Procesamiento Digital de Señales Octubre 2012

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PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

Transformada Z - (Parte II)

Métodos de Antitransformación

Hay tres métodos de antitransformación, o “Transformación Z Inversa” para obtener la

función f(kT) a partir de F(z), basados en: a) el desarrollo de una serie infinita de potencias,

b) el desarrollo de fracciones parciales, y c) la integral curvilínea.

a) Obtención de la Transfotmada Z inversa desarrollando F(z) en una serie infinita

de potencias.

Si se desarrolla F(z) en una serie de potencias convergente , es decir:

....).2().()0().( 21

0

zTfzTffzkTfi

k

se pueden determinar los valores de f(kT) por simple inspección.

Si F(z) tiene la forma de una función racional, se puede lograr el desarrollo

en una serie infinita de potencias, simplemente dividiendo el numerador en

el denominador. Si la serie resultante es convergente, los coeficientes de z-k

en la serie

son los valores de f(kT) de la secuencia temporal.

Nota: Para obtener los coeficientes de la división se debe escribir tanto el numerador

como el denominador, en orden creciente de la variable z-k

.

Desventajas del método: Aunque este método da los valores de f(0), f(T), f(2T), ... etc.,

en forma secuencial, habitualmente es difícil obtener a partir de estos coeficientes la

expresión del término general de la sucesión.

Ejemplo 1:

Hallar f(kT) para k=1, 2, 3, 4, , cuando F(z) está dado por

21

1

231

10

)2)(1(

10)(

zz

z

zz

zzF

Efectuando la división:

10z-1

1-3z-1

+2z-2

-10 z-1

+30 z-2

-20 z-3

10 z-1

+30 z-2

+70 z-3

+150 z-4

-30 z-2

+90 z-3

-60 z-4

70z-3

- 60 z-4

-70z-3

+210z-4

- 140 z-5

150z-4

- 140 z-5

-150z-4

+ 450 z-5

- 300 z-6

310z-5

- 300 z-6

f(0) = 0

f(T) = 10

f(2T) = 30

f(3T) = 70

f(4T) = 150

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2

Ejemplo 2:

Hallar f(kT) para k=1, 2, 3, 4, , cuando F(z) está dado por

21

1

2

2

651

197

)65(

197)(

zz

z

zz

zzzF

Efectuando la división:

F(z) = 7 + 16 z-1

+ 38 z-2

+94 z-3

+242 z-4

+ ...

f(kT) = 7δ(k) +16 δ(k-1) + 38 δ(k-2)+94 δ(k-3)+242 δ(k-4)

Esta serie infinita no converge. Por simple inspección se obtiene:

f(0) = 7 ; f(T) = 16 ; f(2T) = 38 ; f(3T) = 94 ; f(4T) = 242

b) Método de obtención de la Transformada Z inversa desarrollando F(z) en

fracciones parciales

Este método se basa en obtener el desarrollo en fracciones parciales de z

zF )( en

fracciones parciales y la identificación de cada uno de los términos en la tabla de

transformadas.

nn

nnn

mm

mmm

azazazaza

bzbzbzbzbzF

1

2

2

1

10

1

2

2

1

10

...

...)( ; con m ≤ n

Primero se debe descomponer el denominador de F(z) encontrando las raíces o “polos”.

Luego se desarrolla z

zF )( en fracciones parciales de manera de poder reconocer cada

término en una tabla de transformadas Z. La transformada Z inversa de F(z) es la suma

de todas las transformadas Z inversas de las fracciones parciales.

Ejemplo 1: Hallar la f(kT) si F(z) está dada por:)2)(1(

10)(

zz

zzF

Primero se desarrolla z

zF )( en fracciones parciales:

2

10

1

10

)2)(1(

10)(

z

z

z

z

zzz

zF

De la Tabla de Transformadas (se muestra más adelante) se obtiene:

k

z

z

z

z2

2;1

1

11ZZ , por lo tanto: f(kT) = 10 (-1 + 2

k) , con k = 0, 1, 2,

3, ...

O bien: f(0) = 0 ; f(T) = 10 ; f(2T) = 30 ; f(3T) = 70 ; f(4T) = 150

Estos resultados coinciden con los obtenidos por el método de la división de polinomios.

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c) Método de obtención de la Transformada Z inversa por la Integral curvilínea

Este método se utiliza aplicando la integral curvilínea sobre el círculo unitario (en el plano

z-1

) en el sentido antihorario, a ambos miembros de la ecuación (α):

0

211 ...)(...)2()()0()()(k

kk zkTfzTfzTffzkTfzF (α)

Multiplicando ambos miembros de (α) por z k-1

, esto es:

...)(...)2()()0()( 132111 dzzkTfdzzTfdzzTfdzzfdzzzF kkkk

Por el Teorema de Cauchy, todos los términos del segundo miembro de la ecuación son

iguales a cero, excepto el término dzzkTf 1)( , por lo tanto:

dzzkTfdzzzF k 111 )()( , de donde obtenemos:

dzzzFj

kTf k 11)(2

1)( Esta ecuación se puede calcular como:

)()()( 1 zFdepoloslosenzzFdesiduosRekTf k

Ejemplo:

Obtener f(kT) utilizando el método de la integral curvilínea, siendo: )2)(1(

10)(

zz

zzF

Resolución:

dzz

z

z

z

jdzz

zz

z

jkTf

kkk

)2(

10

)1(

10

2

1

)2)(1(

10

2

1)( 1 =

k

z

k

z

k

z

zsRe

z

zsRe 2.1010

)2(

10

)1(

10

21

(*)

; con k = 0, 1, 2, 3, ...

(*) Para el caso de un polo simple se tenía:

)('

)(

)(

)()(

aq

ap

zq

zpsRezfsRe

az

az

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EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES

Sea 1

1

.....( )( )

( ) .....

n

n o

m

m o

a s a s aP sH s

Q s b s b s b, con n<m

Caso 1: Si las m raíces del denominador son simples, entonces el denominador puede

descomponerse como:

1 2( ) ( )( )...( )mQ s s s s s s s , donde s1 , s2 , ..., sm son las raíces

Por lo tanto, el desarrollo puede escribirse como:

1

1 1 1 2

.....( ) ...

( )( )...( )

n

n o

m m

a s a s a A B KH s

s s s s s s s s s s s s

donde

1

2

1

2

lim( ) ( )

lim( ) ( )

...

lim( ) ( )m

s s

s s

ms s

A s s H s

B s s H s

K s s H s

Ejemplo: ( )( 1)( 2) 1 2

s A BH s

s s s s

1

2

lim( 1) 1( 1)( 2)

lim( 2) 2( 1)( 2)

s

s

sA ss s

sB ss s

2 1( )

( 1)( 2) 2 1

sH s

s s s s

Caso 2: Q(s) presenta raíces reales múltiples

1

1

1 2

.....( )( )

( ) ( ) ( ) ...( )

n n

n n o

m

a s a s aP sH s

Q s s s s s s s

donde α, β y γ son los órdenes de multiplicidad de las raíces.

Las constantes se calculan como:

, 1

1lim ( ) ( )

( 1)! i

j im

i mi j ij is s

dA s s F s

j ds

Ejemplo:

23223

2

)1()1()1(

1)(

s

E

s

D

s

C

s

B

s

A

ss

sssH

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Calculamos las constantes:

223

3 220

23

3 20

23

03 2

22

3 21

22

3 21

1 1lim ( 0) 2( 1)2

1lim 1( 1)

1 | 1( 1)

1lim ( 1) 2( 1)

1lim ( 1) 1( 1)

s

s

S

s

s

d s sA ss sd s

d s sB ss sd s

s sC ss s

d s sD ss sd s

s sE ss s

23223

2

)1(

1

)1(

2112

)1(

1)(

sssssss

sssH

Caso 3:

a) Raíces imaginarias simples:

2 2

( ) 1( )

( ) ( ) ( )

P sH s

Q s s a s c (OJO Revisar)

Ejemplo: 2

( )( 4) 2 2

s A B CH s

s s s s j s j

20

2

2

11lim( 4) 4

1lim

( 2) 8

1lim

( 2) 8

s

s j

s j

As

sBs s j

sCs s j

1 18 8

2

1 1( )

( 4) 4 2 2H s

s s s s j s j

b) Raíces imaginarias múltiples

Ejemplo:

2 2 2 2

1( )

( 4) ( 2 ) ( 2 ) ( 2) ( 2 )

A B C DH s

s s j s j s j s j

Al determinar las constantes obtenemos:

1 18 8

2 2 2 2

1( )

( 4) ( 2 ) ( 2)

j jH s

s s j s j

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APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA Z

Transformación y Antitransformación usando la Tabla de Transformadas

Ejercicio 1:

Encontrar la función transferencia H(z-1

) del STD asociado a la ecuación de diferencias:

y(k) – a y (k-1) – x(k)=0

Resolución:

Si y(k) , x(k) son funciones causales, y existen Z[y(k)] = Y(z-1

) y Z[x(k)] = X(z-1

)

Y(z-1

) – a z

-1 Y(z

-1) – X(z

-1)=0

Y(z-1

) [1– a z

-1 ] = X(z

-1)

1

1

1 1

( ) 1( )

( ) 1

Y zH z

X z az

Ejercicio 2:

Usando la función transferencia del ejercicio anterior, encontrar la respuesta y(k) del STD,

para las siguientes funciones de entradas x(k): a) impulso δ(k) ; b) escalón u(k)

Resolución:

Sabiendo que 1

1

1( )

1H z

az ,

y 1

1

1

( )( )

( )

Y zH z

X z , entonces: 1 1 1( ) ( ). ( )Y z H z X z

a) x(k)= q δ(k) = q k = 0

0 k < 0

Antitransformando esta expresión, obtenemos la respuesta y(k):

b) x(k)= h u(k) = h k >= 0

0 k < 0

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Para antitransformar esta expresión, es necesario separarla en sumandos antitransformables

individualmente. Esto puede resolverse por descomposición en fracciones parciales, o

fracciones simples, por suma de residuos según el método de la integral curvilínea, etc.

Igualando término a término, vemos que:

→

→

→ → ;

Y reemplazando en la primera expresión:

Estos términos sumados son antitransformables, y podemos asociar cada módulo con una

transformada en la tabla. De esta manera obtenemos la respuesta en el tiempo:

Se puede distinguir una respuesta transitoria, la exponencial ak , que tiende a desaparecer en

el tiempo, y una respuesta permanente debida a la función de entrada.