Transformada de Laplace: Aplicación a vibraciones mecánicas

Santiago Gómez Jorge

Estudiante de Ingeniería Electrónica Universidad Nacional del Sur, Avda. Alem 1253, B8000CPB Bahía Blanca, Argentina

thegrimreaper7@gmail.com Septiembre 2011

Resumen: Los métodos de la transformada de Laplace tienen un papel clave en el enfoque moderno del análisis y diseño en los sistemas de ingeniería. En el siguiente informe se detallará como utilizar dicha transformada para la resolución de ecuaciones diferenciales de movimiento en sistemas mecánicos de traslación, condicionados por determinadas amortiguaciones.

Palabras clave: Movimiento, Laplace, ecuaciones diferenciales, amortiguados.

I. INTRODUCCIÓN Se define la transformada de Laplace (L) mediante la expresión:

L [ f (t )]= F (s )= ∫0

∞

e− st f (t )dt

para los s�R , para los cuales la integral converge, y donde f (t ) es la función original, F (s) es la función transformada y e− st

es el núcleo de la transformación. Las propiedades que se utilizarán en este trabajo de aplicación serán, Considerando el siguiente par de

transformadas de Laplace con sus correspondientes regiones de convergencia:

f (t )←→F (s) �(s)> p g (t )←→G ( s) �( s)> q

Propiedad de linealidad: Para α , β� C

α f (t )+ β g (t )←→α F ( s)+ βG( s) �( s)> máx ( p , q) Propiedad de la derivada: Sea F(s) la transformación de la función f(t) para los números reales (s > p)

f (n)(t)� s(n) F (s)− s(n− 1) f (0)− � − f (n− 1)(0) �(s)> p (− 1)n tn f (t )� f n ( s) �(s)> p

La transformada de Laplace provee un método para resolver ecuaciones diferenciales lineales con

coeficientes constantes al transformarlas, a través de la propiedad anteriormente descripta, en el problema sencillo de resolver una ecuación algebraica lineal. Una vez hecha la transformación, se desarrollan

manipulaciones algebraicas y finalmente se aplica la transformación de Laplace inversa para obtener el resultado del problema planteado.

En la aplicación de este informe se utiliza el desarrollo de Heaviside de la transformada de Laplace, el cual

consiste en, luego de obtener una solución de la forma Y ( s)= (P (s))(Q ( s)) donde P y Q son polinomios en s, se

determina la solución y (t )= L(− 1)[Y ( s)] , expresando primero Y(s) en términos de fracciones parciales y luego antitransformando.

II. VIBRACIONES MECÁNICAS Los sistemas mecánicos de traslación pueden ser usados para modelar muchas situaciones e involucran tres

elementos básicos: masas, resortes y amortiguadores, cuyas unidades de medida son, respectivamente, Kg (kilogramos), N/m (Newton por metro) y Ns/m (Newtons y segundos por metro). Las variables asociadas son el desplazamiento x(t) (medido en metros) y la fuerza F(t) (medida en Newtons). Podemos ver en la Figura 1, una representación de los tres elementos básicos nombrados anteriormente:

Figura 1: Elementos componentes de un sistema mecánico de traslación. (1) Suponiendo que estamos tratando con resortes y amortiguadores ideales (esto es, suponiendo que se

comportan linealmente), las relaciones entre las fuerzas y los desplazamientos en el tiempo t son

Masa: F− M ( d 2

dtx)= M x (Ley de Newton)

Resorte: F = K (x2− x1) (Ley de Hooke)

Amortiguador: F = B( ddt

x2−ddt

x1)= B( x2− x1)

Usando estas relaciones llegamos a las ecuaciones del sistema, las que pueden ser analizadas utilizando las

técnicas de la transformada de Laplace.

III. EJEMPLO La masa del sistema masa-resorte-amortiguador de la figura 2 está sometida a una fuerza periódica externa

F(t) = 4 sin (ωt) aplicada en el tiempo t = 0. Determinaremos el desplazamiento resultante de x(t) de la masa en el tiempo t, suponiendo que la velocidad y posición iniciales son cero para ambos casos presentados a continuación:

(a) ω = 2 (b) ω = 5 Determinaremos también, lo que sucedería en el caso de ω = 5 si el amortiguador no estuviera presente.

Figura 2: Sistema masa-resorte-amortiguador del ejemplo presentado

Como está indicado en la figura 2(b), las fuerzas que actúan sobre la masa M son las fuerzas aplicadas F(t) y

las fuerzas de restauración F 1 y F 2 debidas al resorte y al amortiguador respectivamente. Así, por la ley de Newton,

M x (t)= F (t )− F 1(t )− F 2(t)

Como M = 1 , F (t )= 4 sin(ωt ) , F1(t )= Kx (t)= 25x(t) , F 2(t )= B x (t )= 6 x (t ) , ésto da

x (t )+ 6 x (t )+ 25x(t )= 4 sin(ωt ) (1)

la ecuación diferencial representa el movimiento del sistema.

Aplicando la transformada de Laplace en todo (1) se obtiene

( s2+ 6s+ 25) X (s)= [ sx (0)+ x (0)]+ 6x(0)+ 4ωs2+ w2

donde X(s) es la transformada de x(t). Incorporando las condiciones iniciales dadas x (0)= x (0)= 0 llegamos a

X ( s)= 4ω( s2+ ω2)(s2+ 6s+ 25) (2)

En el caso (a), con ω=2, (2) da

X ( s)= 8( s2+ 4)( s2+ 6s+ 25)

la cual, resolviendo en fracciones parciales, lleva a

X ( s)= 4195

− 4s+ 14s2+ 4

+ 2195

8s+ 20s2+ 6s+ 25

= 4195

− 4s+ 14s2+ 4

+ 2195

8( s+ 3)− 4(s+ 3)2+ 16

Aplicando la transformada inversa de Laplace se obtiene la respuesta requerida

x (t )= 4195

7sin(2t)− 4cos(2t )+ 2195

e− 3t (8cos(4t)− sin(4t)) (3)

En el caso (b), con ω=5, (3) da

X ( s)= 20( s2+ 25)( s2+ 6s+ 25) (4)

esto es,

X (s)=

− 215

s

s2+ 25+ 1

152 (s+ 3)+ 6(s+ 3)2+ 16

la cual, aplicando la transformada de Laplace inversa, da la respuesta requerida

x (t )= − 215

cos(5t)+ 115

e− 3t (2cos(4t)+ 32

sen(4t )) (5)

Si no hay amortiguador entonces (4) será

X ( s)= 20( s2+ 25)2 (6)

Aplicando la transformada de Laplace,

L [ tcos(5t )]= − dds

L [cos (5t )]= − dds

( ss2+ 25

)

esto es,

L [ tcos(5t )]= − 1s2+ 25

+ 2s2

( s2+ 25)2= 1s2+ 25

− 50( s2+ 25)2= 1

5L [ sen (5t )]− 50

( s2+ 25)2

Así, por la propiedad de linealidad nombrada previamente,

L [ 15

sin(5t)− tcos(5t)]= 50( s2+ 25)2

de manera que aplicando la transformada inversa de Laplace en (6) se obtiene la respuesta

x (t )= 225

(sin(5t)− 5tcos (5t ))

Debido al término t cos (5t), la respuesta x(t) no está acotada cuando t →∞ . Esto se debe a que en

este caso la fuerza aplicada F(t) = 4 sen (5t) está en resonancia con el sistema (esto es, la masa vibrante)

cuya frecuencia de oscilación natural es 5/2π Hz, igual que la fuerza aplicada. Aún en la presencia del amortiguamiento, la amplitud de respuesta del sistema es maximizada cuando la fuerza aplicada se aproxima a la resonancia con el sistema.

En ausencia de amortiguamiento tenemos el caso limite de resonancia pura, y se obtiene una respuesta no acotada.

REFERENCIAS

[1] G. Calandrini, “Guía de Definiciones y Teoremas estudiados en el curso de Funciones de Variable

Compleja”. 1er. Cuatrimestre 2011, paginas 56, 60, 62. [2] G. James, "Matemáticas avanzadas para ingeniería", Pearson Educación, segunda edición 2002, paginas

135-138.