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Transferencia de Energía
1547
Grupo 3
2014-09-08 9ª
2014-09-08
Contenido
Edgar, ejemplo con Mathematica;
Ejemplo de transferencia de energía a través de un cilindro de
enfriamiento (& 9.3 BSL).
Placa
caliente
Cilindro de metal (R,L)Película de gas
que moja el cilindro
zv r a
T 1 1 q q 4hC rq T T
t r r r z D
Sistema: Cilindro de metal (radio R; longitud L; conductividad
térmica k); uno de sus extremos está unido a una placa plana y
relativamente grande, mientras que el resto del cilindro esta
expuesto a la atmósfera. La temperatura de placa es mucho mayor
que la de la atmósfera (T0 y Ta, respectivamente).
Proponga un modelo que describa el transporte energía en dicho
sistema, asumiendo que en el cilindro no se desarrolla ningún
proceso que implique la producción de energía (reacción química,
flujo de corriente eléctrica, etcétera).
3
Placa
caliente
Cilindro de metal (R,L)Película de gas
que moja el cilindro
3. Modelo (restricciones)
1) Propiedades de los materiales: constantes;
2) Estado no-estacionario;
3) No hay transporte por convección;
4) Si hay transporte por difusión
5) No hay ningún proceso que produzca
(consuma) energía (reacción química,
corriente eléctrica, etcétera);
6) Si hay trasporte de energía vía interfase.
4
1. Esquema
L
R
Balance de energía simplificado (1)
v I
térmica
c T q qt
2. Cilíndricas
Balance general de energía
v v R V
térmica
c T v c T q EG p v : v q qt
Considerando las leyes de Fourier y enfriamiento de Newton para
modelar: i) el transporte de calor por difusión molecular (corto
alcance) q ; ii) el transporte de calor a través de la interfase
cilindro/atmósfera:
Balance de energía simplificado (1): v V
Ttérmica C q q
t
, cilíndricas: ; ; r r z z
T k T TFourier q k q q k
r r z
cil
pel pel
como: a aI
V a2
hA T T h Ddz T Tq 4hq T T
V V DD dz 4
cilEnfriamiento de : aINewton q hA T T
zv r a
T 1 1 q q 4hC rq T T
t r r r z D
Coordenadas cilíndricas: zv r V
T 1 1 q qC rq q
t r r r z
6
Modelo (restricciones)
1) Propiedades de los materiales: constantes;
2) Estado no-estacionario;
3) Transporte por convección: despreciable;
4) Transporte por difusión
5) No hay ningún proceso que produzca
(consuma) energía (reacción química,
corriente eléctrica, etcétera);
6) Si hay trasporte de energía vía interfase.
1. Esquema
L
R
Balance de energía para el cilindro:
rv z a
térmica
T k T k 1 T T 4hC r k T T
t r r r r r z z D
Balance de energía para el cilindro
rv z a
térmica
T k T T 4hC r k T T
t r r r z z D
7) Simetría respecto de θ.
7
Balance de energía para el cilindro
rv z a
térmica
T k T T 4hC r k T T
t r r r z z D
T T t,r,z
L
RT0
Ta
Ecuación diferencial parcial difícil de resolver, aún numéricamente.
Sin embargo, permite hacer algunas observaciones considerando las
leyes de Fourier y de enfriamiento de Newton:
cil: ; : r r z z aI
T TFourier q k q k Newton q hA T T
r z
La transferencia de calor va de la placa plana hasta la atmósfera y,
consecuentemente, la eficiencia con la que esto ocurre depende de la
conductividad térmica del rodillo k, de la capacidad que tenga la
película de gas que moja al rodillo para transferir el calor h, y de la
magnitud de los gradientes radial y axial; es decir de las diferencias
de temperatura y de la distancia que separa a los diferentes puntos
de intercambio térmico.
& 3.3 Transporte de energía en una aleta de enfriamiento en
condiciones de estado estacionario[1, 2].
Sistema: Cilindro de metal (radio R; longitud L; conductividad
térmica k); uno de sus extremos está unido a una placa plana y
relativamente grande, mientras que el resto del cilindro esta expuesto
a la atmósfera. La temperatura de placa es mucho mayor que la de la
atmósfera (T0 y Ta, respectivamente).
Proponga un modelo que describa el transporte energía y el perfil de
temperatura en dicho sistema, asumiendo que en el cilindro no se
desarrolla ningún proceso que implique la producción de energía
(reacción química, flujo de corriente eléctrica, etcétera) y que opera
en condiciones de estado estacionario.
Antes de proceder a estructurar el modelo, a manera de introducción,
se hacen algunos comentarios respecto de este tipo de
intercambiadores de energía.
[1] Thomson W. J., Introduction to Transport Phenomena, Prentice Hall 2000.
[2], BSL, Ch-10
Ejemplos…
Placa
caliente
Cilindro de metal (R,L)Película de gas
que moja el cilindro
El comportamiento de un cilindro de metal se estudió [1] mediante
un experimento en condiciones de estado no-estacionario:
r 0
T T t,z
[1] Crosby, E. J., Experiments in transport phenomena, John Wiley, N. Y., 1961
Características de los
experimentos representados
por curvas ´1´, ´2´, ´3´, y ´4´:
r 0
T T z
´1´: No hay transferencia de energía del cilindro al medio ambiente.
´2´: La transferencia de energía solamente ocurre por el extremo
final del cilindro (z=L).
En los experimentos ´3´y ´4´ cierta cantidad de energía sale a través
de la película de fluido que moja al cilindro.
´3´: Se aprovechó la mayor parte del cilindro, y la temperatura del
extremo del cilindro no es igual a la del medio ambiente: T(L)≠Ta, lo
cual implica que cierta cantidad de energía sale por dicho extremo.
´4´: No se aprovecho la mayor parte del cilindro, porque T(z>L)=Ta.
Con base en las observaciones de dicho sistema, se alcanzaron las
siguientes conclusiones:
La eficiencia con la que ocurre la transferencia de calor de la placa
plana hasta la atmósfera depende de:
la conductividad térmica del rodillo;
la conductividad de la película de gas que moja al rodillo;
la magnitud del gradiente de temperatura, tanto radial como axial;
el área de transferencia de calor;
la relación L/R del cilindro… es conveniente que sea mucho mayor
que la unidad; sin embargo, valores grandes de R y L implican
resistencia mayor resistencia a la transferencia de calor en esas
direcciones… por lo tanto, se debe buscar la mejor relación L/R.
r 0
T T t,z
r = 0
r = R
T = T1
T = T2
T = T2
T = T1
T = T2
T = T1
(1) y (2) Solo (1) Solo (2)
Difusión radial
... (1)rk Tr
r r r
Interfase
4 ... (2)a
hT T
D
Para justificar la simplificación de la difusión radial se considera:
rz
k T Tr k
r r r z z
Modelo (restricciones)
1) Propiedades de los materiales: constantes;
2) Estado estacionario;
3) Transporte por convección: despreciable;
4) Transporte por difusión unidireccional: z;
5) No hay producción de energía;
6) Si hay trasporte de energía vía interfase.
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Balance general de energía
v v R I
térmica
c T v c T q EG p v : v q qt
Balance de energía del cilindro
a
térmica
d T 4hT T 0
dz dz kD
L
RT0
Ta
Retomando el caso & 3.3 Transporte de energía en una aleta de
enfriamiento en condiciones de estado estacionario[1, 2].
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@ 0T T z 0
Como: a
d T 4hT T 0
dz dz kD
L
RT0
Ta
Condiciones límite (de frontera):
1. La temperatura del rodillo es igual a la de la placa: T0
2. Si la relación D/L es muy pequeña (D<<L), el área de la cara del
rodillo en r=R, πD2/4 es mucho menor que el área, πD2L/4, y entonces
se puede considerar cualesquiera de las siguientes condiciones:
@ dT
0 z Ldz
@ aT T z L
Como: 2
a2
d T 4hT T 0
dz kD
Agrupando algunos de los parámetros de esta ecuación como:
2a 1 h hT T C senh z C cosh z
h
4h
kD
La solución de esa ecuación diferencial ordinaria, de segundo
orden, y homogénea, es de la forma:
2
2
h a2
d TT T 0
dz
@ ... @ 0
dTT T z 0 0 z L
dz
Acotada por las siguientes condiciones a la frontera:
21 h h h h
dTC cosh z C sinh z
dz
Aplicando las condiciones de frontera se tiene:
... 21 0 a h 0 aC T T tanh L C T T
a 0 a h h hT T T T cosh z tanh L sinh z
La diferencia entre los datos experimentales y lo que el predice el
modelo puede deberse a algunas de las restricciones que se
impusieron al modelo, tal como que el coeficiente de difusión k no
es constante, sino dependiente de la temperatura.
Los exámenes orales (presentaciones) se llevarán a cabo
a partir del día 2014-10-01 (después del segundo
examen en línea).
Transferencia de Energía
Fin de 2014-09-08 9ª
