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Transformación VectorialPablo Guamán Novillo, pguamann@est.ups.edu.ec.Universidad Politécnica Salesiana, Sede Cuenca.

Electrónica de Potencia - Grupo 2.

Resumen—Este documento presenta el desarrollo sobre trans-formación vectorial espacial. Se trata de un método para latransformación desde un plano hacia un plano giratorio con unavelocidad angular w, con el cual es posible definir a los sistemasequilibrados o desequilibrados. Este método es adecuado para elcampo eléctrico cuando se trabaja con sistemas trifásicos.

Index Terms—Complejo, Espacial, Inversor, Transformación,Plano, Park, Temporal, Sistema.

I. INTRODUCCIÓN

Se realiza la transformación con el objetivo de cambiar lascoordenadas desde el sistema trifásico estacionario (Va,Vb,Vc)de una magnitud cualquiera a un sistema de coordenadasgiratorio mostrando un solo vector que se encuentra en unplano complejo, con el fin de poder de conocer si el tipode sistema tratado es equilibrado o desequilibrado para poderdefinir un problema, el cual se lograría observar sometiendolos voltajes de entrada y de salida a la transformación parauna posterior comparación. En sistema equilibrado es aquelsistema trifásico con la misma magnitud y con un ángulo dedesfase de 120 grados entre cada una de ellas. Es muy utilizadopara el análisis de las maquinas eléctricas [1,2].

II. INVERSOR TRIFASICO

El circuito más usado como convertidor de potencia, elpuente inversor, está compuesto por tres columnas comomuestra la figura 1. Se puede obtener una salida trifásica conseis transistores o IGBT’s y seis diodos. A los transistores seles puede aplicar dos tipos de señales de control: conduccióna180° o conducción a 120° [3,4]

Figura 1. Inversor Trifasico

El sistema trifasico a partir de una fuente de corrientecontinua debe cumplir las siguientes condiciones: [3,4]

1. Debe existir un desfase de 120 entre las fases.2. Las tensiones en las tres fases deben poseer igual

módulo.3. El sistema de tensiones debe tener una secuencia a, b, c

o a, c, b.4. La suma de las tensiones en cada instante debe ser cero,

va+ vb+ vc=0.

III. REPRESENTACIÓN VECTORIAL DE MAGNITIDESFÍSICAS

El espacio temporal se puede representar mediante tres ejesortogonales a, b, c. Cualquier magnitud trifásica se puede de-finir a través de sus coordenadas xa(t), xb(t), xc(t) sobre estosejes, de modo que a cada valor de la variable t le correspondeun punto concreto, definiendo así un vector espacial S(t) quetiene como origen el origen de coordenadas [1].

Figura 2. Vector espacial S(t) en el sistema de ejes (a, b, c).

III-A. Teoría del vector espacial

Para un sistema trifásico simétrico y equilibrado, se defineel vector espacial de tensión en términos de las tensiones defase v1(t), v2(t), v3(t) como: [3]

−→V =

√2

3[v1(t), v2(t)ej

2π3 , v3(t), ej

4π3 ] (1)

Ésta, es una representación compacta y poderosa, quetransforma las tres variables de fase en el plano complejo.[3]

De esta manera se trata al sistema trifásico como unconjunto y no cada fase en forma individual. El coeficiente2/3 en la ecuación (1) garantiza que la amplitud sea invariantecon la transformación. Es decir que el vector espacial de unaterna trifásica tiene igual amplitud que las componentes dela terna. La definición puede extenderse directamente a otrasvariables como ser: corriente y flujo [3,4].

2

El puente inversor trifásico tiene tres columnas, donde cadauna tiene dos llaves como muestra la figura 1. Para evitarcortocircuitos del bus de continua y fijar la tensión sobre lacarga, una y sólo una, de las llaves de cada columna, debe estarcerrada en cada instante. Así resultan sólo ocho combinacionesdiferentes de las llaves. Cada combinación define un vectorespacial de tensión, determinado por el estado de las seis llavessemiconductoras (S1...S6) [3,4].

IV. MODELO EN VECTORES ESPACIALES

En la figura 3, se presenta un inversor trifasico con opera-ción complementaria de interruptores [5].

Figura 3. Inversor Trifasico

Donde swx = 1 corresponde al encendido de un interruptorsuperior de la rama “x" y “0" corresponde al encendido delinterruptor inferior de la rama [5].

Definiendo el vector espacial de tensión línea neutro como:

−−→Vfn =

√2

3[1, ej

2π3 , ej

4π3 ]

[ va(t)vb(t)vc(t)

]= vα(t) + jvB(t) (2)

A partir de la ecuación (2), se puede calcular el vector espacialde tensión aplicado a partir de las tensiones linea a linea como:

−→Vll =

√2

3

[1, ej

2π3 , ej

4π3

][ va(t)vb(t)vc(t)

]

=

√2

3

[1, ej

2π3 , ej

4π3

][[ va(t)vb(t)vc(t)

]−

[ vb(t)vc(t)va(t)

]]−→Vll = (1− ej

4π3 )−−→Vfn (3)

−→Vll =

√3ej

π6−−→Vfn (4)

El resultado de la formula (4) es análogo al obtenido en elrégimen sinusoidal permanente al pasar de tensiones de líneaa tensiones de fase.

Utilizando la formula (3) se puede calcular el vector espacialde tensiones de línea a línea del inversor en función de losinterruptores de fase como:

−→Vll =

√2

3

[(Swa − Swb) + ej

2π3 (Swb − Swc)

+ej4π3 + ej

2π3 (Swc − Swa)

]VDC (5)

−→Vll =

√2

3(1− ej

4π3 )[Swa + ej

2π3 Swb + ej

4π3 Swc

]VDC

Entonces utilizando el resultado de la ecuación (4) y laecuación (5) se puede determinar el vector espacial de tensiónaplicado por el inversor en función del estado del interruptorde cada fase como:

−−→Vfn =

√2

3

[Swa + ej

2π3 Swb + ej

4π3 Swc

]VDC (6)

Los vectores espaciales obtenidos con el inversor trifásicopara cada una de las posibles combinaciones de los interrup-tores de la figura 3, se presentan en el cuadro I.

Swa Swb Swc−−→Vfn

0 0 0 0

0 0 1 −√

23VDCej

π3

0 1 0 −√

23VDCe−j π

3

0 1 1 −√

23VDC

1 0 0√

23VDC

1 0 1√

23VDCe−j π

3

1 1 0√

23VDCej

π3

1 1 1 0

Cuadro IVECTORES ESPACIALES DE TENSIONES DEL INVERSOR TRIFASICO

El vector espacial de tensiones que aplica el inversor a lacarga por unidad de la tensión de corriente continua VCD, sepresenta en la figura 4.

Figura 4. Tensión Espacial De un Inversor Trifasico

La tensiones de fase neutro aplicada por el inversor a lacarga se puede calcular a partir del vector espacial como:

3

Re(−−→Vfn) =

√2

3

(va(t)−

1

2((vb(t) + vc(t))

)(7)

Ya que como el sistema no posee neutro conectado, se tieneque:

va(t) + vb(t) + vc(t) = 0

va(t) = −(vb(t) + vc(t)

)(8)

Sustituyendo el valor de la ecuación (8) en la ecuación (7),se tiene que:

va(t) =

√2

3Re(−−→Vfn) (9)

Si el vector espacial de la figura 4 se rota en ej4π3 y apli-

cando un procedimiento análogo al utilizado en la expresión(9), se obtiene:

−−→Vfne

j 4π3 =

√2

3[ej

4π3 , 1, ej

2π3 ]

[ va(t)vb(t)vc(t)

]

vb(t) =

√2

3Re(−−→Vfne

j 4π3 ) (10)

De la ecuación (8) se obtiene el valor vc(t) como:

vc(t) = −(va(t) + vb(t)

)(11)

La tensión fase neutro generada por el inversor para laopción de conmutación se presenta en la figura 5.

Figura 5. Tensiones Fase Neutro del Inversor Trifásico.

V. TIPOS DE CARGA

El modelo trifasico equilibrado de una carga activa o pasivaconectada en triangulo o estrella en los extremos del inversorse presentan en la figuras 6 y 7, respectivamente.

Figura 6. Inversor con Conexión delta

Figura 7. Inversor con Conexión Estrella

El modelo en vectores espaciales del inversor y la carga sepuede expresar como:

−−→Vfn = k−→e +

[Z(p)−M(p)]

−→i (12)

−−→Vfn =

√2

3[1, ej

2π3 , ej

4π3 ][Swa, Swb, Swc]

t

−→e =

√2

3[1, ej

2π3 , ej

4π3 ][v1(t), v3(t), v2(t)]t

4

p =d

dt

Los valores de impedancia operacional z(p) y M(p) dela ecuación (12) para los elementos resistivos, capacitivos einductivos se presentan en la tabla II.

Elemento ky Zy(p) My(p) k4 Z4(p) M4(p)

Resistencia 1 R 0 e−j π

6√3

R3

0

Inductancia 1 LP MPe−j π

6√3

L3p M

3p

Capacitancia 1 1cp

0 e−j π

6√3

13cp

0

Cuadro IIIMPEDANCIAS OPERACIONALES EN CONEXIÓN ESTRELLA Y TRIANGULO

En la figura 8, se presenta el vector espacial de tensióny corriente en porcentaje de su valor pico, para una cargaresistiva inductiva conectada en estrella de 60 ohm y 223mH,alimentada desde una fuente de corriente continua de 110V a60 Hz.

Figura 8. Vector Espacial de Tensión y Corriente en carga RL

En la figura 9 se presenta la forma de onda de Tensión ycorriente en la fase Va del valor pico.

Figura 9. Tensión y Corriente en la Fase “a"

VI. CONCLUSIÓN:La transformación vectorial trabaja con sistemas eléctricos

trifásicos equilibrados y desequilibrados, pasando del planotemporal a el plano Park. Para poder se deben considerar lasmagnitudes y las fases de las tres componentes con las que setrabaja. Se sabe que las fases eléctricas tienen un desfase de120. Lo que se intenta lograr es pasar de un plano coordenadotridimensional complejo estacionario a un plano tridimensionalcoordenado giratorio con velocidad angular w constante endonde se trabaja con un vector complejo. Estos sistemas sonadecuados para el estudio de máquinas eléctricas.

REFERENCIAS

[1] Instrumento virtual para la deteción de fallas en un motor de in-ducción mediante la transformación de Park, Enrique Ladrón deGuevara Durán, disponible en: http://academiajournals.com/downloads/LadrondeGuevara2011.pdf

[2] Cambio de sistema de referencia. Recurso web disponible en:http://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2099.1/2696/36106-5.pdf?sequence=5

[3] Modulacion Vectorial de Inversores de Potencia.[4] Johnny Posada Contreras. Modulación vectorial SVM. Universidad Au-

tónoma del estado de Mexico (2005).[5] Ing José Darío Betanzos Ramírez. Implemantación de un Inversor de tres

niveles. Instituto Politecnico Nacional[6] Alexander Bueno Montilla. Electronica de Potencia Aspectos Generales

y Convertidores Electrónicos. Universidad Simón Bolívar Departamentode Conversión y Transporte de Energía (2011).

Pablo Fernando Guamán Novillo, nacido en Cuenca, Ecua-dor el 29 de Junio de 1992, realizó sus estudios secundariosen el Colegio Técnico Daniel Hermida obteniendo el títulode bachiller en electrónica de consumo. Actualmente estudiaIngeniería Electrónica en la Universidad Politécnica Salesianade la misma ciudad.