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• Transformada de Fourier– Definición intuitiva– Definición físico-matemática– Propiedades– Ejemplos (que aparecen hasta en la sopa)
• Problemas para casa– Problema 1– Problema 2– …– Problema N
¿De qué vamos a hablar hoy?
• Transformada de Fourier– Definición intuitiva– Definición físico-matemática– Propiedades– Ejemplos (que aparecen hasta en la sopa)
• Problemas para casa– Problema 1– Problema 2– …– Problema N
¿De qué vamos a hablar ahora?
Transformada para ópticos
ESPECTRO: para cada dirección, cuánta energía pasa(no discrimina posiciones)
• INTENSIDAD:Energía que atraviesa un punto
• ESPECTRO DE POTENCIA:Energía que lleva una cierta dirección
Transformada para ópticos
• INTENSIDAD:Energía que atraviesa un punto
• ESPECTRO DE POTENCIA:Energía que lleva una cierta dirección
Transformada para ópticos
¡TRANSFORMADA DE FOURIER!
• Transformada de Fourier– Definición intuitiva– Definición físico-matemática– Propiedades– Ejemplos (que aparecen hasta en la sopa)
• Problemas para casa– Problema 1– Problema 2– …– Problema N
¿De qué vamos a hablar ahora?
• Señal óptica (posiciones)
Transformada físico-matemática
( ) ( )exp[ ( )]f A iΦ=r r rAmplitudcompleja
2 2( ) ( ) ( )I f A≡ =r r rIntensidad
0 02
0 0( , ) ( , )I Ax y x y=
[ , ]tx y=r
• Señal óptica (frecuencias espaciales)
Transformada físico-matemática
Transformada de Fourier
2( ) ( )P F≡p pEspectro depotencia
[ ( )]( ) ( ) d ( )exp( 2 )f F f i π≡ = − ⋅∫r p p r r p rF
[ , ]tx yp p=p
1[ ( )]( ) ( ) d ( )exp( 2 )F f F i π− ≡ = ⋅∫p r r p p p rF
[ ( )]( ) ( ) d ( )exp( 2 )f F f i π≡ = − ⋅∫r p p r r p rF
Transformada físico-matemática
Transformada de Fourier directa
Transformada de Fourier inversa
• Coordenadas polares:
Transformada físico-matemática
2
0 0
)
d d ( , )exp[ 2 cos( )]
[ ( , )]( ,
r r f r i
f r p
rpπ
θ φ
θ θ π θ φ∞
= − −∫ ∫
F
( ) ( , )f f r θ=r
• Coordenadas polares:
Transformada físico-matemática
2
0 0
)
d d ( , )exp[ 2 cos( )]
[ ( , )]( ,
r r f r i
f r p
rpπ
θ φ
θ θ π θ φ∞
= − −∫ ∫
F
( ) ( , )f f r θ=r
Veamos algo más sencillo
• Coordenadas polares:(simetría radial)
Transformada físico-matemática
( ) ( )f f r=r
2
0 0
00
)
d ( ) d exp[ 2 co
[ ( , )](
s( )]
d
,
) (2( 2 )
f r
r rf r i rp
r rf r J rp
pπ
θ φ
θ π θ φ
π π
∞
∞
= − −
=
∫ ∫
∫
F
• Coordenadas polares:(simetría radial)
Transformada físico-matemática
00
) [ ( )]( ) 2 d ([ ( )] 2) ( )( f r p r rf r Jf r pp rπ π∞
≡ = ∫F B
( ) ( )f f r=r
Transformada de Bessel
• TRUCOS PARA BESSEL:
Transformada físico-matemática
cos cos( )0
2 2
0 0
1 1( )2 2
iz izJ z d de eπ π
θ θ ϕθ θπ π
−= =∫ ∫
o2
s
0
c1( )2
iz immm e
iJ z d e
πθ θθ
π−= ∫
1d( ) ( )d
m mm mx J x x J x
x− =
• Transformada de Fourier– Definición intuitiva– Definición físico-matemática– Propiedades– Ejemplos (que aparecen hasta en la sopa)
• Problemas para casa– Problema 1– Problema 2– …– Problema N
¿De qué vamos a hablar ahora?
• Ciclicidad:
• Conjugación compleja:
• Linealidad:
Propiedades
[ ]{ }( ) ( ) ( ) ( )f f′ ′= −r p p pF F
( ) ( ) ( )f F∗ ∗ = − r p pF
[ ]( ) ( ) ( ) [ ( )]( ) [ ( )]( )af bg a f b g+ = +r r p r p r pF F F
• Desplazamiento:
Propiedades
[ ] ( ) ( )0 0( ) ( ) [ ( )] exp ·2f f i π− = −r r p r p p rF F
[ ] ( )10 0( ) ( ) ( )exp 2 ·F f i π− − =p r r pp rF
• Desplazamiento:
Propiedades
[ ] ( ) ( )0 0( ) ( ) [ ( )] exp ·2f f i π− = −r r p r p p rF F
[ ] ( )10 0( ) ( ) ( )exp 2 ·F f i π− − =p r r pp rF
2 20[ ( )]( ) [ ( )]( )f f− =r r p r pF F
El módulo de la FT no contieneinformación de la posición
• Desplazamiento:
Propiedades
[ ] ( ) ( )0 0( ) ( ) [ ( )] exp ·2f f i π− = −r r p r p p rF F
[ ] ( )10 0( ) ( ) ( )exp 2 ·F f i π− − =p r r pp rF
2 21 10[ ( )]( ) [ ( )]( )F F− −− =p p r p rF F
El módulo de la señal no contieneinformación de la dirección
• Derivación:
– Resolución ecuaciones diferenciales
– ¡Detección de bordes!
Propiedades
( )( ) ( ) 2 ( )k l
k l k lx yk lx y
f i p p Fπ+
+ =
∂∂ ∂
r p pF
• Derivación:– ¡Detección de bordes!
Propiedades
FTMódulo
Fase
( )4
2 22
4 12
( ) 16 ( )x yx yf p p Fπ −∂
= ∂ ∂
r p rF
• Derivación:– ¡Detección de bordes!
Propiedades
FTFiltro de Fourier
( )4
2 22
4 12
( ) 16 ( )x yx yf p p Fπ −∂
= ∂ ∂
r p rF
• Derivación:– ¡Detección de bordes!
Propiedades
FT
( )4
2 22
4 12
( ) 16 ( )x yx yf p p Fπ −∂
= ∂ ∂
r p rF
• Derivación:– ¡Detección de bordes!
Propiedades
FT FT-1
( )4
2 22
4 12
( ) 16 ( )x yx yf p p Fπ −∂
= ∂ ∂
r p rF
• Teorema de Parseval:
(conservación de la energía)
Propiedades
22d ( ) d ( )f F E= =∫∫ ∫∫r r p p
d ( ) ( ) d ( ) ( )f g F G∗ ∗=∫∫ ∫∫r r r p p p
• Teorema de la convolución:
donde:
Propiedades
( )( ) ( ) ( ) ( )f g F G ∗ = r p p pF
( )( ) d ( ) ( )f g f g′ ′ ′∗ ≡ −∫∫r r r r r
• Teorema de la autocorrelación:
donde:
Propiedades
( )( ) ( ) 2( )f f F ⊗ = r p pF
( )( ) *d ( ) ( )f f f f′ ′ ′⊗ ≡ −∫∫r r r r r
( ) ( )( )2( )f F F = ⊗ r p pF
• Transformada de Fourier– Definición intuitiva– Definición físico-matemática– Propiedades– Ejemplos (que aparecen hasta en la sopa)
• Problemas para casa– Problema 1– Problema 2– …– Problema N
¿De qué vamos a hablar ahora?
• Rectángulo:
• Sinc:
Funciones básicas
1, si 1/ 2rect( )
0, si 1/ 2
xx
x
≤= >
-1 -0.5 0.5 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sin(sinc )( )x
x xππ
=-4 -2 2 4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
• Rectángulo:
• Sinc:
Funciones básicas
1, si 1/ 2rect( )
0, si 1/ 2
xx
x
≤= >
-1 -0.5 0.5 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sin(sinc )( )x
x xππ
=-4 -2 2 4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
[rect( )]( ) sinc( )x p p=F
-2 -1 1 2
0.2
0.4
0.6
0.8
1• Triángulo:
Funciones básicas
1 , si 1( )
0, si 1
x xx
x
− ≤Λ = >
2[ ( )]( ) sinc ( )x p p=ΛF
• Delta de Dirac:(infiltrada)
Funciones básicas
I Postulado
0 0( ) 0, si x x x xδ − = ≠
0
1, si d ( )
0, si D
x Dx x x
x Dδ
∈− = ∉
∫
0 0 )d ( ) ( ) (x f x x x f xδ − =∫
• Delta de Dirac:(infiltrada)
Funciones básicas
II Límite
2 2( ) lim e p )x (k
x k k xδ π→∞
= −
sin(( ) lim )k
kxxxπδπ→∞
=
• Delta de Dirac:(infiltrada)
Funciones básicas
III Propiedades
( ) ( )x xδ δ= −
0 01( ) /( )ax x x xa
aδ δ− = −
0 0( ) d exp[ 2 ( )]x x p i p x xδ π− = ± −∫
• FT de la delta de Dirac:
Funciones básicas
0 0
0
[ )]( ) d )exp( 2
exp
(
( 2
( · )
· )
i
i
δ δ π
π
= −
=
− −∫r r r r rp
r
r p
p
F
0 0
0
[ )]( ) d )exp( 2
exp
(
( 2
( · )
· )
i
i
δ δ π
π
= −
=
− −∫r r r r rp
r
r p
p
F
• FT de la delta de Dirac:
Funciones básicas
¡Contribución en todas direcciones!
Señal localizada en posiciones…
• FT de la delta de Dirac:
Funciones básicas
10 0[ )]( ) exp( · )( 2iδ π− = −−p p r prF
¡Contribución en todas las posiciones!
Señal con única dirección…
• Utilidad de la delta de Dirac:
Funciones básicas
[ ]{ }1 ( ) ( ) ( )
d d ( )ex · )exp(p( 2 2 · )
f
f i iπ π
−
′
′
= −∫ ∫r p r
p r pr r p r
F F
• Utilidad de la delta de Dirac:
Funciones básicas
[ ]{ }1
· )exp( 2
( ) ( ) ( )
d d ( )exp( 2
d ( ) d exp[ 2
· )
( )]
f
f i
f i
iπ π
π
− ′
= −
=
′
−− ′
∫ ∫∫ ∫
r
r p r
p r r
r
p p r
p rr p r
F F
• Utilidad de la delta de Dirac:
Funciones básicas
[ ]{ }1
· )ex
( ) ( ) ( )
d d ( )exp( 2
d ( ) d exp[ 2
d
p( 2 · )
( )]
) )( ( ()
f
f i
f i
i
ff
π π
π
δ
− ′
= −
= −
′
′=
′−
′− =
∫ ∫∫ ∫∫
r p p
r p r
p r r
r r p
r r
r
p r r
r r r
F F
• FT de la gaussiana:
Funciones básicas
2
2 2
( ) d exp( )exp( 2
d exp
· )
( 2 ) d exp( 2 )yxx xp y yp
F i
x i y i
π π
π π π π
= − −
= − − − −
∫∫ ∫
p r r pr
• FT de la gaussiana:
– ¡TRUCO!
Funciones básicas
2
2 2
2 2
2
exp( ex
d exp
p
( 2 )
) d { [
exp
] }
1( exp(
exp
d
)(
) )
x
x x
x
x
x xp
p x
x i
x i p
x
p
xp
π π
π π π
ππ
π
− − +
− −
−
− −
=
=
=
∫∫
∫
• FT de la gaussiana:
Funciones básicas
2
2 2
2 2
2
( ) d exp( )exp( 2
d exp( 2 ) d
· )
exp( exp(
ex
exp( 2 )
) )
p( )
x
x y
yx xp y yp
F
i
p
i
i
p
x y
π π
π π π π
π π
π
= − −
= − − − −
= − −
−=
∫∫ ∫
r r p
p
p r
¡ES AUTOFUNCIÓN DE LA FT!
• Transformada de Fourier– Definición intuitiva– Definición físico-matemática– Propiedades– Ejemplos (que aparecen hasta en la sopa)
• Problemas para casa– Problema 1– Problema 2– …– Problema N
¿De qué vamos a hablar ahora?
• Demuestra las siguientes propiedades de la transformada de Fourier.– Ciclicidad– Linealidad– Escala– Desplazamiento– Derivación– Teorema de Parseval– Teorema de la convolución– Teorema de la autocorrelación
PROBLEMA 1
• Calcula la transformada de Fourier unidimensional de la siguiente señal temporal:
PROBLEMA 2
2 20( ) exp( / )cos( )f t A tt Tπ ω= −
• Considera la siguiente operación:
– Interpreta la expresión:
PROBLEMA 3
1 d ( )exp( 2[ )]( ) /( )a x f x ux i aa
f u xπ≡ −∫F
{ }[ ( )]( ) ( )b a f x u xF F
• Calcula la transformada de Bessel para:
–
–
PROBLEMA 4
0( ) ( )f r rδ= −r
1,0, en 1,
caso s
contrarioi
( )ra
f
≤ ≤= r