7/25/2019 Transformada Fourier Almira-000002

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LAFA. Laboratorio de Analisis de Fourier Aplicado

Haciendo el cambio de variable = 2f, podemos reescribir la anteriorformula como

x(t) = 1

2

(

x(s)eisds)eitd

Definicion 1 Lasenal

F(x)() := x() :=

x(s)eisds

toma el nombre de transformada de Fourier de la senal (aperiodica) x(t) L1(R) .

Definicion 2 Lasenal

F

1(y)(t) := 1

2

y()eisd

toma el nombre de transformada de Fourier inversa de la senal (aperiodica)y() .

Nota 1 Es evidente que el teorema integral de Fourier se puede reescribircomo

x(t) = 1

2

(

x(s)eisds)eitd

= 1

2

F(x)()eitd= F1(F(x))(t)

y, de manera analoga,

F(F1

(y))() =y() .Una cosa es clara: bajo ciertas hipotesis (que luego especificaremos), conocerla transformada de Fourier de una seral equivale a conocer dicha seral, yaque al aplicar la transformada inversa recuperamos toda la informacion. Deigual forma, si conocemos los coeficientes de Fourier {ck}k= de cierta seral(periodica) x(t) , de la que sabemos que es suficientemente suave, entoncesconocemos la sefial, pues para rescatarla completamente bastara sumar la cor-respondiente serie de Fourier. As, el papel del espectro de la sefial, que en elcaso periodico lo juegan los coeficientes de Fourier, en el caso aperiodico lo juegala transformada de Fourier.

Para evitar problemas con la definicion de transformada de Fourier, supon-dremos que la seralx(t) es absolutamente integrable en R. Es decir, supon-

dremos que||x||L1(R)=

|x(t)|dt