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5/20/2018 trazadores c bicos
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INTERPOLACION
En el subcampo matemtico del anlisis numrico, se llama interpolacin a la obtencin de
nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.
En ingeniera y algunas ciencias es frecuente dispones de un cierto nmero de puntos obtenidos
por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una funcin que los ajuste.
Otro problema ligado con el dela interpolacin es la aproximacin de una funcin complicada por
una ms simple, si tenemos una funcin cuyo clculo es difcil, podemos partir de un cierto
nmero de valores e interpolar dichos datos construyendo una funcin ms simple, por supuesto
no obtendremos las mismos valores evaluando la funcin obtenida que si evaluramos la funcin
original , dependiendo de las caractersticas del problema y del mtodo de interpolacin la
ganancia en eficiencia puede compensar los errores.
En todo caso, se trata que a partir de n parejas de puntos, obtener una funcin f que verifique,
denominada funcin interpolante de dichos puntos. A los puntos se les llama nodos.
La interpolacin consiste en obtener una funcin que corresponda a una serie de datos conocidos.
Una de las clases ms tiles y mejor conocidas es la de polinomios algebraicos, es decir, el
conjunto de funciones de la forma:
()
En donde n es un numero entero no negativo y son constantes reales, una de las
razones importantes por la cual se debe considerar esta clase de polinomios en la interpolacin de
funciones, es que la derivada y la integral de un polinomio son fciles de determinar y tambin son
polinomios, por esta y por otras razones ms con frecuencia se usan los polinomios para
aproximar a las funciones continuas.
TRAZADORES CUBICOS O SPLINES.
Las interpolaciones polinomica fragmentaria ms comn utilizando polinomios de grado tres entre
cada par de puntos consecutivo, recibe el nombre de interpolacin de trazadores cbicas o Splines
cbicos. El objetivo de los trazadores cbicos, es obtener un polinomio de tercer grado para cada
intervalo entre los nodos.
Las curvas producidas por los polinomios que pasan por los (n) puntos de datos especificados
[ ] [ ], elcomportamiento de la curva entre los puntos de datoas puede producirfuertes oscilaciones cuando se utilizan polinomios de alto grado. Por ejemplo, supongamos que los
puntos de los datos son aproximaciones de una recta. Al forzar un polinomio de alto grado a pasar
por varios puntos la curva que produce se puede desviar significativamente de la recta. Para evitar
esto es posible utilizar aproximaciones a fon de obtener un buen ajuste de la curva, a este tipo de
procesos de ajuste se denomina trazadores cbicos.
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La aproximacin mediante trazadores cbicos se aplica a n pares ordenados de datos. Se buscan
(n-1) curvas que conectan los puntos 1 y 2, los puntos 2 y 3, 3 y 4, y los puntos n-1 y n. Adems se
requiere que las dos curvas que conectan los puntos (k-1) y k y los puntos k y (k+1), tengan la
misma pendiente en el punto k. Y de esta manera el ajuste de curvas resulte continuo.
Mtodo:
Un trazador se usa para dibujar curvas suaves a travs de un conjunto de puntos. Los trazadores
cbicos naturales se utilizan para crear una funcin que interpola un conjunto de puntos de datos.
Esta funcin consiste en una unin de polinomios cbicos, uno para cada intervalo, y est
construido para ser una funcin con derivada primera y segunda continuas. El spline cbico
natural tambin tiene su segunda derivada igual a cero en la coordenada x del primer punto y el
ltimo punto de la tabla de datos.
El interpolante segmentario cubico (o interpolante de trazador cubico, o spline cubico)
correspondiente a los puntos . y los valores, es una funcion S definida en
[ ],...,que cumple con las condiciones siguientes:
1. Para toda i {0 n- 1}, la restriccin = S[ ]es un polinomio cubico:
() ( ) ( ) ( )
4. Se satisface una de las siguientes condiciones de frontera:
() () , (Frontera libre o frontera natural, splines cbicos naturales).
() () ; Donde a y son nmeros dados (frontera sujeta).
Supongamos que tenemos n + 1 puntos[ ],...,[ ], con . En vez de
interpolar f con un solo polinomio que pase por todos estos puntos, interpolamos la funcin f en
cada subintervalo [ ]con un polinomio cbico ()de tal manera que el polinomio cbico
(o trazador cbico) ()en [ ] y el trazador cbico () en [ ] , coincidan en
xi+1 y que tambin sus derivadas primera y segunda coincidan en este punto. Cada trazador
cbico coincide con f en los extremos de cada intervalo.
Las curvas producidas por los polinomios que pasan por los n puntos de datos especificados
[ ] [ ], el comportamiento de la curva entre los puntos de datos puede producir
fuertes oscilaciones cuando se utilizan polinomios de alto grado. Por ejemplo, supongamos que los
puntos de los datos son aproximaciones de una recta. Al forzar un polinomio de alto grado a pasar
por varios puntos la curva que produce se puede desviar significativamente de la recta. Para evitaresto es posible utilizar aproximaciones a fon de obtener un buen ajuste de la curva, a este tipo de
procesos de ajuste se denomina trazadores cbicos.
La aproximacin mediante trazadores cbicos se aplica a n pares ordenados de datos. Se buscan
(n-1) curvas que conectan los puntos 1 y 2, los puntos 2 y 3, 3 y 4, y los puntos n-1 y n. Adems se
requiere que las dos curvas que conectan los puntos (k-1) y k y los puntos k y (k+1), tengan la
misma pendiente en el punto k. Y de esta manera el ajuste de curvas resulte continuo.
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http://metodosnumericos.herobo.com/TEMA1.html
http://esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/cubic_splines.pdf
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