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Transferencia de Masa
2013-05-16 14ª
2013-05-16
# Coeficiente de transferencia de masa de largo alcance kg.
# Introducción;
# Modelo de la película estancada;
# Modelo de Higbie… teoría de penetración;
# Modelo de Danckwerts… teoría de la superficie renovada.
2
intrafase sólido poroso
fluido que fluye fase fluida (bulk)
Cb Tb
sólido poroso intrafase
C(y) T(y)
interfase fluido que moja al sólido
Cs Ts
Revisión de conceptos básicos 1
Balance general… ecuación de conservación… la mas importante
del curso… para que sea útil se requieren sus condiciones límite…
[entrada] – [salida] + [generación] = [acumulación]
Condiciones limite
Parte importante (indispensable) del modelo…
Se conoce algo de la propiedad conservativa de interés en una región
del elemento de control;
Dos tipos condiciones límite importantes:
1) En una región del elemento de control se conoce el valor de la
variable del proceso; por ejemplo: en z = 0 se sabe que CA = CA0
2) En una región del elemento de control se conoce el valor del flux de
la variable del proceso; por ejemplo: en z = 0 se sabe que:
4
flux difusivo desde un sólido: "
w w
w
d
dx
esta frontera del elemento de control se considera que no hay ni
acumulación ni reacción. 1 Plawsky, J. L., Transport Phenomena Fundamentals, Marcel Dekker, Inc., 2001
Convección (generalidades)
Transporte por convección implica que la propiedad conservativa se
transporta debido a que viaja en el seno de un material que se mueve.
Condiciones limite convectivas (CLC): ubicadas en la interfase que
separa al fluido (material que transporta la propiedad conservativa de
interés PC) y un segundo material que es inmiscible con dicho fluido;
La segunda fase que puede estar fija o en movimiento.
Además, el elemento de control (aquella región “pequeña” en donde se
analiza el proceso) puede ser la interfase solamente.
El espesor de la interfase es muy “pequeño” comparado con las otras
dimensiones del sistema, y no tiene capacidad de almacenamiento
(estado estacionario) ni de reacción.
5
Condición limite convectiva CLC
Sea el caso de un fluido que transporta un propiedad conservativa PC;
Dicho fluido fluye en la vecindad de un sólido (figura siguiente):
La PC (masa, energía, momentum, carga) se representa por ϑ;
Lejos del sólido, el fluido se mueve con una velocidad constante v∞;
Lejos del sólido la PC también tiene un valor constante ϑ ∞;
La interfase entre el sólido y el fluido Δf se define arbitrariamente; a
través de dicha región ocurre el flux de la PC.
En la interfase se debe cumplir:
[flux difusivo en el sólido] = [flux convectivo en el fluido]
Condición limite convectiva CLC
En la interfase no hay reacción ni
acumulación; por lo tanto, se debe cumplir:
[flux difusivo sólido] = [flux convectivo fluido]
flux difusivo en el sólido: "
w w
w
d
dx
El flux convectivo en el fluido se modela con la aproximación de
largo alcance:
gradiente convectivo en el fluido 0
ff
d
dx
flux convectivo en el fluido: f
f
"
f f 0 0
f
d
dx
Como: " "
w f w
w
d
dx
" "
w f w
w
d
dx
Condición limite convectiva, CLC; en ella están acoplados los
procesos de transporte de momentum y el de la otra propiedad
conservativa de interés.
Las características de la interfase no se conocen con precisión porque
dependen de las del fluido (distribución de la velocidad, características
del mojado de la pared, etcétera), así como los procesos de transporte de
la otra propiedad conservativa de interés (energía, masa, carga).
Por lo tanto, para obtener la solución completa del sistema, se deben
resolver simultáneamente los balances de las propiedades conservativas
que estén acopladas; este enfoque presenta no solo la dificultad de
plantear y resolver las ecuaciones de cada proceso, sino también la
necesidad de disponer de los parámetros propios del sistema.
Por la dificultad que ello implica, y con el propósito de tener una idea
del valor de los coeficientes de transporte convectivo (de largo alcance),
se utilizan los números adimensionales.
CLC convectiva dentro del fluido en términos adimensionales:
Para energía:
0
0
S S
f
f
xx
como: "
f w 0
0
d
dx
0
f f 0 f
fw f 00
d d dSS
dx dd
0 w
0
f 0
dS
d
f
w0
dS
d
0
T TS
T T
f
0
hdSNu
d
Considerando las siguientes variables adimensionales:
Para masa: A A
0 A
C CS
C C
g f
Am0
kdSSh
d D
9
Teoría de la película
Antecedentes: modelo de enfriamiento de Newton, aplicado a
describir el transporte de calor entre paredes compuestas, tales como el
intercambio de calor en cambiadores de calor:
C fq Ua T T
Considere el caso de dos fluidos que son parcialmente inmiscibles
entre sí; uno de ellos (el de la izquierda) tiene un componente A que
esta disuelto en él, pero que es soluble en el otro fluido.
... (1)0 1A L Ao AN k C C
CAo
x =0
CA1
x =δ
Coeficiente de transferencia de masa kg
Sea el sistema compuesto por un tanque con agua “perfectamente
agitado” al cual se adicionan pastillas de un colorante soluble en agua.
Obtener el modelo de la rapidez con la cual un líquido se colorea.
Esquema
z=0 C=C0
z=δ C=Cδ
Modelo (Premisas):
1.- Cada pastilla está mojada con una película de espesor constante δ;
2.- La solución está perfectamente agitada, y por ello la concentración
de colorante en la solución Cδ es la misma en todo el tanque;
3.- La cantidad de colorante que sale de la pastilla pasa a través de la
película “estancada” y llega a la solución, la cual está “perfectamente
agitada”.
AAB A A A A
CD C vC R S 0
t
Balance de masa en la solución perfectamente agitada:
Restricciones:
1.- La solución perfectamente agitada: no hay gradientes de posición;
2.- No hay entradas ni salidas: no hay transporte por convección;
3.- Sistema isotérmico: solo el balance de masa;
4.- Estado no-estacionario;
5.- No hay reacción química;
6.- Si hay transporte desde una interfase;
AA
CS 0
t
Para que esta ecuación pueda resolverse (conocer CA en función de t),
se debe conocer el flujo de colorante que entra al agua SA.
Para obtener la expresión del flujo SA se puede hacer un balance de
colorante en la película estancada, aprovechando que la cantidad de
colorante que sale de la pastilla debe pasar a través de la película δ.
CA
tD
ABC
A vC
A R
A S
A 0
Balance de masa en la película estancada:
Restricciones:
1.- La película estancada tiene un tamaño constante (espesor δ) ;
2.- No hay transporte por convección, solo por difusión;
3.- Sistema isotérmico: solo el balance de masa;
4.- Estado no-estacionario;
5.- No hay reacción química;
6.- No hay transporte desde una interfase;
7.- Flujo unidireccional, en z.
CA
t D
AB
2CA
z2 0
Cuando t 0 : C
A 0 en 0 z
Cuando t 0 : C
AC
A0 en z 0 y C
AC
A en z
Este modelo permite conocer el flujo de colorante que entra al agua, y
que es una función del tiempo t.
Z=0 C=C0
Z=δ C=Cδ
CA
tD
ABC
A vC
A R
A S
A 0
Una manera sencilla de tener un valor aproximado del flujo es
considerar al sistema en estado pseudo-estacionario, en cuyo caso:
Balance de masa en la película estancada:
Restricciones:
1.- Película estancada y de tamaño constante (espesor δ) ;
2.- No hay transporte por convección:
3.- Sistema isotérmico: solo balance de masa;
4.- Estado pseudo-estacionario;
5.- No hay reacción química;
6.- No hay transporte desde una interfase;
7.- Flujo unidireccional, en z.
D
AB
d 2CA
dz2 0
C
AC
A0 en z 0 y C
AC
A en z
Ya lo hemos resuelto… película estancada… ¿pueden terminarlo?.
Z=0 C=C0
Z=δ C=Cδ
A g 0S k a C C
Otra manera sencilla de tener un valor aproximado del flujo es
expresar al flujo que ocurre en una interfase de las carácterísticas de la
película que moja a la pastilla con una función del tipo:
SA es el flujo diferencial del material que
se trasporta desde (o hacia, según sea el
caso) un interfase, por unidad de volumen;
z=0 C=C0
z=δ C=Cδ
kg es el coeficiente de transferencia de masa del material de interés,
el cual esta determinado por las condiciones del sistema, es decir, por
las carácterísticas de la película;
C0 y Cδ son la concentración del componente de interés en este caso
de los planos definidos por z=0 y z=δ, respectivamente;
a es el área de sección transversal de flujo.
AAB A A A A
CD C vC R S 0
t
Por lo tanto, para tener un valor aproximado del flujo se puede
considerar el transporte desde una interfase en términos del coeficiente
de transferencia de masa SA =kg(C0−Cδ ).
Balance de masa en la solución agitada:
Restricciones:
1.- Película estancada y de tamaño constante, δ ;
2.- No hay transporte por convección:
3.- Sistema isotérmico: solo balance de masa;
4.- Estado no-estacionario;
5.- No hay reacción química;
6.- Si hay transporte desde una interfase;
7.- Flujo unidireccional, en z.
Ag 0
dCk C C
dt
Z=0 C=C0
Z=δ C=Cδ
en @ AC 0 0 z t 0 Como: A g 0S k C C
Ahora, el chiste es disponer de valores de kg.
Fenomenológicamente, los coeficientes globales de transferencia de
masa kg y energía h se definen como el flux difusivo de la propiedad
conservativa dividida por la fuerza motriz correspondiente:
flux difusivo de masa flux difusivo de calor
y g
0 S S 0
k hC C T T
CS T0
δ
C0 T0
Interfase
Modelo de la película estacada (ya se presentó). Para explicar kg ,
considere una película está estancada (u=v=0); isotérmica
(T=constante); en le cual el transporte de masa ocurre en la dirección y;
Balance de masa: 2 2
2 2
C C C Cu v D
x y x y
2
2
C dC0 D a
dyy
con: en y en 0 SC C y C C y 0
S 0 S
yC C C C
como: S 0 S
yC C C C
0 S
y
C CdC
dy
Como el flux de reactivo que sale de la interfase debe ser igual al
flux de reactivo que entra en la intrafase:
g 0 S
y
dCk C C D
dy
Cualitativamente, esta igualdad confirma que el coeficiente global de
transferencia de masa kg es un coeficiente de transporte. Sin embargo,
este modelo tiene la incertidumbre que implica la evaluación del espesor
de la película estancada δ.
g
Dk
Al comparar estas dos ecuaciones se tiene una expresión para kg:
Modelo de la Superficie Renovada [1].
Modelo
Enfoque Semi-empírico:
Pared fija que tiene una temperatura
relativamente alta Tw; debido a la turbulencia
que priva en el fluido, llegan a ella remolinos
de un fluido que tienen una temperatura
menor que la de la pared: Tb<Tw;
Cada remolino se mantiene en contacto con
la pared un tiempo relativamente corto, pero
lo suficiente para que ocurra la transferencia
molecular de una cantidad finita de calor.
Conociendo (balanceando) la cantidad de
calor que transporta cada remolino y
contabilizando (de alguna manera) la
contribución de los demás remolinos, se
estima la cantidad total de calor transferida.
[1] Introduction to transport phenomena, W. J. Thomson, Prentice Hall, 2000, Caps. 7,9 10.
Modelos para la transferencia de masa en la interfase
Teoría de penetración (Higbie, 1935);
Pretende tomar en cuenta la inestabilidad que existe en la interfase de
sistemas fluido-fluido (no lo puede hacer el modelo de la película estacada);
Sea el caso de un sistema gas-líquido;
El modelo consiste en considerar que en el líquido B hay paquetes de
fluido que se ponen en contacto con el gas durante un tiempo que es
suficiente para que ocurra el transporte de las especie de interés A (hacia o
desde la fase gas); después de lo cual dichos paquetes se mueven hacia el
seno del líquido, y son reemplazados por otros. En este sentido, este modelo
supone el transporte del soluto A dentro de una capa de líquido de espesor
infinito en estado no-estacionario.
Líquido,B
Gas,A
=2
A AAB 2
C d CD
t dx
El modelo matemático de Higbie tiene las siguientes restricciones:
1) Transporte por difusión;
2) Unidireccional: x;
3) Estado no-estacionario;
4) Isotérmico
5) Espesor de la capa de líquido es infinito: x=∞
Balance de masa:
@ cuando: A A0C C 0 x t 0
A A0
Ai A0 AB
C C x=1-erf
C C 4tD
Condiciones límite:
@ cuando: A A0C C x t 0
@ cuando: A AiC C x 0 t 0
La solución es1:
1 Hines A. L., Mass Transfer Fundamentals and Applications, Prentice Hall, 1984.
Abramowits, Handbook of Mathematical Functions, Dover, 1972.
AA ABx=0
x=0
CN = D
z
... (*)2
AAi A0
ABAB
C 1 xC C exp
x 4tDtD
1
2AB
A Ai A0x=0
DN = C C
t
El transporte es por difusión, entonces el flux de A esta dado por:
como: A A0
Ai A0 AB
C C x1- erf
C C 4tD
Por lo tanto, el flux de A que entra (o sale) instantáneamente del
paquete líquido es:
El flux promedio de A que se transporta en el tiempo ts, que el
paquete líquido está en contacto con la fase gas, se obtiene aplicando
el concepto de valor medio:
st
A Aprom 0s
0
1N = N dt
t
st1
2AB
A Ai A0 1 2proms
0
D1 dt N = C C
t t
Por lo tanto, de acuerdo con la teoría de penetración de Higbie, la
cual considera que los paquetes de líquido que entran en contacto con
el gas un tiempo de contacto constante ts cada uno de ellos, permiten la
transferencia del soluto A, predice la expresión de kg siguiente:
Como:
1
2AB
A Ai A0proms
4DN C C
t
Por otro lado: g 0 S
0
dCk C C D
dx
1
2AB
g
s
4Dk
t
Esta expresión es diferente que la que predice la modelo de la
película estancada, la cual es:
g
Dk
Teoría de renovación en la superficie (Danckwerts, 1951)
Objetivo: mejorar la teoría de penetración de Higbie.
En el modelo de Danckwerts se considera que no todos los paquetes
de líquido tienen el mismo de tiempo de contacto ts, sino que el tiempo
total de contacto puede describirse con una función de distribución τ(t),
en lugar del ts que se considera en la teoría de penetración de Higbie.
Por lo tanto, el flux promedio de A se calcula con una función de la
forma:
1
2AB
A Ai A0 1/ 2proms
0
t4DN C C dt
t t
Se han propuesto diferentes funciones τ(t); Danckwerts propuso una
que implica que la rapidez con la que desaparecen los paquetes de
cierta edad es de primer orden con respecto al número de elementos de
esa edad:
d t S
dt
Teoría de renovación en la superficie (Danckwerts, 1951)
Como:
1
2AB
A Ai A0 1/ 2proms
0
t4DN C C dt
t t
y: d t
Sdt
Donde S es la rapidez de renovación de remolinos en la superficie;
es igual al recíproco del tiempo de exposición de dichos elementos.
K exp St
0
t dt 1
Para evaluar la constante de integración K se aprovecha el hecho de
que τ(t) es una cantidad fraccional, y por lo tanto debe cumplir con:
0
K exp( S )dt 1
como: t K exp St
Pero:
0
K exp( S )dt 1 K S
t S exp S
1
2AB
A Ai A0 1 2prom
0
S exp SDN C C dt
t
Entonces, aplicando esta función de distribución de tiempos de
contacto a la expresión de flux molar promedio se tiene:
Como:
1
2AB
A Ai A0 1/ 2proms
0
t4DN C C dt
t t
1 2'
c ABk SD
1 2
A Ai A0 ABpromN C C SD
Resolviendo la integral se obtiene el flux promedio de A de acuerdo
con el modelo de Danckwerts:
comparando con: '
A c Ai A0N k C C
S es un parámetro empírico.
Este modelo es diferente que los de la película estancada y de la
teoría de penetración de Higbie: 1
2AB
g
s
4Dk
t
g
Dk
Como:
1
2AB
A Ai A0 1 2prom
0
S exp SDN C C dt
t
Transferencia de Masa
Fin de 2013-05-16 14ª
