Tringulos y funciones trigonomtricas
Trigonometra Prof. Daniel O. Porretti
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1. Tringulos y funciones trigonomtricas
Vamos a considerar una clase de funciones muy importantes,
conocidas como funciones trigonomtricas. La palabra trigonometra
significa medida del tringulo. Tanto los griegos como los hindes la
consideraron bsicamente como una herramienta de la astronoma.
Razones trigonomtricas
En un tringulo rectngulo, el lado opuesto al ngulo recto se
llama hipotenusa. Y los lados que forman el ngulo recto se llaman
catetos.
La razn b/c depende del ngulo B, y es por lo mismo una funcin de
l. Esta es la funcin tangente. Hay seis funciones de esta
naturaleza, tres de las cuales se definen como sigue.
Funcin seno:
Funcin coseno:
Funcin tangente:
EJEMPLO: En un tringulo donde a = 5, b = 3 y c = 4, encuentra el
valor de sen, cos y tg de B y de C
Angulos especiales
Recordemos el teorema de Pitgoras, que dice que , donde a es la
longitud de la hipotenusa y b y c son la longitud de los
catetos.
Consideremos un tringulo rectngulo con ngulos de 45 y longitud
de catetos 1.
Por lo tanto:
Consideremos ahora un tringulo equiltero de lado 2. Si trazamos
una de sus alturas obtenemos un tringulo rectngulo con hipotenusa
de longitud 2 y un cateto de longitud 1. Averiguamos el otro
cateto.
Por lo tanto:
Los conocimientos adquiridos pueden utilizarse para resolver
problemas.
EJEMPLO: En un tringulo rectngulo en A, b = 40 cm y . Cul es la
longitud del lado a?
INTENTA LO SIGUIENTE: En PQR issceles y recto en R, si q = 12
cm, utiliza la funcin coseno para encontrar la longitud de r.
Funciones recprocas
Definamos ahora las otras tres funciones trigonomtricas, como
las recprocas de ellas.
EJEMPLO: Encuentra la cotg, la sec y la cosec del ngulo B, y del
ngulo C, siendo a = 5 cm, b = 4 cm y c = 3 cm. Aproxima el
resultado a dos decimales.
INTENTA LO SIGUIENTE: Sabiendo que , encuentra los valores de
las otras cinco funciones trigonomtricas de .
2. Ms acerca de las funciones trigonomtricas
Considera un vector rotatorio cuyo punto inicial se encuentra en
el origen. En su posicin original, el vector se encuentra sobre la
parte positiva del eje x.Consideramos positivas aquellas rotaciones
contrarias al sentido de las agujas del reloj. Las rotaciones en el
sentido de las agujas del reloj se consideran negativas.
El vector en rotacin y la parte positiva del eje x forman un
ngulo. Despus de la rotacin el vector se llama lado terminal del
ngulo, y al eje positivo de las x se lo llama lado inicial.Medida
de una rotacin
Un ngulo puede medirse en grados sexagesimales. En este sistema
un ngulo recto mide 90, un llano 180 y un giro 360. Los ejes
cartesianos dividen al plano en 4 partes llamadas cuadrantes, cada
una de las cuales abarca 90. As entre 0 y 90 un ngulo pertenece al
primer cuadrante, entre 90 y 180 pertenece al segundo y as
sucesivamente. Tambin un ngulo entre 0 y 90 pertenece al cuarto
cuadrante. Cuando la medida del ngulo excede un giro, por ejemplo
375, tendr el mismo lado terminal que uno de 15 y por lo tanto
pertenece al primer cuadrante.
Funciones trigonomtricas de un ngulo
En el anlisis de las funciones trigonomtricas trabajamos con
tringulos rectngulos, de modo que el ngulo siempre era menor que
90.
Considera un tringulo rectngulo con un vrtice en el origen del
sistema de coordenadas y un vrtice en la parte positiva del eje x.
El otro vrtice se encuentra en R, un punto del crculo con centro en
el origen y cuyo radio r es la longitud de la hipotenusa del
tringulo.
Observa que las funciones principales de se definen como
sigue:
Utilizaremos estas definiciones para las funciones de ngulos de
cualquier medida.
Observa que mientras que x e y pueden ser positivos, negativos o
0, r es siempre positivo.
EJEMPLOS: a. Dibuja una circunferencia de radio 2 , = 150 , y
encuentra sen cos y tg .
b. Idem con radio 6, = 225,
c. Idem con radio 2, = 330,
INTENTA LO SIGUIENTE: determina los signos de cada una de las
seis funciones en cada uno de los cuadrantes.
Encuentra los valores de las funciones seno, coseno y tangente
para 0 , 90, 180 y 270.
Angulos de referencia
DEFINICIN: El ngulo de referencia de una rotacin, es el ngulo
formado por el lado terminal y el eje x.
EJEMPLO: Encuentra el ngulo de referencia de 115 , 225, 330 y
150.
Utilizando el ngulo de referencia se pueden determinar los
valores de las funciones trigonomtricas.
Por ejemplo, considera un ngulo de 150. El ngulo de referencia
es de 30. Los tringulos determinados por ambos ngulos son
congruentes, y por lo tanto, las razones de las longitudes de los
lados de los tringulos son iguales. Solamente hay que tener en
cuenta el signo correspondiente al segundo cuadrante.
EJEMPLOS: a. Encuentra el sen, cos y tg de 1320
b. Idem para 1665
Radianes, cofunciones y solucin de problemas
Hasta aqu hemos medido loa ngulos utilizando los grados. Otra
forma de medir los ngulos son los radianes. Considera una
circunferencia de radio 1, es decir una circunferencia unitaria. En
vista de que la longitud de la circunferencia es 2r, la
circunferencia tiene una longitud de 2 Un ngulo de 360 (una vuelta)
mide 2 radianes. La mitad de una vuelta, es decir 180, mide
radianes. Un cuarto de vuelta, 90 mide /2 radianes y as
sucesivamente.
Cuando la longitud del arco de circunferencia desde el lado
inicial al terminal es igual a 1, la medida del ngulo es de 1
radian. Un radian es aproximadamente 57. Aunque para convertir de
un sistema al otro conviene utilizar la equivalencia 180 =
radianes.
Cuando un ngulo se indica en radianes, la palabra radianes se
suele omitir. As cuando no se indica ninguna unidad para un ngulo,
se entiende que est en radianes.
EJEMPLO: a. Convertir a radianes 60, 225, 300 y 315
b. Convertir a grados , 4/3 , -4/5Longitud de arco y ngulos
centrales
Otra forma de determinar la medida en radianes se desprende de
lo antedicho.
La medida en radianes de un ngulo es el cociente entre la
longitud del arco recorrido por el ngulo y el radio de la
circunferencia.
EJEMPLOS: a. Calcula la longitud de un arco de circunferencia
con 5 cm de radio, asociado a un ngulo de 60.
b. Calcula la medida en grados de una rotacin en la que un punto
a una distancia de 2 m del centro de rotacin recorre 4 m.
Cofunciones y complementos
Recordemos que la suma de los ngulos internos de un tringulo es
180 y de que un ngulo recto equivale a 90 de este total, los ngulos
agudos son complementarios. Por lo tanto, si uno de los ngulos
agudos es , el otro es 90 - , o /2 - .
Observa que el sen B es tambin el cos C, su complemento.
Anlogamente, la tg de B es tambin la cotg de su complemento y la
secante de B es la cosecante de su complemento.
Esta parejas de funciones se llaman cofunciones. El nombre
coseno significaba originalmente seno del complemento.
Identidades de las cofunciones
Velocidad angular
Si la velocidad es la distancia que se recorre por unidad de
tiempo, la velocidad angular es la cantidad de rotacin por unidad
de tiempo.
En general es til conocer la relacin entre la velocidad angular
y la lineal. De las relaciones precedentes se desprende que : la
velocidad lineal v de un punto a una distancia r del centro de
rotacin est dada por v = r.donde es la velocidad angular medida en
radianes por unidad de tiempo.
EJEMPLO: Un satlite terrestre en rbita circular a 1200 Km de
altura completa una revolucin cada 90 min. Cul es su velocidad
lineal?. Utiliza el valor de 6400 Km para la longitud del radio
terrestre.
Utilizacin de calculadoras
Para encontrar el sen 28
DEG ( MODE 4 ) 28 Sin
Para encontrar el cos 63 52 41
DEG ( MODE 4 ) 63 52 41 63.87805556
COS 0.440283084Para encontrar tg de /6 rad
RAD (MODE 5 )
/ 6 = SIN 0.5
Para encontrar
DEG 30 TAN SHIFT 1/x 1.732050808Grficas de las funciones
trigonomtricas
Intenta graficar las funciones trigonomtricas tomando como
valores los ngulos principales.
Relaciones entre las funciones trigonomtricas
Si tomamos una circunferencia trigonomtrica de radio 1, entonces
tendremos que:
Adems por el teorema de Pitgoras
Y si dividimos esta igualdad por obtenemos:
Otras identidades
Intenta escribir expresiones equivalentes a:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Identidades y ecuaciones trigonomtricas
Una identidad es un igualdad que hay que demostrar que es cierta
trabajando con uno y otro miembro, y utilizando las identidades
conocidas.
EJEMPLO: Demostrar que a. c.
b.
Una ecuacin trigonomtrica consiste en hallar el valor de la
variable que satisfaga la expresin.
EJEMPLO: a. Resuelve 2 sen x = 1
b. Resuelve 4 cos2 x = 1
Las soluciones entre 0 y 2 son /3, 2/3, 4/3 y 5/3
c. Encuentra las soluciones entre 0 y 2 de:
d. Idem para
Teorema del seno
En cualquier tringulo
Es decir: los lados son proporcionales a los senos de los ngulos
opuestos.
Ejemplo: En un tringulo ABC, a = 4,56 A= 43 y C = 57, encuentra
los otros elementos
Teorema del coseno
En cualquier tringulo ABC, se verifica que:
Es decir: en cualquier tringulo, el cuadrado de un lado es igual
a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos dos veces
el producto de dichos lados y el coseno del ngulo que forman.
Ejemplo: En el tringulo ABC, a = 24, c = 32, B = 115. Resuelve
el tringulo.
INCRUSTAR PBrush
Y
Una rotacin (o ngulo) positiva
Lado terminal
Lado inicial
X
Una rotacin (o ngulo) negativa
INCRUSTAR Equation.3
INCRUSTAR Equation.3
INCRUSTAR Equation.3
INCRUSTAR PBrush
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