Trigonometría Hiperbólica.  Unas combinaciones particulares de la función exponencial da lugar a un interesante tipo

de funciones denominadas funciones hiperbólicas presentes en muchas ramas de la ciencia.

Se definen las funciones hiperbólicas, que denominaremos coseno hiperbólico y seno hiperbólico como

El punto P(x,y), siendo

describe la rama derecha de la hipébola.Para t = 0 resulta P(x,y) = (0,0); para valores de t positivos dicho

a punto recorre la rama superior (rama derecha azul);para valores de t negativos la

inferior (en rojo).El punto Q(-x,y) recorrerá la

rama izquierda de la hipérbola.

La gráfica de la función y = tagh(x)

Ambas, están relacionadas de forma parecida a como se relacionan las funciones trigonométricas usuales. Lo mismo que aquellas se identifican con un punto sobre la circunferencia goniométrica (de radio unidad) x 2 + y 2 = 1) estas se identifican con un punto P(x, y) de la hipérbola unidad: x 2 - y 2 = 1)En efecto, basta comprobar, con un poco de cálculo, que el punto dado por P(cosh(x), senh(x)) verifica dicha expresión. De ahí resulta que

   cosh(x) 2 - senh(x) 2 = 1   

en lugar de la popular expresión fundamental de la trigonometría sobre la circunferencia.

Las gráficas de dichas funciones se deducen fácilmente a partir de las funciones exponenciales y son

En dichas gráficas puede observarse que la función y = cosh(x) es una función par (simétrica respecto del eje de ordenadas), y que y = senh(x) es impar (simétrica respeco del origen). Es importante observar que estas funciones no son, como ocurre con las funciones trigonométricas, periódicas.

Comparación entre las gráficas de las funciones exponenciales e x y e - x con las gráficas de las funciones hiperbólicas y = cosh(x) e y = senh(x)

A partir de la definición, y con algo de cálculo, podemos obtener   senh(x + y) = senh(x)cosh(x) + cosh(x)senh(y)      cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + senh(x)senh(y)   

Haciendo y = x tendremos

   senh(2x) = 2senh(x)cosh(y)      cosh(2x) = cosh 2(x) + senh 2(x)   

De las expresiones

(1)   1 = cosh 2(x) - sen 2(x)(2)   cosh(2x) = cosh 2(x) + senh 2(x)

obtenemos, sumando1 + cosh(x) = 2cosh 2(x)

y despejando cosh(x) resulta igualdad lógicamente equivalente a

Restando las expresiones (1) y (2) y despejando, resultará

funciones hiperbólicas inversas Funciones inversas de las seis funciones hiperbólicas: senh, cosh, tanh, coth, sech y cosech. Las funciones hiperbólicas inversas se definen de manera análoga a la que se definen las funciones trigonométricas inversas.  Dice     Denota    seno hiperbólico de x     arc senh x, o arc sh x o senh-1x    coseno hiperbólico de x     arc cosh x, o arc ch x o cosh-1x    tangente hiperbólica inversa de x     arc tanh x, o arc th x o tanh-1x    cotangente hiperbólica inversa de x     arc coth x, o arc cth x o coth-1x    secante hiperbólica inversa de x     arc sec x o sech-1x    cosecante hiperbólica inversa de x     arc csch x, o arc cosech x o cosech-1x  

Las funciones hiperbólicas frecuentemente utilizadas están dadas por las siguientes fórmulas:

senh-1x = ln[x + (x2 + 1)1/2] para todas las xcosh-1x = ln[x + (x2 - 1)1/2] para x > 1tanh-1x = ln{[(1 + x)/(1 - x)]1/2} para - 1 < x < 1