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MATRICES FACTORIALES
Estudio cuantitativo de factores:
efectos principales (bj)
interacciones (bji)
si cada variable puede tener un valor mayor o uno menor: diseño factorial de dos niveles
número de experimentos para k factores ⇒ N = 2k
↓ 2 niveles
k ⇒ efectos principales
(2k - k - 1) ⇒ interacciones
Quimiometría
si k = 2 matriz 22 ⇒ 4 experimentos
k factores ⇒ interacciones de orden q
interacciones de qvo orden entre (q+1) factores
Quimiometría
si k = 7 matriz 27 ⇒ 128 experimentos
q = 1 interacciones de primer orden: C = = 21 q = 2 interacciones de segundo orden ....
las interacciones entre 3 factores son escasas, entre 4 son despreciables
es posible disminuir N sin disminuir k
27
7(7-1) 2
Quimiometría
MATRICES FACTORIALES
si k = 3 matriz 23 ⇒ 8 experimentos
matriz experimental
matriz del modelo
Quimiometría
DISEÑO 23Quimiometría
Un ejemplo: Diseños factoriales completos
Objetivo: estudiar la síntesis de un compuesto orgánico
Factores que podrían afectar el rendimiento son: pH
intensidad de la lámpara (W/m2)fuerza iónica (M) [catalizador] (µM)
si se establecen dos posibles niveles por factor: 24 = 16 combinaciones
Quimiometría
Un ejemplo: Diseños factoriales completos
Combinaciones + : mayor nivel - : menor nivel
Variable Nombre - +A pH 4 6B Intensidad (W/m2) 1000 2000C Fuerza iónica (M) 0,25 0,75D [catalizador] (µM) 0,1 1,0
Quimiometría
DISEÑO FACTORIAL COMPLETO CON MINITABQuimiometría
pH luz FI [cat] pH luz FI [cat] %rendimiento
variables codificadas
respuesta
Quimiometría
Evaluación de los datos
¿cuál factor tiene mayor influencia en el rendimiento?
Estimated Effects and Coefficients for % (coded units)
Term Effect Coef
Constant 50.250A 2.750 1.375B 19.500 9.750C 1.500 0.750D -14.500 -7.250A*B 2.250 1.125A*C -0.250 -0.125A*D -2.750 -1.375B*C 1.500 0.750B*D 5.500 2.750C*D 3.000 1.500A*B*C 1.250 0.625A*B*D -1.250 -0.625A*C*D 0.750 0.375B*C*D -3.000 -1.500A*B*C*D -0.750 -0.375
Quimiometría
Gráfico de probabilidad normal de los efectos
efecto
score
A pHB Intensidad (W/m2)
C Fuerza iónica (M)D [catalizador] (µM)
Quimiometría
Term
Effect
ACACD
ABCDABDABC
CBCABA
ADBCDCDBDDB
20151050
5.78
Pareto Chart of the Effects(response is %, Alpha = .05)
Lenth's PSE = 2.25
Quimiometría
Efectos principales
%
pH luz fuerza iónica [catalizador]
Quimiometría
A
1-1 1-1
60
45
30
60
45
30
B
C
60
45
30
1-1
60
45
30
1-1
D
-11
A
-11
B
-11
C
-11
D
Interacciones
Quimiometría
Evaluación de los datos
Ventajas:
¿cuál factor tiene mayor influencia en el rendimiento?
se puede proponer un modelo del tipo
y = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1 x2
Quimiometría
Evaluación de los datos
Dificultades:
el diseño no tiene réplicasno se ha estimado el error experimental: por lo cual no se puede dar una respuesta definitiva sobre si los factores son o no significativos.
cada variable se probó sólo con dos nivelesproblema de curvatura (se necesitarían términos de segundo orden en el modelo: x
j2)
probar 3 niveles: 3k en este ejemplo: k=4 ¡81 experimentos!
se puede reducir con otros diseños: superficie de respuesta
Quimiometría
Diseño factorial con réplicas
Objetivo: estudiar el efecto de tres factores (A, B, C) sobre el funcionamiento de un plasma
empleado para grabados.
con dos niveles
23 = 8 combinaciones
con dos réplicas: 16 experimentos
respuesta: velociad de grabado para nitruro de silicio (Å/m) (I y II)
A B C I II- - - 550 604+ - - 669 650- + - 633 601+ + - 642 635- - + 1037 1052+ - + 749 868- + + 1075 1063+ + + 729 860
Factor -1 +1
A (distancia, cm) 0,8 1,20
B (flujo gas, cm3/min) 125 200
C (potencia, W) 275 325
Diseño factorial con réplicas
16 experimentos
en orden estándar
¡¡hacer en order aletatorio!!
Orden A B C velocidad1 -1 -1 -1 5502 1 -1 -1 6693 -1 1 -1 6334 1 1 -1 6425 -1 -1 1 10376 1 -1 1 7497 -1 1 1 10758 1 1 1 7299 -1 -1 -1 60410 1 -1 -1 65011 -1 1 -1 60112 1 1 -1 63513 -1 -1 1 105214 1 -1 1 86815 -1 1 1 106316 1 1 1 860
Análisis del diseño factorial con réplicas
empleando MINITAB
el efecto C (potencia) domina el proceso
el efecto A (distancia entre los electrodos) y la interacción AC también son estadísticamente
significativos (valores de P pequeños P < 0,05)
Estimated Effects and Coefficients for v (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 776,06 11,87 65,41 0,000A -101,62 -50,81 11,87 -4,28 0,003B 7,37 3,69 11,87 0,31 0,764C 306,13 153,06 11,87 12,90 0,000A*B -24,88 -12,44 11,87 -1,05 0,325A*C -153,63 -76,81 11,87 -6,47 0,000B*C -2,12 -1,06 11,87 -0,09 0,931A*B*C 5,62 2,81 11,87 0,24 0,819
el error estándar de todos los coeficientes del modelo es igual porque el diseño es ortogonal
Análisis del diseño factorial con réplicas
empleando MINITAB: gráfico de Pareto
los efectos C, A y la interacción AC son estadísticamente significativos
Term
Standardized Effect
BC
ABC
B
AB
A
AC
C
14121086420
2,31
A AB BC C
Factor Name
Pareto Chart of the Standardized Effects(response is v, Alpha = ,05)
Análisis del diseño factorial con réplicas
empleando MINITAB: gráfico de probabilidad normal (Daniel)
los efectos C, A y la interacción AC son estadísticamente significativos
Standardized Effect
Perc
ent
151050-5
99
95
90
80
70
60504030
20
10
5
1
A AB BC C
Factor Name
Not SignificantSignificant
Effect Ty pe
A C
C
A
Normal Probability Plot of the Standardized Effects(response is v, Alpha = ,05)
Análisis del diseño factorial con réplicas
empleando MINITAB: gráficos factoriales
1
-1
1
-11-1
C
B
A
794,5
808,51044,5
1069,0
638,5
659,5577,0
617,0
Cube Plot (data means) for v
Análisis del diseño factorial con réplicas
empleando MINITAB: gráficos factoriales
A
B
C
1-1 1-1
1000
800
600
1000
800
600
-11
A
-11
B
Interaction Plot (data means) for v
Análisis del diseño factorial con réplicas
gráficos de superficie de respuesta: se sabe que conviene trabajar a una velocidad de 900 Å/m, por
lo cual se pueden sugerir las mejores condiciones analizando las curvas de nivel
Análisis del diseño factorial con réplicas
modelo para predecir la velocidad de grabado
ŷ = b0 + b
1 x
1+ b
2 x
2 + b
3 x
3 + b
12 x
1x
2 + b
13x
1x
3 + b
23x
2x
3 + b
123 x
1 x
2x
3
velocidad = 776,6 - 50,81x1 + 153,06x
3 -76,81 x
1x
3
análisis de regresión (para el modelo completo):
S = 47,4612
desviación estándar
R-Sq = 96,61%
el modelo explica un 96,61 % de la variabilidad observada (problema: R2 aumenta al aumentar el
número de factores, aunque no sean significativos)
R-Sq(adj) = 93,64%
R2 (ajustado para el tamaño del modelo): suele disminuir si se agregan factores no significativos
se puede volver a calcular con el modelo reducido
Análisis del diseño factorial con réplicas
al menos un efecto principal y una interacción entre dos factores son estadísticamente significativos
Analysis of Variance for v (coded units)Source DF Seq SS Adj SS Adj MSMain Effects 3 416378 416378 1387932-Way Interactions 3 96896 96896 322993-Way Interactions 1 127 127 127Residual Error 8 18020 18020 2253 Pure Error 8 18021 18021 2253Total 15 531421Source F PMain Effects 61,62 0,0002-Way Interactions 14,34 0,0013-Way Interactions 0,06 0,819Residual Error Pure ErrorTotal
