Treball de l’estiu de 2012

Matemàtiques de 3r d’ESO

Dades de l’alumne/a relatives al curs 2011-12:

Curs i grup: ____________

Nom: __________________

Cognoms: __________________________

Professor: ___________________________

Important

Els alumnes que al juny de 2012 han suspès l’assignatura s’han d’examinar a

primers de setembre (el dia que estableixi la direcció del centre) i han de lliurar

aquest treball de manera inajornable el mateix dia de l’examen al professor que

els passi l’examen. Per a aquests alumnes l’examen compta un 80% i el treball

un 20% de la nota de la recuperació.

Treball d’estiu Material de Miguel Ángel García

2

Qüestions generals del treball d’estiu

Els alumnes que al juny de 2012 han suspès l’assignatura han de llegir amb molta atenció

l’avís de la portada anterior, ja que si no lliuren aquest treball el dia de l’examen de

setembre perdran un percentatge significatiu de la nota de la recuperació.

Als altres alumnes, el treball d’estiu els servirà per repassar i consolidar els seus

coneixements. Aquests alumnes el lliuraran la primera setmana de classe al professor que els

correspongui en el nou curs.

En qualsevol cas, la realització o no del treball d’estiu es tindrà en compte en la valoració de

l’actitud del primer trimestre del curs que comença.

Abans de fer el treball us recomanem que estudieu els continguts treballats a l'assignatura (sense

haver estudiat l'assignatura difícilment podreu fer bé el treball).

Els treballs copiats o que no hagin estat realitzats per l'alumne es valoraran amb un 0.

En els exercicis de càlcul o de representació gràfica es pot usar opcionalment la calculadora Wiris

(http://www.wiris.net/demo/wiris/ca/index.html) o el Geogebra (http://www.geogebra.org) només

com a eina de comprovació.

Material original propietat de Miguel Ángel García Victoria disponible a la web

https://sites.google.com/a/xtec.cat/mgarci20, que està sota llicència de Reconeixement-NoComercial-CompartirIgual 3.0 No adaptada de Creative Commons. Les condicions de distribució i modificació estan disponibles a l’enllaç Avís legal de la web de l’autor.

Treball estiu Material elaborat pel prof.: Miguel Ángel García

3

EXERCICIS DE REPÀS DE MATES DE 3r d’ESO

En els exercicis que són de càlcul (per exemple en els d’operar amb fraccions) han d’estar

els passos necessaris per fer-los, però pots comprovar el resultat treballant amb la teva

calculadora o bé, com en el següent exemple, treballant amb la calculadora Wiris.

Comprova que les solucions que tu obtens són les correctes i, si no és així, repassa

l’exercici fins que et surti.

Si algun exercici està marcat amb un “No”, significa que no s’ha de fer.

1.- Calcula el mcm dels nombres següents: 24, 16, 20. [Sol.: 240]

2.- Redueix a comú denominador les fraccions següents: 24

5,

16

3,

20

7. [Sol.:

240

50,

240

45,

240

84]

3.- Ordena de menor a major les fraccions que apareixen a l’exercici 2. [Sol.: 16

3,

24

5 i

20

7]

4.- Troba l’expressió decimal de les fraccions de l’exercici 2 (has de dividir). Digues si el nombre

resultant és decimal exacte, decimal periòdic pur o decimal periòdic mixt.

5.- Opera les fraccions següents i dóna el resultat simplificat. Comprova que el resultat et surt

correcte (et donem la solució):

6.- Troba la fracció corresponent als següents nombres: a) 4,25; b) 7,2. [Sol.: a) 4

17; b)

5

36]

Treball estiu Material elaborat pel prof.: Miguel Ángel García

4

7.- Una piscina té una capacitat de 64.000L. En buidem 2/5 parts. Del que queda, tornem a buidar

un 8%. Després en traiem 328 L. Més tard plou i s’omple amb 640 L més. Quants litres té al

final? [Sol.: 35.640L]

8.- Una empresa d’àrids (que ven grava, terra i productes semblants per fer carreteres,

construccions, etc.) té un munt de terra de massa desconeguda. Del munt de terra n’extreu un

15%. ¨Del que queda n’extreu un 10%. Si al final li queden 9,18 tones, quantes tones hi havia al

principi? [Sol.: 12 t]

9.- Unes sabates estan marcades a un preu de 24€. Si ens fan una rebaixa del 5%, quant en

pagarem? [Sol.: 22,80€]

10.- Un pernil rebaixat un 15% ens ha costat 25,50€. Quant costava abans de fer la rebaixa? [Sol.:

30€]

11.- Una bicicleta costava 125€ en 2007. En 2008 el seu preu va pujar un 8% respecte a l’any

anterior . En 2009 ha baixat un 5% respecte a l’any anterior. a) Quins són els índex de variació

de 2007 a 2008 i de 2008 a 2009? b) Quin és l’índex de variació global de 2007 a 2009? c)

Quant costa la bicicleta en 2009? [Sol.: a) 1,08 i 0,95; b) 1,026; c) 128,25€]

12.- a) Quants diners tindrem si dipositem 15.000€ al banc durant 3 anys a un interès compost anual

del 6%? b) Quins interessos s’han produït? [Sol.: a) 17.865,24€; b) 2.865,24€]

13.- Utilitzant les tecles adients de la calculadora, calcula (deixa el resultat correctament expressat

en notació científica) i comprova que els resultats que obtens són correctes:

14.- Si es pot, calcula les arrels següents sense utilitzar la calculadora:

a) 4 b) 3 1 c) 5 0 d) 3 8 e) 1 f) 81

15.- Observa l’expressió següent i fes el següent: descompon factorialment els radicands; extreu

fora tots els factors que es pugui; opera una mica; agrupa els radicals semblants i suma’ls o

resta’ls, segons convingui:

a) 50·3716·375·223125

b) 8350·576·349·2247253

[Sol.: a) 19218 ; b) 8611231 ]

16.- Considera els polinomis següents: A(x)=2x3-5x

2+4x-3; B(x)=3x

2-5x+2; C(x)=4x

2-3;

D(x)=6x+2. Calcula:

a) A(x)+B(x)=

b) A(x)-C(x)=

c) A(x)·C(x)=

d) B(x)-C(x)=

e) B(x)·C(x)=

f) A(x)+C(x)=

g) D(x)-B(x)=

Treball estiu Material elaborat pel prof.: Miguel Ángel García

5

Solucions: comprova els resultats amb la Wiris seguint l’exemple següent:

17.- Usant els polinomis de l’exercici anterior, calcula el valor numèric dels polinomis en els punts

que s’indica: a) Quant val A(x) en x=3, o sigui, calcula A(3); b) Quant val B(x) en x=-2, o sigui,

calcula B(2); c) Quant val C(x) en x=0, o sigui, calcula C(0); d) Quant val C(x) en x=-3, o sigui,

calcula D(-3).

Solucions: comprova els resultats amb la Wiris seguint l’exemple següent:

18.- Resol les equacions següents. Comprova que els resultats que obtens són correctes (la solució

s’ha trobat usant la calculadora Wiris).

19.- Algunes de les següents equacions de 2n grau tenen solució i altres no. Troba la solució de les

que en tinguin: Comprova que els resultats que obtens són els correctes:

Treball estiu Material elaborat pel prof.: Miguel Ángel García

6

20.- En un rectangle, la base és 4 cm més gran que l’altura. Si l’àrea del rectangle és de 21 cm2,

troba la base i l’altura. [Sol.: 7cm de base i 3 cm d’altura]

21.- Pere té el doble d’anys que l’Anna. Si sumem les seves edats dóna 96. Troba les edats de

cadascun. [Sol.: 64 i 32 anys]

22.- La suma d’un nombre positiu i el doble del seu consecutiu dóna 35. Troba els nombres. [Sol.:

11 i 12]

23.- Si a un producte se li treuen les 2/5 parts del seu valor, el producte només val 15€. Quant val el

producte? [Sol.: 25€]

24.- En un triangle rectangle, un catet fa 2 cm menys que l’altre. La hipotenusa fa 2 cm més que el

catet més gran. Troba la mida dels tres costats del triangle. Utilitza el teorema de Pitàgores. [Sol.:

catets: 8 i 6 cm; hipotenusa: 10 cm.]

25.- a) Representa gràficament cadascuna de les rectes del sistema

3035

224

yx

yx i troba

gràficament la seva solució. [Sol.: x=-3; y=5]

b) En acabar, digues si el sistema és compatible determinat, compatible indeterminat o

incompatible, explicant per què.

c) Resol el sistema pel mètode d’igualació.

d) Resol el sistema pel mètode de substitució.

e) Resol el sistema pel mètode de reducció.

26.- Fes el mateix que en els apartats a) i b) de l’exercici anterior amb les rectes del sistema

següent:

8106

453

yx

yx. [No té solució; les rectes són paral·leles]

27.- Resol els sistemes següents primer per igualació, després per substitució i després per reducció.

Comprova que els resultats són correctes.

a)

2683

3875

yx

yx b)

1954

323

yx

yx c)

538

365

yx

yx d)

147

252

yx

yx

[Sol.: a) x=2; y=-4; b) x=-1; y=-3; c) x=3

1; y=

9

7; d) x=

9

1; y=

9

4];

Treball estiu Material elaborat pel prof.: Miguel Ángel García

7

28.- Arregla i resol el següent sistema pel mètode que vulguis. En acabar comprova que has

obtingut la solució correcta:

29.- Barregem un oli A (que costa 1,50€/L) amb un oli B (que costa 1,10€/L) per fabricar un total

de 300L d’oli barrejat, que ha sortit a 1,26€/L. Troba quina quantitat de cada oli s’ha utilitzat.

[Sol.: 120L de l’A i 180L del B]

30.- Si barregem 30 kg de farina A amb 70 kg de farina B el preu de la barreja és de 0,66€/kg, però

si barregéssim 20 kg de farina A amb 80 kg de farina B el preu de la barreja sortiria a 0,64€/kg.

Troba el preu d’un kg de farina A i el preu d’un kg de farina B. [Sol.: 0,80€/kg la farina A i

0,60€/kg la farina B]

31.- Avui, l’edat del meu avi i la de la meva mare sumen 115 anys. Fa 20 anys, l’edat del meu avi

era el doble que la que tenia la meva mare. Troba les seves edats actuals. [Sol.: 70 anys l’avi i 45

anys la mare.]

32.- La suma de les xifres d’un nombre és 11. Si invertim les xifres el nombre que resulta és 45

unitats major que el que teníem al principi. Troba el nombre del principi. [Sol.: 38.]

33.- Observa el dibuix següent:

Un cotxe surt de A cap a C a una velocitat de 100 km/h. En el mateix instant, una moto surt de B

cap a C a una velocitat de 95 km/h. Entre A i B hi ha 15 km de separació. Els dos vehicles es

troben en C. Determina quina distància hi ha entre B i C i quant de temps trigaran a trobar-se.

[Sol: 285 km i 3 hores.]

34.- Dibuixa:

a) Una corba que sigui funció.

b) Una corba que no sigui funció. Explica per què no és funció.

c) Una funció en què la variable sigui contínua i la funció també.

d) Una funció en què la variable sigui contínua però la funció sigui discontínua en algun punt.

e) Una funció en què la variable sigui discreta.

35.- Digues quina de les funcions següents és una funció afí, quina una exponencial i quina una

hipèrbola i fes una representació gràfica a partir d’una taula de valors amb els valors d’x que

creguis convenients:

a) y=2x

b) y=2x-3

c) y=4/x

36.- Dibuixa una funció periòdica de període 5, que tingui un màxim local en x=2. Recorda’t de

pintar els eixos x i y i posar-hi números.

37.- El sou mensual d’un venedor d’assegurances té una part fixa de 400 € més una comissió de 50€

per cada assegurança feta.

a) Troba quant cobrarà un mes que no faci cap assegurança.

b) Troba quant cobrarà un mes que faci 5 assegurances.

c) Troba quant cobrarà un mes que faci 10 assegurances.

Treball estiu Material elaborat pel prof.: Miguel Ángel García

8

d) Escriu l’expressió analítica (fórmula) de la funció y que ens dóna el sou mensual del

venedor en funció del nombre d’assegurances fetes (x).

e) Fes una taula de valors amb x entre 0 i 10 (ambdós inclosos) i representa la funció.

38.- Dibuixa una funció que tingui un domini de definició que vagi de –3 a 7, i que tingui un màxim

en el punt (0,5) i que sigui creixent des de x=-3 fins a x=0 i decreixent des de x=0 fins a x=7.

39.- Dues empreses A i B de reparació d’electrodomèstics fan diàriament una ruta en furgoneta per

fer les reparacions corresponents. En la gràfica següent apareix representada la distància d que hi

ha en cada moment entre el lloc on està cada furgoneta i el taller de cada empresa. Observa les

gràfiques i respon:

a) A quina hora surt a treballar la furgoneta de l’empresa A?

b) A quina hora ha tornat al taller?

c) A quina hora surt a treballar la furgoneta de l’empresa B?

d) A quina hora ha tornat al taller?

e) A quina hora i a quina distància del taller fa la primera reparació la furgoneta de l’empresa

A?

f) Quant dura la reparació?

g) A quina hora i a quina distància del taller fa la primera reparació la furgoneta de l’empresa B?

h) Quant dura la reparació?

i) Quina és la màxima distància que s’allunya la furgoneta de l’empresa A del seu taller?

j) I la B?

k) Aproximadament, a quina hora les dues furgonetes estan a la mateixa distància del seu taller?

40.- Observa la recta següent:

Treball estiu Material elaborat pel prof.: Miguel Ángel García

9

a) Digues un punt concret de la recta.

b) Digues un altre punt concret de la recta.

c) Troba el pendent de la recta (digues quant val).

d) Escriu l’equació de la recta en la forma punt-pendent.

e) Passa-la a forma explícita (és a dir, opera, aïlla la y i deixa el resultat el més arreglat

possible).

41.- a) Escriu l’equació de la recta que passa per (-4,7) i té pendent 3

2. [Observació: el més fàcil i

ràpid és fer-ho en la forma punt-pendent.] b) A partir de la informació anterior (sense fer una

taula de valors), dibuixa la recta.

42.- a) Escriu l’equació d’una recta vertical que passa pel punt (-2,7).

b) Escriu l’equació d’una recta horitzontal que passa pel punt (3,5).

c) Quant val el pendent de la recta de l’apartat b)?

43.- Escriu l’equació de la recta que passa pels punts P=(-2,5) i Q=(3,6).

44.- a) Escriu la fórmula d’una funció lineal (funció de proporcionalitat directa) que sigui

decreixent, la que tu vulguis.

b) Digues quant val el seu pendent i quant val la seva ordenada en l’origen.

c) Després representa-la gràficament a partir d’una taula de valors.

45.- a) Troba l’equació d’una recta que sigui paral·lela a la recta 64

3

xy , i que passi pel punt

(2,5). [Observació: el més fàcil i ràpid és fer-ho en la forma punt-pendent.]

b) Passa la recta que has trobat abans a forma general.

46.- La companyia de taxis “A” cobra, només per pujar al taxi, 3,50 €, i a partir d’aquell moment,

0,03€ per cada segon que dura el viatge.

La companyia de taxis “B” cobra, només per pujar al taxi 2,75€, i a partir d’aquell moment,

0,04€ per cada segon que dura el viatge.

a) Troba quina fórmula ens dóna el cost del viatge (y) en funció de la seva durada en segons

(x) per als taxis de la companyia “A” i després per als de la companyia “B”.

Treball estiu Material elaborat pel prof.: Miguel Ángel García

10

b) Troba a partir de quina durada del viatge resulta més barat fer un viatge en els taxis de la

companyia “A”. Quants diners costa en aquell moment el viatge? [Fes-ho resolent el

sistema!]

c) Fes un gràfic que il·lustri el que costa un viatge en taxi (y) per a cadascuna de les

companyies en funció de la durada que té el viatge (x). [Les dues línies han d’estar al

mateix gràfic perquè es puguin comparar.]

No 47.- El triangle de costats 40 cm, 30 cm i 25 cm no és triangle rectangle. Troba la seva àrea.

[Suggeriment: descompon el triangle en dos triangles rectangles...] [Sol.: 374,5 cm2]

No 48.- Determina l’àrea de les figures següents (et recomanem que en facis el dibuix):

a) Un rombe que té una diagonal major de 22 cm i una diagonal menor de 16 cm.

b) Un pentàgon regular que té 11,63 cm de costat i 9,89 cm de radi.

c) Un cercle de 14 cm de diàmetre.

d) Una corona circular que té com a radi exterior un de 15 cm i com a radi interior un de 10 cm.

e) Un sector circular de 80º i un radi de 10 cm.

[Sol.: a) 176 cm2; b) 232,6 cm

2; c) 153,94 cm

2; d) 392,70 cm

2; e) 69,81 cm

2]

No 49.- Un plànol d’una casa està fet a escala 1:75. Sabem que la llargària real de la cuina és de 3

m, mentre que la seva amplada real és de 2,8 m.

a) Troba quant mesurarà la llargària de la cuina al plànol. Posa el resultat en cm.

b) Troba quant mesurarà l’amplada de la cuina al plànol. Posa el resultat en cm.

c) Si al plànol la longitud del menjador és de 7,7 cm, quants metres fa a la realitat?

d) Quina és la raó de semblança?

e) Tenint en compte això, si al plànol la superfície d’una habitació és de 10,5 cm2, quants m

2

farà a la realitat?

[Sol.: a) 4 cm; b) 3,7 cm; c) 5,775 m; d) Si comparem del plànol a la realitat, 75

1; si

comparem de la realitat al plànol, 75.; d) 5,91 m2]

No 50.- Utilitzant semblança de triangles, troba x a partir de les dades del dibuix. Tingues en

compte que AB i '' BA són paral·lels. [Et recomanem que posis les dades al dibuix.] [Sol.: 2,84

cm]

No 51.- En el triangle rectangle següent, troba les incògnites x, y i z. Després calcula l’àrea.

[Suggeriment: comença calculant la base. Aplica diversos teoremes que es puguin aplicar als

triangles rectangles.] [Sol.: x 7,25 cm; y2,71 cm; z4,43 cm; àrea=22,1 cm2]

Treball estiu Material elaborat pel prof.: Miguel Ángel García

11

No 52.- Dibuixa un triangle (el que vulguis) al teu full quadriculat. Utilitzant estris de dibuix,

aplica-li una translació de vector v =(8,-3).

No La teoria dels següents exercicis, la trobareu al llibre.

No 53.- Escriu el nom dels únics 5 políedres regulars que existeix.

No 54.- Tenim un prisma pentagonal regular amb aresta lateral igual a 75 m, aresta de la base igual

a 40 m i apotema de la base igual a 28 m. Comença fent un dibuix aproximat de la figura i posa-

hi les dades.

a) Fes el desenvolupament pla del prisma.

b) Calcula l’àrea d’una de les bases. [Sol.: 2.800 m2]

c) Calcula l’àrea lateral i l’àrea total. [Sol.: àrea lateral: 15.000 m2; àrea total: 20.600 m

2]

d) Calcula el volum del prisma. [Sol.: 210.000 m3]

No 55.- Una piràmide de base hexagonal regular té una altura de 15 cm. L’hexàgon de la base té un

costat que fa 3 cm.

a) Troba l’àrea de la base. [Sol.: 23,38 cm2]

b) Troba el volum de la piràmide. [Sol.: 116,9 cm3]

No 56.- Un con té una altura de 30 cm i una generatriu de 37 cm.

a) Troba el radi de la base del con. [Sol.: 21,66 cm]

b) Troba el volum del con. [Sol.: 14739,0 cm3]

No 57.- Un cilindre té una base que té 19 cm de radi. La seva altura és de 40 cm. Dibuixa’l de

manera aproximada i fes-ne el desenvolupament pla.

a) Troba l’àrea lateral del cilindre. [Sol.: 4775,22 cm2]

b) Troba l’àrea d’una de les dues bases. [Sol.: 1134,11 cm2]

c) Troba l’àrea total. [Sol.: 7043,45 cm2]

d) Troba el volum del cilindre. [Sol.: 45364,4 cm3]

No 58.- En l’ortoedre següent, calcula la diagonal d= 'AC amb les dades següents: AB = 16 cm;

BC = 30 cm; 'CC = 5 cm. [Suggeriment: primer troba AC . Després troba 'AC ] [Sol.: 34,37

m]

No 59.- Observa la piràmide de base quadrada de la dreta.

Les dades de què es disposa són: AB = BC = 20 m; EB = EC = 50 m.

Treball estiu Material elaborat pel prof.: Miguel Ángel García

12

a) Troba PB . [Tingues en compte que PB és la meitat de DB , i que DB és molt fàcil de

trobar, ja que és la diagonal del quadrat de la base.]

b) Dibuixa el triangle rectangle EPB. Anota-hi les longituds que ja coneixes. Troba PE .

c) Calcula el volum de la piràmide. [Tingues en compte que l’altura de la piràmide és PE , i

que ja l’has calculat en l’apartat anterior.]

[Sol.: a) 14,142 m; b) 47,958 m; c) 6394,4 m3]

No 60.- Considera una esfera de radi 15 cm. Troba la seva àrea i el seu volum. [Sol.: àrea: 2827,43

cm2; volum: 14137,17 cm

3]