Regla del trapecio
La funcinf(x) (en azul) es aproximada por lafuncin lineal(en
rojo).Enmatemticalaregla del trapecioes un mtodo deintegracin
numrica, es decir, un mtodo para calcular aproximadamente el valor
de laintegral definida
La regla se basa en aproximar el valor de la integral def(x) por
el de lafuncin linealque pasa a travs de los puntos (a,f(a)) y
(b,f(b)). La integral de sta es igual al rea deltrapeciobajo la
grfica de la funcin lineal. Se sigue que
y donde el trmino error corresponde a:
Siendoun nmero perteneciente alintervalo[a,b].ndice[ocultar]
1Regla del trapecio compuesta 1.1Ejemplo 2Vase tambin
3ReferenciasRegla del trapecio compuesta[editar]
Ilustracin de la regla del trapecio compuestaLaregla del
trapecio compuestaoregla de los trapecioses una forma de aproximar
una integral definida utilizandontrapecios. En la formulacin de
este mtodo se supone quefes continua y positiva en el intervalo
[a,b]. De tal modo la integral definidarepresenta el rea de la
regin delimitada por la grfica defy el ejex, desdex=ahastax=b.
Primero se divide el intervalo [a,b] ennsubintervalos, cada uno de
ancho.Despus de realizar todo el proceso matemtico se llega a la
siguiente frmula:
Dondeynes el nmero de divisiones.La expresin anterior tambin se
puede escribir como:
El error en esta aproximacin se corresponde con:
Siendo n el nmero de subintervalosEjemplo[editar]
Primero se obtieneh, de los lmites de la integral que
representanayby paran=6 queda:.Y ahora se sustituye en la frmula=y
queda:=
En este caso no se comete ningn error en el clculo (el resultado
es exacto) porque la funcin sujeta a integracin es lineal.
Mtodo del trapecioPara calcular la integral definida, aplicando
el Teorema Fundamental del Clculo, es preciso obtener previamente
una integral indefinida. Aunque se conocen diversos mtodos para
hallar la integral indefinida de una cantidad considerable de
funciones, existen funciones para las cuales estos mtodos no son
aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de la
integracin numrica. La integracin numrica permite evaluar la
integral definida de una funcin continua en un intervalo cerrado
con la exactitud deseada. En este apartado vamos a estudiar dos
mtodos de integracin numrica: la Regla del trapecio y la Regla de
Simpson
Este es un mtodo de integracin numr que se obtiene al integrar
la formula de interpolacin lineal.icoRespuesta, (error).
Regla del trapecio
l rea sombreada por debajo de la recta de interpolacin la
llamaremos g(x) es igual a la integral calculada mediante la regla
del trapecio, mientras que el rea por debajo de la curva f(x) es el
valor exacto.l error de la ecuacin es igual al rea entre g(x) y
f(x).Esta misma ecuacin se puede extender a varios intervalos y se
puede aplicar N veces al caso de N intervalos con una separacin
uniforme h.As se propone la regla extendida del trapecio.
Ejemplo:El cuerpo de revolucin que se muestra, se obtiene al
girar la curva dada por,, entorno al eje x. Calcule el volumen
utilizando la regla extendida del trapecio con. El valor exacto es
I=11.7286, u2.Evalu el error para cada N.Donde:
1. PAULA MELISSA VILLALOBOS COD:614071003 METODOS NUMERICOS
CARLOS DIEZ2. REGLA DEL TRAPECIO3. INTEGRACION NUMERICA La
integracin numrica se basa en la interpretacin de la integral como
rea encerrada bajo la curva. La integracin numrica permite evaluar
la integral definida de una funcin continua en un intervalo cerrado
con la exactitud deseada. El mtodo de integracin numrica basado en
Newton- Coutes, consiste en el ajuste de un polinomio a un conjunto
de puntos y luego, integrarlos. 14. REGLA DEL TRAPECIO La regla del
trapecio es uno de los mtodos mas utilizados para calcular
aproximaciones numricas de las integrales definidas. La regla del
trapecio es la primera de las frmulas cerradas de la integracin de
Newton Cotes. 25. Corresponde al caso donde el polinomio de la
ecuacin es de primer grado: (1) Tal que: (2) 36. El rea bajo esta
lnea recta es una aproximacin de la integral f(x) entre los lmites
a y b: (3) El resultado de la integracin es la regla del trapecio:
(4) 47. EJEMPLO Integrar numricamente la siguiente funcin desde a=0
hasta b=0.8: Solucin: Evaluar la funcin en los lmites: 1. f(0)=0.2
f(0.8)=0.232 Aplicando la formula (4) de los trapecios: 2. 98.
ALGORITMO Integra aproximadamente f(x) en el intervalo [a, b]
aplicando la formula del trapecio con n subintervalos. Dividimos el
intervalo a,b en n subintervalos de igual 1. longitud. Aproximamos
en cada subintervalo, la funcin f(x) por 2. una recta Entonces
aproximamos el rea que hay entre a y b por 3. la suma de las reas
de los trapecios. (Ver figura 1) Evaluamos la funcin en los
extremos de los 4. subintervalos Aplicar la regla de los trapecios
5. 59. FIGURA 1. 610. ERROR DE LA REGLA DEL TRAPECIO Una estimacin
para el error de truncamiento local de una sola aplicacin de la
regla trapezoidal es: (2) donde est en algn lugar en el intervalo
de a a b. La anterior ecuacin indica que si la funcin sujeta a
integracin es lineal, la regla del trapecio ser exacta. (Ver figura
2) Para funciones con derivadas de segundo orden y de orden
superior, puede ocurrir algn error 711. Error de la regla del
trapecio. FIGURA 2 812. FUNDACION UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ
MATEMATICAS IV SEMESTRE 2009 -13. REGLAS TRAPEZOIDALES.14. 15.
REGLA TRAPEZOIDAL SENCILLA.16. La regla del trapecio o regla
trapezoidal es la primera de las frmulas cerradas de
Newton-Cotes.17. Corresponde al caso en donde el polinomio de
aproximacin es de primer orden.18. 19. En donde f1(x) corresponde a
una lnea recta que se representa como:20. 21. El rea bajo la lnea
recta es una aproximacin de la integral de f(x) entre los lmites a
y b:22. El resultado de la integracin es:23. 24. REGLA TRAPEZOIDAL
DE SEGMENTOS MULTIPLES.25. 26. Una manera de mejorar la exactitud
de la regla trapezoidal sencilla es la de dividir el intervalo de
integracin desde "a" hasta "b" en conjunto de segmentos y aplicar
el mtodo a cada uno de los segmentos.27. En seguida se suman las
reas de los segmentos individuales y se obtiene la integral sobre
el intervalo completo.28. Por consiguiente, hay n segmentos de
igual anchura:29. 30. Si a y b se igualan a x0y a xn(puntos base
igualmente espaciados), la integral total se representa como:31.
32. Sustituyendo la regla trapezoidal para cada una de las
integrales, se obtiene:33. agrupando trminosusando la ecuacin en la
forma general, se obtiene:34. Matlab Integracin Numrica, Mtodo
delTrapecio.13 ABRIL, 2013/JULIO CSAR[Recuerda que en este Blog los
enlaces para la descarga del cdigo se encuentran al final del
artculo.]En ciertas ocasiones nos encontramos con funciones para
las que no podemos hallar una primitiva, esto puede deberse por
supuesto a falta de habilidad de nuestra parte, aunque tambin
ocurre que alguna funciones elementales simplemente no tienen
primitivas que al igual sean funciones elementales que podamos
calcular, por ejemplo, no hay funciones elementales que tengan
alguna de las siguientes como su derivada:
Funciones que no tienen primitivas, en estos casos se recurre a
los mtodos numricos para integrarlas.Cuando se desea calcular una
integral definida que contiene una funcin cuya primitiva no podemos
hallar, entonces no se puede aplicar el teorema fundamental del
clculo y es aqu cuando se debe recurrir a unatcnicade
aproximacin.Regla de los Trapecios.Una forma de aproximar una
integral definida, consiste en usas N trapecios, como se muestra en
la figura 1. En el desarrollo de este mtodo, se supone quefes
continua y positiva en el intervalo [a,b] y que la integral
definidarepresenta el rea de lareginlimitada por la grfica defy el
eje X, desde x=a hasta x=b. [1]
Figura 1: Funcin Y(x), el rea bajo la curva, se puede aproximar
mediante n trapecios, en este caso 4 trapecios.Algoritmo para el
Mtodo de los Trapecios.En el caso de las aproximaciones de las
integrales por el mtodo de los trapecios, es tan simple tanto en
descripcin como a nivel de cdigo, como es sabido, en este blog no
nos proponemos dar una demostracinmatemticade los mtodos aqu
propuestos, aunque es posible hacerlo, principalmente nos enfocamos
en su funcionamiento y en que el lector pueda comprender su uso y
llevar a cabo el cdigo (nuestro objetivo es en Matlab, aunque se
puede hacer en cualquier lenguaje o programa), es por esto, que nos
limitaremosnicamentea la utilizacin de la formula y los pasos que
se deben seguir para implementar nuestro mtodo; el algoritmo es el
siguiente:1. En primer lugar se parte el intervalo comprendido
entre [a, b] en subintervalos ms pequeos, definidos por la variable
N, nombrando el ancho de esos subintervalos como dx (que en nuestro
caso representa a delta X).
2. Se realiza la siguiente serie (hacer clic para ver en tamao
mas amplio):
Como se puede observar, es una sumatoria, donde todos
lostrminosestn multiplicados por 2 excepto el primero y el ultimo
termino y posteriormenteestnmultiplicados todos por lo
quepodramosllamar entonces dx/2.Cdigo en Matlab.En esto punto
crearemos una funcin en Matlab, que nos permita aproximar aquellas
funciones de las que se habl con anterioridad, manteniendo los
criterios yamencionados en primer lugar, crearemos en nuestro
directorio una funcin llamada intrap (integrales por trapecios),
que recibir como parametros, el la funcin, el limite inferior y el
limite superior; tambinpudiramosrecibir comoparmetroel numero de
subintervalos deseados N, nosotros lo definimos como 400 ya que por
lo regular las regiones a integrar no son muy grandes, pero la
modificacin del cdigo es libre y si quieres, puedes recibir tambin
el parmetro N (tambien se puede hacer, para aumentar la
precisin).
Posteriormente, como dijimos le daremos el valor de N=400 aunque
esto depende de su eleccin a la hora de montar el programa como
recibiendo el parmetro, en este punto se calcula el valor
dedx(delta x)con la formula que se vio en el punto 1 del algoritmo,
tambin se evala el primer termino de la serie, ya que este no esta
multiplicado por 2 y es el resultado de evaluar la expresin Y en el
limite inferior.
Ahora se usar un ciclo FOR para contar el nmero de iteraciones,
las cualesdependerndel nmero de subintervalos, la variable I se
inicia con un valor de 2, para descontar la evaluacin del primer
termino que se hizo al inicio del programa, y para descontar la
ultima iteracin, que se har luego de termino el FOR, ya que esta
ultima tampoco esta multiplicada por 2.
Luego de terminado el ciclo FOR, se procede a hacer la evaluacin
del n-simo termino, es decir, el ultimo termino.despusde esto, como
se coment al final de algoritmo, semultiplicantodos
lostrminossumados por DX/2, as:
Finalmente despus de ejecutado todo el cdigo, el programa nos
retornar una buena aproximacin de la integral que queremos hallar
por msdifcilque esta sea.La forma correcta de utilizar esta funcin,
en nuestro caso es, declarando inicialmente una variable simblica
por ejemplotposteriormente podemos nombrar una funcinf(t)y llamar a
la funcinintrap(f,a,b)donde A ser el limite inferior de nuestro
intervalo de integracin y B el superior, el funcionamiento se
ilustra a continuacin donde los limites de la funcin sern de 0
(cero) a PI.
El valor exacto, como resultado de llevar a cabo la integracin
de SENO(X) entre 0 y pi es 2; en el ejemplo anterior podemos notar
la aproximacin llevada a cabo mediante el mtodo del trapecio.El
cdigo de la funcin estudiada en esta entrada lo puedes
descargardesde este enlace, puedes hacer las modificaciones que
quieras, con el fin de experimentar y obtener una mayor comprensin
de este mtodo, si tienes alguna duda, puedes dejar tu comentario.Si
este turorial te ha ayudado,comprtelo, el conocimiento es de
todos.el conocimiento humano le pertenece al mundo.Comentar es una
forma de agradecer.Referencias: Larson. Hostetler. Clculo y
geometra analtica, 3ra edicin. editorial McGraw-Hill. Mxico.About
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fprintf('Calculo de la integral por el metodo trapecial\n\n');
f=input('introduce la funcion:','s'); a=input('lime inferior:');
b=input('limite superior:'); c=input('numero de segmentos a
dividir:'); h=(b-a)/c; z=0; for x=a:h:bk=eval(f);if x==a,d=k;endif
x==b,e=k;endz=z+k;end z=z-d-e; z=z*2; z=z+d+e; z=z/(2*c); z=z*(b-a)
fprintf('Resultado ');
Mtodos numricos - Regla del trapecio compuesta en Matlab
El mtodo de integracin numrica basado en Newton-Coutes, consiste
en el ajuste de un polinomio a un conjunto de puntos y luego
integrarlos. La integracin da como resultado la Regla de Trapecio Y
Simpson 1/3.
Para aclarar, la Regla de Trapecio (Figura 1) busca una
aproximacin mayor.
Figura 1
Por tanto, la "Regla de Trapecio Compuesta" est dada por la
(Figura 2):
Figura 2
Para disear un programar que implemente la regla, definimos
entrada con las letras "a, b" como intervalo, "n" el nmero de
partes y "f" la expresin-funcin. La salida del programa es la
aproximacin.
Programa solucin en Matlab:
clcclearf='exp(x^2)';a=0;b=1;n=4;
% f funcion% a,b intevalo% n numero partesdisp('Funcion:
');f
disp('De [a: ');a
disp('Hacia b]: ');b
f=inline(f);
h=(b-a)/n;
aprox=f(a)+f(b);
for i=1:n-1x=a+i*h;aprox=aprox+2*f(x);end
aprox=(h/2)*aprox;a=0;
disp(aprox);Regla del trapecio
La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las
formulas cerradas de Newton-Cotes.Recurdese que una lnea recta se
puede representar como
El rea bajo la lnea recta es una aproximacin de la integral de
f(x) entre los limites a y b:El resultado de la integracin es
Al que se le llama regla trapezoidal.Geomtricamente, la regla
trapezoidal es equivalente a aproximar el rea del trapecio bajo la
lnea recta que une a los puntos a y b.Una manera de mejorar la
exactitud de la regla trapezoidal es la de dividir el intervalo de
integracin de a a b en un conjunto de segmentos y aplicar el mtodo
a cada uno de los segmentos. Enseguida se suman las reas de los
segmentos individuales y se obtiene la integral sobre el intervalo
completo. A las ecuaciones resultantes se les conoce como formulas
de integracin de segmento mltiple o formulas de integracin
compuesta. La siguiente ecuacin es la ec. para calcular la integral
por el mtodo trapezoidal de segmentos mltiples.
Programa en
Matlab%****************************************************************%**
Calculo de la integral por el **%** Metodo trapecial de multiples
**%** Segmentos UdeG **%** Maestria en Electronica **%** Ing. Jesus
Norato Valencia **%** Materia: Metodos Numericos **%** Maestro:
M.C. J.Gilberto Mateos Suarez 18/Nov/99
**%****************************************************************clear;clc;fprintf('Calculo
de la integral por el metodo trapecial\n\n');f=input('introduce la
funcion:','s');a=input('lime inferior:');b=input('limite
superior:');c=input('numero de segmentos a
dividir:');h=(b-a)/c;z=0;%*****************************************************************%**
En la siguiente seccion se **%** realizan los calculos de las areas
de cada trapecio ademas **%** se realiza la suma de estas
**%*****************************************************************for
x=a:h:bk=eval(f);if x==a,d=k;endif
x==b,e=k;endz=z+k;end%*****************************************************************%**
una vez que se tienen los datos de areas de los trapecios **%**
cantidad de trapecios, Limites superior e inferior se re- **%**
alizan las operaciones directamente en la formula de inte- **%**
gracion por el metodo trapecial.
**%*****************************************************************z=z-d-e;z=z*2;z=z+d+e;z=z/(2*c);z=z*(b-a)fprintf('Resultado
');Mtodo de los trapeciosOtromtododeaproximacinde la integral
mediante la suma de pequeos trapecios.
Programa Principal:program integral1use funcionuse
numericoimplicit nonereal::Xi,Xd,n,Iwrite(*,*)'elige un intervalo
de integracion'read(*,*)Xiread(*,*)Xdwrite(*,*)'el intervalo
es:',Xi,Xdwrite(*,*)'elige un numero de
subintervalos'read(*,*)ncall integral(f1,Xi,Xd,n,I)write(*,*)'el
area de la integral es:',Iend programModule Numerico:Module
numericocontainssubroutine integral(f,a,b,n,I)
interfacefunction f(x)real,intent(in)::xreal::fend functionend
interface
real,intent(inout)::a,b,nreal,intent(out)::Ireal::x1,x2,h,A1,A2,j
I=0
do j=1,nx1=(a+((j-1)*ABS(a-b)/n))x2=(a+(j*(ABS(a-b)/n)))
h=((f(x2))-(f(x1)))
A1=((x2-x1)*(f(x1)))A2=((A1))+(((x2-x1))*((h)/(2)))
I=I+A2end doend subroutine integralend module numericoModule
funciones:module funcioncontains
function f1(x)real,intent(in)::xreal::f1
f1=((x**3)+(4*(x**2))-10)
end functionend module funcion
