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curso basico
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TRIGONOMETRA
NDICE
Pg.
Cap. 1 ngulo trigonomtrico ................................................................................................. 5
Cap. 2 Miscelnea I .............................................................................................................. 15
Cap. 3 Sistemas de medicin angular I .................................................................................... 21
Cap. 4 Sistemas de medicin angular II ................................................................................... 29
Cap. 5 Sistemas de medicin angular III .................................................................................. 37
Cap. 6 Clculo de longitud de un arco ...................................................................................... 43
Cap. 7 Clculo de la superficie de un sector circular ................................................................... 51
Cap. 8 Repaso I .................................................................................................................... 59
Cap. 9 Razones trigonomtricas de ngulos agudos I ................................................................. 67
Cap. 10 Razones trigonomtricas de ngulos agudos I ................................................................. 75
Cap. 11 Razones trigonomtricas de ngulos notables ................................................................. 83
Cap. 12 Propiedades de razones trigonomtricas ........................................................................ 91
Cap. 13 ngulos verticales ....................................................................................................... 97
Cap. 14 Miscelnea II .............................................................................................................. 103
Cap. 15 Calculo de lados en un tringulo rectngulo .................................................................... 109
Cap. 16 Repaso II ................................................................................................................... 117
TRIGONOMETRA 2008 - TRILCE
Departamento de PublicacionesLima - Per
TRCO4SLITRTB-08.pmd
4to ao de secundaria
Pg.
Cap. 17 Sistema cartesiano ..................................................................................................... 123
Cap. 18 Razones trigonomtricas de un ngulo de cualquier medida I ............................................ 131
Cap. 19 Razones trigonomtricas de un ngulo de cualquier medida II ........................................... 139
Cap. 20 Miscelanea III ............................................................................................................. 147
Cap. 21 Reduccin al primer cuadrante I .................................................................................... 153
Cap. 22 Reduccin al primer cuadrante II ................................................................................... 161
Cap. 23 Circunferencia trigonomtrica I ..................................................................................... 169
Cap. 24 Miscelnea IV............................................................................................................. 179
Cap. 25 Circunferencia trigonomtrica II .................................................................................... 185
Cap. 26 Identidades trigonomtricas I ....................................................................................... 191
Cap. 27 Identidades trigonomtricas II ...................................................................................... 197
Cap. 28 Miscelnea V.............................................................................................................. 205
Cap. 29 Identidades trigonomtricas de la suma y diferencia de ngulos ......................................... 209
Cap. 30 Identidades trigonomtricas del ngulo doble .................................................................. 217
Cap. 31 Resolucin de tringulos oblicungulos ........................................................................... 225
5Organizacin Educativa TRILCE
COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO
Objetivos:
- Reconocer el ngulo trigonomtrico y los sentidos enque estos pueden estar generados: horario y antihorario.
- Dibujar el ngulo trigonomtrico en cualquiera de lossentidos ya mencionados.
- Operar correctamente los ngulos trigonomtricos.
Conocimientos previos(Elementos de geometra)
1. nguloEs la figura formada por dos rayos que tienen el mismoorigen. Los dos rayos son los lados del ngulo y el origencomn es el vrtice. En el grfico:AB y AC : ladosA: vrtice
A B
C
CAB BAC
Si los lados de un ngulo son dos rayos opuestos, elngulo se llama ngulo llano y cuando estos ladoscoinciden, el ngulo se llama de una vuelta.
C BAngulo llano
CBA
ngulo de una vuelta
2. Medicin de ngulosEn geometra, la medicin de ngulos est referida a lamagnitud asociada a la abertura entre los lados de unngulo. Se usa el sistema sexagesimal, cuya unidad esun grado sexagesimal (1), tal que 360 de ellos equivaleal ngulo de una vuelta, adems presenta dos sub-unidades llamadas: minuto sexagesimal (1') y segundosexagesimal (1''): cumplindose:
1 vuelta = 360 1 = 60' 1' = 60'' 1 = 3600''
3. Algunos ngulos:
- ngulo nulo:
CBAMedida = 0
- ngulo llano:
BACMedida = 180
- ngulo recto:
Medida = 90
- ngulo agudo:
A B
C
0 < Medida < 90
- ngulo obtuso:
A B
C
90 < Medida < 180
- ngulo de 1 vuelta
A B CMedida = 360
ngulo trigonomtrico1
6ngulo trigonomtrico
Cuarto Ao de Secundaria
4. Bisectriz de un ngulo:La bisectriz de un ngulo es el rayo que lo divide en dosde igual medida. En el grfico diremos que OM esbisectriz del ngulo BOA , ya que:
m AOM = m MOB = 2
BOmA
AB
M
a a
O
ngulo trigonomtrico
Es aquel que se genera por la rotacin de un rayo, en unsolo plano, alrededor de un punto fijo llamado vrtice; desdeuna posicin inicial (inicio del giro) hasta otra posicin final(final del giro). En el grfico:
AB
O
final) (lado giro del final :OB
inicial) (lado giro del inicio :OA BOA
P
Q
O
final) (lado giro del final :OQ
inicial) (lado giro del inicio :OP QOP
De esta manera se puede reconocer dos tipos de rotacin:
O B
A
Sentido horario
O
A
B
Sentido antihorario
Obviamente cuando no hay rotacin; el ngulo es nulo.
Observaciones:
- La medida de un ngulo trigonomtrico, hecha laindicacin de los tipos de rotacin; es:- sentido horario: medida negativa- sentido antihorario: medida positiva.
- La medida de un ngulo trigonomtrico no puedelimitarse, pues este depende de la magnitud de larotacin y a su vez estas pueden hacerse indefinida-mente en cualquiera de los dos sentidos conocidos.
- Para poder sumar o restar ngulos trigonomtricos, estosdeben estar orientados en el mismo sentido. Si esto noocurriese, se recomienda cambiar la rotacin, as:
a -a
Por ejemplo:
a - 1010 - a
Obs.: Se recomienda colocar todos los ngulos ensentido antihorario.
7Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA
Test de aprendizaje previo1. Complete en cada recuadro el sentido de la rotacin en
que fue generado cada ngulo.
ab
q
2. De acuerdo al grfico, seale la relacin que verificana , b y q.
ab
q
3. Asocie mediante flechas:
Sentidohorario
SentidoAntihorario
4. Del grfico, hallar "x".
xb
a
5. Del grfico, hallar "x"
q x
6. Hallar "x", si:
3x+10 2x-100
7. Hallar "x", si:
1-3x 200
8. Hallar "x", si:
20 - 4x
0x+10
9. Hallar "x", si:
3x+20
2x - 20
10.Hallar "x", si:
15 - 9x
2x - 50
8ngulo trigonomtrico
Cuarto Ao de Secundaria
1. Si un ngulo que es llano mide (10x + 20), cul es elvalor de x?a) 11 b) 12 c) 16d) 8 e) 10
2. Si un ngulo recto mide (7x+ 6), cul es el valor dex?a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12
3. Si un ngulo agudo mide 3x, cul es el mximo valorentero que toma x?a) 17 b) 27 c) 28d) 29 e) 89
4. Si un ngulo obtuso mide (5x + 10), cul es el mximovalor entero que toma x?a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35
5. Si un ngulo obtuso mide (3x - 18), cul es la sumadel mximo y mnimo valor entero que toma x?a) 112 b) 102 c) 114d) 104 e) 96
6. Si un ngulo agudo mide (6x - 12), cul es la sumadel mximo y mnimo valor entero que toma x?a) 8 b) 10 c) 12d) 17 e) 19
7. En el grfico, OM es bisectriz, calcular x..
(10x - 6)
(7x + 3)
B
AO
M
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
8. Si OM es bisectriz, calcular x..
A
MB
O
(8x - 26)
(5x + 10)
a) 6 b) 7 c) 12d) 14 e) 16
9. En geometra es comn decir que los ngulos cuyoslados son rayos opuestos se denominen opuestos porel vrtice y son de igual medida. En el grfico, porejemplo BOA y DOC son opuestos por el vrtice y secumple:
bA
B
C
D
Oa
m BOA = m DOC a = b
Segn lo anterior, en el grfico calcular x.
C
D
B
A
O(7x - 1) (5x + 9)
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
10.En el grfico, calcular y.
D
B
C
A
O
(6x + 10)
(8y + 6)
(7x - 4)
a) 6 b) 14 c) 10d) 12 e) 16
Pract iquemos
9Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA11.En cada caso, tomando como inicio de giro el rayo OP ,
dibuje un ngulo en sentido:
a. Horario:
O
P
b. Antihorario:
O
P
12.En cada caso, tomando como inicio de giro el rayo OP ,dibuje un ngulo en sentido:
a. Horario:
OP
b. Antihorario:
OP
13.En cada caso, tomando como inicio de giro al rayo OP ,dibuje un ngulo que mida: (use transportador)
a. 140
O
P
b. -70
O P
c. -120
O
P
14.En cada caso, tomando como inicio de giro al rayo OP ,dibuje un ngulo que mida: (use transportador)
a. 100
O
P
b. -50
OP
c. -160
O P
15.Del grfico, sealar x en funcin de los otros ngulostrigonomtricos mostrados.
O Aa
q
xB
C
a) a + q b) a - q c) q - ad) - a - q e) F.D.
16.Del grfico, hallar x en funcin de los otros ngulostrigonomtricos.
O D
a bq
xAB
C
a) a + b + q b) a - b - q c) q - a - bd) q - b + a e) a - q + b
10
ngulo trigonomtrico
Cuarto Ao de Secundaria
17.Del grfico, hallar x en funcin de los otros ngulostrigonomtricos mostrados.
O A
aB
C
x
a) 90 - a b) a - 90 c) 180 + ad) 90 + a e) -90 - a
18.En el grfico, hallar x en funcin de los otros ngulostrigonomtricos mostrados.
O D
CB
qx
A
a) q - 90 b) 90 - q c) 90 + qd) -90 - q e) -180 + q
19.Del grfico, calcular x.
O BA
(12 - 11x)5x
C
a) 2 b) 4 c) 8d) 12 e) 10
20.Del grfico, calcular x.
(5x + 1)
(9 - 9x)
A
B
O
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
11Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA
Acepta el reto TRILCE ...!
1. Hallar x en funcin de a.
O A
BC
ax
D
a) a - 180 b) a + 180 c) a + 270d) a - 270 e) 270 - a
2. Halle x en funcin de a.
a xO
A C
B
a) 450 - a b) a - 450 c) 360 - ad) a - 360 e) a - 270
3. Halle x en funcin de los otros ngulos trigonomtricosmostrados.
A
D
O
ab
x
B
C
a) b - a - 90 b) b + a - 90 c) b - a + 90d) a - b + 90 e) a - b - 90
4. Halle x en funcin de los otros ngulos trigonomtricosmostrados.
O A
BC
b
x
D
a
a) 180 + a - b b) 180 - a + bc) 270 + a - b d) 270 - a + be) 180 + a + b
5. Halle x en funcin de a, si OM es bisectriz del nguloBOC.
O A
BC
ax
D
M
a) 135 + a b) 135 - a c) a - 135d) 225 - a e) 225 + a
12
ngulo trigonomtrico
Cuarto Ao de Secundaria
Tarea domiciliaria
1. Si un ngulo llano mide (3x - 24), cul es el valor dex?a) 17 b) 56 c) 68d) 38 e) 54
2. Si un ngulo recto mide (5x + 20), cul es el valor dex?a) 12 b) 14 c) 26d) 30 e) 32
3. Si un ngulo agudo mide (3x - 12), cul es el mximovalor entero que puede tomar x?a) 30 b) 31 c) 32d) 33 e) 34
4. En el grfico, OM es bisectriz del AOB . Cul es elvalor de x?
O A
M
B
(7x-1)
(6x+2)
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
5. Tomando como inicio de giro (lado inicial) el rayoindicado, dibuje un ngulo que mida:
a. q = 140
O
A
b. q = -120
O
A
6. H a l l a r x , e n f u n c i n d e q y b.
xqb
a) q + b b) q - b c) b - qd) - q - b e) 2q - b
7. Halle x en funcin de a, b y q.
abq x
a) b + q + a b) b - q - a c) b - q + ad) q - b + a e) a - q - b
8. Del grfico, se cumple:
ba
a) 1 vuelta2a +b = b) 1vueltab - a =
c) 1 vuelta2b- a = d)1 vuelta2a -b=
e) 1 vuelta4b - a =
9. Hallar x del grfico.
xq
b
a) 12 vuelta - q - b b)12 vuelta - b + q
c) 12 vuelta + b - q d)12 vuelta + b + q
e) 14 vuelta + q - b
13Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA10.Hallar x del grfico mostrado.
A B
COa
qx
a) q + a b) q - a c) a - q
d) - q - a e) 12 vuelta + q - a
11.Hallar x del grfico mostrado.
A
B
C
xq
a
o
a) a - q b) q - a c) q + ad) - a - q e) 1 vuelta + a - q
12.Hallar x del grfico mostrado.
a
A
B
Cq
x
O
a) a + q b) a - q c) q - a
d) - a - q e) 14 vuelta + a - q
13.Hallar x del grfico mostrado.
ax
a) 90 + a b) a - 90 c) 90 - ad) 180 - a e) - a - 90
14.Hallar x del grfico mostrado.
-x
B C
A DOqx
a) 90 - 2q b) 90 + 2
q c) 180 - 2q
d) 180 + 2q e) 45 + 2
q
15.Hallar x.
qx
L1
L2
a) q b) -q c) -2qd) 180 - q e) 90 - q
16.Hallar x, adems OF es bisectriz.
O
A
F
B
3x + 4030 - 5x
a) 32 b) 35 c) 34d) 70 e) 50
17.Calcular: q + a
q
a
a) 90 b) 180 c) 270d) 135 e) 150
18.Hallar x en funcin de los ngulos mostrados.
xb
q
a) b - q = 90 - x b) b + q + 270 = xc) b - q - 360 = x d) b - q - 270 = xe) b - q + 180 = x
19.Hallar x.
7x - 3525 + x
a) -10 b) -20 c) -30d) -40 e) -50
14
ngulo trigonomtrico
Cuarto Ao de Secundaria
20.Hallar x
(9 - 2x)(x + 3)
a) 31 b) 51 c) 62d) 60 e) 36
21.Hallar "x".
40 - x4x+10
a) -18 b) -24 c) -30d) 45 e) -50
22.Hallar "x".
A
BC
q
a x
a) a + q b) a - q c) q - ad) - a - q e) 2a - q
23.Halle x del grfico mostrado.
q x
a) 90 + q b) 90 - q c) q - 90d) 180 + q e) 180 - q
24.Del grfico, lo correcto es:
a
b
a) a + b = 360 b) a - b = 360c) a + b = 450 d) a - b = 450e) a - b = 120
25.Del grfico, hallar x, si OM es bisectriz del AOC .
A O B
C
DM
xq
a) q - 180 b) - q - 180
c) 2q - 180 d) - 2
q - 180
e) - 2q - 90
15Organizacin Educativa TRILCE
COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO
1. De acuerdo al grfico, seale lo correcto:
qa
a) a + q = 180 b) a - q = 180c) q - a = 180 d) a + q = -180e) a + q = 90
2. De acuerdo al grfico, seale lo correcto:
q
a-120
a) a + q = 240 b) a + q = 120c) a - q = 240 d) a - q = 120e) q - a = 240
3. De acuerdo al grfico, seale lo correcto:
a
b
a) a + b = 90 b) a + b = -90c) a - b = 90 d) b + a = 270e) a + b = 180
4. Del grfico, seale lo correcto:
x
y
a) x + y = 300 b) x - y = 300c) x + y = 270 d) x - y = 270e) x - y = 180
5. De acuerdo al grfico, seale lo correcto:
x
y
a) x + y = 180 b) x + y = 360c) x - y = 360 d) x - y = 180e) x - y = 270
6. Del grfico, seale lo correcto:
x
y
a) x - y = 180 b) x + y = 180c) x - y = 300 d) x + y = 300e) x - y = 450
7. Si un ngulo q agudo, mide: (6x + 18), cul es elmximo valor entero que puede tomar x?a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14
8. Si un ngulo obtuso mide: (6x + 120), cul es elmximo valor entero que puede tomar x?a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11
9. Si un ngulo obtuso mide: 4n + 60, cul es el mximovalor entero que puede tomar n?a) 27 b) 28 c) 29d) 30 e) 31
10.Si un ngulo agudo mide: 3n + 24, cul es el mximovalor entero que puede tomar n?a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24
Miscelnea I2Practiquemos
16
Miscelnea I
Cuarto Ao de Secundaria
11.Si en el grfico OP es bisectriz del BOA ; calcular elcomplemento de x.
x + 10
2x - 10O
A
P
B
a) 20 b) 30 c) 60d) 70 e) 80
12.Si en el grfico OQ es bisectriz del BOA , calcular elsuplemento de x.
x + 40
2x - 20O B
QA
a) 60 b) 80 c) 100d) 120 e) 140
13.Si en el grfico BOA es agudo y x toma su mximovalor entero posible, calcular m COA .
2x + 10
3x + 24A B
CO
a) 124 b) 134 c) 144d) 154 e) 164
14.Si en el grfico BOA es obtuso y x toma su mayorvalor entero posible, cul es la medida de COA ?
x + 40
2x + 20
AO
CB
a) 69 b) 79 c) 89d) 56 e) 76
15.Si en el grfico, OP es bisectriz del BOA ; calcularx/y.
x - y
3x + 2y
A
O B
P
a) 4 b) - 4 c) 41
d) - 41
e) - 21
16.Si en el grfico, OP es bisectriz de BOA , calcularx/y.
2x - 3y
3x - 2y
A
O B
P
a) 1 b) - 1 c) 21
d) - 21
e) - 2
17.Del grfico seale lo correcto, si: OQ es bisectriz delBOA .
O
a
q
A
C
BQ
a) 2q - a = 90 b) 2q - a = 180c) 2q + a = 90 d) 2q + a = - 90e) 2q + a = 45
18.Del grfico seale lo correcto, si: OP es bisectriz delBOA .
O AC
B
Pa q
a) 2q - a = 360 b) 2a - q = 180c) 2q + a = 180 d) 2q + a = 360e) 2a + q = 360
17Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA19.Del grfico, seale lo correcto:
O
a
B
b-40
A D
C
a) b + a = 50 b) b - a = 130c) b + a = 40 d) b - a = 140e) b + a = 90
20.Del grfico, seale lo correcto:
O AC
B
a
q-60
E
D
a) q + a = 30 b) q + a = - 30c) q - a = 150 d) q - a = 30e) a - q = 30
Tarea domiciliaria
1. De acuerdo al grfico, seale lo correcto:
b a
a) a + b = 180 b) a - b = 180c) b - a = 180 d) a + b = -180e) a - b = 90
2. De acuerdo al grfico seale lo correcto:
xy
a) x + y = 90 b) x + y = -90c) x - y = 90 d) y - x = 90e) x + y = 0
3. De acuerdo al grfico, seale lo correcto:
x y
a) x + y = 180 b) x + y = 90c) y - x = 180 d) y - x = 90e) x - y = 90
4. De acuerdo al grfico, seale lo correcto:a
q
a) a + q = 270 b) a + q = 360c) a - q = 270 d) q - a = 270e) a - q = 180
5. Del grfico, seale lo correcto:
x
y
a) x + y = 90 b) x + y = 180c) x - y = 90 d) x - y = 180e) y - x = 180
6. Del grfico, hallar x en funcin de q.
xq
a) 90 - q b) q - 90 c) 180 - qd) 90 + q e) -90 - q
18
Miscelnea I
Cuarto Ao de Secundaria
7. Del grfico, hallar x en funcin de q.
qx
a) 180 - q b) q - 180 c) 180 + qd) -180 - q e) 90 + q
8. Del grfico, hallar x en funcin de a y b.
b
a x
a) 90 - a - b b) a - 90 - b c) b - a - 90d) b + a - 90 e) b + 90 - a
9. Del grfico, hallar x en funcin de los otros ngulos.
qa
x
a) a - q - 90 b) a + q - 90c) a + q + 90 d) q - a - 90e) q - a + 90
10.Del grfico mostrado, hallar x en funcin de los otrosngulos.
ba
x
a) 180 - a + b b) 90 - a - bc) 90 - a + b d) 180 + a + be) 90 + a + b
11.Del grfico, hallar x si OM es bisectriz del AOB .
x - bx + a
O B
M
A
a) a - b b) b - a c) -2a b
d) -2b a e) a + b
12.Del grfico, hallar x si OM es bisectriz del AOB .
x - ax - q
O B
MA
a) a + q b) q - a c) -2q a
d) -2a q e) 2
a +q
13.Si en el grfico OM es bisectriz del AOB , calcular: x/y
2x + 3y
4x + y
O B
M
A
a) 13 b) -13 c)
23
d) - 23 e) -32
14.Si en el grfico OM es bisectriz del AOB , calcular: x/y..
3x + 2y
2x + yO B
MA
a) 0,4 b) - 0,4 c) - 0,6d) 0,6 e) - 0,8
15.Si en el grfico OM es bisectriz del AOB , hallar larelacin correcta.
a
q
A
MB
C
O
a) a + q = 90 b) a - q = 90c) a + 2q = 180 d) a - 2q = 180e) 2a - q = 180
16.Si un ngulo agudo mide: 3x + 18, cul es el mximovalor entero de x?a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24
19Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA17. Si un ngulo obtuso mide: 5x + 30, cul es el mximo
valor entero de x?a) 27 b) 28 c) 29d) 30 e) 31
18.Si un ngulo llano mide: 3x + y, y un ngulo recto mide:2x - y. Calcular: x/y
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
19.Si un ngulo llano mide: 5x - 10, cul es el com-plemento de x?a) 42 b) 52 c) 62d) 72 e) 76
20.Si un ngulo recto mide: 3x + 18, cul es el suplementode x?a) 36 b) 46 c) 56d) 66 e) 76
21.Si un ngulo agudo mide: 3x -18, adems x toma sumximo valor entero posible, determine el complementode 2x.a) 10 b) 12 c) 16d) 18 e) 20
22.Si un ngulo obtuso mide: 5x + 30, adems x tomasu mximo valor entero posible, cul es el suplementode 4x?a) 44 b) 54 c) 64d) 74 e) 84
23.Seale el valor de q si AOB es obtuso y x toma sumximo valor entero posible.
x + 10
3x + 24
q
A
C
BO
a) 102 b) 82 c) 122d) 112 e) 132
24.Seale el valor de q si AOB es agudo y x toma sumximo valor entero posible.
3xq
2x + 20A B
CD
O
a) 40 b) 60 c) 80d) 78 e) 58
25.Si un ngulo mide: [x(4 - x)], y dicha medida es mxima,cul es el complemento de: a = (xx + x2x + x3x)?
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
21Organizacin Educativa TRILCE
COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO
Objetivos:
Reconocer los sistemas de medicin angular:sexagesimal, centesimal y radial; as como sus unidadesde medicin.
Operar convenientemente medidas de ngulosexpresadas en unidades diferentes, convirtindoloscorrectamente a una unidad comn.
Operar las sub-unidades existentes en sistemassexagesimal y centesimal.
Sistemas de medicin angular
Dado que los ngulos pueden medirse y compararse entreellos; se crean diferentes formas de medirlos y diferentessistemas de medicin angular, entre los que destacan:sexagesimal, centesimal y radial; los cuales se definen dela siguiente manera:
1. Sistema sexagesimal (o ingls)
Unidad: 1 = 360 vuelta1
1 vuelta = 360
Adems: 1 = 60 1 = 60 1 = 3600
Observacin: a = abc = a + b + c
2. Sistema centesimal (o francs)
Unidad: 1g = 400 vuelta1
1 vuelta = 400g
Adems: 1g = 100m 1m = 100s 1g = 10000s
3. Sistema radial o circular (o internacional)
Unidad: 1 rad 1 vuelta = 2prad
Comentario: Se sabe que la reunin de todos lospuntos del plano que equidistan de un punto fijo,determina una circunferencia y cualquier porcin de ellase llama arco.
As:
Or
P
O: centror: distancia de O a P (radio)2pr: longitud de la circunferencia
O
A
B
arco
AB: arco
O
A
B
q
BOA : ngulo central
Se define el radin como la medida de un ngulo centralen una circunferencia, cuando el arco que subtiendetiene la misma longitud que el radio de la circunferencia.
O
A
B
q
r
rr
Si: AB = r q = 1 radin
Equivalencias fundamentales
1. Como: 360 = 400g = 2p rad 180 = 200g = p rad ...... (1)
2. Como: 180 = 200g
9 = 10g ...... (2)
Sistemas de medicinangular I3
22
Sistemas de medicin angular I
Cuarto Ao de Secundaria
Conversin entre sistemas
Es el procedimiento mediante el cual la medida de un ngulopasa de un sistema a otro, es decir, cambiamos su unidad.Para convertir un ngulo a en un sistema dado a otrosistema, se tiene que multiplicar por un factor de la forma:
xy
sistema que quierosistema que no quiero
donde x e y son cantidades equivalentes. Por ejemplo,convertir:
1. 60 a radianes
a = 60; el factor sera:x rady
sistema que quierosistema que no quiero
De (1):
yxrad
=
p180
rad
luego:
a = 60.
p180
rad a = 3
p rad
2. 40g a radianes
a = 40g; el factor sera:x rad
yg
sistema que quierosistema que no quiero
luego:
a = 40g. g200radp
a = 5p
rad
3. 72 a centesimales
a = 72; el factor sera:xy
g
sistema que quierosistema que no quiero
de (2): y
xg = 9
10g
luego:
a = 72.9
10g a = 80g
Consideracin:
Cuando se operan (suma o resta) ngulos expresados engrados, minutos o segundos en un mismo sistema; seoperan independientemente; primero grados, luego minutosy despus segundos, para finalmente simplificar. Porejemplo, reducir:
q = 2 17 43 + 18 32 14 + 25 43 42Aqu, primero operamos independientemente:
q = 2 17 43 +18 32 1425 43 42
q = 45 92 99
q = 45 + 92' + 99''60'' + 39''
1'
q = 45 + 93'60' + 33'
1
+ 39
q = 46 + 33 + 39 q = 46 33 39
Test de aprendizaje previo
1. Complete:
"En el sistema sexagesimal su unidad es un gradosexagesimal, que se denota por ........................ y enel sistema radial su unidad es un radin denotado por.........................".
2. Asocie mediante flechas:
a = 2 7
p rad
b = 20 1530
q = 10 12 75g m s
circular
centesimal
sexagesimal
3. Exprese: Q = 140g - 2 5p rad; en el sistema sexagesimal.
4. Expresa:Q = 220' + 317' + 546' + 637';
en radianes.
23Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA5. Calcular:
K = 23'3'
6. Seale el valor de:
g
rad20E20
p=
7. Seale el valor de:
rad9P 10
p=
8. Del grfico, calcular "x".
A
B
C60g (10x + 4)
9. Si: gx rad (7x 1)30p = - cul es el valor de "x"?
10.Exprese 2 rad5p en el sistema centesimal.
1. Expresar 40 en el sistema circular.
a) 10p
rad b) 40p
c) 9p
d) 92p
e) 18p
2. Exprese 50 en el sistema circular.
a) 185p
rad b) 92p
c) 52p
d) 5p
e) 3p
3. Exprese 30g en el sistema radial.
a) 185p
rad b) 203p
c) 172p
d) 6p
e) 9p
Practiquemos
4. Exprese 40g en el sistema internacional.
a) 3p
rad b) 4p
c) 5p
d) 6p
e) 9p
5. Exprese 6p
rad en el sistema sexagesimal.
a) 18 b) 24 c) 30d) 36 e) 42
6. Exprese 9p
rad en el sistema sexagesimal.
a) 10 b) 12 c) 18d) 20 e) 40
7. Exprese 4p
rad en el sistema centesimal.
a) 40g b) 36g c) 45gd) 50g e) 70g
24
Sistemas de medicin angular I
Cuarto Ao de Secundaria
16.Calcular:
K =
p
6
20-rad3
g
a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
17.Calcular:
K = '2'21 + '3
'32
a) 23 b) 61 c) 62d) 71 e) 72
18.Calcular:
K = mmg
10101
+ mmg
20302
a) 21 b) 20,5 c) 22,5d) 21,5 e) 33,5
19.Sabiendo que:
18p
rad = (3n + 1)
2n +p
rad = (7m + 5)g
Calcular: E = (m + n)m - n
a) 27 b) 81 c) 729d) 49 e) 64
20.Sabiendo que:
12p
rad = (7n + 1)
6n2 +p
rad = (7m - 1)g
Calcular:E = (m + n)2n - m
a) 5 b) 7 c) 25d) 49 e) 125
8. Exprese 10p rad en el sistema centesimal.
a) 10g b) 20g c) 30gd) 18g e) 36g
9. Exprese 54 en el sistema francs.
a) 54g b) 60g c) 63gd) 70g e) 72g
10.Exprese 90g en el sistema ingls.
a) 100 b) 81 c) 72d) 86 e) 96
11.Reducir:q = 2 40' 32'' + 3 31' 52''
a) 6 12 34 b) 6 12 16c) 6 12 24 d) 5 24 12e) 5 12 24
12.Reducir:q = 4 17' 51'' + 8 24' 17'' + 5 32' 20''
a) 18 16 32 b) 18 14 26c) 18 16 28 d) 18 14 28e) 18 16 26
13.Siendo:23 41' 17'' + 17 32' 56'' = a b c
Calcular:
K = 4-cb-a
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
14.Siendo:18 32' 41'' + 21 14' 22'' + 3 26' 12'' = a b' c''
Calcular:
K = cb-a
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
15.Calcular:
K = g100
5rad12
+p
a) 31
b) 91
c) 92
d) 52
e) 53
25Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA
Acepta el reto TRILCE ...!
1. Se sabe que en todo tringulo, la suma de medidas desus ngulos interiores es igual a 180.
a q
b
a + b + q = 180
Si tuviramos un tringulo donde sus ngulos interioresmiden:
(20x)g; (17x) y 18xp
rad
Calcular el valor de:
E = 5x + - 1
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
2. En un tringulo sus ngulos interiores miden:g
9x160
; (14x) y 6
xp rad
Calcular:
E = 'x'x)x( 2
a) 161 b) 151 c) 181d) 211 e) 231
3. En geometra se define al ngulo inscrito como aquelque tiene su vrtice sobre una circunferencia (ver figura),cumplindose que el arco que subtiende mide el dobledel ngulo; mientras que un ngulo central subtiendeun arco de medida igual al ngulo, esto debido a quelos arcos van a tener dos tipos de medicin: angular ylineal.
a
A
O
B
2a
a
P
O
Q
a
Segn esto, en el grfico calcular el valor de x.(O centro)
(8x-2)
A
B
C
O
a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
4. Del grfico calcular x, si BOA es una porcin de crculode centro O, llamado sector circular.
3x (10x)gO
A
B
a) 16 b) 18 c) 20d) 21 e) 15
5. Del grfico, calcular:
K = 62x-3y
5yg 3xD A
BC
O
a) 20 b) 10 c) 30d) 15 e) 40
26
Sistemas de medicin angular I
Cuarto Ao de Secundaria
Tarea domiciliaria
1. Seale el equivalente de 54 en el sistema centesimal.
a ) 1 0g b) 20g c) 30g
d) 40g e) 60g
2. Seale el equivalente de 40g en el sistema sexagesimal.
a) 18 b) 27 c) 36d) 45 e) 54
3. Seale el equivalente de 15 en el sistema internacional.
a) 12p rad b) 10
p c) 6p
d) 4p e) 3
p
4. Seale el equivalente de 50g en el sistema circular.
a) 6p rad b) 5
p c) 4p
d) 3p e) 2
p
5. Convierte 40 al sistema radial.
a) rad5p b) 29
p c) 27p
d) 9p e) 59
p
6. Convertir 320p rad al sistema sexagesimal.
a) 25 b) 27 c) 28d) 26 e) 30
7. Convertir rad10p al sistema centesimal.
a) 20g b) 30g c) 18gd) 10g e) 15g
8. Convertir 18 al sistema circular.
a) 9p rad b) 10
p c) 7p
d) 20p e) 25
p
9. Convertir 80g al sistema radial.
a 4 rad3p b) 49
p c) 45p
d) 25p e) 35
p
10.Convertir 100g al sistema sexagesimal.
a) 190 b) 130 c) 140d) 90 e) 100
11.Reducir: q = 6 23 46 + 8 57 32a) 16 21 17 b) 17 51 16c) 14 20 18 d) 15 21 18e) 16 21 18
12.Si: 5 37 54 + 8 42 26 = a b c; calcular:E = a b 1c
+ +
a) 73 b) 74 c)
94
d) 85 e) 75
13.Hallar:
C = 3 3'3'
a) 41 b) 51 c) 61d) 71 e) 81
14.Calcular:55'P 5'=
a) 60 b) 61 c) 62d) 71 e) 51
15.Hallar:
E = grad 403
8
p +
a) 10 b) 12 c) 13d) 14 e) 16
27Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA16.Hallar:
K = 50 rad6
10
p +
a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12
17.Calcular:
g
rad 602V10
p +=
a) 310 b) 53 c)
503
d) 203 e) 403
18.Calcular:
g
g
rad 110 96P20 rad2
p + +=
p+
a) 2318 b) 1823 c) 1
d) 139 e) 239
19.Calcular x, si:(3x - 2) = 18
p rad
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
20.Siendo:
30p rad = (2x - 4)
C o n v i e r t a a r a d i a n e s " xg".
a) 20p rad b) 40
p c) 80p
d) 4p e) 10
p
21.En un tringulo dos de sus ngulos miden p/18 rad y100g. Cul es la medida del tercer ngulo?
a) 43p rad b) 45
p c) 47p
d) 49p e) 411
p
22.En un tringulo dos de sus ngulos miden 70g y 100.Cunto mide el tercero?
a) 17180p rad b) 19180
p c) 23180p
d) 27180p e) 300
p
23.Sabiendo que:a + b + c = 63
Adems:xy'z'' = ab'c'' + bc'a'' + ca'b''
Calcular:
J = z 1 xy+
a) 1 b) 2 c) 3d) 2 e) 3 2
24.Del grfico, calcular x.
P
A
B
O(7x+1) 16xg
a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 10
25.Del grfico, calcular:
E = 3y-2x10
3x
5yg
a) 6 b) -6 c) 3d) -3 e) 5
29Organizacin Educativa TRILCE
COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO
Objetivos:
- Reconocer la frmula general de conversin y usarlaconvenientemente en los problemas que involucrannmero de grados sexagesimales (S), nmero de gradoscentesimales (C) y nmero de radianes (R) que contieneun ngulo.
- Interpretar correctamente los problemas de enunciadoliteral, para su posterior resolucin.
Conceptos previos I(Elementos de aritmtica)
1. Proporcin geomtrica
Es la igualdad entre dos razones geomtricas, siendouna razn geomtrica la comparacin mediante ladivisin de dos magnitudes.
Si por ejemplo:
ba
= razn geomtrica = q1
dc
= razn geomtrica = q2
Si: q1 = q2 ba
= dc
esta es una proporcin
geomtrica.Esta relacin se entiende como: a es a b como ces a d o tambin se entiende como: a y b estn enla relacin de c a d cumplindose:
- ba
= dc
= k
==
dkcbka
- ba
= dc
b-aba +
= d-cdc +
Conceptos previos II(Elementos de lgebra)
1. Teora de exponentes
am = 43421 vecesm""
a....a.a.a m na = mn
a
(am)n = amn m n a = nm a
am.an = am+n m ba
= mm
ba
n
m
aa
= am - n m ab = m a . m b
2. Productos notables:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)
3. Factorizacin:
- Agrupamiento:
* A = ax + bx
* B = a2b + ab2
* C = ax + bx + ay + by
- Aspa simple:
* A = x2 + 5x + 6
* B = x2 - 2x - 3
* C = x2 - 4x - 5
Sistemas de medicinangular II4
30
Sistemas de medicin angular II
Cuarto Ao de Secundaria
- Por productos notables:
* x 2 - y2 = (x + y)(x - y)
* x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)
* x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy + y2)
Frmula general de conversin
Es la relacin existente entre los nmeros que representanla medida de un ngulo en los tres sistemas conocidos. Sien el grfico adjunto, tenemos el ngulo q y sus medidasson:
q
SCR rad
g
en el sistema sexagesimalen el sistema centesimalen el sistema radial
La frmula de conversin es:
180S
= 200C
= pR
como: 180S
= 200C
9S
= 10C
cumplindose adems que:
- Nmero de minutos sexagesimales = 60 S- Nmero de segundos sexagesimales = 3600 S- Nmero de minutos centesimales = 100 C- Nmero de segundos centesimales = 10000 C
Uso de frmulas
1. Para conversin:
- Convertir 54 al sistema centesimal:
Tenemos: S = 54 CComo:
9S
= 10C
954
= 10C
60 = C\ 54 = 60g
- Convertir 40 al sistema radial.
Tenemos: S = 40 RComo:
180S
= pR
18040
= pR
92p
= R
\ 40 = 92p
rad
2. En problemas de simplificacin:
Siendo S y C lo conocido para un ngulo no nulo,reducir:
E = S-CC2-S3
Como:
9S
= 10C
= k
==
k10Ck9S
Luego:
E = 9k-k10)k10(2-)k9(3
= kk20-k27
= kk7
E = 7
3. En problemas de interpretacin:
Siendo S y C lo conocido para un mismo ngulo, talque: S = n + 1 y C = n + 3, cul es la medidasexagesimal del ngulo?
Como:
S = n + 1 y C = n + 3 C - S = 2
==
k10Ck9S
Luego:
10k - 9k = 2 k = 2
==
20C18S
por lo tanto el ngulo mide 18
31Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA
Test de aprendizaje previo
1. Complete correctamente:S C R
180 = =
si S, C y R son los nmeros de grados sexa-gesimales, grados centesimales y de radianes de unmismo ngulo.
2. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ngulo no nulo;calcular:
L = SCCS
-- 34
3. Siendo "S" , "C" y "R" lo conocido para un ngulo nonulo; seale el valor de:
RCSL
19+
=
4. Seale la medida sexagesimal de un ngulo que cumple:2S - C = 16
siendo "S" y "C" lo conocido para un ngulo no nulo.
5. Seale la medida radial de un ngulo que cumple:C - S = 4
siendo "S" y "C" lo conocido para un ngulo no nulo.
6. Complete correctamenteS C R9 = =
7. Calcular:C SE C S
+=-
8. Hallar la medida sexagesimal de un ngulo que cumple:
2C - S = 22
9. Calcular:S CP C S= +
10.Reducir:2 2C SP C (C S)
-=-
32
Sistemas de medicin angular II
Cuarto Ao de Secundaria
1. Dos nmeros estn en la relacin de 2 a 3. Si su sumaes 20, cul es el mayor de los nmeros?
a) 8 b) 12 c) 16d) 15 e) 14
2. Dos nmeros estn en la relacin de 3 a 4. Si su sumaes 21, cul es el menor de los nmeros?
a) 6 b) 3 c) 9d) 12 e) 8
3. Si la suma de dos nmeros es al mayor como 7 es a 5,cul es la relacin entre el mayor y el menor de losnmeros?
a) 23
b) 34
c) 25
d) 37
e) 58
4. Si la diferencia de dos nmeros es al menor como 8 esa 3, cul es la relacin entre el mayor y el menor delos nmeros?
a) 37
b) 29
c) 310
d) 311
e) 617
5. Sabiendo que:(23a)4 = 42
cul es el valor de a?a) 1 b) 2 c) 3
d) 21
e) 31
6. Sabiendo que:(34a)3 = 275
cul es el valor de a?
a) 41
b) 32
c) 53
d) 54
e) 45
Practiquemos
7. Sabiendo que:3 4 2 = 6 a4
cul es el valor de a?
a) 21
b) 31
c) 41
d) 61
e) 81
8. Sabiendo que:
a b 23 = b 27cul es el valor de a?
a) 31
b) 32
c) 3
d) 34
e) 35
9. Simplificar:
E = 2222
ba)b3-a()ba3(
+
++
a) 2 b) 3 c) 5d) 7 e) 10
10.Simplificar:
E = 2222
ba)b2-a()ba2(
+
++
a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 10
11.Reducir:
E = 1x4-3x-x2
+ - 5-x
5-4x-x2
a) 1 b) -1 c) -3d) 3 e) -5
12.Reducir:
E = 1x23xx2
+++
- 5x5-x4x2
++
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
33Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA13.Seale el equivalente de 40g en el sistema sexagesimal.
a) 18 b) 20 c) 24d) 36 e) 42
14.Seale el equivalente de 72 en el sistema centesimal.
a) 80g b) 70g c) 60gd) 90g e) 86g
15.Seale el equivalente de 48 en el sistema radial.
a) 15p
rad b) 152p
c) 5p
d) 154p
e) 157p
16.Seale el equivalente de 70g en el sistema radial.
a) 107p
rad b) 207p
c) 97p
d) 127p
e) 157p
17. Siendo S y C lo conocido para un ngulo no nulo,reducir:
E = S-CC3-S4
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
18.Siendo S y C lo conocido para un ngulo no nulo,reducir:
E = S-CS2-C3
a) 6 b) 12 c) 18d) 8 e) 16
19.Siendo S, C y R lo conocido para un ngulo nonulo, reducir:
E = R20-SR20-C
pp
a) 87
b) 67
c) 79
d) 59
e) 89
20.Siendo S, C y R lo conocido para un ngulo nonulo, reducir:
E = R20CR30-S2
+pp
a) 1 b) 2 c) 32
d) 23
e) 34
21.Siendo S y C lo conocido para un ngulo no nulo,reducir:
E = CSCS-C
2
22
+
a) 10 b) 101
c) 20
d) 201
e) 40
22.Siendo S y C lo conocido para un ngulo no nulo,reducir:
E = CS-C2
S10C42
22 +
a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11
23.Siendo S y C lo conocido para un ngulo no nulo,tales que: S = x + 2 y C = x + 3, cul es el valor de x?a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
24.Siendo S y C lo conocido para un ngulo no nulo,tales que: S = 3x + 1 y C = 2x + 3, cul es el valor dex?
a) 125
b) 1314
c) 617
d) 1217
e) 1517
25.Seale la medida sexagesimal de un ngulo tal que:S = n + 1 y C = n + 4; siendo S y C lo conocido paradicho ngulo.
a) 18 b) 9 c) 27d) 15 e) 36
26.Seale la medida sexagesimal de un ngulo tal que:S = n - 1 y C = n + 1; siendo S y C lo conocido paradicho ngulo.
a) 10 b) 9 c) 18d) 36 e) 54
34
Sistemas de medicin angular II
Cuarto Ao de Secundaria
1. Se definen las operaciones:
a b = ba
a b = 2a - b
Segn lo anterior, halle la medida circular del nguloque cumple:
S C = 80CS
siendo S y C lo conocido para dicho ngulo.
a) 203p
rad b) 207p
c) 209p
d) 2011p
e) 152p
2. Seale la medida centesimal de un ngulo que cumple:
(2S + C)2 + (S - 2C)2 = 181C
siendo S y C lo conocido para dicho ngulo.a) 10g b) 20g c) 30gd) 40g e) 50g
Acepta el reto TRILCE ...!
3. Seale la medida en radianes de un ngulo que cumple:
(C + S)(C3 - S3) - (C - S)(C3 + S3) = 6(SC2 - S3)
siendo S y C lo conocido para dicho ngulo.
a) 103p
rad b) 203p
c) 2003p
d) 52p
e) 2007p
4. Si el nmero de grados sexagesimales de un ngulo,con el nmero de grados centesimales de sucomplemento suman 94. Cunto mide el ngulo?
a) 18 b) 60 c) 54d) 36 e) 30
5. Si el nmero de grados centesimales de un ngulo, conel nmero de grados sexagesimales de su suplemento;se diferencian en 48. Cul es la medida sexagesimaldel ngulo?
a) 100 b) 90 c) 96d) 108 e) 120
27. Seale la medida centesimal de un ngulo tal que:S = 2n + 1 y C = 3n - 16; siendo S y C lo conocidopara dicho ngulo.
a) 1 0 g b) 20g c) 30gd) 40g e) 50g
28.Seale la medida centesimal de un ngulo tal que:S = 7n + 1 y C = 8n; siendo S y C lo conocido paradicho ngulo.
a) 10g b) 20g c) 30gd) 40g e) 50g
29.Si la suma de los nmeros de grados centesimales ysexagesimales que contiene un ngulo es a 5, como 19es a 3, cul es la medida sexagesimal del ngulo?
a) 10 b) 15 c) 18d) 21 e) 24
30.Si la diferencia de los nmeros de grados centesimalesy sexagesimales que contiene un ngulo es a 3, como 5es a 2. Cul es la medida centesimal del ngulo?
a) 10g b) 25g c) 35gd) 45g e) 75g
31.Si la suma de los nmeros de grados centesimales ysexagesimales de un ngulo es a la diferencia de losmismos nmeros, como 19 veces su nmero de gradossexagesimales es a 6. Cul es la medida circular delngulo?
a) 20p
rad b) 18p
c) 30p
d) 60p
e) 180p
32.Si la diferencia de los nmeros de grados centesimalesy sexagesimales de un ngulo es a la suma de los mismosnmeros, como su nmero de grados centesimales esa 152. Cul es la medida radial del ngulo?
a) 50p
rad b) 25p
c) 10p
d) 15p
e) 28p
35Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA
Tarea domiciliaria
1. Si la suma de dos nmeros es 28, adems los nmerosestn en la relacin de 3 es a 4. Calcular el mayornmero.
a) 12 b) 15 c) 16d) 18 e) 20
2. Dos nmeros son entre s como 3 es a 8. Si la suma deambos es 154, dar el menor.
a) 36 b) 42 c) 48d) 52 e) 68
3. Dos nmeros estn en la relacin de 5 a 13. Si unaexcede al otro en 72, cul es el mayor?
a) 104 b) 91 c) 117d) 124 e) 137
4. Si la suma de dos nmeros es a su diferencia como 18es a 17. Cul es la relacin entre los nmeros? (menora mayor)
a) 25 b) 125 c) 115
d) 135 e) 35
5. Reducir:2 2 2(x y) - x - yC 4xy
+=
a) 2 b) 4 c) 12d) 1 e) 3
6. Reducir:
( ) ( )2 21 1F a - a -a a= +a) 4 b) 8 c) 16d) 1 e) a + a-1
7. Factorizar:I = x4 + 2x3 + 3x6
a) x3 b) x3 (x + 2)c) x3 (3x3 + x + 2) d) x2 (x + 2)e) x(x - 2)
8. Factorizar:Y = x2 - 10x + 21
a) (x - 3) (x - 7) b) (x + 3) (x - 7)c) (x - 7) (x + 3) d) (x + 3) (x - 1)e) (x + 2) (x - 2)
9. Reducir:2 2x - x - 6 x 3x - 10Z x - 3 x 5
+= ++
a) x b) 4 c) 2xd) x + 4 e) 2x + 4
10.Reducir:2 2x 4x - 77 x x - 42A (x - 7) (x 7)
+ += -+
a) 11 b) 6 c) 17d) 2x e) x
11.Usando la frmula general de conversin, exprese 72en el sistema centesimal.
a) 70g b) 80g c) 90gd) 66g e) 92g
12.Usando la frmula general de conversin, exprese 60en el sistema radial.
a) 5p rad b) 4
p c) 6p
d) 3p e) 9
p
13.Siendo S y C lo conocido para un ngulo no nulo,reducir:
E = 3C-SC-S
a) 11 b) 17 c) 21d) 23 e) 24
14.Siendo S y C lo conocido para un ngulo no nulo,reducir:
E = 5S-2CC-S
a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 35
15.Siendo S, C y R lo conocido para un ngulo nonulo, reducir:
E = S-20RC-40Rpp
a) 1 b) 2 c) 3
d) 12 e) 13
36
Sistemas de medicin angular II
Cuarto Ao de Secundaria
16.Siendo S, C y R lo conocido para un ngulo nonulo, reducir:
E = 2 C-30RS-80Rpp
a) 1,7 b) 1,6 c) 3,2d) 3,4 e) 3,7
17. Siendo S y C lo conocido para un ngulo, tal que:S = 7x + 1 y C = 8x, cul es el valor de x?a) 3 b) 5 c) 7d) 4 e) 6
18.Siendo S y C lo conocido para un ngulo, tal que:S = n + 1 y C = n + 2, cul es el valor de n?a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
19.Seale la medida sexagesimal de un ngulo que cumple:S = 3n + 6 y C = 4n + 2; siendo S y C lo conocidopara dicho ngulo.
a) 18 b) 25 c) 27d) 36 e) 30
20.Seale la medida centesimal de un ngulo que cumple:S = 2n + 1 y C = 3n - 2; siendo S y C lo conocidopara dicho ngulo.
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
21.Si la suma de los nmeros de grados sexagesimales ycentesimales de un ngulo es igual a 95, cul es lamedida sexagesimal de dicho ngulo?
a) 30 b) 40 c) 45d) 50 e) 60
22.Si la diferencia de los nmeros de grados centesimalesy sexagesimales que contiene un ngulo es igual a 6,cul es la medida centesimal del ngulo?
a) 40g b) 50g c) 60gd) 70g e) 80g
23.Si el triple del nmero de grados centesimales de unngulo, excede al doble de su nmero de gradossexagesimales en 24, cul es la medida sexagesimaldel ngulo?
a) 16 b) 18 c) 36d) 40 e) 48
24.Si el nmero de grados sexagesimales de un ngulo,con el nmero de grados centesimales de sucomplemento, suman 96. Cul es la medida radial delngulo?
a) 3p rad b) 4
p c) 5p
d) 6p e) 10
p
25.Seale la medida circular de un ngulo si su nmero degrados centesimales excede al nmero de gradossexagesimales de su suplemento en 48.
a) 5p rad b) 35
p c) 34p
d) 1110p e) 710
p
37Organizacin Educativa TRILCE
COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO
Objetivo:
- Ampliar las aplicaciones de los criterios de conversin entre sistemas de medicin y el uso de la frmula general deconversin, a problemas de nuevas caractersticas y de mayor grado de dificultad.
Sistemas de medicinangular III5
1. Exprese 15g en el sistema sexagesimal.
a) 1330 b) 1430 c) 15d) 1530 e) 1230
2. Exprese 25g en el sistema sexagesimal.
a) 1930 b) 2230 c) 2430d) 2630 e) 1830
3. Exprese 48p rad en el sistema sexagesimal.
a) 230 b) 245 c) 345d) 330 e) 315
4. Exprese 72p rad en el sistema sexagesimal.
a) 245 b) 315 c) 215d) 230 e) 330
5. Exprese 80p rad en el sistema centesimal.
a) 2g30m b) 2g15m c) 2g20md) 3g40m e) 2g50m
6. Exprese 1603p rad en el sistema centesimal.
a) 3g25m b) 3g15m c) 3g75md) 3g45m e) 2g75m
7. Exprese 17p rad en el sistema sexagesimal.
a) 103516 b) 103518 c) 111742d) 113615 e) 113642
8. Exprese 11p rad en el sistema sexagesimal.
a) 152149 b) 162049 c) 162149d) 152049 e) 163046
9. Sabiendo que:
13p rad = ''c4'0ba1
calcular:
E = cba +
a) 32
b) 34
c) 1
d) 2 e) 3
10.Sabiendo que:
72p
rad = ''c4'b2a5
calcular:
E = cba +
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 23
11.Seale la medida circular de un ngulo cuyo nmero degrados sexagesimales (S) y centesimales (C), cumplen:
2C - S = 44
a) 2p
rad b) 4p
c) 5p
d) 6p
e) 9p
Practiquemos
38
Sistemas de medicin angular III
Cuarto Ao de Secundaria
12.Seale la medida circular de un ngulo que verifica:3S - C = 34
siendo S y C lo conocido para dicho ngulo.
a) 10p
rad b) 36p
c) 20p
d) 9p
e) 45p
13.Seale la medida circular de un ngulo que cumple:C - S + 20R = 4,1416 (p = 3,1416)
siendo S, C y R lo conocido para dicho ngulo.
a) 10p
rad b) 20p
c) 40p
d) 60p
e) 50p
14.Seale la medida circular de un ngulo que verifica:2C - S + 22R = 13,1416
siendo S, C y R lo conocido para dicho ngulo.
a) 11p
rad b) 22p
c) 33p
d) 44p
e) 55p
15.Si la media aritmtica de los nmeros de gradossexagesimales y centesimales que contiene un nguloes igual a 76, cul es la medida circular del ngulo?
a) 5p
rad b) 3p
c) 32p
d) 52p
e) 9p
16.Si la media geomtrica de los nmeros de gradossexagesimales y centesimales que contiene un nguloes igual a 9 10 , cul es la medida circular del ngulo?
a) 20p
rad b) 10p
c) 203p
d) 5p
e) 52p
17. Si la suma de los nmeros de minutos sexagesimales yminutos centesimales que contiene un ngulo es igual a6160, cul es la medida circular del ngulo?
a) 4p
rad b) 5p
c) 6p
d) 8p
e) 9p
18.Si la diferencia de los nmeros de segundos centesimalesy segundos sexagesimales que contiene un ngulo esigual a 135200, cul es la medida circular del ngulo?
a) 9p
rad b) 10p
c) 18p
d) 36p
e) 20p
19.Seale la medida radial de un ngulo, si el nmero querepresenta su complemento en centesimales es igual asu nmero de grados sexagesimales.
a) 19p
rad b) 192p
c) 193p
d) 194p
e) 195p
20.Seale la medida radial de un ngulo, si la suma de losnmeros que representan su medida en los tres sistemasconocidos es igual a la suma de los nmeros querepresentan su complemento en los mismos sistemas.
a) 2p
rad b) 4p
c) 8p
d) 5p
e) 52p
39Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA
1. En lgebra se define una funcin llamada logaritmo dex en base b, denotado por logbx y se define por:
logbx = n x = bn; b > 0, b 1
cumplindose adems que:
logbx1 + logbx2 = logb(x1.x2)
segn lo anterior, halle la medida radial de un nguloque cumple:
logS + logC = 1 (obs.: log10x = logx)
siendo S y C lo conocido para dicho ngulo.
a) 30p
rad b) 60p
c) 180p
d) 540p
e) 150p
2. Seale la medida circular de un ngulo que cumple:
C10
=
+
+
+
+
+
+
+
5S11...
2S11
1S11
S11
siendo S y C lo conocido para dicho ngulo.
a) 30p
rad b) 3p
c) 60p
d) 6p
e) 45p
3. Seale la medida circular de un ngulo que cumple:
CCCSSS
23
23
++
++ = 0,9
siendo S y C lo conocido para dicho ngulo.
a) 380p
rad b) - 380p
c) 190p
d) - 190p
e) - 570p
4. Si el nmero de grados sexagesimales de un ngulo esal nmero de grados centesimales de su suplementocomo 9 es a 40, cul es la medida circular del ngulo?
a) 3p
rad b) 4p
c) 5p
d) 6p
e) 9p
5. Se tienen dos ngulos complementarios tales que lasuma del nmero de minutos sexagesimales de uno conel nmero de segundos centesimales del otro es igual a104860. Cul es la medida circular del menor de losngulos?
a) 207p
rad b) 209p
c) 109p
d) 107p
e) 20p
Acepta el reto TRILCE ...!
40
Sistemas de medicin angular III
Cuarto Ao de Secundaria
Tarea domiciliaria
1. Seale el equivalente de 40p rad en el sistema
sexagesimal.
a) 4 15 b) 4 30 c) 3 15d) 3 75 e) 4 75
2. Seale el equivalente de 9400p rad en el sistema cen-
tesimal.
a) 3g 45m b) 3g 50m c) 4g 20md) 4g 50m e) 5g 25m
3. Seale el equivalente de 311p rad en el sistema
sexagesimal.
a) 49 5 27 b) 49 17 36c) 49 12 27 d) 51 19 37e) 52 17 32
4. Seale el equivalente de 37p rad en el sistema
sexagesimal.
a) 73 14 18 b) 76 18 24c) 77 8 34 d) 69 26 4e) 81 7 42
5. Siendo:213
p rad = 2a 4b ' 3c ''
calcular:E = (a + b) c
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
6. Seale la medida circular de un ngulo, si el doble desu nmero de grados centesimales es mayor que sunmero de grados sexagesimales, en 33.
a) rad20p b) 320
p c) 5p
d) 3p e) 211
p
7. Seale la medida radial de un ngulo que verifica:C-S 4R2C-S 11= p
siendo "S", "C" y "R" lo conocido para dicho ngulo.
a) 3p rad b) 4
p c) 5p
d) 6p e) 8
p
8. Seale la medida circular de un ngulo que cumple:2S - C + 20R = 11,1416
Siendo "S", "R" y "C" lo conocido para dicho ngulo.(p = 3,1416)
a) rad10p b) 5
p c) 20p
d) 40p e) 60
p
9. Seale la medida circular de un ngulo, sabiendo quela suma de los cuadrados de sus nmeros de gradossexagesimales y centesimales, es al producto de dichosnmeros como 362 veces el nmero de radianes es a45p.
a) rad2p b) 4
p c) 3p
d) 6p e) 12
p
10.Seale la medida circular de un ngulo; sabiendo quela suma del producto de su nmero de gradoscentesimales con el cuadrado de su nmero de gradossexagesimales y el producto de su nmero de gradossexagesimales con el cuadrado de su nmero de gradoscentesimales; es igual a 38/p veces su nmero deradianes.
a) rad36p b) 360
p c) 720p
d) 3600p e) 600
p
11.Seale la medida radial de un ngulo, si el doble de sunmero de grados sexagesimales excede a su nmerode grados centesimales, en 16.
a) 18p rad b) 20
p c) 10p
d) 36p e) 72
p
41Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA12.Sealar la medida circular de un ngulo que cumple:
3C-2S 6R2S-C 5= p
siendo "S", "C" y "R" lo conocido.
a) 4p rad b) 2
p c) 34p
d) 32p e) 54
p
13.Seale la medida radial de un ngulo que cumple:3S - 2C + 35R = 7,1416
Siendo "S", "R" y "C" lo conocido para dicho ngulo.( p = 3,1416)
a) 5p rad b) 7
p c) 35p
d) 21p e) 60
p
14.Sabiendo que la diferencia de los cuadrados de losnmeros de grados centesimales y sexagesimales deun ngulo, es al producto de dichos nmeros; como 38veces su nmero de radianes es a 135p, seale la medidaradial del ngulo.
a) 4p rad b) 2
p c) p
d) 32p e) 34
p
15.Seale la medida radial de un ngulo sabiendo que elproducto de los nmeros que representan su medidaen los tres sistemas conocidos, es igual a p/6.
a) 3p rad b) 5
p c) 6p
d) 60p e) 30
p
16.Sabiendo que la suma de las inversas de los nmerosde grados sexagesimales y centesimales de un ngulo,es a su diferencia; como 38 veces su nmero de radianeses a p. Cul es la medida circular de dicho ngulo?
a) 2p rad b) 3
p c) 4p
d) 6p e) 5
p
17. Si la suma de los nmeros de grados sexagesimales ycentesimales de un ngulo, es igual a 19 veces sunmero de grados sexagesimales dividido entre sunmero de minutos centesimales. Seale la medidacentesimal del ngulo.
a) 3m b) 5m c) 9md) 18m e) 27m
18.Sealar la medida circular de un ngulo que verifica:3 3 3 2 2 2S C 20R S C R9 10p p+ + = + +
Siendo "S", "R" y "C" lo conocido para dicho ngulo.
a) 2p rad b) 20
p c) 5p
d) 6p e) 120
19.Seale la medida centesimal de un ngulo sabiendo queel cudruple de su nmero de grados sexagesimales esmayor en 217 que la mitad de su nmero de gradoscentesimales.
a) 30g b) 40g c) 50gd) 60g e) 70g
20.Sabiendo que el nmero de grados centesimales quecontiene un ngulo excede a su nmero de gradossexagesimales en 8, cunto mide el ngulo enradianes?
a) 4p rad b) 3
p c) 5p
d) 25p e) 10
p
21.Seale la medida circular de un ngulo que satisface lasiguiente condicin:
S9 +
C10 +
20Rp = 1
a) 100p rad b) 150
p c) 180p
d) 200p e) 250
p
22.Seale la medida circular de un ngulo que verifica:1S -
1C =
1400
a) 29p rad b) 34
p c) 53p
d) 76p e) 92
p
23.Seale la medida circular de un ngulo que verifique:
( ) ( ) ( )"n" tr minos
n 1 1 11 1 1 ...S C C 1 C 2= + + ++ +144444424444443
siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ngulo.
a) n180p rad b) n1800
p c) n3600p
d) n360p e) n720
p
42
Sistemas de medicin angular III
Cuarto Ao de Secundaria
24.Si la diferencia de los nmeros de minutos centesimalesy minutos sexagesimales que contiene un ngulo es iguala 460, cul es la medida circular del ngulo?
a) 18p rad b) 10
p c) 20p
d) 30p e) 36
p
25.Si la suma de los nmeros de minutos sexagesimales ysegundos centesimales de un ngulo es igual a 402160,cul es la medida circular del ngulo?
a) 4p rad b) 5
p c) 10p
d) 9p e) 6
p
43Organizacin Educativa TRILCE
COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO
Objetivos:
- Reconocer que los arcos tienen dos tipos de medicin:angular y lineal.
- Dibujar correctamente un sector circular y reconocersus elementos.
- Calcular correctamente la longitud de un arco y aplicarla frmula de manera eficiente a la resolucin deejercicios de interpretacin y aquellos que contienengrficos.
Conceptos previos(Elementos de geometra)
- CircunferenciaConjunto de puntos del plano que equidistan de un puntofijo llamado centro. A la distancia comn del centro alos puntos del plano que verifican lo anterior se ledenomina radio de la circunferencia.
P
rC
C: centro r: radio
d (C; P) = r " P
A la porcin de circunferencia limitada por dos puntosde ella tales como P y Q se le denomina arco(PQ: arco PQ). Mientras que a la regin limitada porPQ y el ngulo central QOP , se le denomina sectorcircular POQ.
P
O
Q
sectorcircular
- Clculo de la longitud de un arcoSi consideramos una circunferencia de radio R y unarco de ella PQ, procederemos a calcular la longitud dePQ de la siguiente manera:
P
O
Q
q rad L
R R
R
- Trazamos OP y OQ , cuya longitud es igual a R..- Sea m QOP = q rad ... (en radianes)- Luego la longitud de PQ es L y se calcula as:
L = qR
Note que el ngulo central debe estar expresado enradianes; y que en la gran mayora de ejercicios setoma como referencia al sector circular que limita elngulo central y el arco correspondiente; por ello en losejercicios slo se dibujar el sector y no toda lacircunferencia.
Por ejemplo, calculemos la longitud de un arcocorrespondiente a un ngulo central de 30 en unacircunferencia de 18 cm de radio.
Resolucin:
AO
BL30
18 cm
18 cm
- m BOA = 30 = q
- q = 30.
p180
rad q = 6
p rad
- L = qR = 6p
.18
L = 3p cm
Clculo de la longitudde un arco6
44
Clculo de longitud de un arco
Cuarto Ao de Secundaria
Test de aprendizaje previo
1. Dibuje un sector circular indicando su ngulo central demedida 60 y su radio de medida 12 cm.
2. En el sector circular mostrado, calcular la longitud delarco AB.
12
12O
A
B
3. En el sector circular mostrado, calcular la longitud delarco PQ.
6
6O
P
Q
2 3
p rad
4. En el sector circular mostrado, calcular la longitud delarco CD.
8
8
O
C
D
45
5. En un sector circular el arco mide 2p cm y el radio 18.cmCul es la medida sexagesimal del ngulo central?
6. Calcular la longitud del arco AB .
25cm
25cm
40gO
A
B
7. H a l l a r qrad, si:
4m
4m
8mO
A
B
qrad
8. Calcular LAB, si:
O
A
B
2rad
9. Calcular qen el sistema sexagesimal.
3
3O
A
B
qp
10.Calcular q en el sistema centesimal.
4
4O
A
B
2pq
45Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA
1. Calcular la longitud de un arco correspondiente a unngulo central de 45 en una circunferencia de 24 cmde radio.
a) p cm b) 2p c) 3pd) 4p e) 6p
2. Calcular la longitud de un arco correspondiente a unngulo central de 60 en una circunferencia de 18 cmde radio.
a) 2p cm b) 3p c) 4pd) 5p e) 6p
3. Calcular la longitud de un arco correspondiente a unngulo central de 70g en una circunferencia de 200 cmde radio.
a) 50p cm b) 35p c) 70pd) 140p e) 280p
4. Calcular la longitud de un arco correspondiente a unngulo central de 40g en una circunferencia de 25 cmde radio.
a) p cm b) 2p c) 3pd) 4p e) 5p
5. En un sector circular, el ngulo central mide 20 y elradio mide 45 cm. Cul es el permetro del sector?
a) 5(18 + p) b) 6(18 + p) c) 5(16 + p)d) 6(15 + p) e) 4(25 + p)
6. En un sector circular, el ngulo central mide 10g y elradio mide 40 cm. Cul es el permetro del sector?
a) 2(p + 20) b) 2(p + 40) c) 4(p + 20)d) 4(p + 40) e) 2(p + 30)
7. De acuerdo al grfico, calcular LAB ..
20
A
B
36 cmP
O
a) p cm b) 8p c) 16pd) 4p e) 2p
8. De acuerdo al grfico, calcular LPQ..
20 cm
O
P
Q
S20g
a) p cm b) 2p c) 3pd) 4p e) 6p
9. Un tringulo ABC est inscrito en una circunferencia de9 cm de radio. Si se sabe que m A = 102 y mB = 20g,cunto mide el arco que subtiende al ngulo C ?
a) p cm b) 2p c) 3pd) 4p e) 6p
10.Un tringulo ABC est inscrito en una circunferencia de18 cm de radio. Si se sabe que m A = 80g y mB = 28,cunto mide el arco que subtiende al ngulo C ?
a) p cm b) 2p c) 3pd) 16p e) 32p
11.En un sector circular el arco mide 100 cm. Si el ngulocentral se reduce a su cuarta parte y el radio se duplica,se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide:
a) 100 cm b) 50 c) 150d) 125 e) 25
12.En un sector circular el arco mide 24 cm. Si el ngulocentral se triplica y el radio se reduce a su mitad, segenera un nuevo sector circular cuyo arco mide:
a) 36 cm b) 24 c) 48d) 72 e) 30
13.En un sector circular el arco mide L. Si el ngulo centralse reduce en su tercera parte y el radio se incrementaen el triple, se genera un nuevo sector circular cuyoarco mide:
a) 61
L b) 32
L c) 34
L
d) 38
L e) 98
L
Pract iquemos
46
Clculo de longitud de un arco
Cuarto Ao de Secundaria
14.En un sector circular el arco mide L. Si el ngulo centralse incrementa en su mitad y el radio se reduce en sumitad, se genera un nuevo sector circular cuyo arcomide:
a) 23
L b) 43
L c) 32
L
d) 53
L e) 65
L
15.De acuerdo al grfico, calcular:
K = 3
21L
LL +
45 60A O B
C
L1L2
L3M
DE
a) 7 b) 326
c) 317
d) 4 e) 325
16.De acuerdo al grfico, calcular:
K = 2
31L
LL +
30
A
O B
C
L1
L2
L3
D
15
M
N
a) 35
b) 37
c) 23
d) 34
e) 47
17.De acuerdo al grfico, calcular:
K = 3
21L
LL +
si: L1, L2 y L3 son arcos con centro en O.
L1 L2 L3OE
CA
BD
F
a) 1 b) 2 c) 3
d) 21
e) 32
18.De acuerdo al grfico, calcular:
K = 1 32
L - LL
si L1, L2 y L3 son arcos con centro en O.
L1L2L3O
A
B
C
DF
E3
3
2
22
2
a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6d) 0,8 e) 1
19.Del grfico, calcular q, si: LAD = LBC.A B
CO
D
3
1
q rad
a) 6p
b) 143p
c) 14p
d) 7p
e) 21p
47Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA20.Del grfico, calcular q, si: LAD = 2LBC
A
B
CO
D
q rad32
Acepta el reto TRILCE ...!
1. En Aritmtica es comn llamar media geomtrica delos nmeros a1, a2, a3, ... an a la cantidad:
mg = n n4321 a.....a.a.a.a
Si en un sector circular la media geomtrica del radio,arco y ngulo central (su nmero de rad.) es igual a 4,cul es la longitud del arco del sector?
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 16
2. Cuando se define el sector circular como una porcinde crculo, su ngulo central no debe exceder a 360;es decir, el ngulo central de un sector circular debeestar comprendido entre en radianes entre. Si en un sector circular el radio mide 8cmy el nmero de radianes del ngulo central es el mximoentero posible, cunto mide el arco?
a) 24 b) 48 c) 36d) 2880 e) 3600
3. De acuerdo al grfico, calcular:
K = 232
232
241
241
)L-L(-)LL()L-L(-)LL(
+
+
L1L2
L3
aq
L4
CA
BD
E FgO
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
4. Calcule la longitud del arco correspondiente a un ngulocentral de:
)'x7()'x3(x
en una circunferencia donde un cuadrado inscrito tienesus lados de longitud 2 2 cm.
a) 10p
cm b) 5p
c) 52p
d) 103p
e) 9p
5. En el grfico el tringulo comienza a girar en el sentidoindicado alrededor de cada vrtice hasta tenernuevamente a AC como base y mantenindose en todoinstante en el mismo plano vertical. Si el tringulo ABCes equiltero, determine la longitud de la trayectoriadescrita por el punto P.
P3
2
B B
...P
Recuerda para ello el tringulo notable de 30 y 60.
30
6021
3A B
C
a) 32p
(5 + 19 ) b) 3p
(5 + 19 )
c) 32p
(3 + 19 ) d) 32p
(4 + 19 )
e) 32p
(1 + 19 )
a) 4p
b) 5p
c) 6p
d) 7p
e) 8p
48
Clculo de longitud de un arco
Cuarto Ao de Secundaria
Tarea domiciliaria
1. Calcular la longitud de un arco, correspondiente a unngulo central de 60 en una circunferencia de 24 m deradio.
a) 6p m b) 7p c) 8pd) 5p e) 10p
2. Calcular la longitud de un arco, correspondiente a unngulo central de 72 en una circunferencia de 25m deradio.
a) 10pm b) 11p c) 12pd) 13p e) 16p
3. Calcular la longitud de un arco correspondiente a unngulo inscrito de 24 en una circunferencia de 36dmde radio.
a) 8,6pdm b) 9,6p c) 10,6pd) 4,8p e) 8,8p
4. Calcular la longitud de un arco correspondiente a unngulo inscrito de 15 en una circunferencia de 24dmde radio.
a) 4pdm b) 5p c) 6pd) 3p e) 8p
5. Calcular la longitud de un arco correspondiente a unngulo central de 40g en una circunferencia de radio10 cm.
a) p cm b) 2 p c) 3 pd) 5 p e) 7 p
6. En un sector circular, el arco mide 5 p m y el ngulocentral 30. Cunto mide el radio?
a) 30 m b) 33 c) 38d) 42 e) 48
7. En un sector circular el radio mide 2p
cm y el ngulocentral mide 45. Calcular el arco correspondiente.
a) 0,1 cm b) 0,2 c) 0,3d) 0,4 e) 0,5
8. En un sector circular el arco mide 16 p m y el ngulocentral mide 144. Calcular el radio.
a) 14 m b) 16 c) 18d) 20 e) 23
9. En un sector circular la medida del radio y el arco estnrepresentados por dos nmeros enteros consecutivos.Si el permetro del sector es 19 cm, cul es la medidadel radio?
a) 3 cm b) 4 c) 5d) 6 e) 8
10.En un sector circular el arco y el radio estn repre-sentados por dos nmeros enteros consecutivos. Si elsemipermetro del sector mide 7 m, calcular el ngulocentral de dicho sector.
a) 0,2 rad b) 0,4 c) 0,6d) 0,7 e) 0,8
11.En un sector circular la medida del arco y el radio estnrepresentados por dos nmeros enteros pares yconsecutivos. Si el permetro del sector es 20cm, cules la medida del ngulo central?
a) 43 rad b) 34 c)
23
d) 32 e) 12
12.En un sector circular, el ngulo central mide 40 y suarco es L1. Si se reduce el ngulo en 8 y el radio seduplica, se genera otro sector circular cuyo arco mideL2. Calcular L1/L2.
a) 54 b) 53 c)
56
d) 58 e) 5
16
13.En un sector circular, el arco mide L. Si el ngulo cen-tral se duplica y el radio se triplica se genera otro sec-tor circular cuyo arco mide L2. Calcular L2.a) 2L b) 3L c) 4Ld) 6L e) 12L
14.En un sector circular, el arco mide L. Si el radio seincrementa en su triple y el ngulo central se reduce ala mitad, se genera un nuevo sector circular cuyo arcomide:
a) L b) 2L c) 3Ld) 4L e) 6L
49Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA15.En un sector circular el ngulo central mide 25 y el
radio es r. Si el ngulo central se reduce en 15 y elradio se incrementa en x generando un nuevo sectorcircular cuyo arco mide igual que el arco original, cules el valor de x?
a) r2 b)r3 c)
3r2
d) 2r3 e)3r4
16.Un tramo de una carretera est formada por dos arcosde circunferencia, el primero tiene un radio de 18.km yun ngulo central de 40, el segundo tiene un radio de36.km y un ngulo central de 50.
( )227p =Hallar la longitud total de este tramo.
a) 35 km b) 42 c) 44d) 40 e) 50
17.Un tramo de una carretera est formada por dos arcosde circunferencia, el primero tiene un radio de 9km yun ngulo de 20, el segundo tiene un radio de 72km yun ngulo central de 60. Hallar la longitud total de estetramo.
a) 24p km b) 25p c) 26pd) 30p e) 20p
18.En la figura se muestra un camino que consta de arcos,con sus datos claramente indicados. Determine lalongitud de dicho camino.
409
9
1212
30A
CB
a) 2p b) 3p c) 4pd) 5p e) 6p
19.Un tramo de una va frrea consta de 3 arcos quesubtienden ngulos centrales de 45, 30 y 75 con ra-dios iguales a 16 km, 24 km y 36 km. Hallar dicho tramo.
a) 30p km b) 11p c) 13pd) 23p e) 26p
20.Si en el grfico: OE OD OA2 5 9= =
DA
CB
O
F
E
L1 L2 L3
Calcular:
3 2 1
1
L L LE L+ +
=
a) 3 b) 5 c) 8d) 10 e) 11
21.En el grfico, calcular "L" si:
L1 + L2 + L = 12 p
DA
CB
O L
F
EL1 L2
a) p b) 2p c) 3pd) 4p e) 5p
22.En el grfico, calcular "L".
60 10pL
12
DA
CB
O
a) 2p b) 4p c) 6pd) 8p e) 10p
23.En el grfico, calcular L, si: L1 + L2 = 16pA
D
BC
E
O
F
L1 L2L
a) 4p b) 8p c) 12pd) 16p e) 6p
50
Clculo de longitud de un arco
Cuarto Ao de Secundaria
24.En el grfico, calcular "a".
70g 14p
DA
CB
O 7p
a) 12 b) 15 c) 17d) 20 e) 23
25. C a l c u l a r " q" del grfico mostrado, si: 12
L 3L 4=
.
qO
A
B
C
D
L2
L1
a) 311p rad b) 310
p c) 113p
d) 103p e) 21
p
51Organizacin Educativa TRILCE
COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO
Objetivos:
- Reconocer un sector circular, sus elementos y calcularsu superficie de manera correcta.
- Interpretar correctamente los ejercicios tipo enunciadoy aplicar eficientemente las frmulas a la resolucin deejercicios con grficos.
Clculo de la superficie de unsector circular
Como manifestbamos en el captulo anterior, el sectorcircular l imitado por el ngulo central y su arcocorrespondiente generan una regin cuya rea ser nuestroobjetivo y se calcular de la siguiente manera:
q rad
A
B
L
R
R
O
S
S = 2R2q
S = 2LR
S = q2
L2
Donde: q: nmero de radianes del ngulo centralR: radio del sectorL: longitud del arco correspondiente
Adems el uso de una u otra frmula depender de losdatos que presenten los ejercicios.
Por ejemplo, calculemos la superficie de un sector circularcuyo ngulo central mide 30 y su radio mide 2 3 cm.
Resolucin:
O
A
B
30
2 3
2 3
- Note que: q = 30 rad
q = 30.
p180
rad = 6
p rad
- Luego:
S = 2R2q
= 2
)32(6
2p
\ S = p cm2
Tambin se puede adaptar el uso de la frmula al clculode reas de regiones que no tienen una frmuladeterminada. Para ello, debemos recordar el rea de unaregin triangular, de un cuadrado y un rectngulo:
A C
B
H
S
S = 2alturabase
= 2BHAC
B C
A
cateto
catetoS
S = 2BC.AB
B
A
C
D
lado = L
L
S = L2
B
A
C
Dbase
altura
S = base altura
Clculo de la superficiede un sector circular7
52
Clculo de la superficie de un sector circular
Cuarto Ao de Secundaria
Por ejemplo, calcularemos el rea de la regin sombreadasi ABCD es un cuadrado.
A D
B C2
2 2
2
Test de aprendizaje previo
Resolucin:
En este caso, el rea de la regin sombreada (S) es igual ala diferencia del rea del cuadrado y el rea del sectorcircular ADC, esto es:
S = SABCD - SADC ... (1)Luego:
SABCD = 22 = 4
SADC = 2R2q
= 2
)2.(2
2p
= p
En (1):S = SABCD - SADC S = 4 - p
1. Complete la frmula para un sector circular de ngulocentral qrad; radio R y arco L. El rea del sectores:
.S 2q=
2. Con la misma consideracin del ejercicio anterior, com-plete: "El rea del sector es:
L.S 2=
3. En el sector mostrado, calcular su rea.
10 cm
10 cm
A
B
O Sp rad5
4. En el sector circular mostrado, calcular su rea.
6 cm
6 cmO
A
B
4p cm
S
5. Del grfico, calcular: 21
SSK =
6
A
BO
B
S1
S2
3040
4
6. Calcular S, si:
6 m
6 m
A
B
O S60
7. Calcular S, si:
4 m
4 m
A
B
O S50g
53Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA
Pract iquemos1. En un sector circular cuyo ngulo central mide 45 y el
radio 8 cm, cul es su superficie?
a) p cm2 b) 2p c) 4pd) 8p e) 16p
2. En un sector circular cuyo ngulo central mide 36 y suradio 2 10 cm, cul es su superficie?
a) p cm2 b) 2p c) 4pd) 5p e) 10p
3. En un sector circular el arco mide 2p cm y el radio8 cm, cul es su superficie?
a) 2p cm2 b) 4p c) 6pd) 8p e) 16p
4. En un sector circular el arco mide p/2 cm y el radio6 cm, cul es su superficie?
a) 3p cm2 b) 23p
c) 43p
d) 2p
e) 6p
5. En un sector circular el arco mide p/4 cm y el ngulocentral de 30, cul es su superficie?
a) 163p
cm2 b) 83p
c) 43p
d) 2p e) 32p
6. En un sector circular el arco mide p/3 cm y el ngulocentral mide 60, cul es su superficie?
a) 2p
cm2 b) 3p
c) 6p
d) 12p
e) 32p
7. Del grfico,
30
45
A
M
O C
B
S1S2
calcular: K = 2
1SS
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
8. Calcular S, si:
6 m
2 m
2 m
AD
CB
O S4 m
9. Calcular S, si:A
6m
B
O S2rad
10.Calcular S, si:
8
8O
A
B
S3S
54
Clculo de la superficie de un sector circular
Cuarto Ao de Secundaria
8. Del grfico, calcular: K = 2
1SS
A
C
BS1
S2O
60 3
1
D
a) 81
b) 41
c) 83
d) 29
e) 89
9. Del grfico, calcular el rea de la regin sombreada.
15O
A
B
6 cm C
D2 3 cm
a) p b) 2p c) 3pd) 4p e) 6p
10.Del grfico, calcular el rea de la regin sombreada.
60O
CA
BD13 cm
7 cm
a) p cm2 b) 2p c) 3pd) 4p e) 6p
11.Se tiene un sector circular de rea S. Si el ngulocentral se duplica y el radio se triplica, se genera unnuevo sector circular cuya rea es:
a) 9S b) 12S c) 18Sd) 16S e) 15S
12.Se tiene un sector circular de rea S. Si el ngulocentral se triplica y el radio se duplica, se genera unnuevo sector circular cuya rea es:
a) 4S b) 6S c) 9Sd) 12S e) 18S
3. Se tiene un sector circular de superficie 36 cm2. Si elngulo central se reduce a la mitad y el radio se duplica,se genera un nuevo sector circular cuya superficie es:
a) 36 cm2 b) 72 c) 144d) 18 e) 96
4. Se tiene un sector circular de superficie 48 cm2. Si elngulo central se reduce a su tercera parte y el radio seduplica, se genera un nuevo sector circular cuyasuperficie es:
a) 32 cm2 b) 24 c) 16d) 64 e) 18
5. Se tiene un sector circular cuya superficie es 24 cm2. Siel ngulo central se incrementa en su doble y el radiose reduce en su tercera parte, se genera un nuevo sectorcircular cuya superficie es:
a) 48 cm2 b) 18 c) 24d) 36 e) 32
6. Se tiene un sector circular cuya superficie es 40 cm2. Siel ngulo central se reduce en su quinta parte y el radiose incrementa en su doble, se genera un nuevo sectorcircular cuya superficie es:
a) 80 cm2 b) 576 c) 72d) 288 e) 144
7. Se tiene un sector circular de radio R y ngulo centralde 36. Si se reduce el ngulo central en 11 y el radiose incrementa en x, de modo que el rea del nuevosector generado es igual a la del sector original. Cules el valor de x?
a) 2R
b) 4R
c) 5R
d) 6R
e) 9R
8. Se tiene un sector circular de radio R y ngulo centralde 49. Si se reduce el ngulo central en 13 y el radiose incrementa en x, de modo que el rea del nuevosector generado es igual a la del sector original. Cules el valor de x?
a) 2R
b) 3R
c) 4R
d) 5R
e) 6R
55Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA
1. En un sector circular cuyo radio mide 4 cm, cul es elmnimo valor entero que puede tomar la superficie dedicho sector circular?
a) 24 cm2 b) 25 c) 12d) 18 e) 28
2. Demostrar que el rea de la regin sombreada es:
S =
+2
nm p (ABCD: trapecio circular)
AC
D B
mn SO
p
p
3. Del grfico, calcular: K = 42
31SSSS
OS4
S2S1
S3
C
A
E
BD
F
a) 1 b) 2 c) 21
d) 4 e) 2
4. Del grfico, calcular: E = m + n
2q3q
q
A E
C
D
B
nS mS
FS
a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14
5. Se sabe que una sucesin de nmeros estn enprogresin aritmtica cuando uno cualquiera de elloses igual al anterior incrementado en una cantidadconstante llamada razn de la progresin. Si en el grficoa, b y c estn en progresin aritmtica y el rea dela regin sombreada es igual a 81 cm2, calcular a + c.
O
CA
DB
a c
b
b
a) 9 cm b) 6 c) 18d) 12 e) 36
Acepta el reto TRILCE ...!
9. Del grfico, calcular el rea de la regin sombreada, siDAB es un sector circular con centro en A.
A B
C
D
2 2
2 245
a) 4 - p b) 3 - 2p
c) p - 3
d) 2p
- 1 e) 2 - 2p
10.Del grfico, calcular el rea de la regin sombreada.
A D
B CFE
5
2
a) 10 - p b) 5 - p c) 2p - 5d) 10 - 2p e) 10 - 3p
56
Clculo de la superficie de un sector circular
Cuarto Ao de Secundaria
Tarea domiciliaria
1. Calcular el rea de un sector circular de radio 6 m y unngulo central 60.
a) 3p m2 b) 4p c) 6pd) 8p e) 12p
2. Calcular el rea de un sector circular cuyo arco mide8 m y su ngulo central correspondiente 3 rad.
a) 6 m2 b) 4 c) 323d) 12 e) 16
3. Calcular el rea de un sector circular de ngulo central20g y de radio 10 m.
a) p m2 b) 2p c) 5pd) 10p e) 15p
4. Determine el rea de un sector circular cuyo radio yarco son nmeros enteros consecutivos y de permetro16 m.
a) 11 m2 b) 13 c) 15d) 16 e) 17
5. En un sector circular el ngulo central mide 45 y elradio 8m. Cul es su rea?
a) p m2 b) 4p c) 8pd) 6p e) 2p
6. En un sector circular el ngulo central mide 40g y elradio 5 cm. Cul es su rea?
a) 1,5p cm2 b) 2,5p c) 3,5pd) 4,5p e) 5,5p
7. En un sector circular el arco mide 2p cm y su radio13.cm. Cul es su rea?
a) 11p cm2 b) 12p c) 13pd) 10p e) 14p
8. En un sector circular el ngulo central mide 40g y elarco 4p cm. Cul es su rea?
a) 40p cm2 b) 45p c) 48pd) 42p e) 20p
9. Hallar el rea del sector AOB mostrado.
O
B
A
4 m
4 m
4 m
a) 4 m2 b) 6 c) 8d) 10 e) 12
10.Si: OA = AB = 8 m, hallar el rea del sector AOB.
O
B
A
a) 312 p m2 b) 323 p c)
334 p
d) 375 p e) 338 p
11.Hallar el rea de la regin sombreada.
3q 2qq12 m
12 m
a) 2p m2 b) 3p c) 4pd) 6p e) 12p
12.Del grfico mostrado, calcular el rea de la reginsombreada.
A
O
B
DC
3m7m p4 rad
a) 6p m2 b) 5p c) 7pd) 8p e) 16p
57Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA13.Del grfico, calcular: 1
2
SS
30
S1
O B
AD
C
5
6
a) 0,36 b) 0,72 c) 0,28d) 0,64 e) 0,86
14.Del grfico, calcular: 12
SS
15
30
A
O D
C
6
4 S1 B
a) 19 b) 13 c)
29
d) 23 e) 16
15.Se tiene un sector circular de rea S. Si duplicamos elradio y el ngulo central se triplica, se genera un nuevosector circular cuya rea es:
a) 2S b) 3S c) 4Sd) 6S e) 12S
16.Se tiene un sector circular de rea S. Si el radio setriplica y el arco se duplica, se genera un nuevo sectorcircular cuya rea es:
a) 3S b) 4S c) 6Sd) 9S e) 8S
17. Se tiene un sector circular cuyo ngulo central mide49 y el radio es r. Si se reduce el ngulo central en13 y se incrementa el radio en x, se genera un nuevosector circular cuya rea es igual a la del sector origi-nal. Calcular x.
a) 2r7 b) r7 c)
r3
d) r6 e) r9
18.Se tiene un sector circular cuyo ngulo central mide25 y su radio es R. Si se incrementa el ngulo centralen 11 y se reduce el radio en x, se genera un nuevosector circular cuya rea es igual a la del sector origi-nal. Hallar x.
a) R6 b) R5 c)
2R5
d) R3 e) R4
19.Calcular el rea de la regin sombreada.
4 m
DA
CB
O3 m
3 m
a) 1 m2 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
20.Del grfico calcular el rea de la regin sombreada.O A
B
5 cmp
C
D2 cmp
36
a) 2104 cm3p b) 1052
p c) 1072p
d) 1033p e) 752
p
21.Calcular " 21
SS
"
S2 S1
a) 1 b) 2 c) 3
d) 12 e) 13
58
Clculo de la superficie de un sector circular
Cuarto Ao de Secundaria
22.Si: OA = 2AB, hallar: 21
SS
S2 S1O
AB
DC
a) 35 b) 25 c)
45
d) 34 e) 12
23.Calcular el rea sombreada del grfico:
A
BO
12
a) 6p b) 12p c) 16pd) 8p e) 18p
24.Del grfico, determinar:2 22m nP S
+=
2S
S
n
m
a) 2p b) 3p c) 4pd) 5p e) 6p
25.Si: S1 = S2; reas. Hallar q
A
B
C
D EOqrad
S1 S2
a) 3p b) 4
p c) 6p
d) 2p e) 8
p
59Organizacin Educativa TRILCE
COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO
I. Aspecto conceptual
1. Relacione correctamente el ngulo dibujado con el giroen el que se genera.
a
q
b
w
f
- Sentido horario: .............
- Sentido antihorario: .............
2. Relacione mediante flechas la relacin que cumplen losngulos trigonomtricos mostrados en cada caso.
q a
a q
qa
a q + = 180
a q - = 180
a q + = -180
a q + = -90
a q - = 90
q a - = 180
3. Relacione mediante flechas las parejas equivalentes:(elementos de A con elementos de B)
A
60
70g
p5 rad
p9 rad
30g
B
30
p6 rad
p3 rad
40g
20
6327
4. Asocie el elemento faltante en cada sector con su valorcorrespondiente mediante flechas:
B
A
O L
10 cm
10 cm
p/5 rad
B
A
O 8 cm
4 cm
4 cm
q rad
B
A
O 9 cmp
Rp/3 rad
R
18
27
2p
p
2
5. Complete correctamente en los espacios en blanco:
- Un ngulo generado en sentido horario tiene medida......... , mientras que otro generado en sentidoantihorario tiene medida .........
- En el sistema sexagesimal, 1 equivale a ......... ,mientras que 1' equivale a .........
- En el sistema centesimal, 1g equivale a ......... ,mientras que 1m equivale a .........
- En un sector circular, para calcular la longitud de unarco, el ngulo central debe estar expresado en .........
- En un sector circular, el ngulo central como mximopuede medir .........
Repaso I8Practiquemos
60
Repaso I
Cuarto Ao de Secundaria
II. Aspecto operativo
1. Del grfico, calcular x.
-40g
(7x - 2)A
BC
O
Resolucin:
2. Del grfico, calcular x.
p/9 rad
(40x)g
(4x)
A
C
B
Resolucin:
3. Un ngulo que mide p/13 rad, al ser convertido al sistemasexagesimal se expresa como ''c4'0ba1 . Calcular:a + b + c.Resolucin:
4. Siendo S y C lo conocido para un ngulo no nulo,reducir:
E = S-CS4
S-CSC
++
Resolucin:
5. Sabiendo que S representa la medida sexagesimal deun ngulo, verificndose:
S 3 2 = 8cul es la medida circular del ngulo?
Resolucin:
6. Seale la medida circular de un ngulo que cumple:2S - C + 20R = 11,1416
siendo: p = 3,1416; y adems S, C y R lo conocidopara dicho ngulo.
Resolucin:
61Organizacin Educativa TRILCE
TRIGONOMETRA7. En un sector circular el ngulo central mide 50g y el
radio 16 cm. Cunto mide el arco?
Resolucin:
8. Se tiene un sector circular cuyo arco mide 100 cm. Si elradio se reduce a su quinta parte y el ngulo central seduplica, se genera un nuevo sector circular. Cuntomide el arco del nuevo sector?
Resolucin:
9. En un sector circular el ngulo ce