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Transferencia de Momentum

1740-2

2014-03-06 9ª

2014-03-06

Contenido

1. Producto cruz… flujo irrotacional…

2. Balance de momentum… ecuación general;

3. Ecuación de Navier-Stokes;

4. Ecuación de Euler;

5. Ecuación de Bernoulli;

6. Balance de momentum adimensional;

7. Número de Reynolds.

* El manejo que se presenta de las ecuaciones antes mencionadas es

válido para coordenadas cartesianas; haciendo los cambios

necesarios, se puede aplicar la misma estrategia para analizar otros

sistemas coordenados.

Flujo irrotacional

Aquel flujo que cumple con la siguiente característica:

Producto cruz de dos vectores

v w u

u v w

u v w v w sen v,w

v w w v

Altura w sen v,w

v

w

u

u

Altura w sen v,w

En coordenadas cartesianas:

; ; x y z x y z x y zv iv jv kv w iw jw kw u iu ju ku

Generalizando:

; ;

; ;

; ;

i j k j k i k i j

j i k k j i i k j

i i 0 j j 0 k k 0

Aplicando la definición de producto :

cruz

i j i j sen i, j 1 1 1 1

Producto cruz de dos vectores en términos de sus componentes:

x y z x y z

x x x y x z

y x y y y z

z x z y z z

v w iv jv kv iw jw kw

i i v w i j v w i k v w

j i v w j j v w j k v w

k i v w k j v w k k v w

0

0

0

k

-k

j

-j

i

-i

y z z y z x x z x y y xv w i v w v w j v w v w k v w v w

En forma de un determinante: x y z

x y z

i j

v w v v v

w w w

k

Tipos de flujo… de acuerdo con el producto cruz de dos vectores…

En general:

cuando se cumple cualquiera de las siguientes condiciones

; ; ; y sean paralelos

v w 0

v 0 w 0 v , w 0 v w

Flujo rotacional:

x y z

i j

Rot v vx y z

v v

0

k

v

Flujo irrotacional:

x y z

i j

Rot v v 0x y z

v v

k

v

Flujo irrotacional … quel que cumple con la siguiente característica:

3) flujo irrotacional:

x y z

i j

Rot v v 0x y z

v v

k

v

Acumulación

Flujo por Convección

Fuerzas de Campo (Gravitación)

Fuerzas Estáticas (Presión)

Fuerzas Dinámicas (Deformación)

v vv g P 0t

Balance de momentum general

Objetivo:

Revisar brevemente el significado de cada uno de sus términos… y

porque es el antecedente de las demás ecuaciones (modelos)…

Ecuación de Navier-Stokes

• Es un caso particular del balance de momentum general

• Objetivo:

•Revisar sus características (restricciones), y el significado de cada

uno de sus términos…

•Características (restricciones) de la ecuación de Navier-Stokes:

1.Las del balance de momentum general;

2.Para fluidos Newtonianos… viscosidad μ, y densidad ρ constantes.

De acuerdo con la restricción 2): v

v v v

como: 2 2 v

Por otro lado: P P

Por la restricción 1)… densidad ρ constante

v vv g P 0t

Como :

tv

v

t v

t

Por la ecuacion de continuidad: v 0t

Por lo tanto: v Dv

v vv v vt t Dt

De acuerdo con (A.4-30) : BSL vv v v v v

v

v vv v v v v vt t t

v

v vv v vt

vt

vt

Acumulación

Flujo por Convección

Fuerzas de Campo (Gravitación)

Fuerzas Estáticas (Presión)

Fuerzas Dinámicas (Flujo por difusión)

2vv v g P v 0

t

Por lo tanto, la ecuación de Navier-Stokes es:

Características (restricciones) :

1. Las del balance de momentum general;

2. Para fluidos Newtonianos… viscosidad μ, y densidad ρ constantes.

En términos de la : 2Dvderivada material g P v 0

Dt

Acumulación

Flujo por Convección

Fuerzas de Campo (Gravitación)

Fuerzas Estáticas (Presión)

2) Para fluidos : 2no vis cosos v 0

Ecuación de Euler, a partir de la ecuación de Navier-Stokes

Características (restricciones) de la ecuación de Euler:

1. Las de la ecuación de Navier-Stokes;

2. Fluidos no-viscosos (inviscid fluids): viscosidad prácticamente cero;

vv v g P 0

t

1) Ecuación de : 2vNavier Stokes v v g P v 0

t

Ecuación de Bernoulli, a partir de la ecuación de Euler

Características (restricciones) de la ecuación de Bernoulli:

1. Las de la ecuación de Euler;

2. Expresar las fuerzas de campo g en términos del gradiente de una

cantidad escalar;

3. Asumir que el flujo es irrotacional.

como: v

v v g P 0t

por la restricción 2) : g g z

g P g z P P g z

212

vv P g z 0

t

Por otro lado, A.3-18 : 12

BSL v v v v v v v v

como: 2v v v además, 3) flujo irrotacional: v 0

212

vv P g z 0

t

Estado estacionario constante212

v P g z

Sistema: ecuación de Navier-Stokes modificada

Características (restricciones):

1. Las de la ecuación de Navier-Stokes… viscosidad μ, y densidad ρ

constantes;

2. Sin fuerzas de gravitación: g = 0.

1) , : 2DvNavier - Stokes derivada material g P v 0

Dt

2) Fuerzas gravitacionales despreciables: g 0

: 2DvNavier Stokesmod ificada P v 0

Dt

Considerando las siguientes variables adimensionales:

; ; x y z

x y zL L L

Donde L es una longitud característica del sistema… ejemplo: diámetro

de un tubo… profundidad de un canal…

; ; x Lx y Ly z Lz

Continúa la definición de las variables adimensionales:

tV L

t t tL V

Además: v

v v V vV

2

2

PP P V P

V

tV cm 1

t segL seg cm

v cm segv

V seg cm

3 2 3 2

2 2 2 2 2 2

P dina cm seg g cm 1 cm segP

V cm g cm se g cm g cm

Donde V es una velocidad característica del sistema; es un escalar…

ejemplo: velocidad promedio de un fluido en un tubo…

2 2 2L L

es una velocidad característica; es un vector, es un escalar2L

L

2

2

2L

Aplicando esas variables adimensionales al modelo particular de

Navier-Stokes , que se escogió como ejemplo:

como: 2DvP v 0

Dt

2D V vDv V Dv

LDt L DtD t

V

2

2V

P V P PL L

2

2 2

2 2

Vv V v v

L L

222

2

VV Dv VP v 0

L Dt L L

2DvP v 0

Dt VL

Al cociente se le conoce como número de , ReLV

Re ynolds

Como: 2DvP v 0

Dt VL

Re

2Dv 1P v 0

Dt

Re3

LV L mL

L mt

tL

Transporte de momentum por convección

ReTransporte de momentum por difusión

LV

tiempo característico del mater

tiempo característico delR

ia

pr c so

l

ee

o

t

t

Re convección >> difusiónmuy grande...

Re Re

21muy grande... v 0

DvP 0

Dt

tiempo característico del mater

tiempo característico delR

ia

pr c so

l

ee

o

t

t

Renato Leduc… poema

Sabia virtud de conocer el tiempo;

a tiempo amar y desatarse a tiempo;

como dice el refrán: dar tiempo al tiempo...

que de amor y dolor alivia el tiempo.

Aquél amor a quien amé a destiempo

martirizóme tanto y tanto tiempo

que no sentí jamás correr el tiempo,

tan acremente como en ese tiempo.

Amar queriendo como en otro tiempo

-ignoraba yo aún que el tiempo es oro-

cuánto tiempo perdí -ay- cuánto tiempo.

Y hoy que de amores ya no tengo tiempo,

amor de aquéllos tiempos, cómo añoro

la dicha inicua de perder el tiempo...

tu tiempo característ

mi tiempo caracNh

terísticoa

icot

t

.

Transferencia de Momentum

1740-2

Fin 2014-03-06 9ª