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TrigonometraCompendio de Ciencias - II - A

109SISTEMA HELICOIDAL

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Trigonometra Compendio de Ciencias - II - A

110 PASCUAL SACO OLIVEROS

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Identificarlasrazonesrecprocas. Aplicarlasrazonestrigonomtricasensituacionesproblemticas. Identificarlasrazonescomplementarias(Co-Razones). Aplicarlasrazonescomplementariasensituacionesproblemticas.

PROPIEDADES DE RAZONES TRIGONOMTRICASEN NGULOS AGUDOS: RECPROCAS Y CO-RAZONES

RAZONES RECPROCAS Dos razones trigonomtricas de ngulos agudosson recprocas si el producto de ellas es igual auno, es decir: seno y cosecante, coseno y secante,tangente y cotangente.

Entonces, si 0 < < 90

EJEMPLOS:1. sen 80 csc 80 = 1

2.3. tg 50 ctg 50 = 14. Halle x si 0

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porque sec 40 = csc 50

2. Hallexsi sen 2xsecx= 1

1. Si 0 < a < 90

demuestre que:Resolucin:

i)

ii) Propiedad:

de i):

2. Problema Si: 0 < , < 90

Adems y son ngulos complementarios.

Demuestre que el mnimo valor de:(tg + tg ) es 2.Resolucin:

1. Calcule:

Rpta.: ...........................................................

2. Calcule:

Rpta.: ...........................................................

3. Si: y son ngulos agudos, adems:sen = cos 2tg ctg 3 = 1, calcule .

Rpta.: ...........................................................

4. Reducir:

Rpta.: ...........................................................

5. Si: A = sen 10 sen 20 ... sen 80B = cos 10 cos 20 ... cos 80

Calcule:

Rpta.: ...........................................................

6. Si: cos 4 csc 2 = 1 ; 0 < < 90Calcule: K = 2 sen 2 + 3 tg 3 + 4 cos 4

Rpta.: ...........................................................

7. Si: y son ngulos complementarios talque:

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Calcule: .

Rpta.: ...........................................................

8. Si la suma de la tangente con la cotangente deun ngulo es 5, calcule la suma de tangente conla cotangente del complemento de dicho nguloagudo.

Rpta.: ...........................................................

9. Si:

, calcule: tg

Rpta.: ...........................................................

10.Si: a + b + c = 90, reducir:

Rpta.: ...........................................................

11.Si tg (2 + ) = ctg ( + 2), donde y sonngulos agudos, calcule:

Rpta.: ...........................................................

12.Si y son ngulos agudos, adems:tg ( + 45) = ctg ( 45)

calcule:

Rpta.: ...........................................................

13.Calcule , siendo ngulos agudos tal que:sen (2 + 15) = cos ( 15) ............... (1)

tg ( + 7) = ctg (2 9) ............... (2)

Rpta.: ...........................................................

14.Siendo y ngulos agudos tal que:

sen csc (2 13) = tg 15 tg 45 tg 75 ...(1)cos sec (3 20) = cos 25 csc 65 .......(2)calcule: sen ( + + 14)

Rpta.: ...........................................................

15.Del grfico mostrado:

calcule: sec23 + tg24

Rpta.: ...........................................................

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1. Calcule:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. Si y son ngulos complementarios, ademstg ctg = 2, calcule: cos .

A) B) C)

D) E)

3. Calcule:M = sen 20 sec 70 + cos 35 csc 55 + tg 45

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4. Si: sen (2x+ 5) = cos (x+ 25) ........... (1)tg (2y + 10) ctg (y + 20) = 1 ......... (2)

Calcule: sen (x+ y) + cos (x+ 4y)

A) B) C) D) 1 E)

5. Si: cos 5 csc 4 = 1 ; 0 < < 90Calcule:K=(sen 2 sec 7 + cos csc 8) tg 6

A) 1 B) 2 C) 3

D) E)

6. Si:A = sen 10 + sen 20 + sen 30 + ... + sen80

B = cos 10 + cos 20 + cos 30 + ... + cos80

calcule:A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

7. Si: sen csc 2 = tg 80 tg 10tg ( + 10) = ctg ( + 20)

Calcule: .A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

8. Calcule:

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

9. Si se cumple:tg(x+5)+ctg(2x+15)=tg(3x15)+ctg(85x) ... (1)

sen(2y5)csc(y+35)=tg x ctg x .....................(2)calcule: x+ yA) 44 B) 50 C) 55D) 56 E) 58

10.Del grfico:

Calcule:K = 2 sen 2 + 3 tg 3 + 4 sec 4

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

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Identificarloscasosderesolucindetringulosrectngulos. Aplicarloscasosderesolucinensituacionesproblemticas. Graficarelngulodeelevacinyngulodedepresin. Aplicarlosngulosverticalesensituacionesproblemticas.

RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS

En resumen, se tiene los 3 casos de resolucinde tringulos rectngulos.

EJEMPLOS:Completar los lados en los siguientes tringulos

rectngulos:

Resolver un tringulo rectngulo implica encalcular sus lados, es decir, se debe de conocer unlado y uno de sus ngulos y para ello como reglaprctica se aplica la relacin:

EJEMPLOS: Hallarxe y en trminos de a y de:

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NGULOS VERTICALES Se llaman ngulos verticales aquellos que seencuentran en planos verticales y que tienen comolados a las rectas imaginarias llamadas visual yhorizontal que parten de los ojos del observador.

ngulo de elevacin: ngulo de depresin:

Sellamangulodeobservacinobajounngulo,alnguloformadoporlasvisualesquepartendelosojosdelobservadorhaciaelobjetivo.

EJEMPLODesde un punto en el suelo se observa la parte

superior de un muro con un ngulo de elevacin de30, acercndose 4m., el nuevo ngulo de elevacines de 60. Calcule la altura del muro.

Resolucin:

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1. Del grfico mostrado demustrese que:ctg tg = 3

Resolucin:

I. Prolongamos y trazamos perpen-dicular a dicha prolongacin.

II. Se traza perpendicular a .

se forman los tringulos congruentesAHB, AHM y CNM.

BH = HM = MN = aIII. En el : CN = ctg IV. En el por definicin:

2. Problema Del grfico:

Demuestre que: x= a tg b sec Resolucin:

1. Calcule AB en trminos de a y .

Rpta.: ...........................................................

2. Halle MN en trminos de a, b, y .

Rpta.: ...........................................................

3. Calcule el permetro de un tringulo rectngulosi se conoce un ngulo agudo () y su cateto

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adyacente (a).

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

8. Si O es el centro de la circunferencia, calculex en trminos de y d.

Rpta.: ...........................................................

9. Calcule el rea de la regin triangular entrminos de m, n y .

Rpta.: ...........................................................

10.Desde lo alto de una torre de altura 50m. seobserva en lnea recta a dos embarcaciones

con ngulos de depres in 15 y 30respectivamente. Calcule la distancia entredichas embarcaciones.

Rpta.: ...........................................................

11.Una persona observa la copa de un rbol conun ngulo de elevacin y su base con unngulo de depresin . Si el rbol tiene la altura

H, calcule la distancia a la que se encuentra lapersona del rbol.

Rpta.: ...........................................................

12.Una torre se encuentra al pie de una colina cuyainclinacin respecto a la horizontal es 15. Unapersona se encuentra en la colina a 20m. de la

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base de la torre y con un ngulo de observacinde 60. Cul es la altura de la torre?

Rpta.: ...........................................................

13.Si ab = a + b, calcule x.

Rpta.: ...........................................................

14.Calcule: tg + sen si ABCD es uncuadrado.

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

1. Calcule el rea de la regin triangular de hipotenusa a y un ngulo agudo .

A) a2 sen cos B)

C) D)

E)

A) H (tg + tg ) B) H (ctg + ctg )C) H (tg + ctg ) D) H (ctg + tg

)E) H tg ctg

3. Halle x en trminos de n y .

A) n sen2 B) n cos2 C )n tg2

D) n ctg2 E) n sec csc

4. Calcule cos .

5. Calcule H en trminos de d, y .

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A) d sen tg B) d cos ctg C) d cos tg D) d sen tg E) d cos tg

6. Calcule: ctg tg .

7. Calcule cos2. (O: centro)

A) B) C)

D) E)

8. Calcule x si: ab = a + b

A) 1 B) C)

D) E)

9. Si P y Q son puntos de tangencia, calcule MNsabiendo que PF=1. (O: centro).

A) sen + tg B) cos + ctg C) sec + csc D) cos + tg E) sen + ctg

10.Desde un punto en el suelo se observa la partesuperior de una estatua con un ngulo de ele-

vacin de 60 y la parte superior del pedestalcon un ngulo de elevacin de 30. Calcule laaltura de la estatua si la altura del pedestal esde 2m.

A) 2m. B) C) 3m.

D) E) 4m.

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Definirconceptossobrenmerosreales,rectanumrica. Determinarpuntosenunsistemabidimensionaldecoordenadasquecorrespondena

paresordenadosdenmerosreales. Reconoceryaplicarfrmulasbsicasdelclculodeunadistanciaentredospuntos. Reconoceryaplicarfrmulaparaelclculodelascoordenadasdelpuntomedioy

divisindeunsegmentoenunarazndada.

REN DESCARTES (1596 - 1650)

Filsofo y matemtico francs naci en La Haya

el 31 de Marzo de 1596 y muri en Estocolmo

(Suecia) el 11 de Febrero de 1650. Descartes us

su nombre latinizado Renatus Cartesius; pues el

latn era el lenguaje erudito y esta costumbre era

muy comn. Tuvo problemas con una tos crnica

y cuando fue al colegio se le permiti permanecer

en cama cuando lo desease, mantuvo durante toda

su vida la costumbre de trabajar en la cama. Es

esta enfermedad que lo llev a la tumba. Cuando

en 1633 tuvo noticia de la condena de Galileo por

la hereja, abandon por el momento el libro queestaba escribiendo sobre el universo en el que

aceptaba la teora de Coprnico. Es el padre de la

Filosofa moderna y contribuy principalmente a la

ciencia con sus matemticas inventando el sistema

de coordenadas el cual lleva su nombre.

NOCIONES DE GEOMETRA ANALTICAConcepto

Los sistemas numricos: Naturales, enteros, ra-

cionales y reales, constituyen estructuras algebraicasque se utilizarn en Trigonometra plana. El estudiode estos sistemas numricos se desarrollan en princi-pio en un sistema unidimensional y posteriormenteen un sistema bidimensional ideado por el filsofofrancs Ren Descartes, quien pudo dar consistenciaal estudio de las relaciones y funciones.

SISTEMA UNIDIMENSIONAL

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Los nmeros reales se pueden ubicar en una rec-ta numrica por convencin los nmeros positivosse ubican a la derecha del cero (0) y los nmerosnegativos a la izquerda de este.

Debido a la gran densidad de los nmerosreales, estos pueden estar ubicados en la rectanumrica.

La figura 1 nos ilustra un poco ms al respec-to:

Figura1

Existiendo una relacin biunvoca entre losnmeros reales y cada punto de la recta; es decir, acada punto de la recta le corresponde un slo nme-ro real, asimismo a cada nmero real le correspondeun punto de la recta.

Como se puede ver en la figuar 1, el punto Ocorresponde al cero (0) el punto A corresponde aldos (2), al punto C le corresponde el tres (3).

En general si al nmero realxle corresponde elpunto P entonces se denota como P(x), que se leecomo el punto P con coordenadax.

Entonces, si tenemos:

Se podr calcular la distancia entre P1 y P2 lacual se defini como:

TEOREMA:En un sistema coordenado lineal, la distancia

dirigida entre los puntos P1(x1) y P2(x2) sobre unarecta est dado por:

Enunsistemadecoordenadaslineal,ladistancianodirigidaentredospuntosseobtienecomoelvalorabsolutodelalongitudqueuneestospuntos.

Ejemplo:1. Calcular la distancia entre P1 y P2 si:

Resolucin:1. Se har la orientacin positiva:

2. Se har la orientacin negativa:

SISTEMA BIDIMENSIONAL A partir del concepto de un sistema unidimen-sional se puede establecer una correspondenciabiunvoca entre los puntos de un plano y paresordenados de nmeros reales.

Lo cual permite denominar lo que es el PLANOCARTESIANO que es un sistema formado por dosrectas numricas las cuales se cortan perpendicu-larmente en sus orgenes y dicha interseccin serel origen de coordenadas.

A la recta HORIZONTAL se le conoce como EJEDE ABCISAS (X), mientras que a la recta VERTICALse le denomina EJE DE ORDENADAS (Y).

En la figura adjunta podemos observar al plano

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cartesiano cuyas caractersticas son las siguientes:* O: Origen

de coordenadas* El eje :

Eje de Abcisas(Eje X)

* El ejeEje de Ordenadas(Eje Y)

* Se observa tambin que el plano est divididoen 4 regiones denominados cuadrantes y nu-merados como se indica en la figura.

* Tambin se determina:

: Semieje positivo de las abcisas. : Semieje negativo de las abcisas.

: Semieje positivo de las ordena-das.

: Semieje negativo de las ordena-das.1. UBICACIN DE UN PUNTO:

La ubicacin de un punto en el plano cartesianose representa mediante un par ordenado (x; y);en donde a este punto se conoce como Coor-

denadas del Punto.Entonces:* a x se le denomina Abcisa del punto P.* a y se le denomina Ordenada del punto

P.

Entonces:* P(x; y) se lee: El punto P de coordenadasx, y.

* P IC se lee : El punto P pertence al primercuadrante.* El punto R se halla en el plano cartesiano, pero

no pertenece a cuadrante alguno, se dice que

pertenece al semieje positivo de abscisas.

1. Si: P(x; y) IC x>0; y>0Si: P(x; y) IIC x0Si: P(x; y) IIIC x

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Resolucin:

* (8; 15) r=

* (3; 4)

* (5; -4)

* (7; 24)

2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:

La distancia entre dos puntos cualesquiera quepertenecen a un plano, se calcula de la siguientemanera:

Sean los puntos:

ubicados en un plano cartesiano, entonces:

Por el Teorema de Pitgoras:

Ejemplos:

1. Hallar la distancia entre los puntos A(3; 7) yB (2; 4)

Resolucin:Partiremos de los componentes del punto A.

2. Dado los puntos A(-4; 3); B(-4; -13) y C(4;2)forman un tringulo al unir los puntos. Calcularsu permetro.

Resolucin:Graficando los puntos:

* : Como los puntos A y B tienen las mismasabcisas, entonces:

=13 (2) =15

* : Los puntos B y C tienen las mismas orde-nadas, entonces:

= 4 (4) =8

*

3. DIVISIN DE UN SEGMENTO EN UNARAZN DADA:

Para calcular las coordenadas de un punto que

divide a un segmento en partes proporcionalesmediante una razn se tiene:

* Sean los extremos de unsegmento

* Sea P(x;y) un punto colineal con P1y P

2, el cual

divide al segmento P1P2 en una razn.

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* P1AP PB P

2

* P1AP PB P2

Por lo tanto; las coordenadas del punto P se-rn:

Ejemplos:

1. Los puntos extremos un segemento son A(3;6) y B (10; 2). Hallar las coordenadas de unpunto P tal que:

Resolucin:

en las frmulas se tiene:

2. Sean los puntos

colinelaes, si Hallar x y.Resolucin:Se tiene que r=2, entonces:

4. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:Si: M(x; y) es el punto medio del segmento

que tiene por extremos: P1 (x1 ; y1) y P2 (x2 ; y2),entonces se tiene:

* Por propiedad de Trapecio (Base media).

xx1 =x2 x

* Por propiedad de Trapecio (Base media).

Ejemplos:1. Calcule las coordenadas del punto medio M(x,y)

del segmento cuyos extremos son:(4; 12) y (6; 6)

Resolucin:Entonces del enunciado tenemos:

2. Si las coordenadas del punto medio del segmen-to AB es (2; 1), calcular las coordenadas delpunto B si A tiene como coordenadas (8; 12)

Resolucin:Sea M(x;y), las coordenadas del punto medio

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entre A y B.

Como

5. COORDENADAS DEL BARICENTRODE UN TRIANGULO:S e a n l a scoordenadas de los vrtices de un tringulo ysea G(x;y) las coordenadas del baricentro deltringulo, entonces:

* Se traza P2M, donde M punto medio, entonces

sus coordenadas sern:

* Como G(x; y) es el baricentro entonces se cum-

ple que:

* Aplicando la frmula de la divisin de un seg-

mento en una razn dada tenemos que:

Luego las coordenadas del baricentro G(x;y)ser:

Ejemplo:1. Calcule las coordenadas del baricentro de un

tringulo cuyos vrtices son A(3; 4); B(4; 8) yC(6; 3).

Resolucin:De la frmula se tiene:

2. Calcule las coordenadas del baricentro de un

tringulo cuyos vrtices son: A(0; 0); B(2; 4) yC(3; 5).

Resolucin:Sea G el baricentro. De la frmula se tiene:

6. REA DE UNA REGIN TRIANGULAR:Sean P

1(x

1; y

1); P

2(x

2; y

2) y P

3(x

3; y

3) los vr-

tices de un tringulo. Entonces el rea S de unaregin triangular en funcin de las coordenadasde los vrtices ser igual a:

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Para obtener el orden de la expresin 1 se es-coge un vrtice cualquiera y se sigue en sentidoantihorario, en este caso se escogi P1, luego P2

y finalmente P3.Entonces:

Ejemplo:1. Los vrtices de un tringulo son A(2; 5); B(3;

7) y C(6; 3). Calcule su rea.

Resolucin:Primeramente representaremos los pares orde-nados en el plano cartesiano:

Sea S el rea de la regin triangular ABC.Aplicando la frmula y siguiendo el orden:

ACBA

Elmismoprocedimientosepuedeaplicaralreadeunareginpoligo-

nal.

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1. Se tiene el segmento donde:

A (x1 , y1) , B (x2 , y2) adems

si: demustrese que:

Resolucin:

Si:Por semejanza de tringulos:

Si:

Si:

2. Problema Del grfico mostrado demuestre que las coor-

denadas de Q y Q' son:

(b ; a) y (b; a) respectivamente.

Resolucin:

1. Calcule la medida del ngulo agudo POQ si

Q(2; 2) siendo O el origen de lascoordenadas.

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

3. En el tringulo ABC: A(1 ; 1), B(3 ; 6), C(7 ; 2)

calcule la longitud de la mediana relativa al lado

Rpta.: ...........................................................

4. Calcule las coordenadas del vrtice C de untringulo equiltero ABC, si A(2 ; 1) y B(6 ; 1)

Rpta.: ...........................................................

5. Calcule la distancia del baricentro del tringulo

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ABC al origen de coordenadas si:A(3 ; 5), B(1 ; 7) y C(7 ; 4)

Rpta.: ...........................................................

6. Calcule el rea de la regin triangular ABC siA(3 ; 0), B(6 ; 6) y C(0 ; 2)

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

8. En un paralelogramo ABCD donde A(5 ; 3),B(3 ; 3), D(5 ; 1), halle las coordenadas deC.

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

11.Calcule el permetro del cuadrado ABCD si:A(1 ; 1) y C(3 ; 5).

Rpta.: ...........................................................

12.Calcule la mnima y mxima distancia del punto

P(1 ; 2) a la circunferencia de centro C(6 ; 14)y de radio 5.

Rpta.: ...........................................................

13.Calcule las coordenadas de los puntos msalejados a los ejes coordenados que pertenecena la circunferencia de centro (5 ; 6) y de radio2.

Rpta.: ...........................................................

14.Calcule las coordenadas de un punto quepertenece al eje de las ordenadas que equidistade los puntos P(3 ; 1) y Q(6 ; 2).

Rpta.: ...........................................................

15.Halle las coordenadas del centro de la

circunferencia inscrita en el tringulo AOB si:A(0 ; 3), B(4 ; 0) y O es el origen de lascoordenadas.

Rpta.: ...........................................................

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1. Calcule la distancia entre los puntos A y B si:A(1+n; 2m) y B(4+n; 6m)

A) B)

C) 1 D) 3 E) 5

2. Calcule el rea de un tringulo equiltero ABCsabiendo que dos de sus vrtices son A(2; 3) yB(8;11)

A) B)C) D)

E)

3. Se tiene el segmento donde:

A(1;3) y M(2; 3) es su punto medio, calculela suma de las coordenadas del extremo B.

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

A) (7; 4) B) (9; 4) C) (9; 5)

D) (8; 6) E) (10; 5)

5. Calcule n si P(n1; n+1) equidista de los puntos

A(1; 2) y B(5; 6)

A) B) C) D) E)

6. Si los puntos A(2; 5), B y C (8; 0) son coli-

neales de tal manera que: , calcule ladistancia del punto P(7; 15) al punto B.A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

7. Calcule las coordenadas del baricentro del

tringulo ABM si M es el punto medio deen el tringulo ABC donde:A(5; 3), B(2; 6) y C(13; 9)A) (1; 1) B) (1; 2) C) (1; 1)D) (1; 2) E) (2; 1)

8. Halle las coordenadas de los puntos de triseccindel segmento AB si A(2; 3) y B(5; 6).A) (3; 4) ; (4; 5) B) (3; 3) ; (4; 4)

C) (4; 3) ; (5; 4) D)

E)

9. Se tiene el cuadrado ABCD donde:A(2; 6), B(4; 3) y C(1; 3). Calcule las coorde-nadas del punto D.A) (4; 0) B) (5; 0) C) (6; 0)D) (7; 0) E) (3; 0)

10.En un tringulo ABC:A(1; 3), B(2; 3) y C(3, 1) se traza la bisectriz

interior , halle las coordenadas del punto

F.A) (1; 2) B) (1; 1) C) (2; 1)

D) E)

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Determinarlaecuacindelarecta. Entenderqueindicalaecuacindeunadeterminadarecta. Dadaunaecuacin,trazarenelplanocartesianosugrfica

HISTORIA ACERCA DE LAS ECUACIO-NESLINEALES

La primera fase, que comprende el periodode 1700 a.n.e. a 1700 d.n.e., se caracteriz por lainvencin gradual de smbolos y la resolucin deecuaciones. Dentro de esta fase encontramos unlgebra desarrollada por los griegos (300 a.n.e.),

llamada lgebra geomtrica, rica en mtodosgeomtricos para resolver ecuaciones algebraicas.La introduccin de la notacin simblica

asociada a Viete (1540 1603), marca el inicio deuna etapa en la cual Descartes (1596 1650) con-tribuye de forma importante al desarrollo de dichanotacin. En este momento, el lgebra se convierteen la ciencia de los clculos simblicos y de lasecuaciones. Posteriormente, Euler (1707 1783) ladefine como la teora de los clculos con cantidades

de distintas clases (clculos con nmeros racionalesenteros, fracciones ordinarias, races cuadradas ycbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).

Para llegar al actual proceso de resolucin dela ecuacin ax + b = c han pasado ms de 3000aos.

Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobretodo en el de Rhind 1650 a.n.e. y el de Mosc

1850 a.n.e.), multitud de problemas matemticosresueltos. La mayora de ellos son de tipo aritmticoy respondan a situaciones concretas de la vidadiaria; sin embargo, encontramos algunos quepodemos clasificar como algebraicos, pues no serefiere a ningn objeto concreto. En stos, de unaforma retrica, obtenan una solucin realizandooperaciones con los datos de forma anloga a como

hoy resolvemos dichas ecuaciones.Las ecuaciones ms utilizadas por los egipcioseran de la forma: x + ax = b

x + ax + bx = c

Donde a, b y c eran nmeros conocidos yx laincgnita que ellos denominaban aha o montn.

Una ecuacin lineal que aparece en el papirode Rhind responde al problema siguiente:Un montn y un stimo del mismo es igual a 24

En notacin moderna, la ecuacin sera:

INCLINACIN DE UNA RECTAEs el ngulo que forma la recta con el eje de

abscisas. Este ngulo se mide a partir del semiejepositivo de abscisas hasta la ubicacin de la recta,tomando dicho ngulo en sentido antihorario. Paraque usted comprenda un poco ms al respecto vea

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el siguiente grfico:

Donde:: Medida del ngulo entre la recta L

2y el semieje

X positivo.: Medida del ngulo entre la recta L1 y el semieje

X positivo.Ejemplos:

PENDIENTE DE UNA RECTASe denomina pendiente de una recta a la razn

trigonomtrica tangente de la medida del nguloformado por la recta y el eje X.

Convencionalmentelapendientedeunarectasedenotaconlaletram

(minscula).

De la figura mostrada.

* Sea m1

la pendiente de la recta L1

Luego:de acuerdo a lo que hemos dibujado: 90, entonces m2 esnegativa.

Ejemplo1:Dado el grfico, calcule la pendiente de L1.

Resolucin:Sea:

Ejemplo2:Dado el grfico, calcule la pendiente de L

2.

Resolucin:Sea:

CLCULO DE LA PENDIENTELa pendiente de una recta puede ser calculado

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conociendo las coordenadas de dos puntos de dicharecta.

Para nuestro caso que es una recta L los puntosdatos o conocidos sern A(x1; y1) y B(x2; y2), el

grfico ilustra al respecto.

Del grfico: sea m la pendiente de la recta L,

luego: m = tan .En el tringulo AMB:

Esta ltima relacin ser la indicada para calcu-lar la pendiente de la recta, teniendo como dato, los

componentes de dos puntos pertenecientes a dicharecta.

Ejemplo:1. Dado el grfico

sea m la pendiente de L.

m = tanLuego partiendo desde el punto A.

Esto indica que:

La pendiente L1 es o la .

PROPIEDADES

Si:1. Rectas paralelas

Si:2. Rectas perpendiculares

Si:

FORMAS DE LA ECUACIN DE UNA REC-TA1. Ecuacin Punto Pendiente

Si la recta L pasa por el punto (x0;y0) de pen-diente m su ecuacin es:

Ejemplo:

Resolucin:Punto de paso: (x0; y0) = (4; 1)

Pendiente:

Ecuacin de L:

4y 4 = 3x 122. Ecuacin Pendiente Intercepto

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Intercepto: bPendiente: m

Ecuacin: 0E de L es:

Ejemplos:1) L1: y = 3x+ 2

m = 3 b = 22) L2: y = 5x+ 1

m = 5 b = 13) L

3: 2y = 3x+ 5

3. Ecuacin General La ecuacin general de la recta L es:

Donde:

Pendiente:

Intercepto:

Ejemplos:1) Si: L

1: 2x+ 3y 4 = 0

A = 2 B = 3 C = 4

2) Si: L2: 4x 3y + 2 = 0

A = 4 B = 3 C = 2

1. Si la recta pasa por los puntos (a; 0) y (0; b) demustrese que su ecuacin es :

Resolucin:Gradicando:

I. Punto de paso:(x0; y0) = (0; b)

II. Clculo de la pendiente:

III. Ecuacin de L:

y y0

= m (xx0)

ay ab = bx

bx+ ay = ab

2. Problema Se tiene las ecuaciones de las rectas paralelas:

L1: A1x+ B1y+ C1 = 0

L2: A2x+ B2y + C2 = 0

Demuestre que:Resolucin:

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Rpta.: ...........................................................

2. Halle la ecuacin de la recta que pasa por lospuntos A(2; 3) y B(5; 5)

Rpta.: ...........................................................

3. Si L1pasa por el punto (1; 2) y es paralela a la

recta L2, y = 2x 1, halle la ecuacin de L1.

Rpta.: ...........................................................

4. Calcule la ecuacin de la recta L2

que pasa por

el punto (2; 3) y es perpendicular a la recta:L1: 2y = 3x+ 1

Rpta.: ...........................................................

5. halle las coordenadas del punto de interseccinde las rectas:L1: x+ y = 5L

2: x y = 1

Rpta.: ...........................................................

6. Si los puntos (1; k) y (n; 1) pertenecen a larecta L

1: 2x+ 3y 12 = 0, calcule: k + n

Rpta.: ...........................................................

7. Calcule el rea de la regin triangular determi-nada por la recta: L: 3x+ 4y = 12 con los ejescoordenados.

Rpta.: ...........................................................

8. Calcule la medida del ngulo formado por lasrectas de ecuaciones:

L1: x+ y 6 = 0

Rpta.: ...........................................................

9. Si los puntos (2; 3), (10; n) pertenecen a la rectadel ngulo de inclinacin 45, halle n.

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

12.Halle la ecuacin de la mediatriz del segmento

si: A(12) y B(5; 4)

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Rpta.: ...........................................................

13.En un tringulo ABC donde A(1; 3), B(5;6) y C(5; 2) calcule la ecuacin de la recta que

contiene a la altura relativa al lado

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

15.Se tiene un rombo ABCD donde:A(2; 2) y C(4; 6). Calcule la ecuacin de la recta

que contiene a la diagonal

Rpta.: ...........................................................

1. Si los puntos A(2; 3) y B(10; n) pertenecen a la recta de ngulo de inclinacin de 37, hallar n.A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

2. Halle la ecuacin de la recta que pasa por lospuntos (0; 6) y (2; 0).A) 3x y 6 = 0 B) 3x y + 6 =

0C) 3x+ y + 6 = 0 D) 3x+ y 6

= 0E) x+ y 5 = 0

3. Halle la ecuacin de la recta de ngulo de incli-nacin 37 y que pasa por el punto medio del

segmento donde A(1; 7) y B(9; 5).A) x+ y 8 = 0 B) 3x 4y + 9 =

0C) 2x y 13 = 0 D) 4x 3y + 9

= 0E) 4x y + 3 = 0

4. Si el punto (a; b) pertenece a la recta

L: 2x+ 3y = 6, calcule:A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

5. Calcule la pendiente de la recta L si AOB es untringulo equiltero.

A) B) C)

D) E) 1

6. Se tiene un cuadrado ABCD donde A(1; 3) yC(5; 6). calcule la pendiente de la recta que

contiene a la diagonal

A) B) C) D) E) 1

7. Calcule el radio de la circunferencia tangente a

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los ejes coordenados si la recta L: 2x+ 3y =10 pasa por el centro de dicha circunferencia.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

A) 2x+ 3y 13 = 0B) 2x+ 3y + 13 = 0C) 2x 3y + 13 = 0D) 2x 3y 13 = 0E) x+ y 13 = 0

9. Calcule las coordenadas del punto de intersec-cin de las rectas:

L1: 6x y +11 = 0L

2: 3x+ 2y + 8 = 0

A) (2; 1) B) (2; 1) C) (2; 1)D) (2; 1) E) (2; 0)

10.Calcule el rea de la regin triangular limitada

por la recta:con los ejes coordenados.A) 6u2 B) 8u2 C) 9u2

D) 12u2 E) 16u2

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Curiosidades cientfcas

ADIVINALAEDADPuedes adivinar la edad de una persona y el mes

en que naci si haces que piense en el nmero

del mes de nacimiento (enero=1, febrero=2, ...)

y despus le pides que lo multiplique mentalmente

por 2 y le sume 5 al resultado. Despus debe

multiplicar el resultado que ha obtenido por 50

y sumarle su edad. Haz que te diga el resultado

final de todos estos clculos y, mentalmente, rstale

250. El nmero obtenido tendr 3 o 4 cifras. Las

dos cifras de la derecha son las de la edad, y las de

la izquierda son el nmero del mes de nacimiento.

Sabras decir porqu es as?

Solucin

Basta con encontrar el nico ao (del siglo XIX)

que es un cuadrado perfecto: 1849 = 432

Por lo tanto, x=43 y el ao de nacimiento es:

1849 43 = 1806.

CUADRADOEn un cuadrado debemos colocar los nmeros

del 1 al 9 sin repetirse ninguno (uno en cada

cuadro).

Disponemos de las siguientes pistas:

Los vecinos del 1 suman 15 Los vecinos del 2 suman 6

Los vecinos del 4 suman 23

Los vecinos del 5 suman 16

Sobre los vecinos del 6,7,8, y 9 no tenemos

datos.

Un nmero es vecino de otro slo si la casilla

en la que ste est comparte alguno de sus lados

con el otro.

Qu nmero ocupar la casilla central?

Solucin

El nmero que ocupa la casilla central es el

6.

La clave est en que para empezar el 2 slo puede

estar en una esquina y sus vecinos slo pueden

ser el 1 y el 5.

PORQUNOSHACELLORARLACEBOLLA?

Las cebollas contienen trans-(+)-S-(1-propenil)-L-cisteinasulfxido, una molculaque es inodora. Cuando cortas la cebolla, produces

roturas celulares que permiten a un enzima llama-

da alinasa entrar en contacto con el trans-(+)-S-(1-propenil)-L-cisteina sulfxido, produciendo,

piruvato, amoniaco y syn-propanotial-S-xido.

Esta ltima molcula es la responsable de la irri-

tacin ocular y del lagrimeo.

No se sabe con certeza porqu este propano-

tial es lacrimgeno, pero se cree es debido a queen contacto con el agua se descompone dando

popanal, cido sufrico y cido sulfhdrico (figura

2). Posiblemente es el cido sulfrico, un cido

muy fuerte, el que daa la membrana conjuntival

produciendo el lacrimeo.

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