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TRANSFORMACIONES LINEALES

UNIDAD V

Alumno: Ana Irene Ortiz Peralta

Catedrático: Ing. Jesús López Ortega

ING. CIVIL

MATEMATICAS IV

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INDICE

5.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades. 5.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación) 5.3 Definición de núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal. 5.4 La matriz de una transformación lineal y representación matricial de una transformación lineal. 5.5 Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales. 5.6 Álgebra de las transformaciones lineales. 5.7 Aplicaciones de las transformaciones lineales.

Bibliografía

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5.1 DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL Y SUS PROPIEDADES. Las transformaciones lineales desempeñan un papel muy importante en matemáticas, física, ingeniería, procesamiento de imágenes, graficas en computadora y muchas otras áreas de la ciencia y la vida diaria.

Las transformaciones lineales son mapeos de importancia fundamental en el álgebra lineal y en sus aplicaciones. Son transformaciones entre espacios vectoriales que conservan la suma vectorial y la multiplicación por escalar. Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función T: V → W* tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:

a) T(u + v) = T(u) + T(v) b) T(c u) = c T(u)

*Escribimos T: V → W para indicar que T transforma V en W

Las transformaciones lineales se llaman con frecuencia operadores lineales.

También, las funciones que satisfacen a) y b) se denominan funciones lineales.

En R2 definamos una función T por la fórmula T( ) (

) geométricamente, T

toma un vector en R2 y lo transforma en su reflexión con respecto al eje x. una vez

que hayamos dado la definición básica, veremos que T es una transformación

lineal de R2 en R2.

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Propiedades de las transformaciones lineales

Teorema 3: Sea T: V → W una transformación lineal. Entonces para todos los

vectores v1, v2,…,vn en V y todos los escalares c1,c2,…,cn:

T(c1v1+c2v2+…+cnvn)= c1Tv1+c2Tv2+…+cnTvn

Demostración:

Si T es lineal, entonces T(c1v1 + C2v2)= T(c1v1) + T(c2v2)=c1T(v1)+ c2T(v2)… y asi

sucesivamente.

Así, las transformaciones lineales mapean una combinación lineal de vectores en

la misma combinación lineal de las imágenes de esos vectores.

Teorema 4: sea T: V → W una transformación lineal. Entonces

1. T(0)= 0……. Esta transformación lineal mapea a todos los vectores de V en

0, en W se le llama transformación cero.

2. T(u-v)= T(u)- T(v)

Demostración:

1.- T(0)= T(0v)= 0T(v)=0

2.-…haciendo que c1=1 y c2=-1

T(u-v)= T(1u+(-1)v)= 1T(u)+ (-1)T(v)= T(u) – T(v)

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Teorema 5: sea T: V → W una transformación lineal y sea B= {v1,v2,…vn} el

generador de V. entonces, el conjunto T(B)= {T(v1),T(v2)…,T(vn)} genera el

contradominio de T.

Demostración:

Sea W ∈ R Entonces existe un v que pertenece a V tal que T(v)=W. como B

genera a V, hay escalares c tales que v=c1v1. Entonces

W= T(v)= T(c1v1+…+cnvn)=c1T(v1)+…+cnT(vn)

de aquí que W sea una combinación lineal de T(B)

Ejemplo

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Ejemplo

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5.2 EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES (REFLEXIÓN, DILATACIÓN, CONTRACCIÓN, ROTACIÓN)

Homotecia Para un escalar fijo c. T: V → W es lineal.

T(v)= cv

Sea u y w ∈ V y r ∈ R. T es lineal porque

T(u+w)= c(u + w)= cu + cw= T(u) + T(w) T(ru)= c(ru)= rT(u)

Si c > 1, la homotecia es una dilatación, y su efecto sobre v es estirarlo en un factor de c. Si 0 < c < 1, la homotecia es una contracción, y su efecto sobre v es encogerla en un factor de c. si c <0, esta transformación invierte la dirección de v.

Ejemplos:

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Ahora bien, si T: R2 R2 definida por ( ) (

). Es fácil verificar que T es

lineal y que, geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja con respecto al eje y, a esto se le llama reflexión.

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Ejemplo:

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Transformación de rotación

Supongamos que el vector ( ) en el plano xy gira un ángulo ϴ en la dirección

contraria a las manecillas del reloj.

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Sea ( ) el vector girado. Entonces, como en la figura, si r denota la longitud

de v (la cual no cambia con la rotación),

Entonces, de (3) y (4), vemos que ( ) (

).

La transformación lineal T: R2 R2 definida por Tv= Aϴv, donde Aϴ está dada por (5), se llama transformación de rotación. Ejemplo:

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5.3 DEFINICIÓN DE NÚCLEO O KERNEL, E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.

Sean V y W espacios vectoriales y sea T: V → W una transformación lineal. Entonces: El kernel o núcleo de T, denotado como KerT, esta dado por:

KerT{v ∈ V: Tv=0 ∈ W}

La imagen de T, denotada como R(T), esta dada por:

R(T)={w ∈ W: w=Tv para alguna v ∈ V}

Sea T: V → W una transformación lineal. Entonces

1.- ker(T) es un subespacio de V 2.- R(T) es un subespacio de W

La propiedad fundamental del núcleo y del contradominio es que ambos son espacios vectoriales. La dimensión del núcleo se llama nulidad de T. la dimensión del contradominio se llama rango de T.

Demostración:

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En caso especial en el que la transformación lineal es matricial, se cumple lo siguiente:

Sea T: Rn⟶Rm es una transformación matricial cuya matriz estándar es A. Entonces:

Demostración: Puesto que T(x)= AX, entonces T(x)= 0 si y solo si Ax=0. De aquí, Ker(T)= V(A). igualmente, si b esta en Rm, entonces hay un x en Rn tal que T(x)=b si y solo si Ax=b. En consecuencia, R(T)= col(A). Las partes de las nulidades y los rangos se ven a continuación. El teorema de la dimensión

Si T: V⟶ W es una transformación lineal de un espacio vectorial V de dimensión finita a un espacio vectorial W, entonces.

Nulidad(T) + Rango(T)= dim(V)

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Ejemplo: Calcule las bases para el núcleo y el contradominio y determine la nulidad y el rango de

T: R4⟶R3, T(x,y,z,w)= (x+3z,y - 2z,w) Solución: De acuerdo con el teorema, basta expresar a T como transformación matricial y obtener las bases para las columnas y el espacio nulo de su matriz estándar A. A se expresa con:

Y está en forma escalonada reducida por operaciones de renglón. Por consiguiente, los vectores {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} forman una base para Col(A)= R(T)= R3. Por otra parte {-3,2,1,0} es una base para V(A)= Ker(T). De modo que el rango de T es 3 y la nulidad es 1.

Ejemplo:

Dada la transformación lineal

Determinar la imagen de

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Solución: Si recordamos el proceso que usamos en el cálculo en una variable, determinemos cuales vectores tienen preimagen.

Para ello, sean tales que:

T(x;y;z) = (a;b;c) (2x-y+z;x-y+z;x) = (a;b;c)

Igualando coordenadas tenemos el siguiente sistema

Ahora, resolvamos el sistema buscando la matriz asociada a él, y determinando su escalonada

luego, un vector tiene preimagen si y sólo si el sistema el sistema es consistente (no necesitamos que la solución sea única), lo cual es equivalente a escribir

Por lo tanto,

Im(T) = {(a;b;c)

/((x;y;z) ((T(x;y;z)=(a;b;c))

= {(a;b;c) /a-b-c=0} = <(1;1;0);(1;0;1)>:

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5.4 LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Y REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.

Sea T: V → W una transformación lineal entre dos espacios vectoriales V y W de dimensiones finitas. Sea B= {v1……….,vn} una base de V y B’= {v’1,……,v’m} una base de W. la matriz A m x n cuyas columnas son:

Es la única matriz que satisface

Para todo v ∈ V Demostración: Como B genera a V, hay escalares c1,…,cn tales que v= c1v1+…+cnvn. Así

Porque T es lineal, por consiguiente:

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Teorema:

Toda transformación lineal T: Rn⟶Rm es una transformación matricial.

Demostración: Sean B y B’ las bases estándar de Rn y Rm, respectivamente. Entonces hay una matriz A tal que

Para todo v ∈ Rn. Pero como T(v)=[T(v)]B’ y A[v]B= Av para las bases estándar, tenemos

T(v)= Av Por consiguiente, T es una transformación matricial cuya matriz estándar es A.

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Ejemplos:

Solución:

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Ejercicios

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5.5 TRANSFORMACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente.

Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.

Los sistemas de ecuaciones lineales son ecuaciones que tienen n incógnitas, las cuales podemos representar en una notación matricial, se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.

A partir de una ecuación lineal podemos hacerle las transformaciones lineales para tener como resultado escalares.

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Definición Sea (V,K) / dimV = n y sea BV = {e1, ......, en}.

Sean {e1, ......, en} y {a1, ......,an} ⊂ V / ai = (ai1, ......, ain). El número máximo de vectores LI es el rango de los {a1, ......,ak} = dim [L({a1, ......,ak})] . O sea:

Proposición Dada la matriz A, el rangA es igual al mayor orden de los menores con det≠ 0. Teorema de Rouché-Frobenious. Sean (V,K) / dimV = n y {a1, ......,ar} ∈ V

v ∈ L(a1, ......,ar) ⇔v(a1, ......,ar) = v(a1, ......, ar, v) Consecuencias: Sea el sistema

decimos que el sistema es incompatible (sin solución) si v ∉ L(a1, ......,ar) ⇔ rangA ≠ rangB, donde:

el sistema

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es compatible si Observación: Si rangA es máximo e igual a la dimensión de V entonces el sistema es compatible determinado (existe una única solución). Si rangA es menor que la dimensión del espacio entonces el sistema es compatible pero existen muchas soluciones. Otro punto de vista es el siguiente: Consideremos el sistema

que podemos reescribir de la forma

La solución del sistema es un conjunto de escalares (a1,…an)/ ∑aijaj=bj. Sea ahora f: V⟶ W tal que dimV= n y dimW=p tal que Bv= {e1,…en} y Bw= {u1,…up} tal que

Las ecuaciones de f respecto de Bv son

Teorema de Rouche- Frobenious (2). El sistema de ecuaciones lineales tiene solución si el vector

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Teniendo en cuenta que los vectores * ( )+

constituyen un sistema de generadores de Imf y puesto que dim[imf]= rangA si llamamos B a la matriz ampliada, entonces el teorema de R- F dice: Ǝ! Solución si rangA= rangB Las ecuaciones del sistema homogéneo representan las ecuaciones del kerf. si el sistema es compatible, el conjunto de sus soluciones es el conjunto f -1(b) i.e. El conjunto de todas las soluciones del sistema es:

Entonces el sistema es compatible si

Regla de cramer Sistema en el que el número de ecuaciones coincide con el de incógnitas/ detA≠ 0 Sea:

Como detA≠ 0 entonces ƎA-1

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Ejemplo 1 Resolver el sistema

Sea

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Ejemplo 2

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5.6 ÁLGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.

A una transformación lineal de un espacio vectorial en sí mismo se le llama operador lineal. Los operadores lineales juegan (como veremos mas adelante) un papel muy importante en el estudio de las transformaciones lineales, el conjunto de todos los operadores lineales de c se denotara por Endc debido a que los operadores lineales también son conocidos como endomorfismos de un espacio vectorial. Por definición tenemos Endc= Mor(c,c). la principal diferencia entre las transformaciones lineales y los operadores lineales es que la operación de composición es una operación interna en espacio vectorial Endc. Esto quiere decir que si componemos 2 operadores, obtendremos otro. Si un espacio vectorial cualquiera (el cual ya trae definidos la suma y el producto por escalares) tiene otra operación binaria que cumple los axiomas en el recuadro a la derecha, entonces, se le llama álgebra. Observese que los primeros 3 axiomas los podemos resumir en uno: la suma de vectores y definen un anillo en el espacio vectorial. El cuarto axioma lo que quiere decir es que para cualquier escalar λ y cualesquiera vectores a y b se cumple que λa*b=λb(a*b).

Alg1) *es asociativa

Alg2) *es distributiva con respecto a +

Alg3) *tiene elemento neutro

Alg4) *conmuta con el producto por escalares

Para ver que Endc es un álgebra solo nos queda comprobar que la composición tiene elemento neutro. Pero esto es obvio ya que la función identidad cumple que

f*1=1f=f

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O sea, es el neutro para la composición. Hemos demostrado el siguiente resultado: El espacio vectorial Endc en un algebra con respecto a la composición Hay dos álgebras importantes que deben ser muy conocidas por el lector. Primero, el conjunto de los polinomios con coeficientes reales R[x] es un espacio vectorial sobre R. segundo, los números complejos son un espacio vectorial de dimensión sobre los reales pero además sabemos multiplicar números complejos. Un álgebra se le llama conmutativa si el producto de vectores es conmutativo. El álgebra de los números complejos y el álgebra de polinomios sobre un campo son conmutativas. Las algebras Endc casi nunca son conmutativas (salvo en dimensión). Por ejemplo en el plano cartesiano R2 la rotación f en 45° y la reflexión g en el eje y son operadores lineales. Ejemplos:

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5.7 APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.

Transformaciones afines y gráficas de computadora

Definiciones

Sea A una matriz m x n. una transformación afín T: Rn⟶Rm tiene la forma T(x)=

Ax + b

Para algún vector m fijo b. esta transformación es no lineal si b≠ 0. Por lo anterior,

T(0)≠ 0. En el caso especial en que m= n y A sea la matriz I de identidad, n x n,

entonces

T(x)= Ix + b= x + b

A esta T se le llama traslación por b.

Una traslación por un vector b≠ 0 desplaza a una figura sumando b a todos sus

puntos. Una transformación afín es una transformación lineal seguida de una

traslación. La figura (a) muestra la imagen S’ del cuadrado S después de la

traslación por (2,-1) y la figura (b) muestra la transformación afín.

T consiste en una rotación de 45° seguida de una traslación por (-2,0). Las

transformaciones afines con n= m= 2 y n=m=3 son muy útiles para las graficas en

computadora.

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Ejercicio 1

Obtenga la transformación afín T que convirtió la imagen izquierda de la figura en

la de la derecha, puesto que se usaronlos siguientes puntos:

(1,0), (0.7,0.7), (0,1), (-0.7,0.7), (-1,0), (-0.7, -0.7), (0,-1), (0.7,-0.7), (1,0)

Cuyas respectivas imágenes fueron:

(2,-1), (2.05, -0.3), (1.5, 0), (0.65,-0.3), (0,-1), (0.05,-1.7), (0.5,-2),(1.35,-1.7), (2,-1)

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Por lo anterior, T es el deslizamiento en 0.5 a lo largo del eje x seguido de la

traslación por (1,-1).

Tranformaciones afines y fractales

En los últimos años ha surgido un área nueva en las matemáticas, llamada

geometría fractal. Aunque esta geometría tiene sus raíces en varias contribuciones

importantes como las de Cantor, Sierpinski, von Koch, Peano y otros matemáticos

del siglo XIX, no fue sino hasta finales de la década de los 60’s que llego a ser un

campo nuevo. Esto se debio al trabajo precursor de Benoit Mandelbrot de la IBM

Corporation, y a la disponibilidad de computadora rapidas. La palabra Fractal,

introducida por Mandelbrot, se usa para describir figuras con infinitas repeticiones

d ela misma forma. A continuación describiremos 2 fractales, el triángulo de

Sierpinski y un fractal que se ve como un abeto (es un análogo del helecho por M.

Barnsley).

M. Barnsley observó que pueden obtenerse muchos objetos “fractaloides”

graficando iteraciones de ciertas transformaciones afines.

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1. El Triángulo de sierpinski

Sean f1, f2, f3 las 3 transformaciones afines de R2 a R2 expresadas por

El triángulo de Sierpinski puede generarse como sigue: comenzaremos con un

triángulo, por ejemplo, aquel cuyos vértices están en (0,0), (1,0) y elegimos un

punto dentro de él.

Y lo graficamos, digamos, en el punto (

). A continuación seleccionamos al azar

una de las transformaciones f1, f2 0 f3, digamos f1, y se calcula y grafica fi(

).

Partiremos de este nuevo punto y repetiremos el proceso tanto como lo

deseemos. La imagen que resulta es un “objeto fractal” que parece un triángulo

con agujeros triangulares (si se grafican bastantes puntos).

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2. Un abeto parecido al helecho de Barnsley

Sean f1, f2,f3,f4 las 4 transformaciones afines de R2 a R2 representadas por

El fractal parecido a un abeto puede generarse como sigue: se elige y grafica

cualquier punto, por ejemplo (5,5). A continuación se selecciona aleatoriamente

una de las funciones f1, f2,f3 o f4, digamos fi y se calcula y grafica fi(5,5). Haciendo

que éste sea un nuevo punto de partida, se repite el proceso. La imagen que

resulta parece una parte de un abeto.

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A continuación describiremos el procedimiento que generó ambos fractales. Este

procedimiento produce una imagen fractal para algunos conjuntos de

transformaciones afines.

Algoritmo:

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BIBLIOGRAFIA

Grossman, Stanley, ALGEBRA LINEAL 2ª edición,

Nakos, George. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES, Edit. Thomson.

Belinchón, José A., notas del álgebra lineal Elemental.

Williams, Garet., Transformaciones lineales con aplicaciones (4ª Edicion),

Edit. McGraw-Hill.