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La Transformada De Laplace
L 0
stt tf f e dt
Presentada por:
Juan Toribio Milané
Contenido. Transformadas.
Definición Y Notación.
Existencia De La Transformada De Laplace.
Transformada De Funciones Simples Por Definición.
Propiedades De La Transformada De Laplace.
Propiedad De Linealidad.
Primer Teorema De Traslación.
Derivada De La Transformada.
Relación Entre La Transformada y La Función Gama.
Transformada De Integrales.
Transformada De Derivadas.
Transformada Inversa.
Aplicación De La Transformada A La Resolución
De Ecuaciones Diferenciales.
Transformada De La Funciones Escalón.
Segundo Teorema De La Traslación.
Otra Forma Para El Segundo Teorema De La
Traslación
Transformada De Funciones Periódicas.
Transformadas.
Definición Y Notación
Otras Transformadas.
2 2
k k- -
0
Transformación de reflexion T:R R
Transformada Z de una sucesión X Z X ( ) .
1 Transformada D de D .
(1 )
Transformada de Fourier F (
K
KK
KK K K
K
x xT
y y
XX z
Z
f zf f
Z
f
) ( ) .ivttt F iv e f dt
Algunas Transformaciones
Integrales. Gran parte de importantes funciones del analisis matematico pueden
expresarse como integrales de la forma:
Una función G definida de este tipo donde la variable puede ser real o
compleja se llama transformada integral de f. La funcion K se llama
nucleo de transformacion.
G ( , ) ty K t y f dt
tf
Más Transformadas Integrales.
c
0
s
0
0
Transformada exponencial de Fourier F .
Transformada Coseno de Fourier F cos( ) .
Transformada Seno de Fourier F ( ) .
Transformada de Laplace F .
T
ivt
st
t t
t t
t t
t t
f e f dt
f tv f dt
f sen tv f dt
f e f dt
1
0
ransformada de Millin M .vt tf t f dt
Relación Entre Las Transformadas
Anteriores.
Las transformadas seno y coseno
son casos particulares de la
transformada exponencial del
Fourier, en la que f se anula en
el eje real negativo.
=cos(vt)-isen(vt)ivtcomo e
Para La transformada De Laplace.
Si:
0 0 0
s=u+iv,
L st ut ivt ivt
ut
t t t Q t
Q t t
u v R
f f e dt f e e dt e dt
Donde f e
Definición Y Notación
Definición Y Notación
La transformada de Laplace de una función se define mediante la
expresión:
tf F s
0
stt tf f e dt
L
L
Donde:
__ es el dominio de tiempo.
__es una variable compleja, dominio
de frecuencia.
__ es el núcleo de transformación.
__denota el operador de transformada
de Laplace.L
ste
s
t
Transformada De Laplace Bilateral
y Función Casual.
Si el comportamiento de f(t) para t<0 es de interés entonces
nesecitamos la transforamda bilateral que se define como:
En la presente expasicion solo trataremos transformada de
funciones casuales, esto es o la combertiremos
en casuales con alluda de la funcionde Heaviside por ello
para nosostros:
B L st
t tf f e dt
B
0
L stt t tf L f f e dt
0 0tf t
Condición Suficiente Para La
Existencia De :
Teorema: Si es continúa parte por parte
para y de orden exponencial para
entonces existe para
L
L
tf
t s t T
tf s c
FUNCIONES CONTINUAS A TROZOS
Sea f una función definida decimos
que es continua a trozos si:
Está definida y es continua en todo ,salvo en
un número finito de puntos
para .
: ,f a b R
Para cada , los límites :
existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si es uno de los extremos de
En general, el requisito de que estos límites seanfinitos en todos los puntos ,implica que lasúnicas discontinuidades de f sondiscontinuidades de salto, del tipo que aparecenen la siguiente grafica.
Intuitivamente podríamos pensar que lasfunciones continuas a trozos son casi continuaso que no son demasiado discontinuas.
FUNCIONES DE ORDEN EXPONENCIAL
Sea Decimos que la función f es
de orden exponencial si existen números:
tales que :
para
Intuitivamente esto significa que la función esta
por debajo de una función exponencial, como
se muestra en la siguiente grafica.
: 0,f R
, 0, 0k M T ( ) ktf t Me
t T
FUNCIONES DE ORDEN EXPONENCIAL
Observación: algunas veces, para verificar
que una función f es de orden exponencial,
conviene calcular el siguiente límite:
para algún valor de k .
Si es finito, entonces puede ser cualquier
número mayor que L (y este determina T ).
Por otro lado, si , f no es de orden
exponencial.
Ejemplos
Ejemplo 1
Compruebe que es de orden exponencial.
Solución
Para comprobar esto, apliquemos tres veces la regla de L'Hôpital :
para cualquier número positivo k . Por lo tanto, si t es suficientemente grande, se cumple que , y así es de orden exponencial.
Observación: no es difícil comprobar que cualquier polinomio de grado n o función trigonométrica como Sen(bt), Cos(bt), con b constante, son de orden exponencial, así como, las sumas y productos de un número finito de estas funciones. En general, si y son de orden exponencial, la suma y el productos son de orden exponencial.
Ejemplo 2
Compruebe que la función no es de
orden exponencial.
Solución
Calculando el límite tenemos que
para cualquier valor de k , con lo cual la
función no es de orden exponencial.
FUNCIONES ACOTADAS
Sea una función acotada, entonces
es de orden exponencial.
Demostración:
Como f es acotada para todo .
Entonces:
para cualquier
, con lo cual f es de orden exponencial.
: 0,f R
Demostración del teorema de la existencia.
0 0
log .st stt tf e dt f e dt Teorema ana o en serie sobre convergencia absoluta
1 2
0 0 0
=
T
st st st st
T
t t t tf e dt f e dt f e dt f e dt I I
0
0
L .
L
st
st
t t
t t
f f e dt Def de L
f f e dt aplicando
Existe ya que es continua a trozos y por tanto
esta integral puede escribirse como una suma
numerable de integrales sobre intervalos en los cuales
f es continua.
1I tf
( )
2
( )
2
( )
2
( )
2
sup 0( )
0( )
L 0
st ct st s c t
T T T
s c t
T
s c T
s c T
t
t
I f e dt Me e dt M e dt
MI e oniendo s c
s c
MI e
s c
MI e luego f para s c
s c
Corolario.
Si satisface la hipotesis del teorema,
Anterior:
Así: no puede ser la transformada de ninguna
Función, ya que:
tf
0lims
sF
1
s
s
1 0lims
sF
!Lo Suficiente No es Necesario!
Observación: el teorema anterior enuncia una
condición suficiente y no necesaria para la
existencia de la transformada de Laplace, es
decir, puede darse el caso de una función f que
no cumpla las hipótesis del teorema, pero aún
así tenga transformada, como lo muestra el
siguiente ejemplo.
Aún cuando no cumple las hipótesis del teorema de existencia anterior.
Claramente tiene una discontinuidad infinita en t = 0, con lo cual no es continua a trozos en el intervalo
, pero ; existe. !Hágalo!
El siguiente ejemplo muestra una función para la cual no existe la transformada de Laplace.
!Hágalo!
Propiedades De La Transformada De Laplace
Propiedad De Linealidad.
Primer Teorema De Traslación.
Derivada De La Transformada.
Transformada De Integrales.
Transformada De Derivadas.
Propiedad De Linealidad.
Si y existen
entonces:
para cualquier constante real.
Transformada De Funciones
Simples Por Definición.
!Vamos a lo que vinimos!
Primer Teorema De Traslación.
Si a es un número real y existe, entonces
Donde
a veces también se denota así:
o así:
L att s ae f F
L at
s s at te f L f
L at
s s at se f F
Demos:
Primer Teorema De La Translation
0
( )
0
L .
L
L
at at st
at s a t
at
t t
t t s a
t s a
e f f e e dt Def de L
e f f e dt F
e f F
Derivada De La Transformada. Si y además si se supone
que es posible cambiar el orden de derivación
y el de integración, entonces:
L t sf F
0
( ) stF st
d df e dt
ds ds
0
0
- L tan
st
st
t
t t
t
f e dts
f e dt
tf por to
( )
LF s
td
tfds
Análogamente:
2 L .t tt f L t tf
2
2
22
2
( )
tan L
t
F s
s
t s
dL tf
ds
d d
ds ds
dF
d s
dpor to t f F
d s
Si se sigue el proceso inductivamente
llegaremos a la demostración siguiente:
1, 2, 3, ....
L 1n
nn
nt F s
para n
dt f
ds
Un Cambio De Escala
Sea una función continua a trozos y de
orden exponencial, entonces:
Esto se demuestra facilmente haciendo la sustitución
1
cts
L f Fc c
tf
u ct
Relación Entre La Transformada De
Laplace y La Función Gama Para.
La función Gama: se define:
Se puede verificar que:
1
0
t xx e t dt
: 0, R
( ) 1af t t a R a
1
2
1 1 !x x x n n
Propiedades De La Función Gama
La funcion Gama converge para:
Pero aquí restringiremos su dominio.
Su gráfica es:
: R Z R
La Relación es:
( ) 1af t t a R a
0
1 1
0
1
1
L
: ,
1 ( 1) L
( 1) L 0.
! L
a a st
a a u
a a
a
a
n
n
t t e dt
así tomando u st se tiene
at u e du
s s
at s
s
nasí t
s
Un Poco De Cálculo Fraccionario.
La n-ésima derivada de donde n es un
numero natural, se puede ver así:
b ax
1
2
0
1
2
1 1
32 22
1 1
2 2
,
1 1 ....... 3 2 1 .
!( ) .
!
( 1).
( 1)
:
2 8. . .
3
n
b n
b b n b nb n
n
nb
n
nd b b nax b n b n b b b b axndx
d bax P ax ax
b ndx
d bax ax
b ndx
Así
d x d x d cx x cx
xdx dx dx
Transformada De Derivadas.
Si son continúas a trozos,
suaves y de orden exponencial en el intervalo ,
entonces:
1 2 n(t), (t), (t) ,........, (t) y y y y
0,
n-1n 1
i
i=0
n n-1 0 n-2 1 2 0 1
(t) (s) (0)
(t) = (s) (0) (0) (0) (0).
L y s
L y s s , , , , s s
n n i
n n n
s y
s y y y y
Y
Y
Integral De La Transformada
0
0
0
0 0
( )
( )
( )
( )
( )( )
xt
xt
s s
xt
s s
xt
s s
s
t
t
t
stet t
t
F x f e dt
F x dx f e dt dx
F x dx f e dx dt
F x dx f e dx dt f dt
f tF x dx L
t
( ) L ( ) ,
s
f tF x dx s c t
t
Transformada De Integrales.
0
( ) L ( )
tF s
f d s cs
Demos:
Como es continua por partes, el teorema
Fundamental del Cálculo implica que:
Donde es continua, así que es
continua y suave para ademas:
( )f t
,
0
g(t)= ( ) g (t)= ( )
t
f d f
( )f t ( )g t
0t
0 0 0
g(t) = ( ) ( ) 1
t t t
c ct ctM Mf d f d Me d e e
C C
Así hemos demostrado que lo que
indica que es de orden exponencial por tanto:
g(t) ctMe
C
0
,0
0 0
L
L
L( )
t
t g t g t g
Si g t g t
tg t
f L sL
f sL
fL L f d
s
Transformada Inversa.
( )L f t ( )F s
( )f t 1 ( )L F s
Aplicación De La Transformada A
La Resolución De Ecuaciones
Diferenciales.
Transformada De La Función Escalón
La función Escalón Unitario sirve para
manipular funciones de frecuencias
discontinuas, la función onda cuadrada es un
ejemplo de este tipo de función; así ya que:
0 ( 0)( )
1 ( 0)
tH t
t
0 ( )( )
1 ( )
t aH t a
t a
Gráfica De La Función Impulso.
Así la función producto:
De esta manera la función puede ser
interpretada como un mecanismo para
encender en un tiempo ; además la
función Escalón Unitario de Heaviside puede
usarse para escribir de manera concisa
funciones continuas a pedazos; así si:
0 ( )( ) ( )
( ) ( )
t aH t a f t
f t t a
( )H t a
( )f t t a
1 1
2 1 2
3 2
( ) (0 )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f t t t
f t f t t t t
f t t t
1 2 1 1 3 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t H t f t f t H t t f t f t H t t
Función Continua Por Partes.
Alternativamente puede ser construida usando
la funcion sombrero de copa
Así entonces
Lo cual conduce a:
( )f t
( ) ( )H t a H t b
1( ) ( )
0 ,
a t bH t a H t b
t a b
1 1 2 1 2 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t H t H t t f t H t t H t t f t H t t
1 2 1 1 3 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t H t f t f t H t t f t f t H t t
Función Pulso Unitario.
Si representamos las siguientes funciones
mediante la funcion Escalon unitario de
Heaviside obtenemos:
2
2 2
2 (0 3)
( ) 4 (3 5) ( ) 2 ( ) 4 2 ( 3) 9 4 ( 5)
9 ( 5)
0 (0 1)
1 (1 3)
: ( ) 3 (3 5)
2 (5 6)
0 ( 6)
t t
f t t t f t t H t t t H t t H t
t
t
t
haga esta f t t
t
t
Ahora sí:
Transformada De La Función Escalón
Para tenemos: ( ), 0H t a a
0 0
( ) ( ) 0 1
1( ) 0 0 ( )
a atst st st
a
at
eL H t a H t a e dt e dt e dt
s
eL H t a a y para a L H t
s s
Si determinamos la transformada de la función Pulso
Rectangular obtendremos.
0
( ) 0 ( ) ( ) ( )
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) as bs
t a
f t K a t b K R b a f t K H t a H t b
t b
L f t L K H t a H t b KL H t a H t b KL H t a KL H t b
KL f t e e
s
Función Pulso Rectangular.
Segundo Teorema De La Traslación.
Este teorema es tambien conocido como, Teorema De
Heaviside o De Retraso.
Sí y , entonces : ( ) ( )L f t F s 0a
( ) ( ) ( )asL f t a H t a e F s
Demos:
0 0
( )
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a
st st st
a
st s x a as sx as sx
a
as
L f t a H t a f t a H t a e dt e dt f t a e dt
Haciendo x t a t x a dx dt
L f t a H t a f t a e dt f x e dx f x e e dx e f x e dx
f t a H t a e F s
Forma alternativa al segundo
teorema de traslación Sea una función continua a trozos y de
orden exponencial en , entonces : 0,f R
0,
( ) ( ) ( )asL f t H t a e L f t a
Demos:
0 0
( )
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a
st st st
a
st s u a sa su
a
sa
L f t H t a f t H t a e dt e dt f t e dt
Haciendo t u a u t a dx dt
L f t H t a f t e dt f u a e du e f u a e du
L f t H t a e L f u a
Es importante distinguir
Indica que está encendida en
Por otra parte.
Representa una traslacion de
en a unidades, su intepretacion es un retraso de
por a unidades. De esta manera representa
el operador retraso en la transformada
( ) ( )
0
( )f t H t a
t a
f t t a
( )f t
t a
( ) ( )
0
( )f t a H t a
t a
f t a t a
( )f t
( )f tste
( )F s
Segundo Teorema De La Traslacion
Aplicacion De La Función De Heaviside a
Funciones Periodicas.
Obtenga la transformada de la función onda cuadrada.
1 3 5( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ..... ..
2 2 2
1 3 5( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ..... ..
2 2 2
f t KH t KH t T KH t T KH t T KH t T KH t T
f t K H t H t T H t T H t T H t T H t T
Cont.
1 3 5( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ..... ..
2 2 2
31 2 2 2 2 22 2( ) ...... ..
1 2
2 2 2 2( ) 1
L f t KL H t H t T H t T H t T H t T H t T
sT sTsT sT
L f t K e e e es s s s s
sT sT sTK
L f t e e es
3 4
2 ...... ..
2
122 1 12( ) 1 ( ) tanh
421
1( ) tanh
4
sTK
es
sT
observe que en la serie geometrica r e
sTsT
K K K e KL f t e sT
sTs s s se
KL f t sT
s
Transformada De Funciones
Periódicas
Si , definida para todo t positivo es una
función periodica, con periodo T, esto es
entonces se cumple que:
( )f t
0
1( ) ( )
1
T
st
sTL f t e f t dt
e
( ) ( )f t nT f t
Demos:
2 3
0 2 ( 1)
( )
0 0 00 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ....... ( ) ...
1, 2,3,....
( ) ( ) ( ) ( )
(
T T T nT
st st st st
T T n T
T T T
s nT s snT snT s
n n n
L f t e f t dt e f t dt e f t dt e f t dt
si hacemos t nT n
L f t e f nT d e e f d e e f d
L f
0
1) ( )
1
T
s
stt e f d
e
Si usamos la funcion de Heaviside para expreser
dicha funcion este teorema se puede expresar como
sigue:
1
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1 ( )sT
f t f t H t H t T
L f t e L f t
Usamos ahora el teorema anterior para obtener la
transformada de la función Onda Cuadrada:
10
2( )
1
2
K t T
f t
K T t T
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )
1 1 2
1( ) 1 ( )
1
1 1 2 12( ) 1
1 2( ) 1 21
1( )
21
Aplicando f t f t H t H t T f t K H t H t T H t T así
sTAplicando L f t e L f t
sTKsT sT
L f t e e es s s s
sTK sT
L f t e esT se
KL f t
s sT
e
2
2 21 12
212
2 2 21 1 1
1( ) tanh
4
sT sT
e esT
K Ke
sT sT sTs se e e
KL f t sT
s
Fuentes Bibliograficas
1-Ecuaciones Diferenciales Elementales
C. H. Edwards, Jr. Y David E. Penney
Prentice Hall 3ra edicion .
2- Matematicas Avanzadas Para Ingenieros
Glyn James, Prentice Hall 2da edicion
3-Ecuaciones Diferenciales Con Problemas De
De Valores En La Frontera. Zill G. Dennis y
Cullen R. Michael. Thonson 6ta edicion.
4-Ecuaciones Diferenciales Con Aplicaciones
Zill G. Dennis Iberoamerica 2da edicion.
5-Ecuaciones Diferenciales
C. H. Edwards, Jr. Y David E. Penney
Prentice Hall 2da edicion .
6-Matematicas Avanzadas Para Engenieria
Kreyszig Erwin, Limusa-Wiley, S.A.
1967.
7-Analisis Matematico (Vol-I-II)
Castro Valdés Concepcion,
Pueblo y Educación 2da edicion.
8-Cálculo Superior, Spiegel R. Murray.
McGRAW-Hil 1996.
9-Cálculo Con Geometría Analítica,
Edwards y Penney, Prentice Hall
1996
10-Cálculo,
Larson, Hostetler, Edwards
McGRAW-Hill 6ta edicion.
11-Cálculo,
Purcell, Varberg, Rigdon.
Prentice Hall 9na edicion.
12-Basic Complex Variables For
Mathematics And Engineering,
Mathews H. John,
13-Algebra Lineal
Grossman I Stanley,
McGRAW-Hill 5ta edicion.
14-Algebra Lineal
Kolman Bernard y Hill R. David
Prentice Hall 8va edicion.
15-Algebra y TrigonometríaZill G. Dennis y Dewar M. Jacqueline
McGRAW-Hill 2da edicion.
16-Internet, Google, Wikipedia,
Títulos: Ecuaciones Diferenciales,
Transformada De Laplace,
Funcion Gamma, Integrales Impropias
