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Transformaciones lineales
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Instituto Tecnolgico Superior de Misantla
Transformaciones Lineales
Docente: Ing. Pablo Colorado
Posadas
Unidad V
Gabriela Huesca Mndez
Segundo Semestre
Ingeniera Civil
206 B Mayo 2014
ndice Introduccin ............................................................................................................. 1
5. Transformaciones Lineales ................................................................................. 2
5.1 Introduccin a las transformaciones lineales ..................................................... 2
5.2 Ncleo e imagen de una transformacin lineal .................................................. 3
5.3 La matriz de una trasformacin lineal ................................................................ 5
5.4 Aplicaciones de las transformaciones lineales: reflexin, dilatacin, contraccin
y rotacin. ................................................................................................................ 6
Conclusin ............................................................................................................. 10
Bibliografa ............................................................................................................ 11
1
Introduccin
Una transformacin es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un
vector para convertirlo en otro vector.
Se denomina transformacin lineal a toda funcin cuyo dominio e imagen sean
espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las
trasformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el lgebra lineal y en
otras ramas de las matemticas, tienen una gran variedad de aplicaciones
importantes.
Las transformaciones lineales tienen gran aplicacin en la fsica, la ingeniera y en
diversas ramas de la matemtica.
A continuacin se explican las propiedades de las transformaciones lineales, sus
diferentes tipos, su imagen y el ncleo, y su representacin matricial.
2
5. Transformaciones Lineales
5.1 Introduccin a las transformaciones lineales
Definicin:
Sean y espacios vectoriales reales. Una transformacin lineal de en es
una funcin que asigna a cada vector un vector nico y que
satisface, para cada y en y cada escalar ,
( )
y
( )
Notacin
1. Se escribe para indicar que toma el espacio vectorial real y lo
lleva al espacio vectorial real ; esto es, es una funcin con como su dominio
y un subconjunto de como su imagen.
2. Se escriben indistintamente y ( ). Denotan lo mismo; los dos se leen
.
3. Las transformaciones lineales con frecuencia se denominan operadores
lineales.
Ejemplo
Sea definida por . / (
). Por ejemplo, .
/ (
).
Entonces
0.
/ .
/1 .
/ (
)
(
) (
)
3
Pero
(
) .
/ y (
) .
/
As,
0.
/ .
/1 .
/ .
/
De manera similar,
0 . /1 .
/ (
) (
) . /
As, es una transformacin lineal.
*La transformacin cero
Sean y espacios vectoriales y defina por para todo en .
Entonces ( ) y ( ) . En este
caso, se denomina la transformacin cero.
*La transformacin identidad
Sea un espacio vectorial y defina por para todo en . Aqu es
obvio que es una transformacin lineal, la cual se denomina transformacin
identidad.
5.2 Ncleo e imagen de una transformacin lineal
Definicin:
Sean y dos espacios vectoriales y sea una transformacin lineal.
Entonces
4
I) El ncleo o kernel de , denotado por , est dado por
* +
II) La imagen o recorrido de , denotado por , est dado por
* +
Teorema
Si es una transformacin lineal, entonces
I) es una subespacio de .
II) es un subespacio de .
Demostracin
I) Sean u y v en ; entonces ( ) y ( )
de forma que y estn en .
II) Sean w y x en . Entonces y para dos vectores u y v en .
Esto significa que ( ) y ( ) . Por lo tanto,
y estn en .
*Ncleo e imagen de la transformacin cero
Sea para todo ( es la transformacin lineal). Entonces e
* +.
*Ncleo e imagen de la transformacin identidad
Sea para todo ( es la transformacin identidad). Entonces * + e .
Las trasformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera
todo se encuentra en el ncleo. En la segunda slo el vector cero se encuentra en
el ncleo.
5
5.3 La matriz de una trasformacin lineal
Si es una matriz de y est definida por , entonces,
es una transformacin lineal.
Entonces, una transformacin lineal puede estar definida por
ecuaciones de la forma:
. . . . . . . . . . . .
En notacin matricial:
[
]
[
]
[
]
En notacin ms compacta:
Teorema
Sea una transformacin lineal. Existe entonces una matriz nica de
, tal que
para toda
Ejemplo:
6
1. ; . / (
)
Resultado:
(
)
5.4 Aplicaciones de las transformaciones lineales: reflexin,
dilatacin, contraccin y rotacin.
Dilatacin o escalamiento 2D
El escalamiento 2D implica el cambio de tamao de un polgono, donde cada
punto ( ) es transformado por la multiplicacin de dos factores de
escalamiento: y a lo largo de los ejes y respectivamente, de esta forma,
las coordenadas del nuevo punto ( ) se obtienen como:
Sea ( ) el vector de factores de escalamiento, y ( ) la matriz de
escalamiento, en coordenadas homogneas el escalamiento de un punto en 2D
se puede expresar como el producto matricial ( ), es decir:
, - , - [
]
7
La figura muestra el efecto escalamiento de una figura con y .
Dilatacin o escalamiento 3D
Extendiendo la idea anterior a 3D, el escalamiento implica el cambio de tamao de
un poliedro, donde cada punto ( ) es transformado por la multiplicacin
de tres factores de escalamiento: , y a lo largo de los ejes , y
respectivamente, de esta forma, las coordenadas del nuevo punto (
)
se obtienen como:
Sea ( ) el vector de factores de escalamiento, y ( ) la matriz de
escalamiento, en coordenadas homogneas el escalamiento de un punto en 3D
se puede expresar como el producto matricial ( ), es decir:
, - , - [
]
La figura muestra el efecto de escalamiento de una figura con , y
.
8
Transformacin de reflexin
Sea definida por . / .
/. Es fcil verificar que es lineal. En
trminos geomtricos, toma un vector en y lo refleja respecto al eje .
Transformacin de rotacin
Suponga que el vector . / en el plano se rota un angulo (medida en
grados o radianes) en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Llame a este
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vector rotado (
). Entonces, como se ve en la figura 7.3, si denota la
longitud de (que no cambia por la rotacin).
( ) ( )
Pero ( ) , de manera que
10
Conclusin
Se han visto las distintas propiedades y teoremas que este tema presenta, todo
para su comprensin y entendimiento, con esto se concluye que los temas vistos
tienen una cierta relacin ya que en algunos de estos se recurre a conocimientos
adquiridos anteriormente.
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Bibliografa
Grossman, Stanley I., Flores Jos, lgebra lineal, Sptima edicin, Mc Graw Hill
Santiago Hernndez, Clemente, lgebra Lineal