenciar frecuencias prximas.

x1=cos(2*pi*t/(200/15))+cos(2*pi*t/(200/17))+u

LA ESTIMACION DEL ESPECTRO: METODOS PARAMTRICOSLos mtodos paramtricos, parten de suponer conocido el PGD, y modelizado en general a travs de un proceso ARMA, a partir del cual se puede recuperar una estimacin del espectro.Si la serie observada responde a un modelo ARMA (p,q):

El espectro equivale a:

Serie originalEstimaciones del espectro

COMPARACION METODOS DE ESTIMACION

Modelos dinmicos y funciones peridicas

Modelos dinmicos y funciones peridicas

FILTROS E INTRODUCCION AL TRATAMIENTO Y DESCOMPOSICION DE SERIES.

Un filtro no es mas que el tratamiento que se da a una serie inicial o input para obtener una serie final u output. Si el filtro es lineal, el output es simplemente una combinacin lineal de valores pasados, presentes y futuros del input

ALGUNOS TIPOS DE FILTROS LINEALESNo-recursivos, los coeficientes del filtro slo afectan a valores del input.Recursivos, los coeficientes del filtro afectan a valores del input y del output.Causales (one-sided), los coeficientes del filtro slo afectan a valores pasados y actuales del input y/o pasados del output.Simtricos, los coeficientes del filtro equiespaciados son iguales.

FILTROS LINEALES: EJEMPLOSMedia mvil centrada de orden 3:Modelo ARMA:Modelo MA:Modelo AR:

EXPRESION DEL FILTRO EN FUNCION DEL OPERADOR RETARDOSea el filtro recursivo:Su expresin en el polinomio de retardos es por tanto:O en forma compacta:

FILTROS: UTILIDADESSON LA BASE DE LA MODELIZACION ARIMA.SUAVIZADO DE SERIES.ELIMINACION DE COMPONENTES INDESEADOS : DESESTACIONALIZACIN, ELIMINACION DE TENDENCIAS LINEALES Y ESTOCASTICAS.POTENCIACION DE DETERMINADAS CARACTERISTICAS.ESTIMACION DEL COMPONENTE CICLICO.

EFECTOS DEL FILTRADO EN EL DOMINIO DEL TIEMPOModifica la evolucin temporal y estructura de correlacin del input.

EFECTOS DEL FILTRADO EN EL DOMINIO DEL TIEMPOSea la serie:Se aplica el filtro, donde C0=1 y C1=-1:Sustituyendo X por su expresin:

EFECTOS DEL FILTRADO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

LOS FILTROS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIAAsumiendo la expresin de un filtro lineal no recursivoPuede demostrarse (ver p.ej. Priestley) que la relacin entre la densidad espectral de input(Ut) y la densidad espectral del output (Yt) responde a la expresin:La funcin de densidad espectral del output es igual a la funcin de densidad espectral del input multiplicada por el mdulo de la funcin de transferencia.Dnde la funcin de transferencia se define cmo la transformada de Fourier de los coeficientes c(k) del filtro, es decir:

EFECTOS DEL FILTRADO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIALa caracterstica ms importante del proceso de filtrado es que el valor de la densidad espectral del output en una determinada frecuencia es el producto del valor de la funcin de transferencia y el valor de la densidad espectral del input en dicha frecuencia. Esta propiedad permite anular ciertas frecuencias con la adecuada seleccin de los valores del filtro, con lo que conseguimos que el output exhiba las caractersticas que deseemos.

DESCOMPOSICION DE SERIESSegn el esquema tradicional, una serie puede descomponerse en todos o alguno de los siguientes componentes:

Tendencia, se asocia con la evolucin a largo plazo de la serie, desde un punto de vista frecuencial se asocia a componentes de frecuencia baja o alternativamente de perodo alto, generalmente superior 8 aos.Ciclo, son oscilaciones en torno a la tendencia de periodo superior al ao e inferior a 8 aos. Estacionalidad, son los movimientos que se producen con periodicidad anual.Irregularidad, movimienos de alta frecuencia, superior a la de la estacionalidad y distintos de los armnicos de la misma

DESCOMPOSICION DE SERIES EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.

DESCOMPOSICION DE SERIES EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.

DESCOMPOSICION DE SERIES EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.: FILTROS PARA LA TENDENCIAOperador diferenciaFiltro de Hodrick-Prescott

DESCOMPOSICION DE SERIES EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.: FILTROS PARA LA ESTACIONALIDADSumador estacionalDiferencia estacional

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