I.E. “Chuco”

TRIGONOMETRÍA

5 AÑO

I, II Y III TRIMESTRES

PROFESORRICHARD SALDAÑA PEREZ

2008

Prof. Richard Saldaña Perez1

I.E. “Chuco”

INDICE

SÍNTESIS HISTÓRICA DE LA TRIGONOMETRÍA..................................................................3

SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR...........................................................................................5

SECTOR CIRCULAR..............................................................................................................11

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS.................................................17

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.............................................................34

ÁNGULOS VERTICALES.......................................................................................................43

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD.................47

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE..............................................................................62

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA..............................................................................69

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS...................................................................................85

SUMA Y RESTA DE DOS ANGULOS....................................................................................97

RECTA..................................................................................................................................106

CIRCUNFERENCIA..............................................................................................................114

BIBLIOGRAFÍA.....................................................................................................................118

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TEMA: SÍNTESIS HISTÓRICA DE LA TRIGONOMETRÍA

A diferencia de la Aritmética, el álgebra y la Geometría, que como se sabe alcanzaron gran desarrollo desde la época de los babilonios, los egipcios y los griegos.

La Trigonometría solo logra su madurez en los últimos siglos de nuestra era, y esto es muy explicable, pues para desenvolverse plenamente necesita de una geometría ya razonada, y sobre todo un álgebra sistematizada, para darle toda la flexibilidad y desarrollo.

ORIGENDesde el punto de vista etimológico la trigonometría trató de la “Resolución de Triángulos”, lo

cual quiere decir que dados ciertos elementos convenientes de un triángulo se deben hallar sus elementos restantes.

En realidad nadie pudo sospechar antiguamente que de tan modesto origen pudiese surgir en el devenir del tiempo una ciencia de tanta importancia como la trigonometría (y que hoy en día es una herramienta fundamental del análisis matemático) que en un comienzo fue solo un simple capítulo de la Astronomía.

Pero gracias a su aplicación a las distintas ramas de la matemática y de la física, y sobre todo al empleo invalorable que de ella hacen la Astronomía y la Geodesia, es que su progreso fue rápido y que pudo llegar tan lejos.

UBICACIÓN HISTÓRICA DE SU ORIGENLa época que al nacimiento de la trigonometría se quiera atribuir depende en realidad de la

aceptación que a dicho término se le dé, vale decir, de la amplitud que a su significado se le quiere encontrar.

Así, tomada en su estricto significado etimológico de “medida de los triángulos”, la encontramos ya en las lejanas épocas de los babilonios, los egipcios y los hindúes, allá por los tres y dos mil años antes de nuestra era.

Si la consideramos a la trigonometría como ese capítulo de la Astronomía, donde ciertas funciones del ángulo eran ya conocidas y empleadas, la encontramos a partir de los trabajos de Hiparco allá por el año 140 a.C.

Pero la trigonometría como disciplina autónoma y sistemática, como esa ciencia analítica que es ahora, solo surgió y se desarrolló en el siglo XVII, después que el gran matemático Vieta perfeccionara admirablemente el simbolismo algebraico, sin el cual jamás hubiera podido consolidar esta ciencia.

Históricamente fueron los geómetras y astrónomos griegos quienes, entre los años 180 y 125 a.J.C. encontraron los principales fundamentos de la trigonometría plana y esférica, deducidos de la geometría y los aplicaron a los problemas astronómicos.

Según Theon, de Alejandría, entre los citados astrónomos griegos, es a Hiparco, especialmente, a quien se le puede considerar como el verdadero creador de la trigonometría (Padre de la Trigonometría), pues sobre los fundamentos debidos a éste, Ptolomeo publicó en el primer libro de su almagesto, una tabla de valores de las razones trigonométricas, para ser usados en los cálculos astronómicos.

Para resolver los triángulos rectángulos, los griegos procedían así: calculaban los lados aplicando el Teorema de Pitágoras, y los ángulos mediante un Teorema de Ptolomeo; la resolución de triángulos cualesquiera la hacían descomponiendo en triángulos rectángulos (trazando altura).

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Es a Regiomontano (1436 – 1476), al que se debe el renacimiento de la trigonometría, pues fue él quien, valiéndose de traducciones del griego, escribió un notable tratado de trigonometría rectilínea y esférica, que puede considerarse como el primer tratado de trigonometría europea.

Copérnico (1473 – 1543), fue el primero que demostró en forma sencilla las fórmulas trigonométricas de la trigonometría esférica.

Viete (1540 – 1603), no era matemático de profesión, sino jurisconsulto que se ocupaba como abogado de asuntos de estado, pero su amor por la ciencia matemática fue tan grande que dedicaba la mayor parte del tiempo necesario para su descanso al estudio y a la investigación matemática. De posición económica desahogado, su espíritu noble y generoso lo llevó a proteger económicamente aun a sus contrarios científicos.

Como contribución a la trigonometría, en 1579 estableció las fórmulas que determinan las funciones trigonométricas de múltiplos de un ángulo, cuando se conocen las funciones trigonométricas del mismo, y por primera vez en occidente expone los métodos que permiten resolver triángulos planos o esféricas aplicando las 6 funciones trigonométricas, pues Regiomontano solo utilizaba el seno.

Neper (1550 – 1617), con la creación de los logaritmos, abrevió notablemente los cálculos trigonométricos, aunque en realidad su nombre en la historia de la trigonometría se destaca por las analogías que llevan su nombre, así como por la conocida regla del pentágono de Neper, de tanta aplicación en la Resolución de Triángulos Esféricos.

Es sólo en el siglo XVII que la trigonometría comienza a formar su carácter analítico, y es Euler (1707 – 1783) el primero que en realidad hace progresar dicha ama de la matemática en este nuevo aspecto analítico, hasta darle forma que conserva actualmente.

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TEMA: SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR

1. ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOSEn trigonometría se consideran ángulos de cualquier valor, por lo que se hace necesario aplicar el concepto de ángulo, supongamos un rayo AB, con origen en A en la figura siguiente:

Si AB empieza a girar; en el sentido de la flecha curva, hasta la posición AC habremos generado un ángulo trigonométrico tal como se muestra.

En trigonometría, describiremos como se consideran los ángulos de cualquier valor, por lo que se hace aplicar el siguiente concepto.

2. ÁNGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOSLos ángulos generados en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj se consideran en trigonometría positivos y si generamos ángulos en el mismo sentido del movimiento de las agujas del reloj se consideran negativos.

Angulo Positivo Angulo Negativo

Ejm.: Graficar 120º Ejm.: Graficar –230º

3. SISTEMA DE MEDIDAUn ángulo puede ser medido en diferentes sistemas, los más conocidos son sexagesimal, centesimal y radial.

Así:

S. Sexagesimal S. Centesimal

S. Radial

Ejm.:

45º 50g

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OBSERVACIONES:Tener en cuenta un ángulo medido en sistema diferentes son equivalentes () y no iguales (=)Así:

45º En grados Sexagesimales 50g En grados Centesimales

En radianes

a. Sistema Sexagesimal

Unidad: grado Sexagesimal (º)

1 Vuelta 360º

Además:

1º 60’ (1 grado Sexagesimal equivale a 60 minutos sexagesimales)

1º 60” (1 minuto Sexagesimal equivale a 60 segundos sexagesimales)

1º 3600” (1 grado Sexagesimal equivale a 3600 segundos sexagesimales)

b. Sistema de Centesimal

Unidad: grado Centesimal (g)

1 Vuelta 400g

Además:

1g 100m (1 grado Centesimal equivale a 100 minutos centesimales)

1m 100s (1 minuto Centesimal equivale a 100 segundos centesimales)

1g 10000s (1 grado Sexagesimal equivale a 10000 segundos centesimales)

c. Sistema Radial

Unidad: 1 radián (1 rad)

A0B: Sector circular

Condición

L = = .

Además:

1 vuelta 2rad

vuelta rad

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vuelta

Relación Importante: Si el ángulo es una vuelta completa se cumple:

3620º 400‘ 2rad

Simplificando:

...180º 200g rad .

Además si a 180º 200g le simplificamos:

...9º 10g .

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PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Convertir:

50g a grado sexagesimal

36º a grado centesimal

a grado sexagesimal

2. Hallar el valor de “P”

Rpta.

3. Hallar el valor de “M”

Rpta.

4. Hallar el valor de “x”

Rpta.

5. 20g a radianes

80º a radianes

a centesimales

Rpta.

6. Hallar el valor de “”

Rpta.

7. Hallar “R”

Rpta.

8. Hallar “x”

Rpta.

9. Hallar “Q”

Rpta.

10. En un , sus lados están en P.A. de razón 20º.Hallar el mayor ángulo

Rpta.

11. Si 27,55º aºb’.Hallar a + b

Rpta.

12. Si 31,12g agbm.Hallar a + b

Rpta.

13. Hallar x, siendo º g, º 2x + 15 g = 70

Rpta.

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14. Hallar x, siendo º 2g, siendo: º x + 15 g = 80

Rpta.

15. Hallar “”

Rpta.

16. Señale el menor ángulo

Rpta.

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PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Convertir 80g a radianes

A) B) C)

D) E)

2. Hallar “P”

A) 1 B) 3 C) 4D) 2 E) 5

3. Hallar “M”

A) 50º B) 20º C) 55ºD) 5º E) 60º

4. Hallar “x”

A) 84º B) 42º C) 20ºD) 80º E) 100º

5. Hallar “”

A) 20º B) 12º C) 40ºD) 60º E) 120º

6. En un los ángulos están en P.A. de razón 30º.Hallar el mayor ángulo

A) 30º B) 60º C) 90ºD) 80º E) 100º

7. Si 47,25º aºb';Hallar a + b

A) 62 B) 15 C) 47D) 25 E) 72

8. Si º x + 30º g = 60Hallar “x”; Además º g

A) 84 B) 24 C) 30D) 50 E) 90

9. Hallar :

Si 5

A) 8g B) 40g C) 12g

D) 8º E) 12º

10. Señale el mayor ángulo

A + B = 60º

A – B =

A) 80º B) 60º C) 40ºD) 20º E) 10º

CLAVES

1. E

2. C

3. A

4. B

5. E

6. C

7. A

8. B

9. A

10. C

20

TEMA: SECTOR CIRCULAR

Es aquella porción de círculo limitado por dos radios y un arco de circunferencia.

De la figura se obtiene:

A0B Sector Circular

LONGITUD DE ARCO (l)Es aquella en unidades de longitud de un arco de circunferencia, se calcula mediante el

producto del número de radianes del ángulo central y el radio de la circunferencia.

Deducción.– Sea la circunferencia con centro en “0” y radio “r” comparando la longitud de arco y el ángulo central como se muestra en la figura siguiente:

Teniendo en cuenta el significado geométrico de 1rad. se tiene:

Longitud de Arco Ángulo Centrall rad.r 1 rad.

De donde se obtiene . l = . r .

Donde:l : longitud de arco : número de radianes del ángulo centralr : radio de la circunferencia

Ejemplo:

Del gráfico mostrado, calcular la longitud de arco (l), siendo 0: centro.Solución:l = . r = 30º

Convirtiendo =30ºen rad

l = . 18

l = 3 cm

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR (S)El área de un Sector Circular se calcula mediante el producto del número de radianes del

ángulo con el radio de la circunferencia elevado al cuadrado dividido entre dos.

Deducción.–

Comparando (por regla de tres simple)

Área de un Sector Circular

Ángulo Central

r2 2 rad.S rad.

Resolviendo se obtiene: también:

Ejemplo:Del gráfico mostrado, calcular el área del sector A0B. 0: centro.Solución:

= 60º . rad

S = 6 cm2

NUMERO DE VUELTAS (nv)El número de vueltas que da una rueda de radio “r” al desplazarse (sin resbalar) se calcula

mediante el cociente de la longitud que describe el centro de la rueda dividido entre 2r. (perímetro de la rueda).

En esta figura el número de vueltas que da la rueda de radio (r) al desplazarse desde “A” hasta “B” se calcula:

(lc : longitud descrita por el centro de la rueda).(perímetro de la rueda).

Ejemplo:¿Cuántas vueltas da la rueda de 4cm de diámetro?

Solución:r = 2cmlC = 80 . 100cm nV =

nV = 2000 vueltas

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Hallar “L” siendo A0B un Sector

Circular

Rpta.

2. Hallar “l” siendo A0B un Sector

Circular (considerar = 22/7)

Rpta.

3. Dada la circunferencia de 24 m de radio. Encontrar la longitud del arco subtendido por un ángulo central de 2/3 radianes

Rpta.

4. Hallar “R” siendo A0B un Sector Circular

Rpta.

5. Encontrar el radio de una circunferencia tal que un arco de 15 m de longitud, subtiende un ángulo central de 3 rad.

Rpta.

6. Hallar el Área del Sector Circular A0B

Rpta.

7. Hallar el Área del Sector Circular A0B

Rpta.

8. Hallar “S” si A0B es un Sector Circular

Rpta.

9. Calcular la longitud de un arco en una circunferencia cuyo radio mide 20 cm y el ángulo central que subtiende mide 90g.

Rpta.

10. Si A0B y C0D son Sectores

Circulares.

Hallar: L1 + L2 + L3

Rpta.

11. En la figura mostrada calcular el valor del radio del sector A0B, sabiendo que: L = 2cm

Rpta.

12. Hallar “L” sabiendo que A0D es un Sector Circular:

Rpta.13. Siendo “0” centro de la circunferencia.

Hallar “S1 + S2”

Rpta.

14. En el esquema mostrado COD es un Sector Circular. Determine el área de la región sombreada.

Rpta.

15. De la figura mostrada, hallar “X”, si

= rad.

A0B es un Sector Circular

Rpta.

16. Del gráfico. Hallar el área sombreada. Si AC = 4, EDA y C0B son Sectores Circulares

Rpta.

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Determine el valor del radio del Sector Circular A0B

A) 2m B) 4m C) 5mD) 7m E) 6m

2. Hallar “L”, siendo A0B un Sector Circular

A) 21 B) 22 C) 20D) 31 E) 41

3. Hallar el área del Sector Circular A0B

A) 15m2 B) 12m2 C) 30m2

D) 20m2 E) 10m2

4. Determine el valor de “L1 + L2 + L3”, si A0B y C0D son Sectores Circulares

A) B) 5 C) 10D) 14 E) 16

5. De la figura mostrada, calcular el valor del radio el Sector Circular A0B, sabiendo que L = 8 cm.

A) 30cm B) 35cm C) 40cmD) 48cm E) 52cm

6. Hallar “L”, sabiendo que A0D es un Sector Circular

A) 4 B) 7 C) 10D) 5 E) 3

7. Siendo “0 centro de la circunferencia

hallar “S1 + S2”

A) B) C)

D) E)

8. Determine el área de la región

sombreada, siendo A0B Sector Circular

A) 2,52B) 3,22C) 2,552

D) 2,252E) 1,52

9. En el Sector Circular A0B.

Hallar “2x” si: = rad.

A) 39l B) 7l C) 27lD) 19l E) 32l

10. Siendo A0B un Sector Circular,

determine el valor de “S”

A) 22 B) 62 C) 42

D) 72 E) 52

CLAVES

1. C

2. B

3. A

4. E

5. D

6. C

7. A

8. D

9. A

10. B

TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEÁNGULOS AGUDOS

TRIÁNGULO RECTÁNGULOSe llama triángulo rectángulo al triángulo donde uno de sus ángulos es recto (90º), además

recuerde que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes catetos.

En la figura mostrada:

c : hipotenusa

a b : catetos

: son ángulos agudos

Además en el triángulo rectángulo se cumple:

Los ángulos agudos suman 90º

. + = 90º .

Teorema de Pitágoras

. a2 + b2 = c2 .

La hipotenusa siempre es mayor que los catetos

. c > a b .

RAZÓN TRIGONOMÉTRICA

La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto del ángulo agudo.

Si el triángulo anterior nos referimos a las longitudes de los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (c) cateto opuesto (b) cateto adyacente (a). Podemos definir las razones trigonométricas de del modo siguiente:

Ejemplo:Calcule los valores de las seis razones trigonométricas del menor ángulo agudo en un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 y 15 unidades.

Resolución

Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:(8)2 + (15)2 = x2

289 = x2

x = 17

Luego

Razones Trigonométricas de los Ángulos Agudos: 30º, 60º, 45º, 37º Y 53ºLas razones trigonométricas de estos ángulos se obtienen a partir de los siguientes triángulos rectángulos.

De los triángulos anteriores se obtiene:

ÁnguloR.T.

30º 37º 45º 53º 60º

sen

cos

tg 1

ctg 1

sec 2

csc 2

OBSERVACIÓN:LOS VALORES DE LAS SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEPENDEN ÚNICAMENTE DE LA MEDIDA DEL ÁNGULO Y NO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

Lo anterior lo podemos describir a continuación, en la siguiente figura.

Del Triángulo Rectángulo ACB tenemos que:

Por otra pare, del triángulo rectángulo AC’B’ tenemos que:

Luego:

Así encontramos el mismo valor para sen sin importar cual sea el triángulo rectángulo que utilicemos para calcularlo, una idea similar podría servir para las otras razones trigonométricas.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCASSiendo un ángulo agudo se cumple:

Ejemplo:

Si

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su sima es un ángulo recto.

En la figura se muestra: y : Son ángulos complementarios ( + = 90º)

Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como y al ángulo opuesto al cateto a como en consecuencia:

;

;

;

Debido a estas relaciones las razones: Seno y coseno Tangente y cotangente Secante y cosecante

Se llaman co–razones trigonométricas una de la otraEjemplos:

sen40º = cos50º sec20º = csc70º

tg80º = ctg10º ctg3º = tg87º

cos62º = sen28º csc24º = sec66º

Ejercicio:

si: sen(40º + ) = cos(10º + ); 12º < < 24º, halle

Resolución

Por lo anterior se tiene:

(40º + ) + (10º + ) = 90º

2 = 40º

= 20º

OBSERVACIÓN:RECORDEMOS QUE EN LOS VÉRTICES DE LOS TRIÁNGULOS SIEMPRE SE COLOCAN LETRAS MAYÚSCULAS Y A LOS LADOS QUE SE OPONEN SE COLOCAN SUS RESPECTIVAS LETRAS MINÚSCULAS POR DECIR: SI EN UNO DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO COLOCAMOS LA LETRA “A”, EN SU LADO OPUESTO COLOCAREMOS SU MINÚSCULA “A”.

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Hallar las 6 Razones Trigonométricas

del ángulo “A” de un triángulo rectángulo

ABC, recto en “B”. Sabiendo que: a = 6; c

= 8

Rpta.

2. Hallar las 6 Razones Trigonométricas

del ángulo “C” de un triángulo rectángulo

ABC, recto en “B”. Sabiendo que: a = 5; c

= 13

Rpta.

3. Si se cumple que: tg(2x + 5) . ctg 21 = 1.Hallar el valor de “x”

Rpta.

4. Si sen(15x – 31) . csc(3x – 25º) = 1.

Hallar el valor de “x”

Rpta.

5. Si cos

.

Hallar el valor de Sen (a + 14º)

Rpta.

6. Siendo: ctg( + 10º) = tg( + 40º).

Hallar “”

Rpta.

7. Si sen(2 + 10) = cos ( + 50º).

Hallar tg(3)

Rpta.

8. Si sec( + 40) = csc( + 20º).

Hallar sen(35º + )

Rpta.

9. Si sen = . Hallar ctg

Rpta.

10. Dado:

Hallar: 4cos

Rpta.

11. Si sen = 0,333... Hallar “M”, M = sec + tg

Rpta.

12. En la figura, calcular tg

Rpta.

13. Calcular “E”. Sabiendo que:

E = sen230 + tg260 + tg445º

Rpta.

14. Hallar “x”, siendo:

ctg4x60º = sec445º . tg37º

Rpta.

15. Calcular “x”.

Si: sen(2x–70º) = . (“x” es agudo)

Rpta.

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Siendo el triángulo rectángulo ABC recto en “B”, además: a = 1; c = 4.Hallar “ ”

A) 1 B) 3 C) 4D) 5 E) 7

2. Si 4sen = 3. Hallar “csc”

A) 1/4 B) 4/3 C) 1/2D) 2/3 E) 3/5

3. Si tg(xº + 20º) x ctg50º = 1.Hallar “x”

A) 30 B) 40 C) 50D) 25 E) 37

4. Si cos42º = .

Hallar ctg2(x + 3)

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

5. Si: sec(x + 10º) = csc40º.Hallar tg(5º + x)

A) 5 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

6. Si sen= .

Hallar . ctg

A) 1 B) 2 C) 3D) 6 E) 12

7. Si sen = .

Calcular: E = sec + tg

A) 9 B) 10 C) 11D) 12 E) 13

8. Calcular:E = sen245º . tg45º . tg 37º

A) 1 B) 4/3 C) 3/4D) 5/2 E) 3/8

9. Hallar “x”.

Siendo:

A) –1 B) –2 C) 1D) 2 E) 3

10. Calcular “x” (agudo)

Si cos(2x – 50) =

A) 30º B) 60º C) 40ºD) 70º E) 28º

CLAVES

1. C

2. B

3. A

4. C

5. B

6. E

7. C

8. E

9. B

10. C

PROFUNDIZANDO CONOCIMIENTOS

ESTUDIO DEL TRIÁNGULO PITAGÓRICO

Todo triángulo pitagórico tiene sus lados expresados por números enteros positivos. Dichos lados tiene la siguiente forma:

Siendo: “m” y “n” números enteros positivos.

Además . m > n .

OBSERVACIÓN:SI ELEGIMOS VALORES DE “M” Y “N” (NÚMEROS PRIMOS ENTEROS ENTRE SÍ) TAL QUE (M + N) RESULTE UN NÚMERO IMPAR, SE OBTIENEN TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS CUYAS MEDIDAS DE SUS LADOS TAMBIÉN SON NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ.

EJEMPLO: CUANDO: M = 5 Y N = 2 EJEMPLO: CUANDO: M = 8 Y N = 3

OBSERVACIÓN:CUANDO LOS VALORES DE “M” Y “N” (NO SON PRIMOS ENTRE SÍ) O CUYA SUMA DE M Y N SEA UN NÚMERO PAR SE OBTIENE TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS CUYAS MEDIDAS DE SUS LADOS ESTÁ EXPRESADA POR NÚMEROS QUE TIENEN UN DIVISOR COMÚN.

EJEMPLO: CUANDO: M = 4 Y N = 2

EJEMPLO: CUANDO: M = 7 Y N = 3

CASO PARTICULAR:CUANDO SE TIENE DOS NÚMEROS ENTEROS (M Y N), PERO CONSECUTIVOS, ENTONCES SE CUMPLIRÁ:

Y ; SIENDO: K = # IMPAR.

Luego:

EJEMPLO: CUANDO: K = 5 EJEMPLO: CUANDO: K = 11

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES O NOTABLES

Razones Trigonométricas del Ángulo de 45º

Sean los catetos del triángulo rectángulo ABC:. AB = BC = L .

Por el teorema de Pitágoras:AC2 = AB2 + BC2

AC2 = L2 + L2 = 2 L2

AC = =

. AC = L .

Luego, calculamos las razones trigonométricas del ángulo de 45º

sen 45º = csc 45º =

cos 45º = sec 45º =

tg 45º = ctg 45º =

Razones Trigonométricas del Ángulo de 30º y 60ºPara hallar las razones trigonométricas de 30º y 60º, construimos un triángulo equilátero, veamos:

En el triángulo rectángulo BHC; calculamos BH, por el teorema de Pitágoras

BC2 = BH2 + HC2

L2 = BH2 +

L2 = BH2 + L2 – = BH2 = BH2

= BH . .

Luego calculamos las razones trigonométricas de 30º y 60º en el BHC.

Razones Trigonométricas del Ángulo de 37º y 53º

sen 37º = . . sen 53º =

cos 37º = . . cos 53º =

tg 37º = . . tg 53º =

ctg 37º = . . ctg 53º =

sec 37º = . . sec 53º =

csc 37º = . . csc 53º =

Razones Trigonométricas del Ángulo de 16º y 74º

sen 16º = . . sen 74º =

cos 16º = . . cos 74º =

tg 16º = . . tg 74º =

ctg 16º = . . ctg 74º =

sec 16º = . . sec 74º =

csc 16º = . . csc 74º =

Razones Trigonométricas de 15 y 75º

Para hallar las razones trigonométricas de los

ángulos de 15º y 75º tomamos como referencia

el triángulo rectángulo notable de 30º y 60º,

luego prolongamos (como se muestra en la

figura), hasta obtener un isósceles EBC, siendo:

EB = BC = 2.

En el triángulo rectángulo EAC: Calculamos el valor de “x” por medio del teorema de Pitágoras:

. EC2 = EA2 + AC2 .

Aplicamos radicales dobles

. .

Luego, calculamos las razones trigonométricas de 15º y 75º

Razones Trigonométricas de 22º30’ y 67º30’

Para hallar las razones trigonométricas de los ángulos

de 22º30’ y 67º 30’ tomamos como referencia el

triángulo rectángulo notable de 45º, luego procedemos

de igual manera que el caso anterior.

En el triángulo rectángulo EBA: Calculamos el valor de

“x” por medio del teorema de Pitágoras

EA2 = EB2 + BA2

x2 = + (1)2

x2 = 2+2 + 1 + 1 = 4 + 2 = 2

Luego, calculamos las razones trigonométricas

sen 22º30’ = = . . sen 67º30’=

cos 22º30’ = = . . cos 67º30’=

tg 22º30’ = = . . tg 67º30’=

ctg 22º30’ = = . . ctg 67º30’=

sec 22º30’ = = . . sec 67º30’=

csc 22º30’ = . . csc 67º30’=

OBSERVACIÓN:HACIENDO USO DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS, TAMBIÉN PODEMOS CALCULAR LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UNO DE SUS DOS ÁNGULOS AGUDOS, VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS:

Ejemplos:

1. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “C”), donde a = 8 y b = 15. Calcular: “ ”

ResoluciónEn el triangulo rectángulo BCA: Calculamos AB por medio del teorema de Pitágoras:

AB2 = BC2 + AC2 AB2 = 82 + 152 = 64 + 225

AB2 = 289 AB = . AB = 17 .

Luego en el triángulo rectángulo DCB: Calculamos: “ ”

. .

2. Haciendo uso del triángulo notable 16º y 74º. Calcular “tg 8”. En el triángulo rectángulo BCP

. .

CASOS DE RACIONALIZACIÓN QUE DEBE TENERSE EN CUENTA

1er Caso: Denominador MonomioPara racionalizar el denominador de una fracción, siendo dicho denominador un monomio, se multiplican los dos términos de la fracción por el radical del mismo índice que el del denominador, y que multiplicador por el radical que se desea eliminar y de como producto una cantidad racional.

Ejemplos:

a.

b.

c.

. .Esta fórmula sólo se cumple, cuando el denominador es raíz cuadrada.

2do Caso: Denominador BinomioPara racionalizar el denominador de una fracción, siendo dicho denominador un binomio de la forma:

se multiplican los dos términos de la fracción por la expresión conjugada del denominador y luego se simplifican los resultados.

Ejemplos:

a.

b.

c.

. ; .

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Reducir:

A) B) C) 2

D) E)

2. Racionalizar:

A) B)

C) D)

E)

3. Luego de racionalizar:

Dar el denominador

A) 2 B) 3 C) 6D) 9 E) 18

4. Hallar el valor equivalente de:

A) B)

C) D)

E)

5. Dar racionalizar lo siguiente

A) B) C)

D) E)

6. Luego de racionalizar y reducir:

El denominador resulta:

A) 5 B) 6 C) 30D) 3 E) 1

7. Racionalizar:

A) B) C) 2

D) 0E) –2

8. Hallar el equivalente, con denominador racionalizado, de:

A) B) C)

D) E)

9. Calcular:

A) 1 B) 2 C) 0D) –1 E) –2

10. Racionalizando:

Resulta una cantidad negativa cuyo denominador es:

A) 29 B) 39 C) 49D) 59 E) 69

11. Señalar el factor racionalizante de:

A) B)

C) D)

E)

12. Si:

;

Dar el valor de: E = a3b – ab3

A) B)

C) D)

E)

13. Proporcionar el equivalente de:

A) B)

C) D)

E)

CLAVES

1. B

2. C

3. E

4. D

5. B

6. B

7. E

8. C

9. C

10. C

11. C

12. A

13. A

TEMA: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Las aplicaciones de la trigonometría en campos como topografía y navegación requieren resolver triángulos rectángulos. La expresión “Resolver un triángulo” significa encontrar la longitud de cada lado y la medida de cada ángulo del triángulo.

En esta sección veremos que podemos resolver cualquier triángulo rectángulo si se nos da:I. Las longitudes de dos lados.II. La longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo.

1. Conociendo las longitudes de los lados:Ejemplo:Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos miden 1 y 2 respectivamente.

Resolución Para calcular x, aplicamos el teorema de Pitágoras:

(1)2 + (2)2 = x2 x2 = 5 x =

Para determinar la medida del ángulo , calculemos una razón trigonométrica con los catetos de longitudes 1 y 2.

Por decir: tg = = 26º30’ (aproximadamente)

como: + = 90º = 63º30’Con la cual el triángulo rectángulo queda resuelto.

2.A. Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo

Incógnitas x, y

Cálculo de x:

= cos x = a cos

Cálculo de y:

= sen y = a sen

En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º – .

Conclusión:

B. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ánguloIncógnitas x, y

Cálculo de x:

= ctg x = a ctg

Cálculo de y:

= csc y = a csc

En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º – .

CONCLUSIÓN:

C. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ánguloAnálogamente a los triángulos rectángulos anteriores

Ejemplos:

Aplicaciones

1. Un topógrafo puede medir el ancho de un río emplazando su tránsito en un punto C en un borde del río y visualizando un punto A situado en el otro borde. Después de girar un ángulo de

90º en C, se desplaza 200 m hacia el punto B, aquí mide el ángulo y encuentra que es de 20º. ¿Cuál es el ancho del río?

Resolución

Buscamos la longitud del lado b, conocemos a y , por lo que usamos la relación tg =

Reemplazando:

b = 200tg20º el ancho del río es (200 tg20º) m

2. Una cometa se queda atascada en la rama más alta de un árbol, si la cuerda de la cometa mide 12 m y forma un ángulo de 22º con el suelo, estime la altura del árbol encontrando la distancia que hay entre la cometa y el suelo (sen22º = 0,374)

ResoluciónGraficando, tenemos por condición al problema

Sea h la altura a la cual se encuentra la cometa, a partir de la figura vemos que:

= sen22º

h = 12 sen 22º h = 12(0,374) = 4,488 h = 4,488 m

ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR (S)El área de cualquier región triangular está dado por el semi producto de dos de sus lados

multiplicado por el seno del ángulo que forman dichos lados.Así tenemos:

Del gráfico:

Demostración:

Por geometría S, se calcula así

(h: altura relativa del lado b

En el triángulo rectángulo sombreado se tiene por resolución de triángulo que:h = a sen

Luego:

; (ba = ab) ab sen

Ejemplo:

Calcular el área de la región triangular ABC, sabiendo que AB = 5 cm; Ac = 6 cm y el ángulo comprendido entre dichos lados es igual a 37º

Resolución

Graficando tenemos

Nos piden: S

De la figura: (5cm) (6cm) sen 37º

(5cm) (6cm)

S = 9 cm2

OBSERVACIÓN:

A) EN TRIGONOMETRÍA, LOS OPERADORES NO TIENEN SIGNIFICADO POR SÍ SOLO, NI TAMPOCO PUEDE REALIZAR OPERACIONES ALGEBRAICAS CON ELLAS, DE MANERA QUE, ES ABSURDO, CONSIDERAR LAS OPERACIONES

(ABSURDO) ;

B) SE HA DEMOSTRADO QUE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SON NÚMEROS, LUEGO CON ELLOS SE PUEDE OPERAR ASÍ:

I) 5 SEC – 2 SEC + 2 SEC = 4 SEC

II)

= 3 COS + 2

C) TENGA CUIDADO CON LA EQUIVALENCIA SENNX = (SENX)N; LA PRIMERA SE UTILIZA CONTINUAMENTE PERO LA SEGUNDA NO; PORQUE CORRE EL RIESGO DE CONCLUIR QUE:

(SENX)N = SENNXN Y ESTO ES INCORRECTO

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Hallar “x”

Rpta. 5

2. Hallar “x” en función de “m y ”

Rpta. msen . tg

3. Hallar “x” en función de “m y ”

Rpta. m(ctg - tg)

4. Hallar “x” en función de “m y ”

Rpta. mcos . csc

5. Hallar “x” en función de “m y ”

Rpta. msen . sec6. Hallar “x” en función de m, y

Rpta. mtg . tg

7. Hallar “sen”

Rpta. 2/3

8. Siendo cos = 0,25.Hallar “x”

Rpta. 1,25

9. Hallar en función de “m y ”

Rpta. mtg . sec

10. Hallar csc

Rpta. 3/2

11. Hallar x

Rpta. msen . sec

12. Si sen = 0,3. Hallar x

Rpta. 1,2

13. Hallar “x”

Rpta.

14. Siendo: sen = 0,2 tg = 3. Hallar “x”

Rpta. 2,4

15. Siendo: cos = 0,1 ctg = 2. Hallar “x”

Rpta. 1

16. Hallar el valor de “x”. Si:

sen = 0,6 ctg = 2

Rpta. 10

17. Hallar “x”

Rpta. 28

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Hallar “x” , Si: sen = 0,2

A) 1 B) 2 C) 3D) 1,5 E) 2,5

2. Hallar “x”. Si. = 53º

A) 8,75 B) 2,25 C) 5,25D) 6,75 E) 2,75

3. Hallar “x”

A) 1/ B) 2 C) 2/

D) /2E) 1/2

4. Hallar “x”

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 7

5. Hallar “sen”

A) 1/2 B) 1/4 C) 1/16D) 1/3 E) 1/5

6. Hallar

A) 13 B) 14 C) 15D) 16 E) 17

7. Hallar “x”.Si: sen = 0,3333...... tg = 2

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

8. Hallar el valor de “x”Si: cos = 0,25 ctg = 3

A) 7,25 B) 4,15 C) 225D) 1,25 E) 5,25

9. Hallar el valor de “x”.Si: cos = 0,8 ctg = 2

A) 10 B) 5,6 C) 8,4D) 14 E) 70

10. Hallar “x”

A) 66 B) 56 C) 32D) 70 E) 24

11. Hallar “x”.

A) 45 B) 17 C) 19

D) 56 E) 32

12. Calcular tg

A) 3/4 B) 2/5 C) 3/10D) 11/5 E) 3/7

13. Hallar “x”

Si: sec = 2

A) 11 B) 13 C) 7D) 9 E) 14

CLAVES

1. A

2. E

3. D

4. B

5. C

6. D

7. B

8. E

9. A

10. D

11. B

12. D

13. C

TEMA: ÁNGULOS VERTICALES

INTRODUCCIÓNDebido a que en nuestra vida cotidiana indicamos la posición de los objetos dando referencias

que nos permitan la mayor precisión para ubicarlos, en el presente tema definiremos en un mismo plano al observador y al objeto en observación. Así como también ángulos que nos permitan visualizar determinado punto del objeto en consideración.

A continuación enunciaremos algunos puntos que consideramos importantes para el desarrollo del tema:

Línea Vertical: Vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada.

Línea Horizontal: Se denomina así a toda aquella línea perpendicular a la vertical.

Plano Vertical: es el que contiene a toda la línea vertical.

Línea Visual: Llamada también línea de mira, es aquella línea recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto a observarse.

ÁNGULOS VERTICALESSon aquellos ángulos contenidos en un plano vertical formados por la línea de mira (o visual) y la

línea horizontal. Que parten de la vista del observador.Los ángulos verticales pueden ser:

Ángulos de ElevaciónEs el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por

encima de la línea horizontal.

: Ángulo de observación

Ángulos de DepresiónEs aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra

por debajo de la línea horizontal.

: Ángulo de depresión

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. A 150m de la base de una torre se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 53º calcular la altura de la torre

Rpta. 200m

2. Desde un punto “A” situado a 30 m del pie de un edificio, se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 30º. Calcular la distancia del punto A hacia la parte superior.

Rpta. m

3. Una persona de metros de altura observa la parte superior de una torre de

de altura, con un ángulo de elevación de 60º. ¿Cuánto tendrá que retroceder para que el nuevo ángulo de elevación mida 30º?

Rpta. 8m

4. Una persona de 2 m de estatura observa la base de un poste de luz con un ángulo de depresión de 30º y la parte superior con un ángulo de elevación de 60º. Calcular la altura del poste.

Rpta. 8m

5. Desde la parte superior de una torre se observan dos piedras en el suelo con ángulos de depresión de 37º y 53º si la altura de la torre es de 12m y las piedras están en línea recta y a un mismo lado de la base de la torre, calcular la distancia entre las piedras.

Rpta. 7m

6. Una antena de radio está sobre la azotea de un edificio. Desde un punto a 12 m de distancia de la base del edificio, los ángulos de elevación a la punta de la antena y a la parte superior del edificio son 53º y 37º respectivamente. Calcular la altura de la antena

Rpta. 7m

7. Una bandera está sobre la azotea de un edificio. Desde un punto de la superficie, se observa la parte superior del edificio y la punta de la bandera con los ángulos de elevación 47º y 68º respectivamente. Determinar el ángulo de visibilidad.

Rpta. 21º

8. Desde lo alto de un faro de 60m de altura, se observa un bote con un ángulo de depresión de 37º. Si el bote recorre linealmente 35m hacia la torre. ¿Cuál es el nuevo ángulo de elevación?

Rpta. 53º

9. Un alumno Reinocielino camina del pie del colegio 10m y observa lo alto del edificio (colegio) con un ángulo de elevación de 37º. Determinar la altura del edificio.

Rpta. 7,5m

10. Un niño ubicado a 40m del pie del árbol, observa la parte superior con un ángulo de elevación de 45º y la copa del árbol, con un ángulo de observación de 8. determinar la longitud de la copa de dicho árbol.

Rpta. 10 m

11. Desde un punto del suelo se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 15º acercándose 36m hacia el edificio, el nuevo ángulo de elevación es el doble del anterior. Calcular la altura del edificio

Rpta. 18 m

12. Desde un punto del suelo se observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación “” acercándose 5m hacia el poste el nuevo ángulo de elevación es el complemento de “”. Si el poste mide 6m, calcular “Tg”

Rpta. 2/3

13. Desde la base y la parte superior de una torres se observa la parte superior de un edificio con ángulos de elevación de 60º y 30º respectivamente. Si la torre mide 24m; entonces la altura del edificio es:

Rpta. 36m

14. Dos ciudades A y B se encuentran separados por un camino recto, que mide

km; desde un avión que vuela la línea que separa ambas ciudades, se les observa con ángulos de depresión de 30º y 45º. ¿A que altura es´ta volando el avión?

Rpta. 2 km

15. Desde un punto en el suelo, situado entre dos muros de 3 y 4 metros se observa sus puntos más altos con ángulos de elevación de 30º y 60º respectivamente. Calcular la distancia entre los puntos más altos de los muros.

Rpta. 10

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. A 12m de la base de una torre se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 45º. Calcular la altura de la torre.

A) 11m B) 12m C) 13mD) 10m E) 5m

2. Desde un punto “M” situado a 36 m del pie de un edificio, se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 37º. Calcular la distancia del punto “M” hacia la parte superior

A) 27m B) 30m C) 39mD) 45m E) 51m

3. Una niña de metros de altura observa la parte superior de una torre de

de altura, con un ángulo de elevación de 60º ¿Cuánto tendría que retroceder para que el nuevo ángulo de elevación mida 30º?

A) 10m B) 11m C) 12mD) 13m E) 15m

4. Una persona de 1,5 m de estatura observa la base de un poste de luz con un ángulo de depresión de 37º y la parte superior con un ángulo de elevación de 45º. Calcular la altura del poste.

A) 1m B) 1,5 C) 3mD) 3,5m E) 4m

5. Una antena de telecomunicaciones, está sobre un edificio. Desde un punto a 16m de distancia de la base del edificio, los ángulos de elevación de la punta de la antena y de la parte superior del edificio son 45º y 37º respectivamente. Calcular la altura de la antena.

A) 4m B) 2m C) 5mD) 3m E) 7m

6. Desde lo alto de un faro de 12m de altura se observa un bote con un ángulo de depresión de 37º. Si el bote recorre linealmente 4m hacia la torre ¿Cuál es el nuevo ángulo de elevación para ver lo alto del faro?

A) 30º B) 37º C) 45º

D) 53º E) 60º7. Una mujer está sobre una peña.

Desde un punto de la superficie se observa la parte superior de la peña y la parte más alta de la mujer con ángulos de elevación de 17º y 25º respectivamente. Determinar el ángulo de visibilidad.

A) 10º B) 9º C) 11ºD) 7º E) 8º

8. Desde un punto del suelo se observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación de º. Acercándose 5m hacia el poste, el nuevo ángulo de elevación es 2. Si el poste mide 4m. Calcular la “tg”

A) 1/2 B) 2 C) 1D) 3 E) 4/5

9. Desde la base y la pare superior de una torre se observa la parte superior de un edificio con ángulos de elevación de 53º y 45º respectivamente. Si la torre mide 7m. Hallar la altura del edificio.

A) 12m B) 24m C) 7mD) 28m E) 21m

10. Desde un punto en el suelo, situado entre dos muros, de 6 y 8 m de altura, se observa sus puntos más altos con ángulos de elevación de 37º y 53º respectivamente. Calcular la distancia entre los puntos más altos de los muros

A) 5 B) 10 C) 15

D) 6 E) 8

CLAVES

1. B

2. D

3. C

4. D

5. A

6. C

7. E

8. A

9. D

10. B

P rim er C u adran te

(IC )

C u arto C u adran te

(IV C )

SegundoCuadrante

(IIC )

TercerCuadrante

(IIIC )

Y

X(Hacia e l + )

(Hacia e l + )

(Hacia e l - )

(Hacia e l - )

(E je de A bscisas)

(E je de O rdenadas)

0

-3

C B 0 A

-2 -1 0 1 3 2 3...

+-H ac ia el H ac ia el

...

TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOSDE CUALQUIER MAGNITUD

Conceptos Previos

Recta Numérica

Es una recta dirigida en la cual se han señalado dos sentidos; uno positivo y otro negativo. En donde

además a cada punto de esta se le a asignado tan sólo un número real. Veamos un gráfico:

Al punto “0” se le asigna el valor 0 (se le denomina ORIGEN)

Al punto “A” se le asigna el valor

Al punto “B” se le asigna el valor -1.

Al punto “C” se le asigna el valor -.

Plano Cartesiano: Es aquel que se forma por la intersección de 2 rectas numéricas

perpendiculares entre sí en sus orígenes.

Nota: A la intersección de rectas se le denomina “origen” de coordenadas.

P(a;b)

a

b

Y

X

1

3 4-1-1

-3

2

-2

-2

P(3;2)

S(4;-2)

R (-1;-3)

Q (-2 ;1)

Coordenada de un punto: A cada uno de los puntos del plano cartesiano se le asocia un par

ordenado. El cual se representará de la siguiente manera:

P (a;b) en donde:

a Abscisa del punto “P”

b Ordenada del punto “P”

Observemos gráficamente:

Así se representa el punto P(a,b) en el plano cartesiano.

Veamos un ejemplo de Aplicación:

Ubique los siguientes puntos en el plano cartesiano.

a) P (3;2) b) Q (-2;1)

c) R (-1;3) d) S (4;2)

Resolución:

Radio Vector (r): Es la distancia del origen de coordenadas a cualquiera del plano cartesiano se

representa de la siguiente manera:

0

Y

X

b

a

r

P(a;b)

0

Y

X

r

r

P

R

P(-4;3)

R(1;-3)

3

1

-3

-4

0

Y

X

b

a

r

P(a;b)

Ejm.: Sea el punto P (a;b) del I.C.:

Así se representa el radio vector (r) del punto P (a,b).

Calculemos su valor:

Por el teorema de Pitágoras calculemos “r”.

Veamos un ejemplo de aplicación

Calcular el radio vector de los puntos P (-4; 3) y R (1; -3).

Resolución:

- Ubicamos los puntos P (-4; 3) y R ( 1; -3) en el plano:

Y

X

O

II IC

IIC IC

IV C

Lado F ina l de

Lado F ina l de

Eje positivo de las abscisas (lado inicialde todo ángulo enposición normal)

Calculamos rp:

Calculamos rR:

Angulo en Posición Normal: Es un ángulo trigonométrico inscrito en el plano cartesiano y que tiene

las siguientes particularidades:

Su vértice es el origen de coordenadas.

Su lado inicial se encuentra en el semieje positivo de las abscisas.

Su lado final se encuentra en cualquier parte del plano, el cual indicará a que cuadrante pertenece

dicho ángulo.

Analicemos Gráficamente

Ya que el lado final de se encuentra en el IIC, entonces pertenece al IIC.

Ya que el lado final de se encuentra en el IIIC, entonces pertenece al IIIC.

Nota Importante:

Y

X

O

qn

p

m

Y

X

-4 P(3;-4)

3

¿Cuáles de los ángulos no son ángulos en posición normal?

Rpta.: “R y p no son ángulos en posición normal” porque su lado inicial no es el semieje positivo de

las abscisas mientras que m y q “si son ángulos en posición normal”.

Ejemplo de Aplicación:

Trace en posición normal un ángulo cuyo lado terminal pasa por el punto P (3; -4).

Resolución:

De inmediato se nos viene a la mente 2 posibilidades:

y son ángulos en posición normal para el punto P (3; -4). Pero …¿son los únicos? … La respuesta

es NO, cada uno de los puntos del plano cartesiano poseen infinitos ángulos en posición estándar.

A continuación explicaremos el porque de esto cuando conozcamos los ángulos coterminales.

Nota: Pero es más práctico y recomendable trabajar con y por ser de menor magnitud.

Ángulos Coterminales: Dos o más ángulo en POSICIÓN NORMAL se denominan COTERMINALE,

cuando sus lados finales coincide. Además la diferencia de los ángulos debe dar como resultado un

número entero de vueltas o revoluciones.

Y

X

Y

X

mn

Y

X

Veámoslo gráficamente:

Para ángulos coterminales.

En la figura se observa: y poseen el mismo lado terminal.

Además:

= + 1 vuelta

- = 1 vuelta

Entonces y son COTERMINALES.

En General: Si X e Y son COTER-MINALES entonces X – Y = R (vueltas) = R (2rad) = n (360 º).

También son coterminales:

Ambos con orientación negativa.

Uno con orientación positiva y otro con orientación negativa.“Para todos los casos se cumple la misma regla”

Nota: Si 2 ángulos son coterminales entonces tendrán los mismo valores para sus razones trigonométricas. Es decir si y son coterminales:

Sen + Sen Sec = Sec

-

Y Y

X X

O O

(- )

Y Y

X X

O O

Cos = cos Ctg = CtgTg = Tg Csc = Csc

Nota Importante:

Cambio de la orientación de un ángulo

Sea el ángulo trigonométrico “”.

Observamos que para modificar la orientación de un ángulo lo que se hace es anteponerle un signo

(-) y se le cambia el sentido a la “flecha” que representa la orientación del ángulo.

De igual manera se realiza el cambio de orientación para un ángulo negativo ().

Ángulos Cuadrantales: Un ángulo en posición normal es cuadrantal, cuando su lado final coincide

con uno de los semiejes del plano cartesiano.

Nota: “Los ángulos cuadrantales no pertenecen a ningún cuadrante”

- Éstos ángulos son de la forma:

n x 90º ó R x

Ejm.:

n (# Entero)

Y

XO

r

a

bP(a;b)

Valores de las Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales

0 90 180 270 360

Sen

Cos

Tg

Ctg

Sec

Csc

0

1

0

ND

1

ND

1

0

ND

0

ND

1

0

-1

0

ND

-1

ND

-1

0

ND

0

ND

-1

0

1

0

ND

1

ND

ND: No definido

Razones Trigonométricas de un Ángulo en Posición Normal:

Sea “” un ángulo en posición normal y P (a,b) un punto que pertenece a su lado final.

Definimos las razones trigonométricas de “” de la siguiente manera:

Y

X

O

r

-2

4P ( - 2 ;4 )

Donde

Ejm. de Aplicación:

Siendo P (-2; 4) un punto que pertenece al lado final del ángulo en posición normal . Calcular:

Resolución:

Calculamos:

Y

X

Seny

CscLas demásR.T. Son (-)

Tgy

CtgLas demásR.T. Son (-)

Cosy

SecLas demásR.T. Son (-)

Todas las R.T.Son positivas

(+)

(+) (+)

Calculamos Sen y Cos

Reemplazamos

A = 9 Rpta.

Signos de las Razones Trigonométricas (R.T.)

Presentamos a continuación los respectivos signos de las razones trigonométricas para cada

cuadrante en el siguiente cuadro:

Para recordar:

Primer Cuadrante P Positivos todas R.T.

Segundo Cuadrante S Seno y su Co-Razón (Csc) son (+)

Tercer Cuadrante T Tangente y su Co – Razón (Ctg) son (+)

Cuarto Cuadrante C Coseno y su Co-Razón (Sec) son (+)

Y

X

0

(-3;-2 )

Y

X

O

(-1 ;-2 )

(-2 ;1 )

Y

X

0

P (-3 ;-2)

Q (2 ;-5 )

Y

X

0

(X -1 ; 4 x-1 )

PROBLEMAS PARA LA CLASE

01. Si el punto P (-12;5) pertenece al lado final

del ángulo en posición normal “”. Hallar

Sen.

Rpta.:

02. Siendo P (-5;6) un punto perteneciente al

lado final de un ángulo en posición normal

. Calcular:

Rpta.:

03. Si Cot = -6/8; y sabiendo que IVC.

Hallar:

R = Sen - Cos

Rpta.:

04. De la figura calcular el valor de:

Rpta.:

05. Hallar el signo de cada producto:

I. Sen190º: Cos(190º)

II. Tg160º: Sec(200º)

III. Cos120º: Sec (200º)

Rpta.:

06. Calcular: Cos.Cos.

Rpta.:

07. Del gráfico, Hallar:

Rpta.:

08. Si Sen = -1/3, además: Cos > 0. Hallar

el valor de

Rpta.:

09. Si Tg = 3. Calcular x

Rpta.:

10. Si el punto P (-2,3) pertenece al lado final

del ángulo “” (en posición normal tal que

(90º < < 180º). Calcular el valor de:

Rpta.:

11. Del gráfico calcular “Tg”. Si: OABC es un

cuadrado:

Y

X

O

B

A

Y

X

O

P (-1 ;m )

Y

X

OO

O

0B

(4;-2)

CD

Y

X

0

P(2a ; -b )

(-a;0)

Y

X

0Q

P

(-a ;2a )

( 3a ;-a )

Rpta.:

12. En la figura mostrada; Hallar el valor de:

Rpta.:

13. Si se cumple:

Csc2 - 9 = 0

Además: Cos < 0 y

Sen > 0. Determinar el valor

Rpta.:

14. Si

Determine el signo de

Rpta.:

15. Del gráfico calcular:

Tg + Tg

Siendo 0BCD un cuadrado

Rpta.:

16. De la figura calcular

Rpta.:

17. Si

Hallar M = Tg - Sec

Además ( IV C)

Rpta.:

18. Hallar Tg

Rpta.:

19. Del gráfico calcular:

3sec2 - Tg

Y

X

(-5 ; -3 )

Rpta.:

20. Si: 712tgx + 5 = 1; (x II C)

Calcular A = Senx – Cosx

Rpta.:

Y

X

O

(-2;1 )

Y

X

P ( 1 ; 2 )

X

PROBLEMAS PARA LA CASA

01. A que cuadrante pertenece el ángulo si:

Cos < 0 Tg > 0

a) I C b) 2 C c) III C

d) IV C e) V C

02. De la figura, calcular el valor de:

a) 1 b) 9 c) 3

d) 7 e) 5

03. Si el punto P (-1; -7) pertenece al lado final

del ángulo en posición normal “”,

calcular:

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

04. Si y φ son dos ángulos coterminales.

Además Tg. Calcular P = Csc + Cosφ

a) b)

c) d)

e)

05. Si sen2a= y Cosa < Cos90

Calcular el menor valor de:

a) -7 b) -1 c) 1

d) 2 e) 3

06. Del gráfico mostrado calcular:

a) b) c)

d) e)

07. Siendo y Ángulos trigonométricos calcular:

a) 0 b) -1 c) 2

d) e)

08. Si IV C además:

Y

X

3 7

0

Y

X0

1-2a

(2a;1+a)

Y

X0

1-2a

(2a;1+a)

Calcular: Sec - Tg

a) 1/3 b) 2 c) -3

d)-2 e) 0

09. Del gráfico calcular “Tg φ”

a) -4/7 b) -3/7 c) -7/4

d) 7/3 e) -7/3

10. De la figura calcular el valor de:

Ctg - Csc

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

11. Sabiendo que: ( II C) 4Sen2 - 13sen

+ 3 = 0. Calcular el valor de: M =

ctg . cos

a) -1/2 b) -1/3 c) -1/4

d) -1/5 e) -1/6

12. Si (Sen)Sen =

Además 90º < < 180º

Indicar un valor de la Ctg.

a) b) c)

d) e) -1

13. Si II C y Cos = -0,8

Hallar: D = Sec + Tg

a) -3 b) 1 c) -2

d) 4 e) 2

14. Calcular

M = Ctg + Csc2 - 3Tg

a) 9 b) 8 c) 10

d) 12 e) 11

15. Simplificar

N = (a2+b2) sec + (a-b)2 sen3 2 2 .

(a2+b2) sec + (a-b)2 cos

a) 1 b) -1 c) 2

d) -2 e) 4

TEMA: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

La conservación de una razón trigonométrica

(r.t) de un ángulo cualquiera en otra razón

equivalente de un ángulo del primer cuadrante

se llama: ”reducción al primer cuadrante”

También reducir al primer cuadrante un ángulo

significa encontrar los valores de las RT de

cualquier ángulo en forma directa mediante

reglas practicas las cuales mencionaremos a

continuación recordando antes que:

- Para el Seno: Su Co-Razón es el Coseno.

- Para la Tangente: Su Co-Razón es la

Cotangente.

- Para la secante: Su Co-Razón es la

Cosecante.

I Regla: “Para ángulos positivos menores a

una vuelta.

¡Importante!

- El signo + ó – del segundo miembro

depende del cuadrante al cual pertenece el

“ángulo a reducir”.

- se considera un ángulo agudo.

Ejemplos de Aplicación:

1. Reducir al primer cuadrante:

a) Cos 150º b) Tg 200º

c) Sen 320º d) Sec 115º

e) Csc 240º f) Ctg 345º

Resolución:

1a.

Cos 150º = Cos (180º - 30º) =

-Cos 30º

“El signo (-) se debe a que el ángulo a reducir

(150º) pertenece al II C, en el cual el coseno

es negativo”

1b.

Tg 200º = Tg (180º + 120º) =

+ Tg 20º.

“El signo (+) se debe a que el ángulo a reducir

(200) pertenece al III C, en el cual la tangente

es positiva”.

1c.

Sen 320º = Sen (270º + 50º) =

-Cos 50º

“El signo (-) se debe a que el ángulo a reducir

(320º) pertenece al IV C, en donde e seno es

negativo y se cambia a coseno (Co-razón del

seno porque se trabajo con 270º”.

1d.

Sec 115º = Sec (90º + 25º) =

- Csc (25º)

Ojo: También se pudo haber resuelto de la

siguiente manera:

Sec 115º = Sec(180º - 65º) =

- Sec (25º)

“Ambas respuestas son correctas, por ser

éstas equivalentes”

- Csc 25º = - Sec 65º

Csc 25º = Sec 65º

Ya que:

Donde:

y suman 90º

Nota: A éste par de ángulos se les denomina

“Ángulo Complementarios”.

e)Csc 240º = Csc (180º + 60º) =

- Csc (60º) ó

Csc 240º = Csc (270º - 30º) =

- Sec (30º)

f) Ctg 345º = Ctg (270º + 75º) =

- Tg (75º) ó

Ct 345º = Ctg (360º - 15º) =

- Ctg 15º

II Regla: “Para ángulos positivos mayores de

una vuelta.

Nota: Se eliminan los múltiplos de 360º.

Ejemplos de Aplicación

2. Reducir al primer cuadrante:

a) Sen (548º) b) Cos (987º)

c) Tg (1240º

Resolución

2a) Sen548° = sen(1 × 360° +

188°) = sen188°

Luego:

Sen548° = sen188 =

sen(180° + 8°) = -sen8°

ó

sen548° = sen188° =

sen(270 - 72°) = -cos72°

2b) Cos987° = cos(2 × 360° +

267) = cos267°

Luego:

Cos987° = cos267° =

cos(180° + 87°) = -cos87°

ó

cos987° = cos267° =

cos(270° - 3) = -sen3°

2c) Tg1240 =Tg(3 × 360° +

160°) = Tg160°

Luego:

Tg1240° = Tg160°.Tg(90°

+ 70°) = -ctg70°

ó

Tg1240° = Tg160° =

Tg(180° - 20°) = -Tg20°

III Regla: para ángulos negativos:

Para todo ángulo , se cumple:

Nota:

Observamos que para el coseno y secante el

signo “desaparece” es decir, solo trabajamos

con el valor positivo. Veamos ejemplos:

Ejemplo de Aplicación

3. Reducir al primer cuadrante:

A) cos(-130°) B) sec(-274°) C) Ctg(-1120°) D( Csc(-2140°)

Resolución:

3a) cos(-30°) = cos(30°)

3b) Sec(-274°) = sec(274°) =

Sec(270° + 4°) = Csc4°

ó

Sec(274°) = sec(360°-86°) =

sec86°

3c) Ctg(-1120) = -Ctg(1120°) =

-Ctg(3×360° + 40°)

Ctg(-1120°) = -Ctg(40°)

3d) Csc(-2140°) = -Csc(2140°) = -Csc(5×306° + 340°)

Csc(-2140°) = -Csc(340°) =

-Csc(270 + 70°) = -[-Sec 70º]

= Sec 70º

- Csc(340º) = - Csc (360º -

20º) = -[-Csc(20º)]

= Csc 20º

Nota Importante: Todo el capítulo “Reducción al 1er Cuadrante” se desarrolló trabajando netamente

en el sistema sexagesimal la cual también se pudo haber trabajando en el Sistema Radian incluyendo

todos los casos reglas y aplicaciones propuestas.

PROBLEMAS PARA LA CLASE

01. Hallar la siguiente expresión:

Rpta.:

02. Hallar el valor de P:

Rpta.:

03. Al simplificar la expresión se obtiene

Rpta.:

04. Simplificar

Rpta.:

05. Hallar el valor de Q:

Rpta.:

06. Hallar X en la siguiente expresión:

Rpta.:

07. Marcar V o F en cada proposición:

I : sen110° = sen70°

II : cos200° = cos20

III: Tg300° = -ctg30°

IV: sen618° = sen 78°

V : sec(-310°) = -Csc40°

Rpta.:

08. Reducir la expresión

Rpta.:

09. Hallar E:

Rpta.:

10. Simplificar

Rpta.:

11. Hallar el valor de M

Rpta.:

12. Relacionar según corresponda.

I. a. Sen x

II. b. – Tg x

III. c. Sen (-x)

A) I-a; II-b; III-c

B) I-b; II-a; III-c

C) I-c; II-a; III-b

D) I-c; II-b; III-a

E) I-a; II-c; III-b

13. Calcular Sen(5x). Si:

Rpta.:

14. Calcular A:

Rpta.:

15. Calcular P

P = sen140° + cos20° + sen220°

+ Cos160° + sen150°

Rpta.:

16. Reducir

Rpta.:

17. Si x + y = 180. Calcular

Rpta.:

18. Calcular

C = 5Tg1485 + 4Cos2100

Cos120

Rpta.:

19. Dado un triángulo ABC, calcular:

A= Sen (A+B) - Tg(B+C)

Sen C TgA

Rpta.:

20. Calcular

Si x + y = 2

Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CASA

01. Reducir y calcular E.

E = Sen150º.Cos120º

+ Sec150º.Csc120º

a) 19/12 b) -19/12

c) 4/3 d) -3/4

e) – 3/2

02. Hallar el valor de:

a) 1 b) – 1 c) 2

d) -2 e) 0

03. Calcular:

a) -2 b) 1 c) 0

d) -1 e) 2

04. Simplificar:

a) -3 b) -1 c) 0

d) 1 e) 3

05. Cuántas de las siguientes preposiciones

son verdaderas.

a) Ninguna b) 1 c) 2

d) 3 e) Todas

06. Sabiendo que:

Determine:

Tgx + Ctgx

a) b) c)

d) e)

07. Reducir la expresión:

a) 1 b) -1 c) -2

d) 2 e) 0

08. Hallar 2senx Si:

a) 1 b) c) -2

d) -1 e)

09. Calcular el valor de:

a) -1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

10. Calcular del valor de

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

11. Afirmar si es (V) o (F)

I. senx + sen(-x) = 0

II. cosx + cos(-x) = 0

III. Tgx + tg(-x) = 0

a) VVV b) VFV c) VFF

d) FFV e) FFF

12. Dado un triángulo ABC

Simplificar:

a) -1 b) 2 c) 1

d) -2 e) 5

13. Resolver

a) 1 b) -1 c) a

d) b e) a/b

14. Simplificar

a) 2senx b) 2cosx

c) -2senx d) -2cosx e) 0

15. Calcular

a) 13 b) 12 c) 9

d) 11 e) 10

Y

P

P

2

1

C(-1;0)

0 ra d

ra d

B (0 ;1 ) M ed ida de l A rco P ositivo

Medida del Arco Positivo

TEMA: CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

Definición:

La circunferencia trigonométrica es una circunferencia inscrita en un sistema de coordenadas

rectangulares a la cual hemos denominado plano cartesiano. Tiene como características principales:

- El valor de su radio es la unidad (R = 1)

- Su centro coincide4 con el origen de coordenadas del plano cartesiano.

Veámosla gráficamente

Nota: Todos y cada uno de los puntos que pertenecen a la circunferencia trigonométrica (C.T.)

cumplen la ecuación siguiente:

x2 + y2 = 1

Donde:

X Abscisa del Punto

Y Ordenada del Punto

Para un mejor entendimiento de las definiciones posteriores se enuncian las siguientes

denominaciones a los puntos:

A (1;0) Origen de Arcos

B (0;1) Origen de Complementos

C (-1;0) Origen de Suplementos

P1 y P2 Extremos de Suplementos

Arco en Posición Normal:

Es aquel arco cuyo extremo inicial es el origen de arcos de la C.T. y su extremo final cualquier punto

sobre la C.T. (es aquel que indica el cuadrante al cual pertenece dicho arco.

Observación: El ángulo central correspondiente a un arco en Posición normal o estándar, tiene igual

medida en radianes que la medida del arco.

Veamos Ejms.:

P

0

C A

B

rad

rad

Y

X

T

Se observa que:

Además:

“” y “” son arcos en posición normal o estándar tales que:

es (+) y al I C

es (-) y al III C

Nota: Importante:

Del gráfico: Éstos extremos servirán como referencia para ubicar aproximadamente otros arcos en la

C.T.

0C A

B

0

Y

X3,14 =

2 = 6,28

3 = 4,71 2

= 1,572

AT

AP

Y

P(X ;Y )0 0

1

X

R ad

Ejemplos de Aplicación:

Ubique gráficamente en la circunferencia trigonométrica los extremos de los arcos (en posición

standar):

Resolución

- Para que los arcos se encuentren en posición estándar en la C.T. éstos tendrán su posición inicial

en el punto A(1,0).

M: Extremo del arco

N : Extremo del arco 4

Q: Extremo del arco -1

Razones Trigonométricas de Arco en Posición Normal o Standar:

Son numéricamente iguales a las razones trigonométricas de su respectivo ángulo central en la C.T.

Es decir:

R.T. (arco) = R.T. (ángulo central)

Luego entonces:

C

A

BY

X

-1rad

M

5 /6

0

5 rad 6

N4 -1Q

C.T.

Y

X

P’ (-cos ; -sen

BP(Cos ;Sen )

)

Sea P(xo, yo) (P I C) que pertenece a la C.T. y también al lado final del ángulo en posición normal o

standar .

Calculemos las R.T. del ángulo .

Observación

Vemos que:

Yo = Sen Xo = Cos

Por lo tanto

El punto P también se representa de la siguiente manera:

P (xo, yo) = P (cos; sen)

De la observación

Coordenadas del extremo de arco:

Nota Importante:

- Ya que P y Q a la C.T. entonces cumplen la ecuación X2 + y2 = 1

Y

X0

P (-Sen ;Cos )P(Cos ;Sen )

C.T.

* Para P: Cos2 + Sen2 = 1

Para Q : Cos2 + Sen2 = 1

Se concluye que “para todo arco la suma de los cuadrados de su seno y coseno dará la unidad”

Algunos alcances importantes:

Para hallar coordenadas opuestas:

P’ (-cos ; -sen )

0

Y

X

C.T.

P’ (cos ; sen )

Para hallar coordenadas simétricas

Para hallar Coordenadas Ortogonales:

Y

X

C .T.

0

1

Q A

P

ra d

Líneas Trigonométricas

Son segmentos de recta dirigidos, los cuales nos representan en la circunferencia trigonométrica, el

valor numérico de una razón trigonométrica de un ángulo o número.

Las principales Líneas Trigonométricas son:

- Línea SENO

- Línea COSENO

- Línea TANGENTE

- Línea COTANGENTE

- Línea COSECANTE

- Línea SECANTE

Las líneas trigonométricas auxiliares son:

- Línea COVERSO.

- Línea VERSO.

- Línea EX-SECANTE

Nota Importante:

- Si el segmento de Recta está dirigido hacia la derecha ó hacia arriba entonces el valor numérico de

la línea trigonométrica correspondiente será positivo.

- Si el segmento de recta está dirigido hacia la izquierda o hacia abajo entonces el valor numérico de

la línea trigonométrica correspondiente será negativo.

Veamos y analicemos sus representaciones:

Línea Seno:

Se representa mediante la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro horizontal

(Eje X) (apuntando hacia el extremo del arco).

En el gráfico:

Se observa que representa al coseno del Arco Trigonométrico .

Y

X

C .T.

0

PR

ra d

Y

X0

A(1,0 )

P

Q

ra d

Nota:

Como en el Ejm. el segmento está dirigido hacia la derecha entonces el coseno es positivo.

Línea Coseno:

Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro vertical (Eje

Y) apuntando hacia el extremo del arco.

En el gráfico:

Se observa que RP representa al coseno del Arco Trigonométrico .

Nota:

Como en el Ejm. El segmento RP esta dirigido hacia la derecha entonces el coseno es positivo.

Línea Tangente

Es una parte de la tangente geométrica trazada por el origen de arcos A(1;0). Se mide desde el

origen e arcos y termina en la intersección de la tangente geométrica con el radio prolongado de la

C.T. que pasa por el extremo del arco. Apunta hacia la intersección.

En el gráfico:

Se observa que representa a la tangente del Arco Trigonométrico .

C .T.

P

0

T

ra d

Ta ng e n te G e o m é tr ic a

tan gen te geom étrica

C.T.

P

0rad

A

Y

Nota:

Como en el ejemplo el segmento está dirigido, hacia abajo entonces la tangente es negativa.

Línea Cotangente

Es una porción de la tangente geométrica que pasa por el origen de complementos B(0;1), se

empieza a medir desde el origen de complemento y termina en la intersección de la tangente

mencionada con el radio prolongado de la C.T. que pasa por el extremo del arco, Apunta hacia dicha

intersección.

En el gráfico:

Se observa que representa a la cotangente del arco trigonométrico .

Nota: Como en el ejemplo, el segmento está dirigido hacia la izquierda entonces la cotangente

es negativa.

Línea Secante:

Es una porción del diámetro prolongado que pasa por el origen de arcos A(1;0) y que se mide desde

el centro de la C.T. hasta la intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada

por el extremo del arco. Apunta hacia la intersección.

En el gráfico:

tan ge n te g eo m é tr ica

C .T.P

M

0rad

B(0;1)Y

C .T.

P

0

ra d

Y

Se observa que representa a la secante del arco trigonométrico .

Nota: Como en el ejemplo, el segmento está dirigido hacia la derecha entonces la secante es

positiva.

Línea Cosecante:

Es una parte del diámetro prolongado que pasa por el origen del complemento B(0; 1), y que se mide

desde el centro de la C.T. hasta la intersección del diámetro prolongado mencionado con la tangente

geométrica trazada por el extremo del arco apunta hacia la intersección.

En el gráfico:

Se observa que representa a la cosecante del arco trigonométrico .

Nota: Como en el ejemplo, el segmento está dirigido hacia abajo entonces la cosecante es

negativa.

Línea Auxiliar verso o seno verso:

«Es lo que le falta al coseno de un arco para valer la unidad» se mide a partir de origen de arcos A(1;

0), hasta el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco, al diámetro horizontal del (Eje

X) . apunta hacia el origen de arcos es decir « el verso jamás es negativo».

En el gráfico:

Se observa que , representa al verso del arco trigonométrico .

Cumple la fórmula

Verso() = 1 - Cos

Línea Auxiliar Coverso o Coseno Verso:

«Es lo que le falta al seno para valer la unidad» el coverso se mide a partir de origen de

complementos B(0; 1), hasta el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco a diámetro

vertical de la C.T. (Eje Y). Apunta hacia el origen de complementos « el coverso jamás es negativo»

En el gráfico:

Se observa que representa al arco trigonométrico .

Cumple la Fórmula:

Coverso() = 1 - Seno

Línea Auxiliar Ex-Secante

“«Es el exceso del al; secante a partir de la unidad ». Se mide a partir del origen de arcos A(1; 0),

hasta el punto donde termina la secante de ese arco. Apunta hacia el punto donde termina la secante.

En el gráfico:

Se observa que representa a la Ex-Secante del arco trigonométrico .

Cumple la Fórmula:

ExSec() = Sec - 1

PROBLEMAS PARA LA CLASE

01. Indicar verdadero (V) o (F)

I. sen230° > sen310°

II. cos65° < cos 290°

III. cos15° > sen15°

Rpta.:

02. En la C.T. se tiene que:

90º < X1 < X2 < 135º, cual de las siguientes

proposiciones es falsa.

Rpta.:

03. Calcular en la C.T.:

Rpta.:

04. En el gráfico calcular :

Rpta.:

5. Determinar las coordenadas de P:

Rpta.:

06. Indicar si es V o F.

Rpta.:

07. De la figura:

Calcular

Rpta.:

08. Al ordenar en forma descendente los

siguientes valores Tg50º; Tg100º, Tg180º,

Tg200º, Tg290º. El cuarto término es:

Rpta.:

09. En la figura hallar: PQ

Rpta.:

10. En la C.T. hallar el valor de la región

sombreada.

Rpta.:

11. En la circunferencia trigonométrica

mostrada.

y OM = MB. Calcular el área de

la región triangular OMP.

Rpta.:

12. En la C.T. mostrada calcular Tg + Tg +

Sex

Rpta.:

13. Hallar el área de la región sombreada:

Rpta.:

14. En el gráfico. Calcular RQ:

Rpta.:

15. Indicar en la circunferencia trigonométrica, la

expresión falsa.

a)

b)

c)

d)

e)

Rpta.:

16.

Hallar el área de la región triangular PBQ

Rpta.:

17. Calcular el área de la Región sombreada

Rpta.:

18. Si II < < < II

Señale las proposiciones verdaderas.

I. Tg < Tg

II. Tg . Ctg < 0

III. Ctg < Ctg

Rpta.:

19. En la C.T. mostrada. Hallar el área de la

región sombreada.

Rpta.:

20. Indicar los signos de cada expresión:

A : Tg1.Tg2

B: Ctg2.Ctg3

C: Ctg1:Tg3

Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CASA

01. Indicar verdadero (V) o Falso (F) lo

incorrecto.

I. Sen50º - Cos70º > 0

II. Tg50º - Tg200º > 0

III. Ctg89º + Ctg350º > 0

02. Si . Indicar si es (V) o

(F) si es falso.

a) VFV b) VFF c) VVF

d) FVF e) VVV

03. Hallar las coordenadas de P

a) (1; Tg) b) (1; -Tg)

c) (-1; Tg) d) (1; Ctg)

e) (1; -Ctg)

04. En la C.T. hallar:

a) csc.ctg b) cos.tg

c) sen.ctg d) cos.csc

e) sec.tg

05. Calcular el área de la región sombreada.

a) Sen b) cos c) 2sen

d) 2cos e) sen

06. De la C.T. que se muestra calcular :

a) b) c)

d) e)

07. Calcular el área de la región triangular

ABC

a) b) c)

B C

AO

E

F

D

P

d) e)

08. En la circunferencia trigonométrica halle Tg +

Ctg. Si CP = 2x + 1 y = 4x + 1

a) 4/3 b) 13/12 c)25/2

d) 12/13 e) 25/3

09. Halla el área de la región sombreada.

a) 3Cos b) Cos c)

d) 2cos e)

10. En la figura se muestra la cuarta parte de

la C.T. a que es igual

a) Sen - Cos b) Cos-Sen

c) Tg d) Cos

e) Sen

11. Hallar el área de la región sombreada de la

C.T. mostrada.

a) Cos b)

c) d) sen

e)

12. I. Si: < Tg < Tg

II. Si: > Tg > Tg

III. Si: < Ctg < Tg

Indique V o F

a) VFF b) VVV c) VFV

d) FFV e) FFF

13. Calcular el área de la región sombreada.

a) sec b) Tg c) Tg2

d) Csc2 e) Sen2

14. Sabiendo que: 90º < X 135º, indicar el

valor de verdad de cada una de las

siguientes proposiciones:

I. Senx > Tg x

II. Cosx < Tg x

III. Senx + Cosx > Tgx

a) VVV b) VFV c) VFF

d) VVF e) FVV

15. En la C.T. mostrada

90º < < 135º. Si a, b y c son líneas

geométricas indicar respectivamente los

signos de a + b, a + c, b + c.

a) (-) (-) (+) b) (-) (+) (-)

c) (-) (-) (-) d) (+) (+) (+)

e) (+) (+) (-)

TEMA: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Este capitulo es muy extenso y muy importante a su vez por que va a servir como base para capítulos

posteriores, esta considerado como clave dentro de la trigonometría, y definitivamente tendremos que

demostrar las razones por las cuales se les considera de gran importancia en el desarrollo de la

asignatura.

Obs:

- La Igualdad (x - 2)(x + 2) = 0; Es cierto si solamente si; cuando x = 2 ó x = -2

A este tipo de igualdad se le denomina “Ecuación Condi-cional”

- En cambio la igualdad (x – 2) (x + 2) x² -9, cumple para todo valor de “x”

A este tipo de igualdad se le denomina “Identidad”

- Recordar que no existe la división entre cero

- Para indicar una identidad, se utiliza el símbolo ““ que se lee: “Idéntico a”

Definición:

Una Identidad Trigonométrica es una igualdad que contienen expresiones trigonométricas que se

cumplen para todo valor admisible del ángulo:

Por Ejemplo: La Identidad ‘sen² + cos² = 1", Comprobemos la valides de la Identidad:

Para = 37° Sen²37+ cos²37 = 1

Identidades Fundamentales:

Las identidades trigonométricas fundamentales, sirven de base par la demostración de otras

identidades mas complejas

se clasifican en:

1.- Por cociente

2.- Reciprocas

3.- PiTgóricas

Para obtener dichas identidades, hacemos uso de la circunferencia trigonométrica.

Y

X

C .T.

0

1

T

Y

P

X

C .T.

0

1

T

1. Identidades por Cociente:

Sabemos que PT = | Sen|

OT = |Cos| , (en el ejemplo ambos (+) ya que I C. y en el triángulo Rec. POT: Tg =

Tg =

Tg = Demostrado

De la misma manera se demuestra: Cot =

En Resumen: Las identidades por cociente son:

Se observa que:

Tg =

A continuación veremos las identidades recíprocas

2. Identidades Recíprocas:

Y

PB

X

C .T.

0

1

T A

Sabemos que PT = | Sen| y también OT = |Cos|

Luego: En el triangulo POT, se observa:

Csc =

y

Sec =

(sen y cos (+) ya que Ic)

Por lo tanto:

y

En resumen:

Las identidades recíprocas son:

3. Identidades Pitagóricas:

Recordemos que: P = P (cos; sen) es decir: PT = |Cos| y también: OT = |sen| y en el

triángulo rec. POT: por el teorema de Pitágoras.

(OP)2 = (OT)2 + (PT)2

12 = (|Sen|)2 + (|Cos|)2

1 = Sen2 + Cos2 … (I)

Demostrado

Con la identidad (I), demostramos también:

1 + Tg2 = Sec2 y 1 + Cot2

= Csc2

De la siguiente manera

Sen2 + Cos2 =1

Dividimos ambos miembros entre (Sen2):

Finalmente:

De las identidades por división:

Y de la identidad por cociente:

Reemplazamos:

(1)2 + (Ctg)2 = (Csc)2

∴ 1 + Ctg2 = Csc2

De similar manera se demuestra: 1 + Tg2 = Sec2

De similar manera se demuestra:

1 + Tg2 = Sec2

En resumen las identidades pitagóricas son:

- Sen2 + Cos2 = 1

- 1 + Tg2 = Sec2

- 1 + Ctg2 = Csc2

Algunas Identidades Auxiliares

Sen4 + Cos4 = 1 – 2Sen2 Cos2

Tg + Ctg = Sec.Csc

Sen6 + Cos6 = 1

– 3Sen2.Cos2

Sec2 + Csc2 = Sec2 . Csc2

Los ejercicios sobre identidades son de 4 tipos:

2

Sen12

SenSen2

SenSen

a) Demostraciones:

Para demostrar una identidad, implica que el primer miembro o viceversa ó que cada miembro por

separado se pueda reducir a una misma forma.

Ejm:

- Demostrar que : Csc - Ctg . Cos = Sen

Resolución:

Csc - Ctg . cos = sen

Sen = Sen. Demostrado

b) Demostrar que:

Resolución

Utilizamos artificios:

Luego se tendría

. (Demostrado)

c) Simplificaciones:

Lo que se busca es una expresión reducida de la planteada con ayuda de las identidades

fundamentales y/o auxiliares. Utilizar transforma-ciones algebraicas.

Ejms.

1) Simplificar:

(2Cos2-1)2 + 4Sen2Cos2

Resolución:

(2Cos2-1)2 + 4Sen2 Cos2

(2cos² - 2(2cos²)(1) + 1 + 4sen² Cos²

4cos²cos² - 4cos² + 1 + 4sen²cos²

4cos² [cos² - 1 + sen²] + 1

4cos² [(cos² + sen²) - 1] + 1

4cos² [1 - 1] + 1

4cos²(0) + 1 = 1

2) Simplificar:

(1 - cosx) (Cscx + Ctgx)

Resolución:

(1-Cosx)

(1-Cosx)

d) Condicionales:

Si la condición es complicada debemos simplificarla y así llegar a una expresión que pueda ser la

pedida o que nos permita hallar lo que nos piden. Si la condición es sencilla se procede a

encontrar la expresión pedida.

Ejms.

a) Si Sen + Csc = a.

Calcular el valor de

E = Sen2 + Csc2

Resolución

Si: sen + Csc = a (Elevemos al cuadrado)

(Sen + Csc = a²

Sen² + 2(Sen)(Csc + Csc²

= a²

Sen² + 2 + Csc² = a²

Sen² + Csc² = a² - 2

E = a² - 2

SenxSenx

xxSen

Senx

x2Cos1

b) Si: senx - cosx = m .

Hallar el valor de:

D = 1 -2senxcosx

Resolución

senx - cosx = m (elevemos al cuadrado)

(Senx cosx)² = m²

sen²x - 2senx Cosx + Cos²x = m²

Sen²x + Cos²x - 2senxcosx = m²

1 - 2senxcosx = m²

D = m²

e) Eliminación del Ángulo:

Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas relaciones trigonométricas debemos hallar

relaciones algebraicas en la cual no aparezca el ángulo. Nos ayudaremos de identidades como por

Ejem.

Tgx.Ctgx = 1

Senx.Cscx = 1

Cosx.secx = 1

Sen²x + cos²x = 1

Sec²x - Tg²x = 1

Csc²x - Ctg²x = 1

Ejm.:

1. Eliminar “” de:

Csc = m + n …(1)

Ctg = m – n …(2)

Resolución:

Csc = n + n (Elevamos ambas expresiones al cuadrado)

Ctg = m – n

Csc2 = (m+n)2 = m2+2mn+n2 (-)

Csc2 = (m+n)2 = m2 -2mn+n2

1 = 4mn

Recomendación:

Cuando en un problema de identidades trigonométricas estés frente a esta expresión:

)2n2mn-2(m - 2n2mn2m 2Ctg-2Csc

E = (senx ± cosx) y se te pide “senx.cosx”, se recomienda que eleves al cuadrado ambos miembros

para obtener:

E² = (senx ± cosx)² = sen² ± 2senxcosx - cos²x

E² = Sen²x + Cos²x ± 2Senx.Cosx

E² = 1 ± 2 SenxCosx

Lo que se pide

Identidad Importante:

(1 ± sen ± cos)² =

2 (1± sen)(1± cos)

Demostración: Recordemos

(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab+bc+ac)

(1± sen ± cos)² = 1² + (±sen)² + (±cos)² + 2[1(±sen) + 1(±cos)+ (±sen)(±cos)]

= 1 + sen² + cos² + 2[1(±sen) + 1(±cos) + (±sen)(±cos)

Agrupamos nuevamente

2 + 2[1(±sen)+ 1 (±cos) + (±sen)(±cos)]

= 2[1 + (±sen) + (±cos) + (±sen)(±cos)]

= 2[(1 ± (±sen) + (±cos(1 + (±sen))]

= 2[(1± (±sen)[1 + (± cos)]

(1 ± sen ± cos)² = 2(1± sen)

(1 ± cos) ………...(Demostrado)

ROBLEMAS PARA LA CLASE

01. Demostrar las siguientes identidades:

a) (Csc + Ctg)² =

b)

c)

02. Simplificar las siguientes expresiones:

a)

b)

c)

03. Eliminar el ángulo en las siguientes

expresiones:

a) x = 3sen ....(1)

y = 2cos.......(2)

b) x = cos...................(1)

y = cos² - sen²......(2)

c) 1 + Ctg = n.............(1)

sen = …........(2)

04. Si: Secx - Tgx = 0,75

Entonces el valor de:

Secx + Tgx , es:

Rpta.:

05. Si cos + sec = 3

Calcular el valor de:

sec² - sen²

Rpta.:

06. Si Sen - Cos = Tg30°

Calcular el valor de:

Sen4 + Cos4

Rpta.:

07. Si 1 + Tgx = asecx y

1 - Tgx = bsecx

calcular a² + b²

Rpta.:

08. Simplificar:

Tal que (0 < x < /2)

Rpta.:

09. Reducir:

10. Simplificar la expresión:

Rpta.

11. Dado:

Hallar:

Rpta.:

12. Simplificar la expresión

Rpta.:

13. Simplificar la siguiente expresión:

Rpta.:

14. Si a = senx; b = tg, encontrar el valor de:

R =(1 - a²)(1 + b²)

Rpta.:

15. Eliminar a partir de:

Sen + cos = .... (I)

Tg + Ctg = ..............(II)

Rpta.:

16. Señale cuales son identidades:

I.

II.

III.

Rpta.:

17. Simplificar la expresión:

Rpta.:

18. Reducir la expresión:

Rpta.:

19. Calcular “cosx”, si se tienen la siguiente

expresión

Secx + Tgx = a

Rpta.:

20. Hallar “m”para que la siguiente igualdad

sea una identidad:

Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CASA

01. Demostrar ;las siguientes identidades:

a) (Ctg + Csc)2

b) (cosx - Ctgx)² + (senx - 1)²

(1- Cscx)²

c) (1 - Cos²) (1+ Tg2)

Tg²

02. Simplificar las siguientes expresiones:

a) Tgx(1-Ctg²x) + Ctgx(1 - Tg²x)

b)

c)

A) 1, 0, Tg4x

B) 0, 1, Tg6x

C) -1, 0, Tg6x

D) 0, -1, Tg6x

E) 0, -1, 0

03. Eliminar el ángulo en las siguientes

expresiones:

a) asenx - cosx = 1........(I)

bsenx + cosx = 1........(II)

b) m = sen + cos..........(I)

n = sen - cos ..........(II)

c) Psec²x + Tg²x = 1

Csc²x + qCtg²x = q

A) ab = 1; m² + n² = 1;

pq = 0

B) ab = -1; m² + n² = 4; pq = 1

C) ab = 0; m² + n² = 1; pq = 1

D) ab = 1; m² + n² = 1; pq = -1

E) ab = -1; m² + n² = 0; pq = 1

04. Simplificar:

a) 2 b) Tg² c) sec²

d) Csc² e) Ctg²

05. Si X I C, simplificar:

A) 2senx + cosx

B) 2senx – cosx

c) 2cosx + senx

D) 2cosx - senx

E) cosx

06. Simplifique la siguiente expresión:

A) 0 B) 1 C) -1

D) 2 E) -2

07. Si Tgx + Ctgx = .

Calcule el valor de:

a) 6 b) 9 c) 12

d) 18 e) 36

08. Simplificar la siguiente expresión:

a) 1/2 b) 1/4 c) 2/3

d) 2/5 e) 1/5

09. Si se cumple la siguiente identidad:

Calcular el valor de:

A) Tg120° B) Tg240°

C) Tg360° D) Tg60°

E) Tg30°

10. Encontrar el valor de “n”de tal manera que

se cumpla:

(Senx + cosx)(Tgx + Ctgx)

= n + Cscx

a) Secx b) Ssenx c) Cosx

d) Cscx e) Tgx

11. Simplificar:

a) 4 b) 2 c) 1

d) 1/4 e) 1/2

12. Si: asenx = bcosx

Halle el valor de:

a) a b) b c) ab

d) a/b e) b/a

13. Si senx + cosx = , calcular el valor de la

siguiente expresión:

P = secx + Cscx

a) 1/4 b) -1/4 c) 3/4

d) -3/4 e) 5/4

14. En la siguiente identidad

Halle el valor de “n”

a) 0 b) 1 c) 2

d) -1 e) -2

15. Reducir la siguiente expresión:

Tal que X I C

a) Senx b) Cosx

c) Tgx d) Senx

e) Cosx

1 S R

P Q A X

Y

MB

TEMA: SUMA Y RESTA DE DOS ANGULOS

En el presente capítulo realizaremos el estudio de las razones trigonométricas de aquellos ángulos que a su

vez están constituidas por la suma o resta de otros 2 ángulos. Iniciaremos el estudio del presente capitulo

con la demostración de las principales Identidades para ángulos compuestos que son:

* Sen( + ) = SenCos + CosSen

* Cos( + ) = CosCos-SenSen

Demostración:

A partir del grafico:

Se observa:

Sen ( + ) = MP = PS + SM = QR + SM; (PS = QR)

En el OQR QR = ORSen = Sen.Cos; (OR = Cos); (OR = Cos)

En el MSR SM = RMCos = Cos.Sen; (RM = Sen)

Reemplazando

Sen (+) = Sen Cos

+ Cos.Sen …….. Demostrado

También observamos:

Cos(+) = OP = OQ - PQ = OQ - SR; (PQ = SR)

En el OQR OQ = ORCos = Cos.Cos; (OR = Cos)

En el MSR SR = MRSen = Sen.Sen; (MR = Sen)

Reemplazamos:

Cos(+) = CosOC.Cos - Sen.Sen .......(Demostrado)

Procedemos ahora a obtener la Tg(+) de la siguiente manera:

Sabemos que:

Tg(+) =

Dividimos a la expresión por (Cos.Cos)

Tg(+) =

Simplificando obtendremos:

Tg(+) =

Tg(+) =

(Demostrado)

Tomaremos en cuenta para las demás razones trigonométricas que:

Identidades Trigonométricas para la Diferencia de Ángulos:

Usando las Identidades para la suma de ángulos (ya demostrados), deducimos las identidades para

la diferencia de ángulos, utilizando el siguiente artificio.

* Sen(+) = sen(+(-))

Sen(+(-)) =

Demostrado

* Cos(-) = Cos(+())

Cos(+(-)) = Cos . Cos(-) - SenSen(-)

Cos - Sen

(Demostrado)

* Tg(-) =Tg(+(-))

Tg( +(-)) =

Tg(-) =

(Demostrado)

De igual manera tomar en cuenta que:

Algunas Propiedades de Importancia

* Sen(-).Sen(-) = Sen² - Sen²

* Tg + Tg + Tg(+).Tg.Tg = Tg(+)

* Si: + + = 180° Tg + Tg + Tg = Tg . Tg . Tg

* Si: + + = 90° Tg . Tg + Tg . Tg + Tg. Tg = 1

Demostremos las propiedades

a) “sen(+). sen(-) = Sen² - sen²”

Sabemos que:

Sen(+) = Sencos + cossen ..(I)

Sen(-) = sencos - cossen ..(II)

Multiplicamos Miembro a miembro:

sen( + ).sen( - ) = sen² - cos² - cos² - sen²

Reemplazamos:

Cos² = 1 - sen

Cos² = 1 - sen²

sen( + ) sen(-) = sen²(1 - sen²) - (1 - sen²)sen²

= sen² - sen².sen² - [sen² - sen².sen²]

= sen² - sen².sen² - sen² + sen².sen²

sen(+).sen(-) = sen² - sen²......................(Demostrado)

b) “Tg + Tg + Tg(+). TgTg = Tg(+)”

Sabemos que:

Tg(+) =

Multiplicamos (1-Tg.Tg) a ambos miembros:

(1 - Tg.Tg)Tg(+) = (1 - Tg.Tg)

Tg(+) -TgTg.Tg(+) = Tg + Tg

Ordenamos convenientemente:

Tg + Tg + Tg( + ).TgTg = Tg( + ) Demostrado

c) Si: “ + + = 180° Tg + Tg + Tg = Tg Tg Tg”

Sabemos que:

+ + = 180° + = 180° -

Tomamos tangente a ambos miembros:

Tg( + ) = Tg(180° - )

= -Tg

Tg + Tg = -Tg (1 - TgTg)

Tg + Tg = -Tg + Tg.Tg.Tg

Ordenamos convenientemente:

Tg + Tg + Tg = Tg Tg Tg (Demostrado)

d) Si: “ + + = 90° Tg. Tg + Tg. Tg + Tg. Tg = 1"

Sabemos que:

+ + = 90° + = 90° -

Tomamos tangente a ambos miembros:

Tg( + ) = Tg(90° - )

Tg (Tg + Tg) = 1 - Tg.Tg

Tg .Tg + Tg.Tg = 1 - Tg.Tg

Ordenamos convenientemente:

Tg.Tg+Tg.Tg+Tg.Tg =1

5 3 ºA

B C

D

3 0 ºB

2 x

32 3

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Simplificar la siguiente expresión

Rpta.:

2. Si Sen(x+y) = 0,8 Cosy + 0,6Seny

Calcular Tgx:

Rpta.:

3. Calcular el valor de:

Rpta.:

4. Reducir la siguiente expresión:

Rpta.:

5. Calcular “Tg” ABCD: (Cuadrado)

Rpta.:

6. Calcular el valor “” si se cumple que:

Además ( IC)

Rpta.:

7. En la figura adjunta determinar el valor de

“x”.

Rpta.:

8. En un triángulo ABC las tangentes de los

ángulos A y B valen 2 y 3, Calcular el

ángulo “C”:

Rpta.:

9. Determinar el valor de la siguiente

expresión trígono-métrica.

R = Ctg ( - + ). Si

Rpta.:

10. Calcular el valor de la siguiente expresión:

Rpta.:

11. Si las raíces de la ecuación X2 + Px + 9 =

0 son Tg y Tg. Calcular el valor de:

Rpta.:

A

B C

D

5

1 2

1 4

M

QP

T

B

D

A3 0

C

12. Calcular Tg (ABCD: Cuadrado).

Rpta.:

13. Si sabemos que:

Tg(3a - 3b) = 3 Tg (3a + 3b) = 5

Determinar el valor de: Tg6.

Rpta.:

14. Si sabemos que:

K(Sen100+Sen10) = (Sen65+

Sen25)

Determinar el valor de K.

Rpta.:

15. De la figura determinar el valor de

Sen

Rpta.:

16. Calcular el valor de la expresión siguiente:

M = Cos345º + Cos15º - Tg165º

Rpta.:

17. Si CtgCtg = 1 y además = Csc"Cs$,

calcular el valor de [Sec($-") .

Rpta.:

18. En la figura adjunta, PM es mediana y "+

$ = /6. Calcular Tg$:

Rpta.:

19. Simplificar la siguiente expresión:

Rpta.:

20. En la figura que se muestra, los triángulos

ABC y AOB son rectos en B y D

respectivamente. Si AB = 4 y BD = DC.

Encontrar el valor de la Tg".

Rpta.:

P V T S

Q R

5

4

8

2

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Determinare el valor de la siguiente

expresión:

a) 1 b) 2

c) 3 d)

e)

2. Simplificar la siguiente expresión

a) 2 b)

c) 1 d)

e)

3. En el gráfico adjunto determinar Ctg:

a) b)

c) d)

e)

4. Determinar el valor de:

F = Tg66.Ctg57-Ctg24Ctg33

a) 2 b)

c) 1 d) -1

e) -2

5. Si sabemos que:

Tg2" – Tg2$ + 2Tg2" Tg2$ = 2 y además

Tg(" -$ ) = 3.

Determinar el valor de Tg ("+$).

a) 6 b)

c) d)

e)

6. En la figura PQRS es un trapecio

isósceles, QRTV es un cuadrado y además

PR = PS

Hallar Tg .

a) b)

c) d)

e)

7. Calcular el valor de M:

a) 3 b)

c) 2| d)

e) 1

A

2

4

6

9. Reducir la siguiente expresión:

a) 1 b) 2

c) Senx d) Cosx

e) Tgx

10. Reducir la siguiente expresión

trigonométrica:

a) Sen70º b) Cos70º

c) 2Sen70º d) 2Cos70º

e) 2Sen50º

11. Determinar el valor de:

J = Tg35º+Cot80º+Cto55º.Tg10º

a) 3 b) 2

c) 1 d) 0

e) – 1

12. Hallar el valor de la siguiente expresión:

a) 1 b) ½

c) ¼ d) 1/8

e) 1/16

13. Si Tg("+$) = 33. Calcular el valor de

Tg2$. Si Tg" = 3.

a) 62/91 b) 60/91

c) 61/91 d) 63/91

d) 64/91

14. Si a – b = calcular el valor de:

a) 3 b) 1

c) d)

e) -3

15. Calcular el valor de la Tg$ en el gráfico

siguiente:

a) 1 b) ½

c) 2 d) 1/3

e) 3

TEMA: RECTA

LA RECTA EN EL PLANO CARTESIANO

ELEMENTOSToda recta ubicada en un plano cartesiano, presenta básicamente los siguientes elementos:

1) : ángulo de inclinación (0° < 180°)2) a y b: interceptos de la recta con los ejes cartesianos.3) Po: punto de paso de la recta.

y

xO

a

b

0P

PENDIENTE DE UNA RECTA (m):Es el concepto mas importante al interior del capitulo, e incluso dentro del análisis matemático. Se define como la tangente del ángulo de inclinación de la recta considerada. Es decir:

Observación:Cuando “” sea obtuso;Se puede usar: m = -Tg(180° – )

Por ejemplo: = 45° m = Tg45° = 1 = 60° m = Tg60° =

= 135° m = Tg135° = y

x

L

Observación:i) Si la pendiente de una recta es positiva, entonces su ángulo de inclinación es agudo.ii) Si la pendiente de una recta es negativa, entonces su ángulo de inclinación es obtuso.L

x

L

x

Obtención de la pendiente con dos puntos de pasoCuando no se tiene el ángulo de inclinación, pero se conocen dos puntos de paso P1(x1 ; y2) y P2(x2 ; y2), la pendiente se puede obtener de la siguiente manera.

: Ángulo obtusom < 0

: Ángulo agudom>0

Si hacemos:y

x

2y

1y

12 xx

2P

1P

2x1x

12 yy

Por ejemplo, si la recta pasa por P1(-2 ; 3) y P2(1 ; 5), su pendiente se determinaría así:

PROPIEDADES SOBRE LA PENDIENTE

1) Para dos rectas paralelas L1 y L2, se cumplirá que sus pendientes son iguales, es decir: L1 // L2 m1 = m2

2) Para dos rectas oblicuas L1 y L2, se cumplirá que si son perpendiculares, el producto de sus pendientes será igual a: -1. Es decir: L1 L2 m1 – m2 = -1

x

y 2L1L

x

y

21

1L2L

ECUACIÓN DE UNA RECTALa ecuación de una recta es la condición algebraica que deben verificar tanto la abscisa como la ordenada de todo punto perteneciente a la recta. Si las coordenadas del punto no verifican la ecuación, dicho punto se sitúa fuera de la recta. Para hallar la ecuación de una recta se necesitara de la pendiente y un punto de paso, esto es:

Se conocen: m = Tg P0(x0 ; y0) La ecuación es:

L

)y;x(P0

)y;x(P oo0

Por ejemplo, si: m = 2/3 y P0(1 ; 3)La ecuación seria: y – y0 = m(x – x0)

y – 3 = Operando y ordenando: 2x – 3y + 7 = 0 (Ecuación general de la recta)

NOTA: A la ecuación de la forma: ax + by + c = 0, se le llama ecuación general de la recta, ampliándose:

; a , b 0

POSICIONES PARTICULARES DE UNA RECTA

* Rectas Verticales * Rectas Horizontales

x

y L

a x

y

Lb

Ecuación: L: x = a Ecuación: L : y = bm = No definido m = 0

GRAFICA DE UNA RECTAPara graficar una recta, se procede a ubicar dos puntos de ella y trazar por esos dos puntos la recta que representara a la que se pide hallar. En la ecuación de la recta de referencia se hace.

x = 0 y = b Punto: (0 ; b)y = 0 x = a Punto: (a ; b)

y

xO

(0 ; b)

(a ; 0)

Por ejemplo, grafique a la recta: L1 : 2x – y + 2 = 0

x = 0 y = 2 y = 0 x = -1

x

y

-1

2

INTERSECCIÓN DE RECTASPara intersectar dos rectas, se toman sus ecuaciones y se resuelve como un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. Los valores encontrados para x e y, serán la abscisa y ordenada del punto de intersección.

Por ejemplo: Halle el punto de intersección de las rectas:

L1: 2x – y + 7 = 0 ; L2: 3x + y + 3 = 0

Resolviendo: 2x – y + 7 = 03x + y + 3 = 0

Sumando: 5x = -10 x = -2Luego: L1 L2 = (-2 ; 3)

2L

1L

P

CONSIDERACIONES

1) Si la recta para por (0 ; b) y (a ; 0), a la ecuación se le llama ecuación simétrica de la recta.

2) A la ecuación: , se le llama ecuación pendiente – intercepto de la recta.Donde:

m: pendiente b: intercepto con el eje y

ÁNGULO ENTRE SOS RECTAS ARBITRARIAS

Consideremos dos rectas cualesquiera que se cortan en un punto A, como se ve en la figura.y

x

1L2L

12

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

La distancia “d” de un punto P0(x0 ; y0) a una recta de ecuación: Ax + By + C = 0 esta dada por:

Ax + B

y + C

= 0

)y;x(P oo0

d

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

La distancia “d” entre dos rectas paralelas L1 y L2 esta dada por:

d

0CByAx:L 22

0CByAx:L 11

ECUACIÓN PARAMETRICA DELA RECTA

Es la representación analítica de una recta L por medio de un par de ecuaciones en las cuales cada una de las dos variables x e y esta expresada en función de una tercera variable.

PROBLEMAS PARA LA CLASE

01) Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (2 ; -1) y cuya pendiente es: -3/5

02) Hallar el área del rectángulo formado por los ejes cartesianos y las rectas: y = 2 ; x = 4

03) Graficar la recta: L: x–3y–6 = 004) En el grafico, L1 L2. Calcular la distancia

del punto P a la recta L2.

y

x

(0 ; 8)

(6 ; 0)

P(15 ; 5)

05) En el grafico mostrado, “O1” es centro del rectángulo ABCD, AB = 3(AD) = 2(DA) = 6; determinar la ecuación de la recta L.

y

x37°

B C

D A

L

O

06) En el grafico mostrado R = 3r = 6, siendo P y Q puntos de tangencia, hallar la ecuación de L.

y

x

P

Q R

r

O

L

07) Una recta tiene interceptos y pasa por (3 ; 2). Hallar su ecuación:

08) Una recta pasa por (3 ; 5) de modo que el segmento de ella situado ente los ejes coordenados, es dividido por el punto dado en su mitad. Halle su ecuación.

09) Halle el valor de “a”,de modo que la recta: ax + (a – 1)y + 14 = 0; sea paralela a la recta; 4x + 3y + 7 = 0

10) Se da la recta: 2x + 3y + 4 = 0. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M (2 ; 1) y es perpendicular a la recta dada.

11) Hallar la ecuación de la recta de pendiente -0,75 y que forme con los semiejes coordenados positivos un triangulo de perímetro 36.

12) Halle la ecuación del a mediatriz del segmento cuyos extremos son A(-1 ; 3) y B(5 ; 7)

13) Hallar la proyección del punto P(-6 ; 4) sobre la recta: 4x – 5y + 3 = 0

14) Hallar el punto “Q” simétrico al punto P(-5 ; 13), relativo a la recta: 2x – 3y – 3 = 0

15) Sean las rectas: L1: 3x – 4y + 2 = 0L2: 7x – y + 1 = 0Determinar el ángulo agudo que forman L1

y L2

16) Determinar la distancia del punto P0(7 ; 1) a la recta de ecuación: 3x + 4y + 5 = 0

17) Dadas las ecuaciones de dos lados de un cuadrado:

4x – 3y + 3 = 0 ; 4x – 3y – 17 = 0Determinar su área

18) Dada la ecuación paramétrica de la recta L:

Hallar la ecuación cartesiana de L.

19) Señale la ecuación de la recta que pasa por: A = (2 ; 2) y B = (4 ; 3)

20) Hallar la ecuación de la recta “L”

y

x

(9 ; 7)

(1 ; 5)

PROBLEMAS PARA LA CASA

01) Señale la ecuación de la recta que pasa por: (-1 , 4) y tiene como ángulo de inclinación: 37°

a) 3x – 4y + 19 = 0b) 2x – 2y + 9 = 0c) 3x – 5y + 9 = 0d) 3x – 4y = 0e) 2x – 4y + 19 = 0

02) El ángulo de inclinación de una recta que no pasa por el segundo cuadrante es de 45°. Hallar su ecuación, si su distancia al origen es

.

a) y – x – 6 = 0

b) x – y – 12 = 0c) x + y – 12 = 0d) x – 2y – 12 = 0e) x + 2y – 6 = 0

03) Los vértices de un triangulo tiene por coordenadas: A(-3 ; 4) ; B(6 ; 8) y C(8 ; -2), hallar la ecuación de la recta que contiene a la altura

a) 6y + 11x – 18 = 0b) 3y – 11x + 18 = 0c) 6y – 11x + 18 = 0d) 3y – 11x + 9 = 0e) 2x – 11y + 18 = 0

04) La recta que pasa por el punto (2 ; 1) y es perpendicular a la recta: 3x – 4y + 12 = 0; tiene por ecuación:

a) 3x + 2y – 12 = 0b) 2x – 6y – 13 = 0c) 4x – 3y – 12 = 0d) 4x + 3y – 11 = 0e) 2x – 3y – 11 = 0

05) Sean las rectas L1 y L2 perpendiculares entre si, tal que L1 contiene a los puntos: (-2 ; 3) y (1 ; 5); la recta L2 tiene por ecuación: 2ax – (a + 3)y = 5. Calcular a.

a) b) c)

d) e) -1

06) Dos lados de un cuadrado están en las rectas:

5x – 12y + 26 = 05x – 12y – 65 = 0

Calcular el ara de dicho cuadrado.

a) 36 b) 49 c) 25d) 81 e) 4

07) Hallar al proyección del punto P(-6 ; 4) sobre la recta: 4x – 5y + 3 = 0

a) (-1 ; 2) b) (-3 ; 2)

c) (-2 ; -1) d)

e)

08) Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (3 ; 2), cuya pendiente es negativa y forma con la recta: L : y = 2x + 6; un ángulo que mide 45°

a) 3x + y – 11 = 0b) 2x + y – 11 = 0c) 3x + y – 100 = 0d) 2x + y – 11 = 0e) 3x + 2y – 11 = 0

09) Determinar la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo formado por las dos rectas:

L1: 5x – 12y + 3 = 0L2: 3x + 4y – 5 = 0

a) 7x + 56y – 30 = 0b) 7x + 56y – 40 = 0c) 6x + 56y – 40 = 0d) 7x + 56y = 0e) 8x – 56y – 40 = 0

10) En el grafico mostrado, si el área de la región cuadrada ABCD es 162 y la ecuación de L es: 4x – 3y – 8 = 0, calcular L

x

y

B C

D A O E

a) b) c) d) e)

11) Entre las rectas que pasan por el punto P(3 ; 0). Hallar una manera que el segmento comprendido entre las rectas:

L1: x + y + 3 = 0L2: 2x – y – 2 = 0

Sea dividido por la mitad en el punto P.

a) 8x – y – 24 = 0b) 3x – y – 24 = 0c) 8x – 2y – 24 = 0d) 8x – y – 12 = 0e) 3x – 4y – 24 = 0

12) Si la recta que contiene a los puntos (-8 ; k) y (2 ; 1) es paralela a la recta que contiene los puntos (11 ; -1) y (7 ; k + 1). ¿Cuál debe ser el valor de k?

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

13) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (7 ; -6) y es paralela a la recta de ecuación: x – 2y + 2 = 0

a) y = x – 19b) 2y = x – 2c) 2y = x – 19d) 8y = x – 19

14) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2 ; 0) y es perpendicular a la recta de ecuación:

a) 2y = 3x + 6b) y = 3x + 6c) y = 2x + 3d) 2y = 3x + 5

15) Una recta tiene pendiente -1 y contiene al punto (-2 ; 5). ¿Cuál es la coordenada y de un punto de la recta cuya coordenada x es 8?

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

TEMA: CIRCUNFERENCIA

Definición: Una circunferencia es el conjunto de puntos de un plano que se encuentra a una distancia constante de un punto fijo.En un punto fijo se llama centro de la circunferencia la distancia constante es la longitud del radio de la circunferencia.

Radio

Centro

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIASea P(x ; y) un punto cualquiera de la circunferencia de centro C(n ; k) y radio r. Entonces por definición de circunferencia, se debe cumplir:

r

y

xO

P(x ; y)

C(n ; k)

Aplicando la formula de distancia entre dos puntos, tenemos:

A esta ecuación se le denomina:“Ecuación Ordinaria de una circunferencia”

Esta es una ecuación cuadrática de dos variables que llevada a su forma general quedaría:x2 + y2 + Cx + Dy + E = 0

(Ecuación general de una Circunferencia)

COROLARIOSi el centro de la circunferencia es el origen, la ecuación de la circunferencia se reduce a:

La cual es llamada: “Ecuación canónica de una circunferencia”

r

y

xO (0 ; 0)

PROBLEMAS PARA LA CLASE

01) Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en (3 ; 4) y radio 5Rpta.:

* En cada caso, hallar la ecuación de la circunferencia:

02) C(-1 ; 5) ; r = 4Rpta.:

03) C(6 ; -6) ; r =

Rpta.:

04) C ; r =

Rpta.:

* En cada caso, hallar las coordenadas del centro y la longitud del radio de las circunferencias que tiene por ecuaciones:

05) x2 + y2 = 9Rpta.:

06) (x + 1)2 + (y – 4)2 = 25Rpta.:

07)

Rpta.:

08) x2 + y2 + 6x – 6y + 13 = 0Rpta.:

09) x2 + y2 – 6x = 0Rpta.:

10) 144x2 + 144y2 – 192x – 288y + 127 = 0Rpta.:

11) Hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto P(1 ; 3) de centro C(5 ; 4)Rpta.:

12) Una circunferencia , de ecuación x2 + y2 = 40 es una intersectada por una recta en los puntos A y B, cuyas coordenadas son (2 ; a) y (6 ; b) respectivamente. Calcular a + b, si a > 0 y b > 0Rpta.:

13) De la circunferencia que tiene por ecuación: (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25, hallar los puntos de intersección con los ejes coordenados.Rpta.:

14) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (-4 ; 1) y que es tangente a la recta L: 3x + 2y – 12 = 0Rpta.:

15) Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro la porción de la recta: L: 3x + 2y – 12 = 0, en el segundo cuadrante.Rpta.:

16) ¿Qué nos representa la ecuación:x2 + y2 + 8x – 14y + 66 = 0?Rpta.:

17) ¿Qué no representa la ecuación:x2 + y2 + 8x – 14y + 66 = 0?Rpta.:

18) dada la ecuación de la circunferencia:

x2 + y2 – 4x + 2y = 0¿Cuál es su radio?Rpta.:

19) hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto de intersección de las rectas:

L1: x + y – 4 = 0L2: x – y + 8 =0

Además, el origen pertenece a la curvaRpta.:

20) encontrar la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (1 ; 6) y tangente a la recta: x – y – 1 = 0Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CASA

* En cada caso, hallar la ecuación de la circunferencia.

01) C(-2 , 2) ; r = 2

a) (x + 2)2 + (y – 2)2 = 4b) (x – 2)2 + (y + 2)2 = 6c) (x + 2)2 + (y – 2)2 = 4d) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 4e) N.A.

02) C

a) (x – 3)2 + (y – 2)2 = 3

b)

c)

d)

e) N.A.

03) C(0 ; 0) ; r = 1

a) x2 + y2 = r2b) x2 + 3y2 = 4c) x2 + y2 = 1d) (x)2 – y2 = 1e) N.A.

* En cada caso, hallar las coordenadas del centro y la longitud del radio de las circunferencias siguientes:

04) (x – 2)2 + (y + 9)2 = 4

a) (2 ; -9) ; r = 2b) (2 ; 3) ; r = 3c) (3 ; 4) ; r = 2d) (2 ; 3) ; r = 2e) (2 ; -9) ; r = 4

05)

a) (3 ; 2) ; r = 16/81b) (3/2 ; -3/2) ; r = 4/9c) (3/2 ; -3/2) ; r = 9/8d) (-3/2 ; 3/2) ; r = (4/7)e) N.A.

06) x2 + (y – 5)2 = 7

a) (0 , 3) ; r = 7b) (0 ; 4) ; r = c) (0 ; 5) ; r = d) (0 ; 5) ; r = 7e) N.A.

07) x2 + y2 – 10x + 2y + 26 = 0

a) (5 ; -1) ; r = 10

b) (6 , -1) ; r = c) (5 ; -1) ; r = 6d) (5 , -2) ; r = e) N.A.

08) x2 + y2 + 8x + 4y + 16 = 0

a) (-4 ; -2) ; r = 4b) (-4 ; -2) ; r = 2c) (-4 ; 2) ; r = 3d) (-4 ; 1) ; r = 3e) N.A.

09) 2x2 + 2y2 + 2x – 2y – 7 = 0

a) (-1 ; 2) ; r = 3b) (-1/2 ; 3/2) ; (r = 1)c) (-1/2 ; -1/2) , r = 2d) (-1/2 ; 3/2) ; r = 2e) N.A.

10) Las circunferencias:

C1: x2 + y2 – 12x – 6y + 25 =0 C2: x2 + y2 +2x + y = 10

Son tangentes en el punto “P”. Las coordenadas del punto P son:

a) (3 , 2) b) (1 ; 2)c) (-2 , -1) d) (2 , 1)e) (-1 , 2)

11) ¿Qué nos representa la ecuación

x2 + y2 – 1x + 10y + 50 = 0?

a) Un punto de coordenadas (5 ; -5)

b) Una circunferencia de centro (5 , -5) y radio 2

c) Una circunferencia de centro (5 ; 2) y radio 5

d) Una elipse.

e) Una circunferencia de centro (5 ; 5) y radio 1

12) Hallar la distancia máxima y mínima del punto (-7 ; 2) a la circunferencia:

x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0

a) 28 y 26 b) 28 y 2c) 13 y 15 d) 1 y 20e) N.A.

13) Encontrar la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (1 ; 6) y tangente a la recta : x – y = 1

a) x2 + y2 – x – y + 19 = 0b) x2 + y2 – 2x + 12y – 19 = 0

c) x2 + y2 – 2x – 12y + 19 = 0d) x2 – y2 – 2x – 12y + 19 = 0e) N.A.

14) Halle la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos cuyas distancias al punto P(1 ; 1) es siempre constante e igual a 2.

a) x2 + y2 – 2(x + y) = 2b) x2 – y2 – 2(x – y) = 0

c) x2 + y2 + 2(x + y) = 0d) x2 + y2 – (x + y) = 0

15) Halle la ecuación de la circunferencia canónica que pasa por: (-3 ; 4)

a) x2 + y2 = 36b) x2 + y2 = 25c) x2 + (y – 2)2 = 25d) (x – 4)2 + (y – 4)2 = 27e) N.A.

BIBLIOGRAFÍA

1. Trigonometría Elemental

H.S. may y S.R. Knight

Editorial Hispano América – 1961

2. Análisis Matemático

Segunda Edición

T.M. Apostol

Editorial Reverté S.A. – 1993

3. Trigonometría – Teoría y Práctica

Rubén Alva Cabrera

Colección UNICIENCIA

4. Trigonometría – Primer Nivel

Juan Carlos Sandoval Peña

Colección RACSO

5. Trigonometría – In advance

Adrián Infanzón

Ediciones IMPECUS