TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER

Grupo 9

Martin Alarcón Cristhian Chávez

Milton Vega

05/05/2014

La función 𝐹 𝑤 = −∞

+∞𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡, es conocida

como la integral de Fourier o transformada de Fourier de f(t) y la denotamos por:

𝐹 𝑤 = F 𝑓 𝑡 = 𝑤 = −∞

+∞𝑓(𝑡) 𝑒−𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡

Si 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟−1 es el símbolo que se utiliza para aplicar la función inversa, es decir para obtener f(t) cuando F(w) es dado, esto es:

𝑓 𝑡 = F−1𝐹 𝑤 =

1

2 ∙ 𝜋

−∞

∞

𝐹(𝑤) 𝑒−𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡

A la función f(t) se la denomina TransformadaInversa de Fourier de F(w). Las expresiones de lasdos ecuaciones anteriores se conocen como par detransformada de Fourier.

𝑋 𝜔 = 𝛿(𝜔)

Encontrar la transformada inversa de Fourier de:

Respuesta: 𝑥 𝑡 =1

2𝜋

𝑥 𝑡 =1

2𝜋

−∞

∞

𝑋 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔

=1

2𝜋

−∞

∞

𝛿 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔

Aplicando Euler:

=1

2𝜋

−∞

∞

𝛿 𝜔 cos(𝜔𝑡)𝑑𝜔 + 𝑗 −∞

∞

𝛿 𝜔 sen(𝜔𝑡)𝑑𝜔

=1

2𝜋cos(0) + 𝑗𝑠𝑒𝑛(0)

Como 𝜔 es 0:

Nota: Aquí en la inversa 𝜔 es como t en la transformada normal.

Traslación en el primer eje

Si f(x) admite transformada de Fourier, entonces para cualquier Xo también f(X-Xo) la admite y:

F 𝑓 𝑥 − 𝑥0 = ℮−𝒊𝜔𝑥0F 𝑓 𝑥 == ℮−𝒊𝜔𝑥0 𝑓(𝜔)

En inversa:

F−1 ℮−𝒊𝜔𝑥0 ∗ 𝑓(𝜔) = 𝑓(𝑥 − 𝑥0)

Calcule la transformada inversa de Fourier de g(x):

𝐺 𝜔 =℮2𝒊𝜔

5 + 𝒊𝜔

Respuesta: 𝑢(𝑥 + 2)𝑒−5(𝑥+2)

F−1 𝐺 𝜔 = F−1 ℮2𝒊𝜔

5 + 𝒊𝜔

F−1 𝐺 𝜔 =F−1

℮2𝒊𝜔 ∗1

5 + 𝒊𝜔De la propiedad:

F−1 ℮−𝒊𝜔𝑥0 ∗ 𝑓(𝜔) = 𝑓(𝑥 − 𝑥0)

Ahora se calcula:

F−1 𝐺 𝜔 =F−1 1

5 + 𝑖𝜔 𝑥=𝑥−(−2)

F−1 𝐺 𝜔 = [μ 𝑥 ℮−5𝑥]𝑥=𝑥−(−2)

Quedando:

F−1 𝐺 𝜔 = μ 𝑥 + 2 ℮−5(𝑥+2)

Determine y Grafique la señal continua en el tiempo X(t) si sus espectros de magnitud y de fase son los siguientes:

La transformada de Fourier F(jw)es expresada matemáticamente como:

Usando la transformada inversa de Fourier:

La señal x (t) se representa a continuación. Observeque, dado que el espectro de magnitud es par, el

espectro de fase es impar y toma valores ±𝜋

2

solamente, la forma de onda x (t) función del tiempo esuna señal real e impar como se esperaba.

Bibliografía:

http://esaez.mat.utfsm.cl/inttrafu.pdf

http://neutron.ing.ucv.ve/electronica/materias/c2515/temas1_archivos/tema9.pdf

E. ESPINOSA RAMOS, Análisis Matemático IV, Lima-Perú.