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Teoría de CircuitosGrado en Ingeniería en Organización

industrialGrado en Ingeniería en Tecnología naval

Curso 2012-2013

Tema 7 – Transformada de Laplace; series y transformada de Fourier y Armónicos

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Objetivos: Después de completar este tema debes ser capaz de :

• Conocer los distintos modelos matemáticos de los sistemas eléctricos.

• Conocer, comprender y aplicar la transformada de Laplace a los circuitos eléctricos

• Conocer, comprender y aplicar el desarrollo en serie de Fourier y su transformada a los circuitos eléctricos

• Conocer la importancia de los armónicos en la ingeniería eléctrica

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Jean-Baptiste-Joseph FourierFrancia1768 - 1830

Pierre-Simon LaplaceFrancia1749 - 1827

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Caracterización de sistemas

• Sistema: combinación de componentes de cualquier tipo que actúan conjuntamente y cumplen un determinado objetivo

SISTEMAEntrada Salida

Tipos de sistemas

• Sistemas lineales: ecuaciones diferenciales del modelo lineales

• Sistemas no lineales: ecuaciones diferenciales no lineales

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Modelos de sistemas• Modelos matemáticos: describen las características

estáticas y dinámicas de los sistemas.• Modelos matemáticos más usados: • Juego de ecuaciones diferenciales.

Caracterización en el dominio del tiempoMuy usado en sistemas de múltiples entradas y salidas

• Función de transferenciaCaracterización en el dominio de la frecuencia y del

tiempoUsado sobre todo en sistemas de una única entrada y

salidaJ P

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Sistemas lineales

• Sistemas lineales: ecuaciones diferenciales del modelo lineales

x2y ⋅=

• Principio de superposición para sistemas lineales: la respuesta de un sistema ante la aplicación simultánea de dos excitaciones independientes es igual a la suma de las respuestas al aplicarse cada excitación por separado

0xdtdx

=+

• Tipos de sistemas lineales:

– Invariantes en el tiempox2y ⋅=

x)t(Ky ⋅=– Variables en el tiempo

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Sistemas no lineales• Sistemas no lineales: ecuaciones diferenciales del modelo no

lineales

)x(seny = )t(senAxdtdx

dtxd2

2

ω⋅=++

• Ejemplos de sistemas no lineales:

• No se puede aplicar el principio de superposición

Entrada

Salida

No linealidad porsaturación

Entrada

Salida

No linealidadcuadrática

Entrada

Salida

No linealidad porzona muerta

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Transformada de Laplace

• Método operacional que permite resolver ecuaciones diferenciales lineales

• Ventajas:– Convierte funciones transcendentes en

algebraicas– En circuitos eléctricos, se pueden escribir las

transformadas directamente; la resolución es interpretable directamente

– La relación entre función y transformada es biyectiva

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Variable compleja

• Definición: una variable compleja es una variable con una parte real y otra parte imaginaria. – Si s es una variable compleja, es de la forma

s=σ+j·ω• Siendo j= Unidad imaginaria

• Una función de una variable compleja G(s) tendrá también parte real e imaginaria

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Función de transferencia

• Función transferencia o función de transferencia de un sistema lineal invariante en el tiempo es la relación existente entre la transformada de Laplace de la salida (función respuesta del sistema) y la transformada de Laplace de la entrada (función excitadora) para condiciones iniciales nulas”

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Transformada de Laplace

• Sea♦ f(t) función del tiempo, con f(t)=0 para t=0♦ s es una variable compleja♦ L es un símbolo que índica la transformación de Laplace♦ F(s) es la transformada de Laplace de la función f(t)

Se define la transformación de Laplace como:

[ ] ∫∞ ⋅− ⋅⋅==0

ts dte)t(f)s(F)t(fLJ P

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LA TLES UNAOPERACIÓNLINEAL

Teoremas importantes

Sea k una constante y F (s) la TL de f (t), entonces:

L [ k f (t) ] = k F (s)

1) Multiplicación por una constante

2) Suma y Resta

Sean F1 (s ) y F2 (s ) las TL de f1(t ) y f2 (t )respectivamente, entonces:

L [ f1(t) ± f2(t)] = F1(s) ± F2(s)

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3) Diferenciación

Sea F (s) la TL de f (t), y f (0) el límite de f (t) cuando t tiende a 0. La TL de la derivada con respecto al tiempo de f (t) es:

)0()()()()(0

fsFstflímsFsdt

tfdt

−=−=

→

L

y, para derivadas de orden superior:

)0()0()0()(

)()()()()(

)1()1(11

1

121

0

−−−

−

−−−

→

−−−−=

+++−=

nnnn

n

nnn

t

nn

n

ffsfssFs

dttfd

dttdfstfslímsFs

dttfd

L

Teoremas importantes

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4) Integración

La TL de la integral de f (t) respecto del tiempo es la

transformada de f (t), F (s), dividida por “s”, es decir:

( )ssFdf

t )(0

=

∫ υυL

Para integración de orden ¨n¨:

( ) n

t t

n

t

ssFdtdtdtdfn )(1 2

0 0 1210=

∫ ∫∫ − υυL

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5) Traslación en el tiempo

La TL de la función f (t) retrasada un tiempo T, es decir: f (t -T ), es igual a la transformada de f (t) multiplicada por e- sT ; esto es:

( )[ ] )()( sFeTtuTtf sTs

−=−−L

en donde us (t-T ) denota la función escalón unitaria aplicada en el tiempo T (desplazada T unidades de tiempo a la derecha).

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6) Teorema del Valor Inicial

Si la TL de la función f (t) es F (s), entonces se cumple:

( ) [ ])(0

sFslímtflímst ∞→→

=

7) Teorema del Valor Final

Si la TL de la función f (t ) es F (s ), y si s.F (s ) es analítica sobre el semiplano derecho del plano ¨s¨ (incluido el eje imaginario), al que llamaremos SPD, entonces:

( ) [ ])(0

sFslímtflímst →∞→

=

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Forma de trabajar con la transformación de Laplace:

• 1) Se realiza la transformación directa de las variables• 2) Se resuelve todo con la transformada de Laplace,

obteniéndose la respuesta, típicamente obteniendo la función de transferencia

• 3) Se realiza la antitransformada, o transformación inversa lo que permite obtener la respuesta temporal

NOTAS INTERESANTES:• a) La resolución de ecuaciones transformadas suele realizarse

mediante operaciones algebraicas básicas• b) La función de transferencia permite obtener la respuesta

ante cualquier excitación, sin más que cambiar las condiciones de contorno

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Transformadas de Laplace de funciones y operaciones

• . Función en el tiempo f(t)

Transformada de Laplace F(s)

Función

0t para ,0)t(f0t para,eA)t(f t

<=≥⋅= ⋅α−

Exponencial [ ]α+

==s

A)t(f)s(F L

0t para ,0)t(f0t para,A)t(f

<=≥=

Escalón [ ]sA)t(f)s(F == L

Senoidal0t para ,0)t(f

0t para),t(senA)t(f<=

≥⋅ω⋅= [ ] 22sA)t(f)s(F

α+ω⋅

== L

Derivación [ ] )0(f)s(Fsdt

)t(df)t(f)s(F Si −⋅=

⇒= LL

dt)t(df

Integración dt)t(f ⋅∫ [ ] [ ]s

)0(fs

)s(FdT)t(F)t(f)s(F Si1−

+=⋅⇒= ∫LL

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uC

iC

Condensador

uL

iL

BobinaResistencia

uR

iR

Aplicación a circuitos lineales: ecuaciones de los elementos básicos

)t(iR)t(u RR ⋅=dt

)t(diL)t(u LL ⋅=

∫ ⋅⋅=

⇓

⋅=

dt)t(iC1)t(u

dt

)t(duC)t(i

CC

CCJ P

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Transformadas de Laplace en los elementos de un circuito

ElementoElemento Dominio del TiempoDominio del Tiempo Dominio de Laplace

Resistencia

s C

I(s)V(s) =

Bobina

Condensadordt

dvCi =

dt

diLv =

iRv = I(s)RV(s) =

I(s)s LV(s) =

Dominio de Laplace

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Impedancia compleja, es la relación entre tensión y corriente en un

elemento lineal

Resistencia

uR

iR

uL

iL

Bobina

uC

iC

Condensador

)s(I)s(UR)s(Z

R

RR ==

)s(I)s(U

sC1)s(Z

C

CC =

⋅=

)s(I)s(UsL)s(Z

L

LL =⋅=

)s(I)s(Z)s(U RRR ⋅= )s(I)s(Z)s(U CCC ⋅=)s(I)s(Z)s(U LLL ⋅=

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Régimen senoidal• Si todas las excitaciones de un circuito lineal son fuentes

senoidales, y el circuito trabaja en régimen permanente, entonces todas las tensiones y corrientes por el mismo son también senoidales, de igual frecuencia que las excitaciones.

• El circuito se dice que trabaja en régimen senoidal.• Se demuestra que, cuando un circuito trabaja en régimen senoidal,

es posible obtener directamente la respuesta de un circuito, a partir de la función de transferencia expresada para régimen senoidal.

• La función de transferencia en régimen senoidal se puede escribir directamente a partir de la función de transferencia de Laplace (F(s)) reemplazando la variable compleja s por la variable compleja j·ω, donde ω es la pulsación de la excitación senoidal.

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CIRCUITO RCL• Se aplica la 2ª Ley de

Kirchhoff en el dominio del tiempo

( ) ( ) ( ) ( )R L Cv t v t v t v t= + +

+

v(t)

0

( ) 1( ) . ( ) ( )tdi tv t R i t L i t dt

dt C= + + ∫

• Transformando al dominio de la frecuencia (Laplace)

{ } { }0

L L L L( ) 1( ) . ( ) ( )tdi tv t R i t L i t dt

dt C = + +

∫

( )( ) . ( ) ( . ( ) (0 ).

I sV s R I s L s I s iC s

+= + − +

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Siendo la solución de la ecuación diferencial:

• La intensidad en el dominio de la frecuencia es:

( )2 2

. ( )( ) sV sI sL s a ω

= + +

donde2RaL

=21

2R

LC Lω = −

Si se asume que el potencial aplicado es de corriente continua

Aplicando la transformada inversa de Laplace

[ ]( )( )

02 2

-1 -1L L( ) vI sL s a ω

= + +

0( ) . ( )atvi t e sen tL

ω−=

{ } { } 00( ) ( )L L vV s v t v

s= = =

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Circuito RCL

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0 1 2 3 4 5 6 7

Tiempo

Inte

nsid

ad d

e Co

rrie

nte

(i)

• Gráfica del resultado

• Se obtuvo una solución en el tiempo para un circuito RLC dando una función periódica amortiguada.

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Conclusiones

• Hemos visto la importancia de la técnica de transformada de Laplace en la resolución y análisis de circuitos eléctricos.

• Existe una equivalencia real entre los elementos principales de un circuito eléctrico como las resistencias, condensadores y bobinas en el dominio del tiempo y en el dominio de Laplace.

• La existencia de las equivalencias de circuitos permite la posibilidad de analizar circuitos eléctricos directamente en el dominio de Laplace sin tomar en cuenta el dominio del tiempo. J P

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Desarrollo en serie de Fourier

• Cualquier señal periódica se puede expresar como suma de:• Un nivel de continua• Un conjunto “infinito” de senoides, cuyas frecuencias son

múltiplos enteros de la señal original y cuya amplitud es variable• Cada senoide sumada recibe el nombre de armónico de

orden n, siendo n el múltiplo de la frecuencia original para esa senoide.

• NOTA: Si la señal no es periódica en un intervalo de tiempo, se puede convertir fácilmente en periódica, por repetición de ese intervalo, por lo que, en la práctica, el método se puede aplicar a cualquier función. J P

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2º, 3º, 4º y 5º armónicos

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• Si f(t) periódica, es decir f0(t)= f0(t+n·T), siendo:T= período

Desarrollo en serie de Fourier

f2T2

π=π

=ω

• Se puede descomponer (Teorema de Fourier):

∑∞

=

ω⋅+ω⋅+=1n

nn0 ))tn(senb)tncos(a(

2a)t(f

• Siendo:

∫ ω=T

0n dt)tncos()t(fT2a

∫=⇒=T

000 dt)t(f

T2a)t(f

2a

∫ ω=T

0n dt)tn(sen)t(fT2b

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• Interpretación: ejemplo con una señal cuadrada

Desarrollo en serie de Fourier

T

t

t

1er Armónico

3er Armónico5º Armónico

Nivel decontinua

7º Armónico

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Armónicos• Son distorsiones periódicas de formas de ondas de

intensidad o tensión en sistemas eléctricos.

• Aparecen cuando tenemos cargas no lineales, principalmente en la saturación de núcleos magnéticos, en la alimentación (CA/CC) y en componentes electrónicos

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Carga Lineal

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Carga Lineal

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Causas de los armónicos

• Relacionadas con el campo magnético asociado al funcionamiento de equipos:

Transformadores

Máquinas rotativas

Hornos de arco

• Relacionadas con la iluminación:

Lámparas fluorescentesJ PORTILL

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Causas de los armónicos

• Relacionadas con la electrónica de potencia:

Controles electrónicos

Fuentes conmutadas

Rectificadores

Inversores

Compensadores estáticos

CicloconvertidoresJ PORTILL

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• La introducción de convertidores de potencia confiables y eficientes ha ocasionado un aumento de los dispositivos generadores de armónicos.

• El término "convertidor estático de potencia " se refiere al dispositivo semiconductor que convierte potencia de una frecuencia en potencia de otra frecuencia.

• Los tipos de convertidores mas comunes en la industria son el rectificador, convertidor de potencia CA en CC, y el inversor que convierte de potencia CC a CA.

• Además, el problema de los armónicos es agravado por la instalación de condensadores para mejorar el factor de potencia o regular la tensión. J P

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• Si una corriente armónica es inyectada (desde un convertidor estático de potencia, por ejemplo) con una frecuencia cercana a la frecuencia resonante, puede entonces circular una alta intensidad oscilante, la que podría quemar el fusible de los condensadores y producir tensiones armónicas elevadas.

• Además del aumento en los generadores de armónicas y la resonancia de la red, las cargas y los sistemas eléctricos no se han quedado atrás, y en algunos casos son aun más sensibles a los armónicos.J P

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Nuevas áreas afectadas por los armónicos

• 1. Ordenadores industriales controlan herramientas, máquinas, y los diversos tipos de controladores digitales los cuales son especialmente susceptibles al armónico, así como también a otros tipos de interferencia.

• 2. Los armónicos puede ocasionar daños calentando el dialéctico en cables subterráneos.

• 3. La medición de potencias reactivas puede ser adversamente afectada por los armónicos.

• 4. Las fallas en bancos de condensadores son frecuentemente ocasionadas por los armónicos.

• 5. Nuevos diseños de máquinas rotativas y transformadores, agravan los problemas de calentamiento ocasionados por los armónicos.

• 6. Los armónicos puede ser especialmente problemáticos para los sistemas de comunicación.

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Armónicos peligrosos

• Algún armónicos se han distinguido por ser especialmente dañinos en los sistemas de distribución. El tercer armónico y múltiplos de este (9, 15, 21) reciben atención especial porque ellos son los “triplens” (6n-3).

• Los “triplens” retornan a través del neutro. Como se constata donde la intensidad de carga retorna a través del neutro con valores superiores a los de fase.

• Los armónicos de secuencia negativa (5, 11, 17) tienen gran impacto sobre transformadores y motores porque su rotación se opone a la rotación de la fundamental (50Hz). J P

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Interferencias telefónicas

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Alimentación electrónica lamparas: Carga no lineal

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Carga no lineal

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Carga no Lineal

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Convertidores estáticos:Carga no lineal

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Los efectos de los Armónicos

• Los efectos de los armónicos se dividen en tres categorías generales:

1. Efectos sobre el sistema de potencia mismo

2. Efectos sobre la carga del consumidor

3. Efectos sobre circuitos de comunicación J PORTILL

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• En el sistema de potencia, las intensidades armónicas son el problema principal, ocasionando recalentamiento y pérdida de vida útil. Esto refiriéndonos a motores o transformadores.

• El impacto es peor cuando la resonancia de la red amplifica las intensidades armónicas.

• Los armónicos pueden también interferir en la operación de relés y mediciones.

• Los armónicos pueden ocasionar también errores de disparo a los tiristores en equipos convertidores, inexactitudes en las mediciones, y falsos disparos en los dispositivos de protección.

• Los controladores de velocidad de motores y fuentes de alimentación de ordenadores, pueden ser adversamente afectado por los armónicos.

• Además, las corrientes armónicas que fluyen sobre las líneas de potencia pueden inducir ruido sobre líneas cercanas de comunicación.

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• La distorsión armónica de tensión puede ocasionar esfuerzos en el aislamiento de equipos, particularmente en condensadores.

• Cuando los armónicos deforman la tensión en el banco de condensadores, la tensión pico puede ser lo suficientemente alta como para ocasionar una descarga parcial, o efecto corona, dentro de el dieléctrico del condensador. Esto puede producir eventualmente un cortocircuito entre bornes y carcasa y hacer fallar al condensador.

• Las intensiidades armónicas altas también ocasionan el disparo de fusibles en bancos de condensadores. Esto ocasiona la pérdida de una fuente de alimentación reactiva al sistema, lo que puede ocasionar otros problemas. J P

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Efectos de los armónicos

• Reducción en la eficiencia de la generación, transmisión y utilización de la energía eléctrica.

• Envejecimiento prematuro del aislamiento de los componentes eléctricos y acortamiento de su vida útilJ P

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Efecto en los transformadores

• 1.- Calentamiento adicional generado por las pérdidas de la intensidad de carga

• 2.- Problemas de resonancia entre la inductancia del transformador y los condensadores del sistema

• 3.- Sobrecarga del aislamiento• 4.- Vibraciones y ruidos

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Efectos en maquinas rotativas

• 1.-Calentamiento: perdidas en el hierro y en el cobre

• 2.- Par pulsante• 3.- Resonancia mecánica• 4.- Ruidos• 5.- Puntos calientesJ P

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Efectos en cables y conductores

• 1.-Incremento de las pérdidas por valor eficaz de la intensidad• 2.- aumento del efecto (pelicular) Skin • 3.- Caídas de tensión armónicas• 4.- Incremento de los valores crestas de tensión:

Sobrecarga del aislamientoEfecto Corona

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Efectos en los elemento de protección

• Fusibles y Magnetotérmicos: adelanto en la respuesta (efecto térmico)

• Interruptores: Algunos problemas en sobrecarga

• Reles- Digitales- Electromecánicos y analógicos

* Problemas durante una falta* Problemas en condiciones normales

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Efectos en las lámparas

• 1.- Lámparas incandescentes: acortamiento de vida útil por eficaz de tensión en exceso (+5% un 50% de reducción de vida útil)

• 2.- Lámparas de arco: podría existir problemas de resonancia entre lámpara/condensador corrector de FP, pero no con el sistema (la f de resonancia suele hallarse alrededor de los 80Hz)J P

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Efectos en equipos electrónicos

• 1.- Afecta a elementos que usan el cruce por cero de la tensión

• 2.- Fuentes electrónicas:

El pico de tensión mantiene los condensadores a plena carga

Reducción en la capacidad de soportar huecos

• 3.- Interferencia en señales lógicas o de comunicación

• 4.- Disparos intempestivos de tiristoresJ PORTILL

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Reducción de los armónicos

• Reducción pasiva: Filtros pasivos• Reducción activa:• Transformadores de aislamiento• Filtros activos:

Eliminación de armónicos (control de los conmutadores)Cancelación de armónicos (suma de salida de varios

conversores) Modulación de anchura de pulso (desplazamos armónicos a

altas frecuencias de filtrado mas sencillo)J PORTILL

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