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carlos-constantino
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Capítulo Pág.
1. Sistemas de medición angular ......................................................................................... 133
2. R. T. de un ángulo agudo ................................................................................................ 141
3. Triángulos rectángulos de ángulos notables y propiedades de las razones trigonométricasde los ángulos agudos .................................................................................................... 147
4. Repaso ......................................................................................................................... 157
5. Cálculo de lados - aplicación....................................................................................... ..... 161
6. Ángulos verticales .......................................................................................................... 169
7. R.T. de ángulos de cualquier magnitud I ........................................................................... 175
8. R. T. de un ángulo de cualquier magnitud II ...................................................................... 183
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
ÍNDICE
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
Sistemas de medición angular
Capítulo I
• Ángulo trigonométricoSe genera por la rotación de un rayo alrededor de un
punto fijo llamado vértice u origen desde una posición inicialhasta llegar a una posición final (todo en un mismo plano).
figura(1)
figura(2)
ladofinal
lado inicial
lado inicial
vértice
vértice
α
β
0
0'
ladofinal
Los ángulos "α" y "β" son ángulos trigonométricos convértices en 0 y 0' respectivamente.
El ángulo trigonométrico puede ser positivo, negativoo nulo
En efecto, si la rotación se realizara en sentido antihorariose generará (por convención) un ángulo positivo, y si larotación se realizara en sentido horario el ángulo resultaser negativo.
De la figura (1), "α" es un ángulo positivo (rotaciónantihoraria) y de la figura (2) "β" será un ángulo negativo(rotación horaria). Si no hubiera rotación alguna, estaremoshablando de un ángulo nulo.
• Sistemas de medidas angulares
Sistema sexagesimal (inglés)
* Unidad: 1° (grado sexagesimal)
tal que:360
vuelta11
∠=° → ∴ ∠ 1 vuelta = 360°
* Sub - unidades: 1' (minuto sexagesimal)
1" (segundo sexagesimal)
tal que: 1° = 60' y 1' = 60"
En consecuencia: 1° = 3600"
Sistema centesimal (francés)
* Unidad: 1g (grado centesimal)
tal que:400
vuelta11g
∠= → ∴ ∠ 1 vuelta = 400g
* Sub - unidades: 1m (minuto centesimal)
1s (segundo centesimal)
tal que: 1g = 100m y 1m = 100s
En consecuencia: 1g = 10000s
Sistema radial o circular (o sistema internacional)
* Unidad: 1 rad (radián)
Donde el radián es la medida de un ángulo central quesubtiende un arco cuya longitud es igual al radio de lacircunferencia que contiene dicho arco.
RL
A
B
RR
0
θ
R
L
Si
:
:
:
:
número de radianes del ángulo central
radio de la circunferencia
longitud del arco que subtiende "
L = R = 1 rad
θ
→ θ
"
Además: 1 vuelta = 2 radπ ∠
θ
Observaciones:
Comparando los tres sistemas de medición angular seconcluye:
1. 1 rad > 1° > 1g
2. 360° = 400g = 2πrad 180° = 200g = πrad3. Como: 180° = 200g 9° = 10g
Conversión entre sistemas:
Es el procedimiento mediante el cual la medida de un ángulose expresa en otras unidades diferentes a la que posee.Para ello, procederemos como en los ejemplos siguientes:
a. 30° a radianes
rad6180
rad.30
π=α⇒
°π
°=α
b. 72° a centesimales:
gg
809
10.72 =β⇒
°°=β
c. rad20π
a sexagesimales
rad180
.rad20 π
°π=θ = 9°
d. 60g a radianes
rad103
200
rad.60
gg π
=φ⇒π
=φ
1. Interpretar "x" en función de " " y "β".
A B
C
β
αx0
Resolución:
En primer lugar se debe tratar que los ángulos presentesaparezcan en el mismo sentido, de preferencia sentidoantihorario. Por lo tanto el gráfico queda así:
β
α-x
-
Por lo tanto:
- x = - +β α
x = -β α
A B
C0
2. Halle "x", en función de "α", "β" y "θ".
β αx
θ
A
B
C
D0
Resolución:
Según las recomendaciones anteriores, trataremos decolocar los ángulos en sentido antihorario.
β αx
Por lo tanto:
- = x - +θ α β
x = - -α β θ
θA
B
C
D0
-
-
3. Indicar la relación que se cumple entre "α" y "β".
B
C
A0
β
α
Resolución:
Ordenando el gráfico:
Por lo tanto:
α β - = 90°
B
C
A0
β
α
-
4. Del gráfico mostrado, indicar la relación que existe entre" ", " " y " ".
β
D
C B
A0αθ
Problemas resueltos
Resolución:
Replanteando el gráfico a nuestra conveniencia.
Por lo tanto:
β
D
C B
A0αθ- -
β α θ - - = 180°
5. En el gráfico mostrado, ¿cuál es el valor de "x"?
B
A
C
0x
θ
Resolución:
Un nuevo gráfico:
Por lo tanto:
- + x - 90° = 360°θ
B
A
C
0x
θ
x = 450° + θx - 90°-
6. Convertir 36° a grados centesimales.
Resolución:
Utilizamos: 9° = 10g, entonces: 36° x 109°
g
= 40g4
1
7. Convertir 15° a (rad)
Resolución:
Utilizamos: 180° = πrad, entonces:
15° x π rad180° = π
12rad
12
8. Convertir 80g a (rad)
Resolución:
Utilizamos: 200g = rad, entonces:
80 xg π r a d2 0 0 g = 2
5π rad
9. Del gráfico mostrado, hallar "x".
(5x - 9)°160g
A
B
0
Resolución:
(5x - 9)° = -160 xg 9°10g
5x - 9 = -144 5x = -135→
x = -27
10.Del triángulo mostrado, calcular la medida del ángulo"B" en radianes.
A
B
C
9x°
π x30
rad10x3
g
Resolución:
°=π
°π=
π=
°=
°=°
==
x6rad
180.rad
30
xrad
30
xC
x9B
x310
9.
3
x10
3
x10A
g
gg
→ A + B + C = 180°
→ 3x° + 9x° + 6x° = 180° x = 10
Como: B = 9x° → B = 90° .°
π
180
radrad
2B
π=∴
Medidas angulares (grados y radianes)Consideremos las unidades de medida de los ángulos.
Veamos su origen en primer lugar. ¿Por qué se emplea unaunidad de ángulo que subdivide una vuelta completa en360 partes? Existen muchas explicaciones, y hay una queparece ser especialmente aceptable. Los babiloniosempleaban en muchos casos la subdivisión duodecimal osexagesimal (es decir, en 12 o en 60 partes iguales).Considerando la duración de la rotación diurna (aparente)del Sol subdividida en 12 partes y haciendo corresponder acada una, una desviación angular de 15 unidades (la cuartaparte de 60) se obtiene en total un valor de 180 unidadespara la mitad de giro completo del astro luminoso alrededorde la Tierra. Es decir, que 360 unidades corresponden auna rotación completa.
La unidad angular común, el grado no esnecesariamente la mejor para medir ángulos. No esconveniente emplear unidades de medida no relacionadaspara la longitud o distancia, y la dimensión angular. Cuandose establece un sistema de coordenadas, los ejes se marcanen "unidades de longitud". Dichas unidades se determinansegún el caso, pero todos los ángulos mencionadosanteriormente se expresaron en "grados". Si se hubieranempleado unidades relacionadas para las medidas linealesy angulares, el análisis hubiese resultado independiente dela unidad utilizada. Esto es, de hecho, lo que se hace en
matemáticas superiores, y en general, en los trabajoscientíficos, donde se utiliza exclusivamente la unidadllamada radián.
El llamado transportador es el instrumento usual paramedir ángulos. Es simplemente un arco (o el círculocompleto) de una circunferencia que ha sido dividida en360 partes iguales llamadas grados. Un transportador sueletener diferentes tamaños, desde los pequeños para usoescolar; hasta el modelo grande (generalmente de madera)para empleo en el pizarrón y que se utiliza en los salonesde clase. Si se dispone de un transportador de tamañocómodo podría entonces calcularse su circunferencia, y lamagnitud lineal de las unidades de arco que se marcan endicho instrumento solamente dependerá del radio elegido.Para definir el radián se emplea una circunferencia de radioigual a 1 y que se denomina circunferencia unidad (ounitaria). El radián es el ángulo que intercepta un arco igualal radio en longitud. A la circunferencia total correspondene n t o n c e s 2 radianes, de modo que 2 representa una vueltacompleta o revolución (ángulo de 360°). La mitad de unarevolución (ángulo de 180°) representa radianes, y en formasemejante, cualquier ángulo se puede expresar de estamanera. En el caso de un ángulo cualquiera, el arcointerceptado es proporcional al perímetro de la circunferencia,y la medida de dicho ángulo será proporcional también a laamplitud de una revolución. De modo que:
360
gradosen""ángulo
2
radianesen""ángulo θ=
π
θ
Abreviando;360
)(
2
)rad( °=
π o bien:
180
)()rad( °=
π
π
(rad)
180°
(°)
Cualquier número real puede ser la medida en radianesde un ángulo, y en este caso se expresa como una cantidaden tales unidades angulares. Por ejemplo, 180° se expresacomo π radianes, y π/2 radianes equivale a 90°. Si no seespecifica ninguna unidad, se supone que se trata de radianes.
Bloque I
1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a losángulos trigonométricos mostrados.
A
B
C β
αθ0
a) α + β + θ = 360° b) α - β - θ = 360°c) β - α - θ = 360° d) β + α - θ = 360°e) θ - α - β = 360°
2. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a losángulos trigonométricos mostrados.
α
B A
C D
β
a) α - β = 90° b) β + α = 90°c) β - α = 270° d) α - β = 270°e) α + β = 270°
3. En el gráfico mostrado, hallar "x".
x α
a) 90° - α b) 90° + α c) 180° - αd) 180° + α e) α - 90°
4. Del gráfico mostrado, hallar "x".
120g
(5x + 18)°
a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19
5. Calcular:
rad15
930A
g
π°+
=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
6. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden70g y 80°. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercero?
a) 35° b) 36° c) 37°d) 38° e) 39°
7. Hallar:
'331
'63M
°
°=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
8. Siendo "x", "y" "z" números enteros, que cumplen la
igualdad: rad17π
= x° y' z"; obtener: 3 zyxQ −+=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
9. Si:21π
rad = a° "c1'b3
Calcular:ca
bR
−=
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
10.Si un ángulo se expresa como °ab y también como
;0)1a(g
+ calcular: a + b
a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 8
Bloque II
1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a losángulos trigonométricos mostrados.
120°
αθ
a) θ - α = 360° b) θ - α = 240°c) θ + α = 360° d) θ + α = 240°e) - θ = 240°
Problemas para la clase
2. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a losángulos trigonométricos mostrados.
α
β
a) β - α = 270° b) α - β = 270°c) β + α = 270° d) β - α = 180°e) α - β = 90°
3. En el gráfico mostrado, hallar "x".
C
B
A
αx
β
a) 270° - α + β b) α + β - 270°c) β - α - 270° d) α - β - 270°e) 270° + α - β
4. En la figura, hallar "x"
π7x + 1
x°
rad
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
5. Calcular:
rad2
5440K
g
π°+
=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
6. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden80g y 70°. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercero?
a) 35° b) 36° c) 37°d) 38° e) 39°
7. Hallar:
'191
'165M
°
°=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
8. S i e n d o " x " , " y " "z" números enteros los cuales cumplenla igualdad:
rad7
π= x°y'z" ; obtener: 7zyQ ++=
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
9. Si: "c4'0ba1rad13
°=π
Calcular: bca
R−
=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
10.Un ángulo se expresa como°
ab y también como
g
04b
. Calcular: a + b
a) 7 b) 9 c) 11d) 6 e) 8
Bloque III
1. Si: 22,22° = T°E'A". Calcule: T + E + A
a) 32 b) 33 c) 48d) 47 e) 40
2. Un mismo ángulo es medido por dos personas: Marcos
encontró
o
2
1x7
−y Luis encontró .rad
360
1x2π
+ Halle
dicho ángulo en minutos centesimales.
a) 70 b) 80 c) 90d) 100 e) 10
3. Se ha creado un nuevo sistema tal que 50 grados "y"equivalen a un ángulo recto. ¿A cuántos minutos ysegundos en el sistema sexagesimal equivalen 28,125grados "y"?
a) 50°37'30" b) 50°39'15"c) 50°40'17" d) 51°37'45"e) 50°11'14"
4. Un ángulo mide45
k2 π radianes. Calcule el ángulo en
grados sexagesimales, sabiendo que el suplemento dedicho ángulo es 4k grados centesimales.
a) 160° b) 60° c) 70°d) 144° e) 172°
5. Siendo m° y ng ángulos suplementarios quienes seencuentran en la relación de dos a tres respectivamente.Calcule el valor de:
7m3
n4E −+=
a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16
6. Siendo:α = (4a)° (2a)' ; = (6a + 34)g
Además: α + β = 3πrad. Hallar "β" en radianes.
a) 1,79πrad b) 1,80π c) 1,81πd) 1,82π e) 1,83π
7. Hallar el menor valor positivo de "a", si verifica:
0nym;'n9
nm
'm10
nma
ggg
>
°++
+°=
°
a) 21°48' b) 22°48' c) 20°48'd) 23°48' e) 24°48'
8. Hallar "x", a partir de la siguiente condición:°
=
°= ∑ )
'n
'nn(x
27
1n
g
a) 1800° b) 1810° c) 1820°d) 1830° e) 1840°
9. Siendo: x = 1°2' + 2°3' + 3°4' + 4°5' + ...
Calcule el mayor valor de "x", si es menor que: rad3
2π
a) 106°59' b) 107°59' c) 108°59'd) 109°59' e) 110°59'
10.Hallar la medida de tres ángulos en radianes, si la suma delos números de grados sexagesimales de los dos primeroses 36, la suma de los dos números de radianes del segundo
y tercero es40
7π y la suma del número de grados
centesimales del primero y tercero es 25. (indicar el mayor)
a) rad15
πb)
15
2πc)
30
4π
d)40
5πe)
40
π
La pervivencia del sistema sexagesimal
Reconozco mi vieja perplejidad ante el hecho de que eltiempo y los ángulos se midan por un arcaico sistemasexagesimal, y máxime cuando es consubstancial a materiasque van desde el electromagnetismo a la mecánica cuántica.Precisamente por conocer que este sistema proviene de lacuna de nuestra civilización, Mesopotamia, no entendíacómo no lo había desplazado el sistema decimal, irradiadoen el mundo por los revolucionarios franceses tras el triunfode la Ilustración. Puesto que ahora creo poseer algunasrespuestas, me parece procedente comunicarlas.
La primera referencia literaria al día, noche, mes y año,provienen del poema Gilgamesh, escrito en caracterescuneiformes y que narra las míticas aventuras de estepríncipe de la ciudad sumeria de Uruk, que vivió sobre elaño 2750 a. de C. La escritura la habían inventado lossumerios sobre el 3300 a. de C. Posteriormente, en la Bibliahay además referencias a la semana y a la hora, yconocemos que los babilonios ya dividían el arco en gradosy minutos.
Hay que pensar que la medición de los ángulos y deltiempo en el mismo sistema sexagesimal proviene de unproceso convergente en el que la observación astronómica,en la que los primitivos pueblos agrícolas eran maestros,ocupa un lugar destacado, tal y como nos muestran lasreliquias megalíticas supervivientes de esos pueblos, comolas de Stonhengen en Inglaterra, empezado a construir hace5000 años, las pirámides egipcias, mayas y aztecas o elintihuatana inca de Machu Picchu.
En primer lugar, hay que destacar la razón de ser deestas construcciones en su aplicación de calendarios, yaque un pueblo agrícola sin escritura necesitó conocer conexactitud la duración del año y de las estaciones, al objetode prever labores tan vitales como la siembra y larecolección, lo cual no es difícil comprobando, al observarel Sol, que en los equinoccios el día tiene una duraciónigual a la noche en toda la Tierra (del 20 al 21 de marzo ydel 22 al 23 de septiembre), mientras que en los solsticios,las duraciones del día son máximas respecto a las de lanoche (21 al 22 de junio para el hemisferio norte), o mínimas(21 al 22 de diciembre). La duración exacta del día y de sunoche podía observarse por la posición de las estrellas enel firmamento, pues hay un momento en la noche en elque las estrellas ocupan el mismo lugar a lo largo de todoel año, o día sideral, cuya duración es de 23 horas y 56minutos; y para conocer los espacios del día, los sumeriosempleaban ya en el 2025 a. de C. la sombra del gnomon, obarra clavada en el suelo.
Al observar la Luna, resulta evidente comprobar quecada 29 días y medio (en números redondos, cada 30 días),existe luna llena. A este período lo llamaron mes. Un añocomprendía 12 períodos de lunas llenas o meses, por loque su duración era de 360 días. Aunque en realidad era
Opinión
algo más de 365 días, había cuatro días al año en los quereajustar el calendario, por lo que el error estaba siemprebajo control. El hecho de que los calendarios megalíticosprevean hasta la determinación exacta de la fecha de loseclipses, mucho más de lo necesario para determinar losciclos estacionales agrícolas, es debido a que al ligar lareligión y los dioses a los astros, los sacerdotes debíanconocer cuándo se ocultaban o manifestaban a los mortales,y cuál era el superior.
El problema a determinar es por qué los sumerios, quepartían de un año de 360 días y un círculo de 360 grados,dividieron los días en 12 horas dobles (24), la hora en 60minutos, y muy posteriormente, el minuto en 60 segundos,cuya respuesta exige remontarse a una época ágrafa en laque se contaba con los dedos, de la que surgen no sólo lossistemas decimales, sino los de base duodecimal y los debase sexagesimal.
Hoy en día, existen artículos que en occidente se compranpor docenas, tales como los huevos o las ostras. GeorgesIfrah al observar a pueblos actuales que aún cuentan conlas falanges de los dedos de una mano en Egipto, Siria,Irak, Afganistán, Pakistán y algunas regiones de la India,mantiene la siguiente tesis: Si extendemos la palma de lamano derecha y contamos con el dedo pulgar cada una delas tres falanges de los dedos meñique anular corazón eíndice, al acabar la cuenta tendremos 12 unidades, en lugarde las cinco obtenidas de contar exclusivamente los dedos.Si a cada 12 unidades asignamos un dedo de la manoizquierda, habremos obtenido 60 unidades al acabar lacuenta, con lo cual únicamente con 10 dedos tenemos laposibilidad de designar biunívocamente hasta 60 objetoscon sólo señalar los dedos correspondientes de la manoizquierda, y la falange determinada de un dedo de la manoderecha. La base duodecimal y la sexagesimal quedanestablecidas.
Los sumerios se encontraron con un mes de 30 días y12 meses en cada año de 360 días. Obviamente, el círculode 360 grados lo dividieron en 12 sectores de 30 gradoscada uno (signos del Zodiaco), pues la posición de los astroseran parte de su mística y sistema de medir el tiempo. Eranormal que el día lo dividieran en 12 horas, yposteriormente, en 24 (12 para el día y 12 para la noche).Cuando hubo que subdividir la hora o el grado, la segundabase prestó su apoyo, por lo que se estableció en 60minutos, mensurables desde el año 2000 a. de C. gracias ala existencia de los relojes de arena y de agua.
La necesidad de medir segundos fue muy posterior, puesla trigonometría no se inicia hasta el año 140 a. de C. conHiparco, y hasta el siglo XI no se construye en China unreloj astronómico con un error de 100 segundos por día.En definitiva, los relojes europeos de pesas del S. XIII sóloanuncian las horas, y hasta 1656 Huygens no inventa elreloj de péndulo en el que se marca el segundo. No obstante,el reloj naútico de precisión para determinar la posicióndel buque no es operativo hasta 1680. Supongo que paralos sumerios, obsesionados con las coincidencias numéricas,el hecho de que la división sexagesimal del minuto casicoincida con la frecuencia del latido del corazón humano,les confirmaría en la validez de un sistema en el que lasapariciones en el firmamento de sus dioses cósmicos (Sol,Luna, Estrellas, Constelaciones), estaba en directa relacióncon el destino de la humanidad (astrología del zodíaco),con la vida del individuo y con las épocas de recolección ycultivo, a partir de las manos. Puro humanismo prehistórico.De hecho, cinco milenios después, por lo menos, el arcaicosistema sexagesimal para medir el tiempo y las posicionesangulares, no sólo sigue vigente tanto en la técnica, la ciencia(hasta el segundo, desde el que se pasa a decimal) y en eluso cotidiano, sino que es inmutable a los milenarios cambiosculturales.
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
R. T. de un ángulo agudo
Capítulo II
• DefiniciónSon los distintos cocientes que se obtienen entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con respecto
a uno de sus ángulos agudos.Las razones trigonométricas de un ángulo "θ" se definen como sigue:
seno de : sen =θ θcateto opuesto
hipotenusa
tangente de : tan =θ θcateto opuesto
cateto adyacente
secante de : sec =θ θhipotenusa
cateto adyacente
coseno de : cos =θ θcateto adyacente
hipotenusa
cotangente de : cot =θ θcateto adyacente
cateto opuesto
cosecante de : csc =θ θhipotenusa
cateto opuesto
Por ejemplo, de la siguiente figura:
A
C
B
b
c
a
θ
entonces:
b = a + c22 2
sen =θ ab
cos =θ cb
tan =θ ac
cot =θ ca
sec =θ bc
csc =θ ba
(Teorema de Pitágoras)θ α + = 90º
α
1. En un triángulo ABC (B = 90°);reducir: L = senA.cscA + cosA.secA
Resolución:
Graficando tenemos:
A
B C
cb
a
L = ab
. ba
cb
bc
→ L = 2+ .
Problemas resueltos 2. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden13cm y 12cm. Calcular el coseno del mayor ánguloagudo.
Resolución:
Uno de los lados mayores involucra a la hipotenusa, porlo tanto se puede graficar:
C
BA
13 x
12
β
α
i)
ii)
Pitágoras: 13 = 12 + x
169 = 144 + x x = 5
2 2 2
2
A menor lado se opone el menorángulo y viceversa, por lo tantoel mayor ángulo agudo es " "β
→
nos piden entonces: cos =β 513
3. En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble delotro. Calcular el seno del mayor ángulo agudo.
Resolución:Graficando y respetando la condición:
C
BA
x a
2a
β
α
i)
ii)
iii)
Por Pitágoras: x = (a) + (2a)
x = a + 4a x = 5a x = 5a
2 2 2
2 2 2 2 2→ →
Mayor ángulo agudo " "β
Por lo tanto: sen = sen =→β β2a
a 5
2
5
4. Siendo " " un ángulo agudo, tal que: cos =3
2;
determinar "sen ".
Resolución:Interpretando la condición:
cos =θ 23
C.A.H
=
∴ C.A. = 2a H = 3a, entonces llevando a un triángulorectángulo.
C
BA
3a x
2aθ
i)
ii)
Por Pitágoras: (3a) = (2a) + x
9a = 4a + x x = 5a x = 5 a
2 2 2
2 2 2 2 2
sen =θ
→
C.O.H
sen =θ→ 5a3a
sen =θ 53
→
5. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B"), de lados"a", "b" y "c", se cumple que:
8senCAsec
CtanAtan=
−
+, reducir: K = [cot2A + 2senA]cosC
Resolución:Interpretando la condición en función de los lados deltriángulo rectángulo.
A
C
Bc
ab
i)
ii)
reemplazando:
efectuando operaciones:
ac
ca+
bc
cb-
= 8
(a + c )bcac (b - c )
22
2 2 = 8
iii) Utilizando Pitágoras: a2 + c2 = b2 b2 - c2 = a2,entonces queda:
b .bcac.a2
2
= 8 ba
3
3 = 8 ba
21
=→
Comparando: b = 2n, a = n reemplazando en eltriángulo rectángulo inicial.
A
C
Bx
n2n
i)
ii)
Por Pitágoras: (2n) = (n) + x22 2
Reemplazando en "K":
3 n
4n = n + x 3n = x x = 3n→2 2 2 2 2
K = [cot A + 2senA]2 cosC
→
3nn
+ 2 n2n
22 n/2n
K = [( 3) + 2( )] K = 21/22 12
=
→
6. Del gráfico mostrado; calcular: L = tanα.tan
A B
C
Mα
θ
Resolución:Del gráfico, sea: BC = n AM = MB = m
A B
C
Mα
θ
m
n
m
i)
ii)
iii)
MBC : tan =θ mn
ABC : tan =α n2m
Reemplazando en "L":
L = L =n2m
mn
12→
7. En un triángulo rectángulo se cumple que la diferenciade las medidas de la hipotenusa con uno de los catetoses 8 y con el otro es 9. Calcular el valor de la tangentedel mayor ángulo agudo de dicho triángulo.
Resolución:Sea (a > b)
i)
ii)
iii)
A
C B
cb
a
θ
c - a = 8 a = c - 8→
c - b = 9 b = c - 9→
además:a + b = c2 2 2}
Reemplazando:
(c - 8) + (c - 9) = c c - 34c + 145 = 0→2 2 2 2
Factorizando:
c - 34c + 145 = 02
cc
-29-5
(c - 29) (c - 5) = 0 c = 29 a = 21→ ∧por lo tanto: b = 20
Entonces: tan =20
21
8. Calcular: tan2
θ
θ
5m + 2
A
C
B4m + 3
3m - 1
Resolución:
: (5m + 2) = (3m - 1) + (4m + 3)22 2
Efectuando:25m + 20m + 4 = 9m - 6m + 1 + 16m + 24m + 92 2 2
→ 2m = 6 m = 3
ABC
→
Entonces, la figura queda:
Q
C
BA17 15
17
θ/2 θ
8
tan = =θ2
832
14
9. En un cuadrado ABCD, se traza CFyBE ("E" en CD y"F" en );AD tal que: FD = 3AF y CE = ED, si: ∠ BEC = αy ∠ CFD = β; calcular: J = 2cotα + 3tanβ
Resolución:
A B
CD E
Fa
2aα
4aβ
3a
i)
ii)
iii)
2a
Como: CE = ED "E" : punto medio⇒
Además: FD = 3AF AF = a FD = 3a∧⇒
Reemplazando en "J":
J = 2 + 3 4a3a
2a4a
J = 5
10.En un rectángulo ABCD, se ubican los puntos "M", "N" y
"P" en AByAD,BC respectivamente, tal que:
2
ND
3
BP
4
MCAPBM ====
Si: ∠ PCD = α ∧ ∠ MNA = β, calcular: J = tanα + tanβ
Resolución:
i)
ii)
iii)
Interpretando el gráfico:
B C
DA
P Q
4a
3a
aR 2a2a
M
3a
aa
aα
β
BM = AP = = = a
BM = a; AP = a; MC = 4a; BP = 3a; ND = 2a
Reemplazando:
J = + ; J = + 2 J =→
MC4
ND2
5a3a
4a2a
53
113
BP3
=
N
Bloque I
1. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden: 1 y3 . Determinar la suma de los senos de sus ángulos
agudos.
a)2
13 +b)
2
1c)
2
3
d)2
13 −e) 3
2. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 3y .2 Determinar la suma de los cosenos de susángulos agudos.
a) 1 b)3
27 −c)
3
7
d)3
72 +e)
3
2
3. En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble delotro. Calcular la secante del menor ángulo agudo.
a) 2 b)2
3c) 3
d)2
5e) 5
4. En un triángulo rectángulo, su hipotenusa es el triple deuno de sus catetos. Determinar la cotangente de sumenor ángulo agudo.
a) 1 b) 2 c) 2 2
d) 10 e) 2 10
5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "A", reducir:R = senB.senC.tanB.a2
a) a2 b) b2 c) c2
d) ab e) bc
6. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) reducir:S = tanA.tanC + senA.secC + cosA.cscC
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
7. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) reducir:Q = cos2A + cos2C + csc2A - tan2C
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) -1
8. Siendo: senα =5
2; "α" es agudo, calcule "cotα"
a)15
29b)
25
29c)
23
21
d)2
21e)
5
21
9. Siendo: tanα =12
5; "α" es agudo, calcule "senα"
a)13
5b)
13
12c)
5
4
d)5
3e)
2
1
10.En un triángulo rectángulo, el seno de uno de susángulos agudos es el triple del seno del otro ánguloagudo. Determinar el seno de su mayor ángulo agudo.
a)2
1b)
3
22c)
3
2
Problemas para la clase
d)10
10e)
10
103
Bloque II
1. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden: 5y 6. Determinar la suma de los cosenos de sus ángulosagudos.
a)61
10b)
61
11c)
61
14
d)61
16e)
61
17
2. En un triángulo rectángulo los lados mayores miden 3 y2. Determinar la suma de los cosenos de sus ángulosagudos.
a)3
2b)
3
132 +c)
3
53 +
d)3
25 +e)
3
133 +
3. En un triángulo rectángulo, un cateto es el triple delotro cateto. Calcular la cosecante de su menor ánguloagudo.
a) 10 b)3
10c) 22
d)3
22e)
3
2
4. En un triángulo rectángulo, su hipotenusa es el doblede uno de los catetos. Determinar la cotangente de sumenor ángulo agudo.
a)2
1b) 3 c)
3
3
d) 2 e)3
2
5. En un triángulo rectángulo, recto en "A", reducir:S = cosC.cotB.secB.b2
a) a2 b) b2 c) c2
d) ab e) bc
6. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), reducir:S = cotA.cotC + cosC.cscA + senA.secC
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
7. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°),reducir: Q = sec2A - cot2C + sen2A + sen2C
a) 1 b) -1 c) 2d) 0 e) -2
8. Siendo:4
3cos =α , "α" es agudo, calcule "cotα".
a)3
1b)
4
3c)
7
73
d)3
7e)
3
4
9. Siendo:15
8tan =α , "α" es agudo, calcular "cscα".
a)15
17b)
8
15c)
8
17
d)12
17e)
7
2
10.En un triángulo rectángulo, el coseno de uno de susángulos agudos es el doble del coseno del otro ánguloagudo. Determinar el coseno de su mayor ángulo agudo.
a)5
5b)
5
52c)
2
3
d)2
33e)
5
2
Bloque III
1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se traza la
m e d i a n a AN ("N" en )BC , tal que: CAB = y ANB = .
Calcular: K = tan .tan
a) 1 b) 2 c) 4
d)21
e)41
2. En un cuadrado ABCD se traza AE ("E" en )BC , talque: BAE = y EDC = . Calcular: K = tan + tan
a) 1 b) 2 c) 4
∧ ∧
∧ ∧
d)21
e) 8
3. Si ABCD es un cuadrado, calcular "tan ".
B
A D
CM
N
θ
a)21
b)32
c)43
d)52
e)61
4. Del gráfico, hallar: tan
A
B
C
M
N
m
n
φ
a)mnmn
+−
b)mnmn
−+
c)mnmn2
+−
d)mnmn
+−
e)mn2mn2
+−
5. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se tienecomo datos: el lado "a" y la diferencia "m" entre lahipotenusa y el otro lado. Calcular "senC".
a) 22
22
ma
ma
+
−b) 22 ma
am2
+
c) 22 ma
am2
− d) ma
ma
−
+
e) ma
ma
+
−
6. En un triángulo rectángulo ABC (C = 90°) se verificaque:
,5
7
ba
ba=
−
+ hallar: senA + senB.
a)7
37b)
37
375c)
37
377
d)37
1e)
37
5
7. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "C") se verifica:
AcotBcosc
b2a−=
−. Calcular "cscA"
a)3
32b) 2 c)
2
1
d) 2 e) 32
8. S i : A B = B C , c a l c u l a r : Q = c o t α - cscφ
0
A
B
C
5
3αβ
a) 2 b)2
2c) - 2
d) -2
2e) 1
9. Si " " es un ángulo agudo, tal que:51
cos =θ
Calcular: K = tan .tan2θ
+3
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
10. Se tiene dos circunferencias tangentes exteriormente conradios "R" y "r" (R > r). Calcular el cuadrado de la cotangentedel ángulo formado por la recta tangente a ambascircunferencias y la recta que une los centros.
a) 2)rR(
Rr4
− b) 2)rR(
Rr4
+
c) 2)rR(
Rr2
− d) 2)rR(
Rr2
+
e) 2)rR(
Rr
−
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
Capítulo III• Triángulos rectángulos notables
Son aquellos triángulos rectángulos; donde conociendolas medidas de sus ángulos agudos, se puede saber laproporción existente entre sus lados. Van a destacarlos siguientes triángulos:
a. De 30° y 60°
C
A 30°
a2a
a 3B
60°
Ejemplos:
484
4 3 230° 30°
60° 60°3 2
3
b. De 45° y 45°
45°
C
BA a
aa 2
45°
Triángulos rectángulos de ángulos no-tables y propiedades de las razones
trigonométricas de los ángulos agudos
Ejemplos:
A A
C C
B B
3 53 2 5
345° 45°
45° 45°
2
52
c. De 37° y 53°
37°
C
BA4a
3a5a
53°
Ejemplos:
24 2837° 37°
53°30 3518 21
C C
B BA A
• Razones trigonométricas de ángulos notables (30°; 45°; 60°)
seno
coseno
tangente
cotangente
secante
cosecante
30° 45° 60° 37° 53°
12
23
33
3
332
2
22
22
1
1
2
2
23
12
3
33
2
332
35
45
34
43
54
53
45
35
43
34
53
54
Observación:Una forma práctica para calcular las razones
trigonométricas de la mitad de un ángulo agudo es lasiguiente: Partimos de un triángulo ABC (recto en "C"). Siqueremos las razones trigonométricas de (A/2) entoncesprolongamos el cateto CA hasta un punto "D" tal que:AD = AB luego el triángulo DAB es isósceles, BDA = A/2.
D A
B
C
a
bcA/2
A/2
c
A
Por lo tanto:a
bc
2
Acot
+=
entonces:
AcotAcsc2
Acot
a
b
a
c
2
Acot +=→+=
análogamente:
AcotAcsc2
Atan
a
bc
bc
a
2
Atan −=→
−=
+=
consecuencia de lo concluido es:
24a 7a16° 8°
74° 82°25a 5 2a7a a
C C
B BA A
2a 3a53°/2 37°/2
5 a 10 aa a
C C
B BA A
• Propiedades de las razones trigonomé- tricas de ángulos agudos
* Razones trigonométricas recíprocas
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
sen =α
cos =α
tan =α
cot =α
sec =α
csc =α
abcbaccabcba
C
BA
b a
cα
111
sen.csc = 1
Ejemplos:
sen10°.csc10° = 1 ; sen20°.csc20° = 1; sen25°.csc25° = 1
s e n α.csc40° = 1 → α = 40°; sen50°.csc5α = 1 → α = 10°
tan.cot = 1
Ejemplos:
tan25°.cot25° = 1; tan15°.cot15° = 1; tan35°.cot35° = 1
tanα.cot50° = 1 → α = 50°; tan40°.cot8α = 1 → α = 5°
cos.sec = 1
Ejemplos:
cos5°.sec5° = 1; cos23°.sec23° = 1; cos17°.sec17° = 1
cos35°.sec7α = 1 → α = 5°; cos7α.sec70° = 1 → α = 10°
* Razones trigonométricas de ángulos complemen- tarios
Cualquier razón trigonométrica de un ángulo es igual ala co-razón trigonométrica del ángulo complementario,si "a" es un ángulo agudo, entonces:
R.T.( ) = Co-R.T. (complemento de " ")
Ejemplos:
i) sen20° = cos70° ii) sen3
π = cos
6
π
iii) secθ = csc
θ−
π
2 iv) cos40° = sen50°
v) tan5
π = cot
10
3πvi) csc(90° - φ) = secφ
vii) tan10° = cot80° viii) csc8
π = sec
8
3π
ix) cotα = tan(90° - α)
)90csc(sec)90cot(tan)90cos(sen
α−°=αα−°=αα−°=α
1. Calcular: Q = sen230° + tan37°
Resolución:Reemplazando valores en la expresión:
1Q4
3
4
1Q
4
3
2
1Q
2
=∴→+=⇒+
=
2. Evaluar:
°
°+°=
30csc
60cos45senA
2
Resolución:Reemplazando valores en la expresión:
2
1A
22
1
2
1
A2
2
1
2
2
A
2
=∴→+
=→
+
=
3. Hallar: L = (sec53° + tan53°)cos60°
Resolución:Reemplazando valores:
2
3L
2
1
3
9L
2
1.
3
4
3
5L =∴→
=→
+=
4. Hallar: T = (tan260° + 5sen37°)sen30°
Resolución:Reemplazando valores:
( ) ( ) 3T21
33T21
.53
53T2
=∴→+=→
+=
5. En la figura adjunta, se sabe que:AB = 18m, CAD = 15° y el CBD = 30°, calcular lalongitud "CD".
D
CBA
15° 30°18 m
Resolución:Podemos observar que el ADB resulta: 15°, luego eltriángulo ABD resulta ser isósceles, por lo tanto:BD = AB = 18m, en el triángulo BCD, se tiene:
Problemas resueltosm9CD
21
1821
.BDCD,30senBDCD
=∴→
==°=
D
CBA
15° 30°18
18915°
6. En la figura adjunta, se sabe que: AB = 12m, CAD = 30°y el CBD = 45°. Calcular la longitud "CD".
D
CBA
Resolución:
D
CBA
30° 45°x12
x
Como en el BCD es isósceles: BC = DC = x
En el ACD; por definición:
cot30° = ACDC 3 = 12 + x
xx = 16,4 m→ →
7. Se tienen dos círculos tangentes exteriormente cuyos radiosson "r" y "3r" respectivamente. Calcular el ángulo que formala recta que pasa por los centros de ambos círculos con unade las tangentes exteriores a ambos círculos.
Resolución:
3r
C
B
A
Q2r
3r01 02
r
r
rα
α
Se traza: 0 Q // AC,2 en el 0 Q02 1
sen =α 0 Q10 01 2
= 2r4r
sen =α 12
α = 30°→
8. Se tiene un triángulo equilátero ABC, inscrito en unacircunferencia, si "M" es el punto medio del arco AC y "N" elpunto medio del lado BC. Determinar el seno y tangente delángulo MNC.
Resolución:
B
A
M
CNθ
* Unimos los puntos "M" y "C", obteniendo el triángulo rectángulo MCN.
Sea: MNC =∠ θ
Luego: sen = tan =θ ∧ θMCMN
MCNC
De la geometría: MC = = R6 NC =32
= R 32
MN = MC + NC = R + =2 2 2 3R4
2R 72
Entonces:
sen = =θR R2 7
72 33R 7
2R 32
tan =θ⇒ =
⇒
9. Si ABCD es un cuadrado, calcular "tanx".
B CF
E
DA
x37°
Resolución:
i)
ii)
iii)
iv)
ADE notable de 37° y 53°, entonces:AD = 16a ED = 12a∧
Por ser un cuadrado: AD = CD, entoncesEC = 4a
FCE notable de 37° y 53°, entonces:
CE = 4a, CF = 3a, entonces: BF = 13a
ABF: tanx = tanx =→ 13a16a
1316
:
10.En el gráfico mostrado, hallar "tanθ"
A
B
C
8 6
θ
135
Resolución:
A
B
C
13526
θ
45
Q
AQC: tan = tan =θ → θ28
14
2 2
2
11.Reducir:
°°°
°°°=
40cos.65sen.20csc
50sen.25cos.70secQ
Resolución:Aplicando razones trigonométricas de ánguloscomplementarios.
i) sec70° = csc20°ii) cos25° = sen65°iii) sen50° = cos40°
Por lo tanto:
1Q
sen50cos40.
cos25sen65.
sec70csc20
sen50.cos25.sec70Q =∴⇒
°°
°°
°°
°°°=
12.Reducir:
5
2tan.
24sen.
8sec
24
11cos.
8
3csc.
10cot
Aπππ
πππ
=
Resolución:
Por razones trigonométricas de ángulos comple-mentarios.
i) sec8
π = csc
8
3π ii) sen
24
π = cos
24
11π
iii) tan5
2π = cot
10
π
Por lo tanto:
1A
10cot
52tan.
2411cos
24sen.
83csc
8sec
2411cos.
83csc.
10cot
A =∴⇒=
πππ
πππ
πππ
13.Si:α = 15°, calcular: Q = senα.sen2α.sen3α.sen4α.sec5α
Resolución:
Q = sen15°.sen30°.sen45°.sen60°.sec75°
°
°
°=
15csc
75sec2
3
2
2
2
115senQ → ∴
8
6Q =
14.Si: secα = csc2φ.
Hallar: R = tan
φ+
α
2 + sec(330° - 3α - 6φ)
Resolución:
i) secα = csc2φ → α + 2φ = 90°
])2(3330[sec2
2tanR φ+α−°+
φ+α=
)]90(3330sec[2
90tanR °−°+
°=
R = tan45° + sec60° ∴ R = 3
15.Si: sen(α - 20°) = cos(θ - 30°), "α" y " " son ángulosagudos
Calcular:)120tan()85(cot
2cot
4tan
A°−θ+α+°−θ+α
θ+α+
θ+α
=
Resolución:
sen(α - 20°) = cos(θ - 30°) → α - 20° + θ - 30° = 90° ∴ α + θ = 140°
Reemplazando:
)120140tan()85140cot(
2
140cot
4
140tan
A°−°+°−°
°+
°
=
1A70cot35tan70cot35tan
A20tan55cot70cot35tan
A =∴→°+°°+°
=→°+°°+°
=
16.Calcular el valor de la cotangente de "2
α" sabiendo que:
tanα = x57
x23
−
−; tanθ = ,
1x4
2x10
−
−
siendo "α" y "θ" ángulos agudos complementarios.
Resolución:
Como "α" y "θ" son ángulos complementarios tan = cotθ
)1x4)(x57()2x10)(x23(2x101x4
x57x23
−−=−−→−−
=−−
,
simplificando: x = -1
Entonces:
tan =α 3 - 2(-1)7 - 5(-1)
tan =α 512→
5
12
13
α
Luego:
α+α=α
cotcsc2
tan ;
52
tan5
12
5
13
2tan =
α∴→+=
α
17.Si: α = 7°30'Calcular:
α
α+
α
α+
α
α+
α
α+
α
α=
7cos
5sen
8sen
4cos
9cos
3sen
10sen
2cos
11cos
senR
Resolución:
Dato: α = 7°30' = 7,5°; reemplazando en "R":
°°
+°°
+°°
+°°
+°
°=
5,52cos5,37sen
60sen30cos
5,67cos5,22sen
75sen15cos
5,82cos5,7sen
R
i) sen7,5° = cos82,5°ii) sen22,5° = cos67,5°iii) sen37,5° = cos52,5°iv) cos15° = sen75°v) cos30° = sen60°
complemento
Reemplazando:
5R5,37sen5,37sen
30cos30cos
5,22sen5,22sen
15cos15cos
5,7sen5,7sen
R
=∴→°°
+°°
+°°
+°°
+°°
=
18.Si:Q = tan1° - cot1° + tan2° - cot2° + .... + tan89° - cot89°R = tan1° . tan2° . tan3° . .... . tan88° . tan89°S = sen1° - cos1° + sen2° - cos2° + ... + sen89° - cos89°Hallar: M = Q + R + S
Resolución:
Q = tan1° + tan2° + tan3° + ... + tan89° -(cot1° + cot2° + cot3° + ... + cot89°)
)89cot88cot87cot...3cot2cot1(cot
89tan88tan87tan...3tan2tan1tanQ
1tan2tan3tan
1cot2cot3cot
°°°
°°°
°+°+°++°+°+°−
°+°+°+°+°+°=
∴ Q = 0
°°°
°°°°°°=1cot2cot3cot
89tan.88tan.87tan....3tan.2tan.1tanR
∴ R = 1
S = sen1° - cos1° + sen2° - cos2° + .... + sen89° - cos89°
S = sen1°+sen2°+ sen3°+... sen87° + sen88° + sen89° -
)89cos88cos87cos...3cos2cos1cos(1sen2sen3sen87sen88sen89sen
°°°°°°
°+°+°++°+°+°
Por lo tanto: S = 0 ; entonces:
1MSRQM010
=→++=
19.Siendo "α" y "θ" los menores ángulos positivos queverifican las relaciones:senα.sec(3α + θ) = 1 .... (I) tanθ . tan(2α + θ) = 1 ...... (II)Determinar el valor de: M = 2sen(4α - θ) + tan(2θ - α)
Resolución:
Como:
sen .sec(3 + ) = 1 sen = )3sec(1
θ+αsen = cos(3 + )
∴ α + 3α + θ = 90° → 4α + θ = 90° ...... (1)
Además:
)2cot(tan)2tan(
1tan1)2tan(.tan
θ+α=θ→θ+α
=θ→=θ+αθ
∴ θ + 2α + θ = 90° → 2α + 2θ = 90° ..... (2)
De (1) y (2): α = 15° θ = 30°Por lo tanto:M = 2 s e n ( 4 x 15° - 30°) + tan (2 x 30° - 15°)
M = 2sen30° + tan45° ∴ M = 2
20.Si: sen(x + senx) = cos(y + cosy)Calcular:
)ycossenxcsc(.)yxcos()yxcot(
)ycossenxtan()ycossenxcos(
)yx(senA
+++++
+++
=
Resolución:Del dato:
sen(x + senx) = cos(y + cosy) ⇒ x + senx + y + cosy =2
π
Ordenando:
22ycossenxyx
π=θ+α⇒
π=+++
θα
i) senα = cosθ ; ii) tanθ = cotαiii) cscθ = secα
Reemplazando en "A":
α
θα+α
θ+
θ
α=
sec
csc.coscot
tan
cos
senA
Por lo tanto: A = 3
Bloque I
1. Calcular "x" en la igualdad:
xsen30° + sec260° = 4xtan45° + tan445°
a)5
1b)
5
2c)
5
3
d)5
4e)
5
6
2. Sabiendo que " " es agudo y ademástanα = sen45°. Calcular:A = 4sec2α + sen2α
a)2
17b)
2
19c)
2
21
d)2
23e)
2
25
Problemas para la clase
3. Del gráfico mostrado, calcular "tanα".
A B
C
D37°
α
a)3
1b)
3
2c) 1
d)3
4e)
3
5
4. Del gráfico, calcular "tanθ"
A
B
C
10
21θ53°
a)7
3b)
8
3c)
7
8
d)15
8e)
15
7
5. Calcular "tan " del gráfico:
4
3
θ
A
B
M
C
a)4
3b)
6
5c)
4
5
d)2
1e)
8
1
6. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se sabe que:∠ A = 30°. Trazamos CM ("M" en )AB tal que: AM = 2MB..Si: ∠ CMB = , calcular "tan "
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
7. En un cuadrado ABCD, se traza ,AN ("N" en )CD tal que:
∠BAN = 53°. Si: ∠NMD = α, ("M" punto medio de )AD ,calcular "tanα".
a)2
1b) 2 c)
2
3
d) 1 e)3
2
8. Desde un punto "P" exterior a una circunferencia de
centro "O" se traza la tangente ,PT tal que: OPT = 53°.
Calcular "tan ∠ OMT", si "M" es el punto medio de .PT
a)3
8b)
3
7c) 2
d)3
5e)
3
4
9. Del gráfico, calcular "tan ", si el triángulo ABC esequilátero.
A
B
D
C
2
5θ
a)23
b)33
c)43
d)53
e)63
10.Del gráfico, calcular: θα
tantan
; si los triángulos ABC y CDE
son equiláteros; además: AB = 4CD.
A
B
C
D
E
MN
θα
a)193
b)163
c)194
d)154
e)1312
Bloque II
1. Si: tan3x.cot(x + 20°) = 1Calcular: K = tan6x.tan(4x + 5°)
a) 2 b) 3 c)33
d) 3 e) 1
2. Si: sen4x.csc(x + 45°) = 1tan3x.cot2y = 1
Calcular: M = sen(x + y - 10°) cot (y - x)
a) 1 b) 2 c) 3d) 2,5 e) 3,5
3. Si: sen3x = cos2xCalcular: K = 4tan(2x + 1°) + 3tan(3x - 1°)
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
4. Si: tan7x = cot(2x + 9°)sen4x.csc3y = 1
Calcular: K = cos5x.cot4y.cot(4x + 6°)
a) 1 b) 2 c) 3
d)23
e)21
5. Calcular "x", si:sen(2x+10°).sen(50°-x)=cos(x+5°).cos(40°+x)
a) 15° b) 10° c) 5°d) 20° e) 25°
6. Si: sen(x + y - 20°) . csc(70° - z) = 1Calcular:
xcsc
)zysec(
zcot
)yxtan(D
++
+=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
7. Sabiendo que:sen(2a+b).sec(12°-2c)=cos(a-2b).csc(78°+2c)Calcular: M = tan(2a + b + c). tan(a - 2b + c)
a) 1 b) 2 c)2
1
d) 3 e)3
1
8. Si: sen(40° - x) = tan(20°+α).cos(50° + x)
Obtener:
)10xcot(
)50xtan().5x2sec(K
°−−α
°+α+°−=
a)2
2b) 2 c) 1
d) 2 e) 3
9. Calcular el valor de cotangente de "2
α" sabiendo que:
2x
1xtan
2x
1xtan
+
+=θ∧
−
+=α
siendo "α" y "θ" ángulos agudos complementarios.
a) 103 − b) 103 + c) 223 +
d) 223 − e)3
2
10.Siendo: sen(40° - x) . sec(5x + 10°) = 1
Calcular: )kxtan(E8
1k∏=
=
a) 1 b) 2 c) 3
d) 2 e) F.D.
Bloque III
1. Siendo "0" y "01" centros. Hallar "tan "
A
B0
01
θ
a)3
1b)
2
1c)
2
2
d) 2 e) 22
2. Siendo "0" centro y "P" punto medio de ,MN hallar "tanθ".
A
B0
θ
M NP
a)2
1b)
4
3c) 1
d)2
3e)
2
5
3. Si "M" es punto medio del arco AB y "O" es centro,o b t e n e r e l v a l o r d e " t a n θ".
A
B0
θ
30°
N
a) 33 + b) 26 + c) 63 +
d) 263 + e) 32 −
4. Del gráfico mostrado, hallar "AD", si:MB = MC = 2 y AB = 2
C
DM
BA 30°
a) 26 + b) 26 + c) 36 +
d) 32 + e) 132 +
5. Del gráfico mostrado, calcular "tan ", si:AP = 8 2 y BC = 3.
A
P
B
CH
45° θ
37°/2
a)5
1b)
4
1c)
3
1
d)2
1e)
6
1
6. Si: sen2α.csc(θ + 30°) = 1tan(θ - φ) . tan(φ + α) = 1
Evaluar: A = sen(θ-10°)secθ+tan(α+5°)
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
7. Si: tan3x.sen(35°+ ).sec(55°-α)=cot2xCalcular: B = cos(2x-6°).sen(x+12°)
a)8
3b)
4
3c)
3
3
d)2
3e) 1
8. Si:
π=
π
4
abcos
4
absen .... (I)
a = sen3θ . sen3α ............. (II)
b
1= cos3θ . cos3α ............. (III)
Hallar el valor de:
)(
)(senC
α+θ
α+θπ=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
9. Calcular: tanx.tan(x-y).tan(30°-y), si se cumple que:
)30xtan(
)z30tan(
)z60tan(
)y60tan(
°−
−°=
−°
−°
a) 1 b) 2 c) 3
d) 2 e) 22
10.Si: sen(x + 2y) = cos(2x + y)Calcular:
)yxtan(
]y3tanx3[tan]y3tanx3[tanE
22
+
−−+=
a)3
34b)
3
32c)
3
3
d) 32 e) 34
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
Repaso
Capítulo IV
Problemas para la clase
Bloque I
1. De acuerdo a lo mostrado en el gráfico, se puedeverificar que:
β
α
a) α - β = 0° b) α + β = 0°c) α - β = 90° d) α + β = 90°e) α + β = -90°
2. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden120g y /3 rad. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercerángulo?
a) 12° b) 18° c) 16°d) 6° e) 8°
3. Del gráfico, calcular:y90xS °+=
5yg 3xº
a) 3 b) 2 c)32
d)23
e)65
4. En un triángulo rectángulo, un cateto es el cuádrupledel otro. Calcular el producto de las secantes de losángulos agudos del triángulo.
a)8
17b)
417
c)8
15
d)415
e)215
5. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); señale elequivalente de:
AtancbsenCbsenACtana
K++
=
a)caba
++
b)baca
++
c)cbba
++
d)bacb
++
e) 1
6. Si " " es agudo, tal que: cos =61
; calcular:
K = tan cot2θ
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
7. Si " " es agudo, tal que: cscθ = tan60°; calcular el valorde: K = (cos2θ - sen2θ) (2sec2θ - 1)
a) 1 b)31
c)32
d)23
e) 3
8. Del gráfico; calcular "tan "
A
C
B53º5
7
θ
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3d) 0,4 e) 0,5
9. Del gráfico, determine el valor de "sen "
A D C
B
φ 37º
a) 0,24 b) 0,12 c) 0,48d) 0,96 e) 0,36
10.Siendo " " un ángulo agudo, tal que:
°°+°°°°
=θ70cot20cot280tan10tan3
40sec50sencos
Calcular: S = tan tan2θ
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
11.Si:
θ
π=
θ
πcot
4costan
4sen ; señale un valor de:
S = tan2 + cot2
a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32
12.Si: tan5x.tan(30° - x) = 1; calcular:S = sec23x + sec24x
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
Bloque II
1. De acuerdo al gráfico, se puede verificar que:
θ
α
a) + = 180° b) - = 180°c) - = 90° d) - = 90°e) + = 0°
2. En un triángulo isósceles, los ángulos congruentes miden(7n + 3)° y (8n + 2)g. ¿Cuál es la medida circular delángulo desigual?
a)2π
rad b)3π
c)4π
d)5π
e)6π
3. Del gráfico, calcular: y15x
S+
=
6xº
15yg
a) 1,5 b) 1,75 c) 2,5d) 2,25 e) 2,75
4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el cuádruplede un cateto. Calcular el producto del coseno ycotangente del menor ángulo agudo de dicho triángulo.
a) 2,25 b) 3,25 c) 2,75d) 3,75 e) 4,15
5. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); simplificar:
CcosAcoscb
S−
=
a) b b) a c) cd) a + c e) b - c
6. Si " " es agudo, tal que: cos =71
; calcular:
S = tan tan2θ
a) 1 b) 3 c) 5d) 4 e) 6
7. Si " " es un ángulo agudo, tal que:sen = tan30°; calcular:
S = (2cos2 - 1) (csc2 + 1)
a)32
b)34
c) 2
d) 4 e) 6
8. Del gráfico, determine el valor de "cot "
A
CB
150º β4
7 3
a) 35,3 b) 33 c) 35,4
d) 34 e) 35,5
9. Siendo " " un ángulo agudo, tal que:sec = 7tan20°tan70° - 3sen40°sec50°
Calcular: S = tan cot2θ
a) 7 b) 6 c) 5d) 4 e) 3
10.Si: sen[(15tan )°] = cos[(15cot )°];señale un valor de: S = tan2 + cot2
a) 34 b) 36 c) 25d) 23 e) 21
11.Si: tanx.tany = 1; calcular:
+
+
+
=6
yxtan
3yx
tan2
yxtanS
a) 132 − b) 13 −
c) 1332 − d) 1
33
+
e) 13 +
Bloque III
1. Se tienen tres ángulos tales que al ser agrupados de ados; las sumas de estas parejas resultan ser iguales a
80g,32π
rad y 50°. ¿Cuál es la media aritmética de las
medidas de los tres ángulos?
a) 30°15' b) 20°30' c) 40°20'd) 40°30' e) 20°20'
2. Señale el valor de:
++°
∑=
=1)'(k1)'(kk6
1kS
a) 71 b) 72 c) 81d) 82 e) N.A.
3. En el cubo mostrado, calcular:S = 3cot2 + 1 (CM = MD)
B
A
B'
A'
C
C'
D
D'M
θ
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) N.A.
4. Si ABCD es un cuadrado, calcular: tanx.coty
B
A
E C
D
x y
37º
a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 16
5. Si " " y " " son ángulos agudos y complementarios;además:
α+β=
β+α=
csc2sec3
ny3
cossen2m
entonces:
a) m = n b) m > n c) m < nd) m + n = 2 e) m - n = 2
6. Si: x + y = 90°; además:sen(senx + cosy) = cos(senx + cosy)Calcular: S = tan(2senx) + cot(2cosy)
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
Cálculo de lados - aplicación
Capítulo V
• Cálculo de lados:Es el procedimiento mediante el cual se determinan loslados desconocidos de un triángulo rectángulo, enfunción de un lado conocido y un ángulo agudo tambiénconocido. Vamos a distinguir tres casos:
A L B
C
θ θ
θ
A
L
B
C
A
L
B
C
*L
BC= tan BC = Ltan
*LAB
= cot AB = Lcot
*L
BC = sen BC = Lsen
*LAC
= sec AC = Lsec
*LAC
=csc AC = Lcsc
*LAB
=cos AB = Lcos
AL
B
C
θ θ
θ
A B
C
A B
C
Lsecθ
Ltanθ
Lcotθ
Lcosθ
Lsenθ
Lcscθ
L
L
Note que para hallar el lado desconocido, solo hay que
dividir tienesqueloquieresquelo
: R.T.(ángulo conocido); y de esta
igualdad se despeja el lado desconocido.
* Área de un triángulo:El área de un triángulo cualquiera se puede calcularcomo el semiproducto de dos de sus lados, multiplicadospor el seno del ángulo que forman dichos lados.
A
B
C
a
b
cS
S = senA
S = senB
S = senC
bc2
ca2
ab2
1. Determinar "x".
A
B C
D
x
aθ
Resolución:
BDC : BD = asenθ
BAD : AB = asen cosθ θ
2. Hallar "x".
A
D C
Bx
a
αβ
Problemas resueltos
A
B C
D
x
aθ
θasenθ
Resolución:
A
D C
BH
a
αβ
atanα
acotβ atanα
i)
ii)
iii)
DCB : CD = atanα
DHA : AH = acotβ
AB = atan + acotα β
a
3. Hallar "x".
r
x
θ
Resolución:
r
x
θ
Q
0A B
C
Drcscθ
xcotθ
i)
ii)
iii)
AQO : AO = rcscθ
CBA : AB = xcotθ
xcot = rcsc + rθ θ
x = r(csc + 1)θcotθ
r
4. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudosm i d e " " y el cateto adyacente a este ángulo mide "m".¿Cuál es el perímetro del triángulo?
Resolución:Graficando de acuerdo al problema:
C
A
Bmθ
ABC: AB = mtanθ
AC = msecθperímetro : m + mtan + msecθ θ
5. En un triángulo isósceles, el lado desigual mide "2n" ylos ángulos congruentes miden " ". Hallar la alturarelativa al lado desigual.
Resolución:
B
A C
h
n2n
βH
β
BHC : BH = ntanβ
h = ntanβ
n
6. En un rectángulo, las diagonales forman un ánguloagudo "2 " y miden "L". ¿Cuál es el perímetro delrectángulo?
Resolución:
B
A
C
D
L/2
cosβ
ββ L
2
2β
L/2
L/2L/20
β
OQC: QC = senβL2
OQ = cosβL2
perímetro:
2L(sen + cos )β β
senβ
senβ
L2
L2
Q
Lcosβ
→ ∧ βCD = Lsen AD = Lcosβ
7. Si ABCD es un cuadrado y PQ = 9AB.Hallar "tan + cot "
P
R
A B
QD C
α
Resolución:
P
R
A B
QD C
α
a
9a
aa a
α
α
i)
ii)
BCQ : CQ = acotα
ADP : PD = atanαcomo: PQ = 9AB
→ atan + a + acot = 9aα α
tan + cot = 8α α
8. Hallar "tan ", si: AB = DE
D
C
BEA37°
θ
Resolución:
D
C
BEA 37°
θ
4atanθ 5atanθ
3atanθ
5a 3a
4a
F
37°
DE = 4atan + 3a ; AB = 4aθ
4atan + 3a = 4aθ
tan =θ14
9. Del gráfico, hallar "sen ".
A B
CD E3
5
1
θ
Resolución:
A B
CD E3
5
1
θ
3426
Q
5
i)
ii)
S = AB . EQAEB
S = (4) (5) (forma geométrica)AEB
1212
S = EB . AE . senθAEB
S = 26 . 34 . sen (forma trig.)AEB θ
1212
Igualando:
34.26
20sen
sen)34()26(21
)5()4(21
=θ∴→
θ=
10.Hallar "BD".
A
B
CD
237° 4 2
Resolución:
A
B
CD
237° 4 253°
i)
ii)
iii)
∆ ABD : S = ( 2) (BD) sen53°ABD
∆ DBCDBC : S = (4 2) (BD)sen37°
S = S + SABC ABD DBC
12
12
Entonces:
425
BD
)24)(2(21
37sen)BD)(24(21
53sen)BD)(2(21
=∴→
=°+°
Bloque I
1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que:A B = m y CAB = . Hallar el perímetro del triángulo.
a) m(sen + cos + 1)b) m(sec + tan + 1)c) m(csc + cot + 1)d) m(cos + tan + 1)e) m(sen + cot + 1)
2. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que:BC = n y BAC = . Hallar el área del triángulo.
a) αcos2n2
b) αsen2n2
c) αcot2n2
d) αtan2n2
e) αsec2n2
3. En un triángulo isósceles los lados congruentes miden"L" y los ángulos congruentes miden " ", cada uno. Halleel lado desigual.
a) 2Lcos b) Lcos c) 2Lsend) 2Lsec e) Lsec
4. En el rectángulo mostrado, halle su área.
B
A
C
DL
θ
a) L2tan b) L2tan2θ
c) 2L2tan d)2L2
tan2θ
e)2L2
sen2θ
5. Del gráfico, hallar el lado del cuadrado PQRS en funciónde "L" y " ".
A
Q
B
R
CP S
L
θ θ
a) 1cotL
+θ b)1cot
L2+θ
c)1cot2
L+θ d)
1cot2L2
+θ
e)2cot
L+θ
6. En un triángulo isósceles los lados congruentes miden" L " c a d a u n o ; y l o s á n g u l o s c o n g r u e n t e s m i d e n " ". Hallarel inradio de dicho triángulo.
a) Lsen tan2θ
b) Lsen cot2θ
c) Lcos tan2θ
d) Lcos cot2θ
e) Lsec tan2θ
7. Del gráfico, hallar "tan " en función de " ".
A D B
C
5 2
θ
α
a)72
tan b)72
cot c)73
tan
d)72
cos e)72
sen
8. Del gráfico, hallar "tan " en función de " ".
A
B M C
φβ
a) θθ−θ
cossensec2
b) θθ−θ
sencossec2
c) θθ−θ
cossencsc2
d) θθ−θ
sencoscsc2
e) θθ−θ
sencoscot2
9. En un triángulo ABC; se sabe que: AB = 8 y BC = 4;además CBA = 30°. Calcular el área del triángulo.
Problemas para la clase
a) 12 u2 b) 24 c) 16d) 8 e) 32
10.Del gráfico, hallar el área de la región sombreada.
A
B
C
D
E
27
41
θ
a) 17sen b) 14sen c) 21send) 28sen e) 16sen
Bloque II
1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que:AB = n y ACB = . Halle el perímetro del triángulo.
a) n(sen + cos + 1)b) n(sec + tan + 1)c) n(csc + cot + 1)d) n(cos + cot + 1)e) n(sen + tan + 1)
2. En un triángulo isósceles, el lado desigual mide "L" ycada uno de los ángulos congruentes mide " ". ¿Cuáles el perímetro del triángulo?
a) L(1 + cos ) b) L(1 + sec )c) L(1 + sen ) d) L(1 + csc )e) L(1 + cot )
3. En un triángulo isósceles, los lados congruentes miden"L" cada uno y el ángulo desigual mide "2 ". Halle elperímetro del triángulo.
a) 2L(1 + sen ) b) L(1 + sen )c) 2L(1 + cos ) d) L(1 + cos )e) 2L(1 + tan )
4. En el rectángulo mostrado, halle su área.
B
A
C
L
D
2α
a) L2cot b)2L2
cot
c) 2L2cot d) L2tan
e)2L2
tan
5. Del gráfico hallar "AB", si el lado del cuadrado PQRS es"L".
A
Q R
B
CP S
L
θ θ
a) Lsen +2L
cos b)2L
sen + Lcos
c) Lsec +2L
csc d)2L
sec + Lcsc
e) Ltan +2L
cot
6. En un triángulo isósceles, el inradio es "r" y los ánguloscongruentes miden " " cada uno. Halle uno de los ladoscongruentes.
a) r(cot + cot2θ
) b) r(cot2θ
+ tan )
c) r(csc + cot2θ
) d) r(sec + tan2θ
)
e) r(tan + tan2θ
)
7. Del gráfico, hallar "tan " en función de " ".
A B
C
7 2Dβθ
a) 3,5tan b) 4,5tan c) 5,5tand) 4,5cot e) 3,5cot
8. Del gráfico, hallar "tan " en función de " ".
A
C
BD2 1
H
φβ
a) ββ−β
sen2cos2sec3
b) ββ−β
sencos2sec3
c) ββ−β
sencos3sec2
d) ββ−β
sen2cos3sec2
e) ββ−β
cos2sen2csc3
9. En un triángulo ABC: AB = 4, BC = 38 y ABC = 60°.Hallar el área del triángulo.
a) 8 u2 b) 12 c) 24d) 32 e) 64
10. D e l g r á f i c o , h a l l a r : S 2 - S1
A
F
B
E
G
C
S2
S1
2 1
1
4
5
3D
θ
a) sen b) 2sen c) 3send) 4sen e) 6sen
Bloque III
1. Del gráfico, calcular "x".
23 cm
A 21º
C
B
x
a) 8,2425 cm b) 8,7234c) 9,1724 d) 5,7432e) 12,2312
2. Del gráfico, calcular "x".
17 cm
A32º
C
Bx
a) 14,4168 cm b) 17,5142c) 13,1624 d) 6,2354e) 12,5216
3. Del gráfico, calcular "x".
20 cmA12º
C
B
x
a) 32,1732 cm b) 20,4468c) 30,2514 d) 26,8442e) 24,1634
4. Del gráfico, calcular "x".
12 cm
A20º
C
B
x
a) 31,2507 cm b) 43,2104c) 28,3007 d) 32,4306e) 35,0857
5. Del gráfico, calcular "x".
10 cm
A 10º
C
BD52º
x
a) 42,9 cm b) 47,9 c) 51,2d) 61,2 e) 48,9
6. Del gráfico, calcular "x".
A
B
C
14 cm
Hx
20º50º
a) 32,3217 cm b) 46,1823c) 50,2121 d) 53,1724e) 59,2131
7. Del gráfico, calcular la altura "h" de la torre; si "M" essu punto medio.
d
θ α
a) θ+α cot2cotd
b) θ+α cot2cotd2
c) α+θ cot2cotd2
d) α+θ cot2cotd
e) θ+α cotcotd2
8. Del gráfico, hallar la altura "H" del poste vertical; si:QM = 2MP.
d
α β
S L Q
A BP
M
a) β+α−
cotcot2)Ld(2
b) β+α−
cot3cot)Ld(3
c) β+α−
cotcot2)Ld(3
d) β+α−
cot2cot3)Ld(3
e) β+α−
cotcot3)Ld(3
9. Del gráfico, hallar la longitud de la piscina "P" en funciónde los datos mostrados.
P
θ
φ
h
Ld
a) Lcos + d + (h + Lsen )cotb) Lcos + d + (h + Lsen )tanc) Lsen + d + (h + Lcos )tand) Lsen + d + (h + Lcos )cote) Lsec + d + (h + Lsen )cot
10.Del gráfico, hallar "R" en función de los datos mostrados.
α
d
Rh
a) 1cscdhcot
+α+α
b) 1cscdtanh
+α+α
c) α+α+
sec1tandh
d) α+α+
sec1cotdh
e) 1secdcoth
+α+α
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
Ángulos verticales
Capítulo VI
Definición:Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical; yque en la práctica son formados por una línea visual yuna línea horizontal; como resultado de haberseefectuado una observación. En el gráfico tenemos:
αlinea visual
linea horizontalβ
linea visual
Línea visual: Une el observador con el objeto aobservar.
Línea horizontal: Pasa por el ojo del observador y esparalela al nivel del suelo.
Del gráfico anterior:
ángulo de elevación ángulo de depresión
Por ejemplo; si una persona de estatura 2m divisa loalto de un edificio de altura "H" con un ángulo deelevación de 20°, estando a 40 m de su base. El gráficosería:
20º
2 m
40 m
H
Otro ejemplo, sería así: Desde lo alto de una torre de40 m se divisa un punto en el suelo con un ángulo dedepresión de 40°. (Complete)
1. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste de20 m de altura con un ángulo de elevación de 24°. ¿Cuáles la distancia a la que se encuentra el punto deobservación de la base del poste?
Resolución:
Graficando:
24º
20 m
x
x = 20cot24ºx = 20tan66ºx = 20(2,246)
x = 44,92 m
2. Desde lo alto de un edificio, se ve dos objetos en tierraa un mismo lado del edificio, con ángulos de depresión" " y " " ( > ). Si la altura del edificio es "H", halle ladistancia que separa a los objetos.
Resolución:
Hcotα x
β
Hcotβ
α
H
αβ
Del grafico:
Hcot - Hcot = x
x = H(cot - cot )
β α
β α
Problemas resueltos
3. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torrecon un ángulo de elevación de 37°. Si nos acercamosuna distancia igual a la mitad de la altura de la torre, elángulo de elevación es " ". Calcular "tan " y "θ"
Resolución:Graficando:
37º θA1 B
C
6
3 5
i)
ii)
Sea: BC = 6 A B = 8⇒ 1
Pero: A A = 3....21BC2
tan = = 1,2θ
y = arctan = 50,1944285ºθ
θ θ = 50º11'40" y tan = 1,2
65
65
A2
Determinación del ancho de un río.
4. Un topógrafo puede medir el ancho de un río emplazandosu tránsito en un punto "C" en un borde del río yvisualizando un punto "A" situado en el otro borde. Véasefigura. Después de girar un ángulo de 90° en "C", sedesplaza 200 metros hasta el punto "B". Aquí mide elángulo "β" y encuentra que es de 20°. ¿Cuál es el anchodel río?
A
BC = 20°
a = 200m
b
Resolución:Buscamos la longitud del lado "b". Conocemos "a" y "b",por lo que usamos la relación:
tan =a
b para obtener: tan20° =
200
b
⇒ b = 200tan20° ≈ 72,79 metros el ancho es 72,79 m
Determinación de la inclinación del sendero de unamontaña.
5. Un sendero recto con inclinación uniforme conduce deun hotel con una elevación de 8000 pies a un mirador,cuya elevación es de 11100 pies. La longitud del senderoes de 14100 pies. ¿Cuál es la inclinación del sendero?
Resolución:
La figura ilustra la situación, buscamos el ángulo " ",como muestra la figura.
14100
3100sen =β con una calculadora determinamos que:
°≈β 7,12La inclinación del sendero es aproximadamente de 12,7°
Determinación de una altura mediante el ángulo deelevación.
6. Para determinar la altura de una torre radiotransmisora,un topógrafo se sitúa a 300 metros de su base. Véasela figura. El topógrafo mide el ángulo de elevación yencuentra que es de 40°. Si el tránsito está situado a 2metros de altura cuando se hace la lectura, ¿qué tanalta es la torre?
Resolución:
Hotel
sendero14100 pies
mirador11100 pies
3100 pies
elevación8000 pies
Hotel
2m
La figura muestra un triángulo que replica la ilustraciónde la figura dada en el problema. Para encontrar lalongitud "b", usamos la relación: tan = b/a. Entonces:b = atan = 300tan40° = 251,73 metros
La altura real es: 251,73 + 2 = 253,73 m
Determinación de la altura de una estatua sobre unedificio.
7. Sobre la azotea del edificio de la Cámara de Comerciode Chicago, se encuentra una estatua de la diosa griegaCeres, diosa de la agricultura. Se hacen dosobservaciones desde el nivel de la calle y a 400 piesdesde el centro del edificio. El ángulo de elevación hastala base de la estatua resulta ser de 45,0° y el ángulomedido hasta la parte superior de la estatua resulta serde 47,2°. Véase la figura. ¿Cuál es la altura de la estatua?
45°47,2°
β = 45° β' = 47,2°400 pies
Resolución:
45°47,2°
β = 45° β ' = 47,2°
b b '
a = 400 pies a = 400 pies
La figura muestra dos triángulos que replican la figuraanterior. La altura de la estatua será: b' - b. Paraencontrar b y b':
400'b
2,47tan400b
45tan =°∧=°
b = 400tan45° = 400 b' = 400tan47,2° = 431,96
La altura de la estatua es aproximadamente de 32 pies.
Cuando no es posible alejarse de la base del objetocuya altura se busca, se requerirá de un procedimientomás imaginativo.
Determinación de la altura de una montaña
8. Para medir la altura de una montaña, un topógrafo tomados visuales de la cima desde dos posiciones separadasentre sí 900 metros sobre una línea directa a la montaña.Véase la figura. La primera observación da un ángulode elevación de 47° y la segunda uno de 35°. Si eltránsito está a 2 metros del suelo, ¿cuál es la altura "h"de la montaña?
35°
900 m
h
47°
Resolución:
35° 47°
900 m
h
β' = 35° β = 47°
La figura muestra dos triángulos que replican lailustración de la figura. A partir de los dos triángulosmostrados, encontramos que:
a
b47tan
900a
b35tan
a
btan
900a
b'tan
=°+
=°
=β+
=β
Éste es un sistema de dos ecuaciones con dos variables,"a" y "b". Puesto que buscamos "b", escogemos despejarel valor de "a" en la ecuación de la derecha y sustituir elresultado, a = b/tan47° = bcot47°, en la ecuación de laizquierda. Obtenemos:
90047cotb
b35tan
+°=°
b = (bcot47° + 900)tan35°
b = bcot47°tan35° + 900tan35°
b(1 - cot47°tan35°) = 900tan35°
1816
47tan
35tan1
35tan900
35tan47cot1
35tan900b =
°
°−
°=
°°−
°=
La altura del pico desde el nivel del suelo es por tanto:1816 + 2 = 1818 metros
Bloque I
1. Desde un punto en tierra ubicado a 40 m de la base deuna torre, se divisa su parte más alta con un ángulo deelevación de 40°. ¿Cuál es la altura de la torre?
a) 33,56399 m b) 42,5541c) 38,2172 d) 26,3147e) 29,1723
2. Desde lo alto de un acantilado se divisa un objeto en elsuelo con un ángulo de depresión de 54°, a una distanciade su base aproximadamente igual a 410 m. ¿Cuál es laaltura del alcantilado?
a) 574,3279 m b) 564,3166c) 610,1243 d) 528,2631e) 617,2432
3. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste dealtura "h" con un ángulo de elevación " ". Si nosacercamos una distancia "D" el ángulo de elevación es" ". Hallar "D".
a) h(tan - tan ) b) h(cot - cot )c) h(cos - cos ) d) h(sen - sen )e) h(sec - sec )
4. Desde lo alto de un faro se ven dos barcos en direccionesopuestas con ángulos de depresión " " y " ". Si la alturadel faro es "h"; halle la distancia que separa a los barcos.
a) h(cos + cos ) b) h(sen + sen )c) h(tan + tan ) d) h(cot + cot )e) h(sec + sec )
5. Desde lo alto de un muro de 3,6 m se ve lo alto de un postecon un ángulo de elevación de 53° y su parte baja con unángulo de depresión de 37°. ¿Cuál es la altura del poste?
a) 10 m b) 12 c) 18d) 9 e) 8
6. Desde lo alto de un edificio se ve la parte alta y baja deun árbol con un ángulo de depresión de 45° y 53°. Si laaltura del edificio es 24 m, calcular la altura del árbol.
a) 2 m b) 4 c) 6d) 8 e) 10
7. Desde un punto en tierra se ve la parte alta del sextopiso de un edificio con un ángulo de elevación de 37°.Calcular aproximadamente el ángulo de elevación conque se vería lo alto del noveno piso.
a) 47°25'32" b) 46°31'28"c) 48°21'59" d) 49°17'38"e) 54°21'38"
8. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un edificio conun ángulo de elevación de 20°. Si nos acercamos unadistancia igual a la altura del edificio, el ángulo deelevación es:
a) 32°27'45" b) 29°46'50"c) 40°18'35" d) 28°24'18"e) 26°42'50"
9. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste conun ángulo de elevación " ". Nos acercamos unadistancia igual a la altura del poste y el ángulo deelevación es "90° - ". Calcular: K = cot2 + tan2
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
10.Desde el punto medio de la distancia que separa lasbases de dos edificios, los ángulos de elevación soncomplementarios. Calcular el producto de las cotan-gentes de los ángulos de elevación con que se ve lo altode cada edificio desde la base del edificio opuesto.
a) 2 b) 3 c) 4d) 8 e) 16
Bloque II
1. Desde un punto en tierra ubicado a 18 m de la base deun edificio, se ve su parte más alta con un ángulo deelevación de 70°. ¿Cuál es la altura del edificio?
a) 49,4546 m b) 46,3218c) 39,2872 d) 52,1728e) 54,3624
2. Desde lo alto de una torre se divisa un objeto en elsuelo con un ángulo de depresión de 20°; a una distan-cia de su base igual a 32 m. ¿Cuál es la altura de latorre?
a) 8,3216 m b) 11,1220 c) 11,6470d) 10,2132 e) 14,2136
3. Desde un punto del suelo se ve una torre de altura "h"con un ángulo de elevación " ". Si nos alejamos unadistancia "x", el ángulo de elevación es " ". Hallar "x".
a) h(cot - cot ) b) h(tan - tan )c) h(cos - cos ) d) h(sen - sen )e) h(tan + tan )
Problemas para la clase
4. Desde lo alto de un poste se ve un móvil, a un lado de él conun ángulo de depresión " "; después de que el móvilrecorrió "L" y está ubicado al otro lado del poste el ángulode depresión es " ". Hallar la altura del poste.
a) L(tan + tan ) b) L(cot + cot )
c) β+α cotcotL
d) β+α sensenL
e) β+α tantanL
5. Desde lo alto de un muro de 9 m de altura, se ve laspartes alta y baja de un edificio con ángulos de elevacióny depresión de 45° y 37° respectivamente. ¿Cuál es laaltura del edificio?
a) 19 m b) 20 c) 21d) 23 e) 29
6. Desde lo alto de una torre se ve la parte alta y baja deun muro con ángulos de depresión de 37° y 45°respectivamente. Si la torre mide 16 m, ¿cuánto mideel muro?
a) 2 m b) 4 c) 6d) 8 e) 10
7. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre conun ángulo de elevación de 45°. Si nos alejamos unadistancia igual al triple de la altura de la torre, el ángulode elevación sería:
a) 14°2'10" b) 16°2'18" c) 13°2'12"d) 10°10'4" e) 8°21'30"
8. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un muro conun ángulo de elevación de 50°. Si nos alejamos unadistancia igual al doble de la altura del muro, el ángulode elevación mide:
a) 18°21'42" b) 9°24'13"c) 20°21'43" d) 19°21'42"e) 18°32'14"
9. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste conun ángulo de elevación " ". Nos alejamos una distanciaigual a la altura del poste y el ángulo de elevación es90° - . Calcular: K = tan2 + cot2
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8
10.Si desde un punto en tierra se ve las partes altas delcuarto y noveno piso de un edificio con ángulos deelevación "α" y "90° - α" respectivamente, calcular: tanα
a)32
b)23
c)34
d)43
e)31
Bloque III
1. La torre Eiffel, terminada el 31 de marzo de 1889, fuela torre más alta hasta que inició la era de las torres detelevisión. Encuentre la altura de la torre Eiffel (sin elmástil de televisión instalado en su parte superior)usando la información dada en la figura.
85,361°
50 pies
2. Un barco, cerca de un acantilado vertical de 100 pies dealtura, hace una lectura del borde del acantilado. Si elángulo de elevación es de 25°, ¿qué tan lejos está elbarco de la costa?
3. Suponga que se dirige hacia una meseta de 50 metrosde altura. El ángulo de elevación a la meseta es de 20°.¿Qué lejos está usted de la base de la meseta?
4. Un barco se encuentra en la bahía de Nueva York; desdeél se toma una visual a la estatua de la libertad, quetiene aproximadamente 305 pies de altura. Si el ángulode elevación a la parte superior de la estatua es de 20°,¿qué tan lejos está el barco de la base de la estatua?
5. Para medir la altura de un edificio, se toman dos visualesdesde dos puntos situados a 50 pies entre sí. El ángulode elevación de la primera es de 40° y el de la segundaes de 32°. ¿Cuál es la altura del edificio?
6. Una de las siete maravillas del mundo antiguo, la granpirámide de Keops fue construida alrededor del año 2580a.C. Su altura original era de 480 pies 11 pulgadas,pero debido a la pérdida de sus bloques superiores, esahora algo más baja. Encuentre la altura actual de lagran pirámide a partir la información dada en la figura.
200 pies
40,3°
46,27°
7. Se debe hacer pasar un rayo láser a través de unpequeño agujero en el centro de un círculo de 10 piesde radio. El origen del rayo está a 35 pies del círculo(véase la figura). ¿Con qué ángulo de elevación debedirigirse el rayo para que pase por el agujero?
8. Dos observadores miden simultáneamente el ángulo deelevación de un helicóptero. Un ángulo resulta de 25° yel otro de 40° (véase la figura). Si los observadoresestán a 100 pies uno del otro y el helicóptero seencuentra sobre la línea que los une, ¿qué tan alto vuelael helicóptero?
9. Un alambre sujetador de 80 pies de longitud está unidaa la parte superior de una torre formando un ángulo de25° con el terreno. ¿Qué tan alta es la torre?
10.Los ojos de un jugador de baloncesto están a 6 pies delpiso. El jugador se encuentra en la línea de tiro libreque está a 15 pies del centro del borde de la canasta.(Véase la figura). ¿Cuál es el ángulo de elevación de losojos del jugador al centro del borde? (Sugerencia: elborde está a 10 pies arriba del suelo)
11.Un carpintero va a techar un garaje de 20 x 40 x 20pies. Coloca una columna de soporte de acero de 46pies de altura en el centro del garaje. Para apoyar eltecho, una viga se unirá a la parte superior de la columna(veáse la figura). ¿Qué ángulo de elevación tiene la viga?En otras palabras, ¿qué inclinación tendrá el techo?
viga
20 pies
46 pies
40 pies
20 pies
12.Determinación de distancias desde el mar. El navegantede un barco visualiza dos faros separados 3 millas entresí a lo largo de un tramo recto de la costa. Determinaque los ángulos formados entre las dos líneas visualesa los faros y la visual dirigida perpendicularmente a lacosta miden 15° y 35°. Véase la figura.
a) ¿Qué tan lejos está el barco de la costa?b) ¿Qué tan lejos está el barco del faro "A"?c) ¿Qué tan lejos está el barco del faro "B"?
15°35°
A P B3 millas
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
R. T. de ángulos de cualquiermagnitud
Capítulo VII
• Posición de un punto en un planoAntiguamente los egipcios, y más tarde los romanos,
señalaban la posición de los edificios dando sus distanciasa ciertas rectas determinadas. Esas distancias (a rectasperpendiculares) se conocen hoy bajo el nombre decoordenadas rectangulares. Las dos rectas perpendicularesentre sí reciben el nombre de ejes. El eje horizontal seconoce como eje "X", el eje vertical como eje "Y" y supunto de intersección como origen. Dichos ejes dividen alplano en cuatro cuadrantes que se enumeran como semuestra en la figura.
y
x
cuadrante Icuadrante II
cuadrante IVcuadrante III
0
Obsérvese que los cuadrantes se enumeran siempreen el sentido contrario al de las manecillas del reloj.
(1) Las medidas se consideran positivas cuando se tomanhacia la derecha del eje vertical o hacia arriba del ejehorizontal.
(2) Las medidas se consideran negativas cuando se tomanhacia la izquierda del eje vertical o hacia abajo del ejehorizontal.
La posición exacta de cualquier punto del plano seacostumbra indicar por medio de dos números reales consigno (es decir, números precedidos por el signo + o elsigno -). Debe sobrentenderse que el primero de dichosnúmeros indica siempre una medida hacia la derecha ohacia la izquierda del eje vertical, mientras que el segundonúmero indica una medida hacia arriba o hacia abajo deleje horizontal. Tal como sucede en álgebra, si un númerono va precedido de signo se considera positivo.Consecuentemente, una pareja ordenada de númerosconstituye las coordenadas de un cierto punto; cada unade las coordenadas recibe un nombre particular.
La primera de estas medidas, hacia la derecha o haciala izquierda del eje vertical, se conoce con el nombre deabscisa del punto, que es una palabra latina usada paradesignar un segmento de recta que "corta" a otra recta delongitud indefinida (del latín: ab, "desde" y scindere, "cortar")
La segunda de estas medidas, hacia arriba o hacia abajodel eje horizontal, se conoce con el nombre de ordenada delpunto. Es posible que a dicha medida se le asignara el nombrede ordenada debido a que se toma paralela al eje vertical
(los matemáticos del medievo llamaban a una recta paralelaa otra línea applicata ordinata, "recta colocada en orden")
y
abscisa de P
abscisa de S
abscisa de Q
orde
nada
deR
orde
nada
deQ
orde
nada
deS
x
P
S
R
Q
abscisade R
orde
nada
deP
0
En un sistema de coordenadas rectangulares:
el origen es el punto de intersección de los ejes,la abscisa es la distancia perpendicular trazada desdeun punto al eje vertical o eje "Y";la ordenada es la distancia perpendicular trazada desdeun punto al eje horizontal o eje "X".
Antes de introducir a la trigonometría esas palabrasabscisa y ordenada, debemos comprender claramente losprincipios establecidos anteriormente. Las figuras nosilustran sobre ellos y deben ser estudiadas cuidadosamente.
Cualquier punto sobre estarecta de trazos interrumpi-dos tendrá de abscisa +2
Cualquier punto sobre estarecta de trazos interrumpi-dos tendrá de ordenada -4
Cualquier punto sobre estarecta de trazos interrumpi-dos tendrá de ordenada +4
Cualquier punto sobre estarecta de trazos interrumpi-dos tendrá de abscisa -3
0
y
x
P(-3,+4) Q(+2,+4)
R(-3,-4) S(+2,-4)
0
y
x
4
-3 2
-4
• El ángulo de cualquier magnitud
Para una mejor comprensión de la trigonometría, serequiere una definición más amplia de ángulo que laconocida de la geometría elemental: "es la figura formadapor dos rectas que se cortan en un punto llamado vértice".Consideremos un rayo OC girando alrededor de un puntofijo "0" que pertenece también al eje de abscisas (eje x)
x
x
C
E
0
0
Figura "a" Figura "b"
y y
La magnitud del giro de OC, desde su posición originalen OX, recibe el nombre de ángulo. Cuando el giro es en elsentido contrario al de las manecillas del reloj, el ángulo espositivo; cuando el giro es en el sentido de las manecillasdel reloj, el ángulo es negativo. La figura "a" muestra unángulo positivo y la figura "b" muestra un ángulo negativo.
El lado del ángulo, a partir del cual empieza el giro, sellama lado inicial. El lado cuyo movimiento genera el ánguloy determina su tamaño por la posición que ocupa aldetenerse el giro, recibe el nombre de lado final (OC en lafigura "a", OE en la figura "b"). Estos ángulos así obtenidosse van a denominar ángulos en posición normal o en posicióncanónica.
Se dice que un ángulo pertenece a un determinadocuadrante cuando el lado final detiene su movimiento endicho cuadrante. Si el lado final coincide con uno de losejes, a 90°, 180°, 270° ó 360°, se dice que es un ángulocuadrantal.
• Ángulos coterminales
En trigonometría se trabaja con frecuencia con ángulosmayores de una vuelta (mayor que dos ángulos llanos). Porconsiguiente, el lado final de cualquier ángulo coincide con elde muchos otros ángulos. Consideremos un ángulo de 400°como el de la figura. El lado final de dicho ángulo está en lamisma posición que el de un ángulo de 40° ó 760° (40° +360° + 360°) ó 40° más un número cualquiera de revolucionescompletas. Tales ángulos reciben el nombre de ánguloscoterminales. Se observará que, excepto por el total derevoluciones que intervienen en la generación del ángulo, laspropiedades de todos los ángulos coterminales son las mismas. Es fácil ver que un ángulo de -320° es coterminal con losángulos de 40°, 400° y 760° mencionados arriba.
0
y
x
• Definición de las razones trigonométri-cas de un ángulo en posición normal.
Nota: En trigonometría, se emplean, con frecuencia,letras del alfabeto griego para representar, de un modogeneral, el número de grados de un ángulo. Cuando sehace uso de ellas, el símbolo de grados (°) no necesitaañadirse. Algunas letras griegas son: α(alfa), β(beta),γ(gama), θ(theta), φ(fi), ω(omega)
Supongamos una recta OR sobre el eje horizontal, talcomo se muestra en la figura "a". Cuando el lado inicialestá en dicha posición se dice que el ángulo está en posiciónordinaria. Ahora, si se gira en torno de "0", en sentidocontrario al de las manecillas del reloj, determinará unángulo positivo "θ" (figura "b")
0 0θ
R
Figura "a" Figura "b"
y
x
y
x
Desde "R", un punto cualquiera del lado final, trazamosRP perpendicular al eje horizontal, de esta manera se formaun triángulo rectángulo en el cual el lado OP es la abscisadel punto "R", RP es la ordenada y OR se conoce comodistancia del origen al punto o como radio vector. Si el punto"R" se tomara en la posición R1 o R2, las longitudes de loslados del triángulo variarían, pero las razones de ladoshomólogos continuarían siendo las mismas, puesto que lostriángulos son semejantes para cualquier ángulo dado, "θ".La figura II muestra un ángulo en cada uno de los cuatrocuadrantes y en cada caso se ha trazado una perpendicularRP desde un punto cualquiera "R" del lado final, al ejehorizontal. El triángulo formado por la abscisa, la ordenaday el radio vector, como se muestra en cada uno de loscuadrantes, recibe el nombre de triángulo de referencia.Considerando las razones entre dichos segmentos,definiremos las seis funciones trigonométricas para unángulo de cualquier magnitud.
0
RR1
R2
P P1 P2
θ
R
R
R
R
P
P
P
P
0
0
0
0
θ
θ
θ
θ
)Rde(ordenada
vectorradio
PR
ORcsc
)Rde(abscisa
vectorradio
OP
ORsec
)Rde(ordenada
)Rde(abscisa
PR
OPcot
)Rde(abscisa
)Rde(ordenada
OP
PRtan
vectorradio
)Rde(abscisa
OR
OPcos
vectorradio
)Rde(ordenada
OR
PRsen
=
=θ
=
=θ
=
=θ
=
=θ
=
=θ
=
=θ
Estas definiciones nos permiten escribir expresionespara las funciones de ángulos de cualquier magnitud, yaque cualquiera que sea la posición del radio vector setendrán los mismos valores para la abscisa y la ordenada.
• Signos de las razones trigonométricaspara cualquier ángulo
Tan pronto como aplicamos estas definiciones a ángulosdiferentes de los agudos, debemos considerar los signosya que, con excepción del primer cuadrante, la abscisa, laordenada o ambas coordenadas son negativas. El radiovector se considera siempre positivo.
En el segundo cuadrante la abscisa es negativa, de talmodo que la razón que utilice la abscisa con la ordenada oel radio vector será negativa. En todas las funciones, exceptoel seno y la cosecante interviene la abscisa, bien sea en elnumerador o en el denominador de la razón. Porconsiguiente, en el segundo cuadrante, el seno y lacosecante son positivas y todas las demás funciones sonnegativas. De modo análogo, en el tercer cuadrante, en elcual tanto la abscisa como la ordenada son negativas, sólola tangente y la cotangente son positivas. En el cuartocuadrante, donde sólo la ordenada es negativa, el cosenoy la secante son las únicas funciones que son positivas. Lasilustraciones de la figura II muestran los signos del seno,del coseno y de la tangente de ángulos que pertenecen adiferentes cuadrantes. Los signos de la cosecante, de lasecante y de la cotangente serán, naturalmente, los mismosque los de sus correspondientes recíprocas seno, coseno ytangente.
solamente sencsc + Todos +
solamente tancot solamente cos
sec ++
Figura I
Figura II
Figura I
sen = +θ
sen = -θ
sen = +θ
sen = -θ
cos = -θ
cos = -θ
cos = +θ
cos = +θ
tan = -θ
tan = +θ
tan = +θ
tan = -θ
35
35
35
35
45
45
45
45
34
34
34
34
y
y
y
y
x
x
x
x
+3
-3
+3
-3
+5
+5
+5
+5
-4
-4
+4
+4
Cuadrante III
Cuadrante II
Cuadrante IV
Cuadrante I
θ
θ
θ
θ
1. Si el punto P(-3;2) pertenece al lado final de un ángulocanónico "θ"; calcular: A = senθ.cosθ
Resolución:
i)
ii)
iii)
ordenada = opuesto
abscisa = adyacente
r.v. = ord + abs22
A = 213
-3x A =13
⇒ -613
A
C
B
13 2
-3θ
2. Si el punto P(-3;-4) pertenece al lado final del ángulocanónico "β", calcular: C = secβ + tanβ
Resolución:
i)
ii)
iii)
ordenada = opuesto
abscisa = adyacente
r.v. = abs + ord22
C = 5-3
-4 C =-3⇒ -1
3
A
C
B
5 -4
-3β
+
3. Si el punto P(2;-5) pertenece al lado final del ángulocanónico "β", calcular: C = tanβ + cotβ
Resolución:
C = -52
2 C = -2,9-5⇒29 -5
2β
+
4. Si el punto P(2;-1) pertenece al lado final del ángulo enposición normal "α", calcular: Q = secα.tanα
Resolución:
Q = 52
-1 Q =2⇒5 -1
2α
x - 54
Problemas resueltosFigura II
5. Si: senβ > 0 cosβ < 0, entonces "β" pertenece al:
Resolución:
i) Como: senβ > 0 → senβ: positivo, por lo tanto:β ∈ 2°C ó 1°C
ii) Además: cosβ < 0 → cosβ: negativo, por lo tanto:β ∈ 2°C ó 3°CComo deseamos que ambas condiciones se cumplan,entonces: 2°C
6. Si: cosα < 0 tanα > 0; entonces "α" pertenece al:
Resolución:
i) Como: cosα < 0 → cosα: negativo, por lo tanto:α ∈ 2°C ó 3°C
ii) Además: tanα > 0 → tanα: positivo, por lo tanto:α ∈ 1°C ó 3°CEntonces: α ∈ 3°C
7. Si: ,CII,3
1sen ∈β=β calcular "cosβ"
Resolución:
3 1
-2 2β
Como: IIC abs = (-)β ∈ →ord = (+)
Por lo tanto: cos =β -2 23
8. Si: ,IVC;3
1cos ∈β=β calcular "tan "
Resolución:
3 -2 2
1β
Como: IVC abs = (+)β ∈ →ord = (-)
Por lo tanto: tan = -2 2β
9. Señale el signo de:
°°
°°=
250cot.190sen
310cos.200tanQ
Resolución:
i) 200° ∈IIIC → tan200° : (+)ii) 310° ∈IVC → cos310° : (+)iii) 190° ∈IIIC → sen190° : (-)iv) 250° ∈IIIC → cot250° : (+)
Por lo tanto:
)(Q)()(
)()(Q −=∴→
+−
++=
10.Si: β ∈ IIC; IIIC y θ ∈ IVCSeñale el signo de:
θ+β
β−α=
tantan
sensenC
Resolución:
i) II C → sen : (+) tanβ : (-)ii) IIIC → sen : (-)iii) IVC → tan : (-)
Reemplazando:
)()(
)(
)()(
)()(C +=
−
−=
−+−
+−−=
Bloque I
1. Del gráfico mostrado, calcular:E = senφ.cosφ
y
x
( 3, y)
0
5
φ
a)2
6b)
5
3c)
5
6
d)10
6e) 1
2. Del gráfico mostrado, calcular:E = cscα + cotα
α
y
x
(-7; -24)
Problemas para la clase
a)4
3b) -
4
3c)
3
4
d) -3
4e) -
2
3
3. Del gráfico mostrado, calcular:E = tanθ + cotθ
θ
6
x
y
( 2; y)
a)4
23b) -
4
23c)
2
23
d) -2
23e)
3
2
4. Si el punto P(-12;5) pertenece al lado final de un ánguloc a n ó n i c o " "; calcular: M = sec + tan
a) 1 b) 1,5 c) -1,5d) 2,5 e) -2,5
5. Si el lado final de un ángulo positivo en posición normal"θ" pasa por el punto (-1;2), hallar el valor de:
θ+θ= tansen5E
a) 4 b) 0 c) -4d) 2 e) -2
6. Si: cscθ > 0 y secθ < 0. ¿En qué cuadrante está "θ"?
a) I b) II c) IIId) IV e) Es cuadrantal
7. Señale el signo de:
°°−°
=110tan
200cos140senJ
a) (+) b) (-) c) (+) ó (-)d) (+) y (-) e) No se puede precisar
8. Señale el signo de:
°+°°°−°°
=216sen290cos300sen140tan100cos200sen
J
a) (+) b) (-) c) (+) ó (-)d) (+) y (-) e) No se puede precisar
9. Si: sen = -0,6; IV C. Calcular: K = sec + tan
a) 2 b) -2 c)21
d) -21
e) 3
10 S i : c o t φ = 0,25 φ ∈ IIIC, hallar el valor de:
E = 17 cosφ + tanφ
a) 5 b) -5 c) -3d) 3 e) 6
Bloque II
1. Del gráfico mostrado, calcular: E = secθ + tanθ
(x; 5)
13θ
a)2
3b) -
2
3c)
4
3
d) -4
3e) -
3
4
2. Del gráfico mostrado, calcular: E = cotβ - cscβ
β17 (15; y)
a)2
1b) -
2
1c)
4
1
d) -4
1e) -4
3. Del gráfico mostrado, calcular: E = senα + cscα
(x; 3)
2
α
y
x
a)4
37b) -
4
37c)
3
67
d)6
37e) -
6
37
4. Si el punto (-9;-40) pertenece al lado final de un ángulonegativo en posición normal "α". Hallar el valor de:E = cscα + cotα
a)5
4b) -
4
5c) -
5
4
d)4
5e) -
3
4
5. Si el punto P(-5; 12) pertenece al lado final del ánguloc a n ó n i c o " "; calcular: K = sec - tan
a)51
b) -51
c) 5
d) -5 e) -52
6. En qué cuadrante se ubica " ", si: sen > 0 y cot < 0
a) I C b) II C c) III Cd) IV C e) No se puede determinar
7. Señale el signo de:
°°+°
=300tan
110cos200senJ
a) (+) b) (-) c) (+) ó (-)d) (+) y (-) e) No se puede precisar
8. Señale el signo de:
°+°°−°°
=100cos290sen130sen1200tan100cos
J
a) (+) b) (-) c) (+) ó (-)d) (+) y (-) e) No se puede precisar
9. Si: senθ =3
1∧ θ ∈ IIC, hallar el valor de:
E = tanθ - secθ
a) 2 b)2
2c) - 2
d) -2
2e) 1
10.Si: senβ = -3
2β ∈ IVC. Hallar el valor de:
)tan(sec5E β−β=
a) 1 b) -1 c) -5
d) 5 e) 5
Bloque III
1. "c" es el radio vector de un punto P(a;b) tal que:asenθ + bcosθ = c, si "θ" es la medida de un ángulo enposición normal, hallar: M = tanθ + cotθ
a) M = 2 b) M = 4 c) M = 3d) M = 5 e) M = 1
2. "d" es el radio vector de un punto P(x;y) que perteneceal lado final de un ángulo en posición normal "θ" tal
que: xyxcossec 22 −+=θ−θReducir: I = tanθ(cscθ + cotθ)
a) I =4
db) I =
2
dc) I = d
d) I = -d e) I =3
d
3. El punto P(x;y) está en el lado final de un ángulo enposición normal "θ" siendo "d" su radio vector, tal que:senθ + cosθ = d
Calcular el radio vector del punto:
−−
2
1y;
2
1x
Q
a)2
23b)
2
35c) 2
d) -2
3e)
2
2
4. "θ" y "φ" son las medidas de dos ángulos en posiciónnormal situados en diferentes cuadrantes, tal que:
tanθ < cosφ < -cosφ < senφ
Hallar el signo de:
)csc()cot(
)cos(.)(senA
)270tan(
)180sec(.senP
θ−+φ−
φ−θ−=
φ+°
φ+°θ=
a) (+),(+) b) (-),(-) c) (+),(-)d) (-),(+) e) N.A.
5. Si:15
12
6
1
2
1
cos
1=+++
θ y IIC.
Hallar "x", si además:
xcos
xsencot
+θ
+θ=θ
a) -13
7b) -
13
6c) -
11
5
d) -15
7e)
13
7
6. Hallar el signo de la expresión:
θθθ+θ
θ= cossen
csc|sec|
tanK
3
a) (+) b) (-) c) (+) o (-)d) (+) y (-) e) N.A.
7. Si se cumple:
0cossec0tancotsen 2 <θ−α∧>θ−αθHallar el signo de: M = senα.cosθ + cotθ.tanα
a) (-) b) (+) c) (+) y (-)d) (+) o (-) e) N.A.
8. Dadas las siguientes relaciones:
0seccscsec
0tancotcot
>β−φβ
<β−φφ
Obtener el signo de:
φ−β
β+φ=
tancos
sentanQ
a) (+) b) (-) c) (+) y (-)d) (+) o (-) e) N.A.
9. Si:
0cos....35
1
5
1
3
1sen
osmintér"n"
<θ∧−−−−=θ
Hallar el valor de:
)sec(tan1n3
1nE θ−θ
+
+=
a) 0 b) 1 c) -1d) 2 e) -2
10.Del gráfico mostrado, hallar "tan tanβ", en términos de"a" y "b", siendo ABCD un cuadrado.
β
C
D
A(-a;0)
B(0;b)
θ
y
x
Rpta:
+
+
a2b
b2a
b
a
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
R. T. de un ángulo de cualquiermagnitud II
Capítulo VIII• Ángulo cuadrantal
Un ángulo en posición normal se llamará CUADRANTALcuando su lado final coincide con un semieje. Enconsecuencia no pertenecen a ningún cuadrante.
Los principales ángulos cuadrantales son 0°; 90°; 180°;270° y 360°; y todo ángulo cuadrantal tiene como medidaun múltiplo de 90°.
90°
180° 360°
270°
0°
III
III IV
Si es cuadrantal
= 90º.n; n Z
" "θ
⇒ θ ∈
• R.T. de ángulos cuadrantales
Como ejemplo vamos a calcular las R.T. de 90°,análogamente se van a calcular las otras R.T. de 0°; 180°;270° y 360°.
o
(x;y)
Y
X90°r
Del gráfico, observamos que: x = 0 r = y; por tanto:
o
(0;y)
Y
X90°y
sen90° =r
y = y
y = 1
cos90° =r
x = y
0 = 0
tan90° =x
y =
0
y = no definido
cot90° = y
x = y
0 = 0
sec90° =x
r =
0
y = no definido
csc90° = y
r = y
y = 1
Análogamente:
SEN
COS
TAN
COT
SEC
CSC
0°
0
1
0
ND
1
ND
90°
1
0
ND
0
ND
1
180°
0
-1
0
ND
-1
ND
270°
-1
0
ND
0
ND
-1
360°
0
1
0
ND
1
ND
• Ángulos coterminales
Dos ángulos en posición normal se llamaránCOTERMINALES o COFINALES si sus lados finales coinciden.
Ejemplos:
1.
β
Y
X
Y
X
θ
α
φ
" " " "α β y son coterminales
" " " "φ θ y son coterminales
2.Y
X
Y
X
410° y 50° son coterminales
120° y -240° son coterminales
50°
410°
-240°
120°
Propiedad
La diferencia de las medidas de dos ángulos coterminalessiempre nos dará como resultado un número entero positivode vueltas.
Si " " y " " son coterminales tal que: > entonces secumple que:
- = k(360°) ; k ZZ
Ejemplos:
1. 750° y 30° son coterminales porque:750° - 30° = 720° = 2 vueltas
2. 330° y -30 son coterminales porque:330° - (-30°) = 360° = 1 vuelta
3. 2200° y 40° son coterminales porque:2200° - 40° = 2160° = 4 vueltas
4. 80° y -1000° son coterminales porque:80° - (-1000°) = 1080° = 3 vueltas
5. 450° y -90° no son coterminales porque:450° - (-90°) = 540° ≠ # vueltas
• Razones trigonométricas de ángulos co-terminales
Y
X
r
(x;y)
α
β
" " y " " son coterminales, entonces se cumple que:
β=α⇒=β∧=α
β=α⇒=β∧=α
β=α⇒=β∧=α
tantanx
ytan
x
ytan
coscosr
xcos
r
xcos
sensenr
ysen
r
ysen
Análogamente:
cot = cot
sec = sec
csc = cscEjemplos:
1. 750° y 30° son coterminales sen750° = sen30°2. 330° y -30° son coterminales cos330° = cos(-30°)3. 2200° y 40° son coterminales tan2200° = tan40°4. 80° y -1000° son coterminales cot80° = cot(-1000°)5. 400° y 20° no son coterminales sec400° ≠ sec20°
En general:
Si " " y " " son coterminales entonces se cumple que:
R.T. ( ) = R.T. ( )
Propiedad
Si " " y " " son coterminales, tal que: > entonces:
R.T. ( ) = R.T. ( ) ....... (I)pero: - = k(360°)
= k(360°) +
Reemplazamos en (I):
R.T. [k(360°) + ] = R.T.( )
Ejemplos:
1. sen1845° = sen(1800° + 45°) = sen45° =2
2
2. cos630° = cos(360° + 270°) = cos270° = 0
3. tan900° = tan(720° + 180°) = tan180° = 0
4. sen125 = sen(124 + ) = sen = 0
5. cos232
π =
π+π
2
310cos =
2
3cos
π = 0
6. tan12345 = tan(12344 + ) = tan = 0
1. Calcular el valor de:
°° °+°
°−°= 270cot90sen )180(sec
0cos
360tan)270(cosE
Resolución:
Aplicando las razones trigonométricas de ánguloscuadrantales
1E)1()1(
)0()0(E 0)1( =∴→−+−=
2. Calcular el valor de:
)]sencos[tan()]2
(cossentan[E π−π
=
Resolución:
Aplicando las razones trigonométricas de ánguloscuadrantalesE = tan[sen(0)] - cos[tan(0)]E = tan[0] - cos[0] E = 0 - (1) ∴ E = (-1)
3. Hallar el mayor de dos ángulos coterminales, si la sumade ambos es 2480° y el menor de ellos estácomprendido entre 304° y 430°.
Resolución:Como son ángulos coterminales, entonces: - = 360°npor condición:
n36024802:restando...(2)n360...(1)2480
°−°=β
°=β−α°=β+α
entonces:
304° < 1240° - 180°n < 430°°−
°−<<
°−
°−
180
936n
180
810
∴ 4,5 < n < 5,2 n = 5
reemplazando en (1) y (2):
°=α
°=β−α°=β+α
2140:sumando18002480
4. Hallar la medida de dos ángulos coterminales que estánen la relación de 3 a 5 y la suma de ambas estácomprendida entre 4032° y 4608°.
Resolución:Sean los ángulos coterminales " " y " "
- = 360°n .... (1); por condición: )2(....5
3=
α
β
Además: 4032° < + < 4608° .... (3)
De (2): =5
3, reemplazando en (1):
-5
3 = 360°n = 900°n
reemplazando en (3) : 4032°<900°n +5
3 900°n<4608°
4032° < 1440°n < 4608° 2, ... < n < 3, ... ∴ n = 3
Como: = 900°n = 900°(3) = 2700°
=5
3 =
5
3(2700°) = 1620°
5. Si: " " y " " son ángulos coterminales y suman 90°. Hallar
,""β
α cuando: 220° < < 260°
Resolución:
)3...(45k180:sumando)2(...k360)1(......90
°+°=α
°=β−α°=β+α
por condición: 220° < < 260° 220° < 180°k + 45° < 260° ∴ 0, ... < k < 1, ...
de donde:k = 1, en (3): = 180° (1) + 45° = 225° ; = -135°,de donde:
3
5−=
β
α
6. Siendo " " un ángulo en posición normal del IIC, calcularel valor de: E = 2sen - 3 sec , sabiendo que secumple:
3
14
13
14
1
2
3sec5,1
++
++=θ−
Resolución:Reduciendo la fracción ilimitada
3
14
13
14
1P
++
+=
Problemas resueltos
n1801240n36024802:restando...(2)n360...(1)2480
°−°=β∴→°−°=β
°=β−α°=β+α
P = 1
4 + 13 + P
resolviendo la ecuación:
P = - 32
+ 3
P = - - 332
(absurdo)
Luego se tendrá:
++
++
+=θ−
3
14
13
14
1
2
3sec5,1
332
sec323
23
sec5,1−
=θ∴→
+−+=θ−⇒
Graficando:
reemplazando:
E = 2sen - 3 secθθ
E = 2 - 3 E = 3→12A
C
B
2
- 3θ
1
2- 3
. .
7. En la figura mostrada, ABCD: cuadrado, determinar:K = cot + tan
D
C
B
A X
Y
α
β
Resolución:
(0;a)
(b;0) X
Y
α
β
(-a;a+b)
(-(a+b);b)
a
b
a
a
b
b
reemplazando: )ba(
b
ba
aK
+−+
+
−=
1K)ba(
)ba(K −=∴→
+
+−=
8. Si: sec10° = a, entonces: tan(-2060°) es igual a:
Resolución:tan(-2060°) = -tan(2060°)
= -tan(260° + 1800°) = -tan(260°)
=
−−
1a
12
1a
1)2060tan(
2 −−=°−∴
260°
(- a -1;-1)2
10°
a 1
- a -12
9. Si: cos3 =b
a. ¿A qué es igual: E = csc3 - cot3?
Resolución:
cos3 =b
a, notando que: 3 IIC
(a; b -a )22
3
Y
Xb
E = csc3 - cot3
E =b
b - a2 2-
b - a2 2
E =
a
b - ab + a
10.Si " " y " " son dos coterminales y complementarios,tal que " " toma su máximo valor negativo, calcular:
φ
θπ= 6,0cosE
Resolución:
i) por ser coterminales: - = 2n ; ii) + =2
π
sumando: 2 = 2n +2
π∴ = n +
4
π
* Pero " ", adopta su máximo valor negativo, que seobtiene dando a "n" el primer valor negativo.
45
43
22)ii(en
,43
41n
π=θ∴→
π
−−π
=φ−π
=θ
π−=
π+π−=φ→−=∴
Reemplazando:
1E)(cos
4
34
5
.5
3cosE −=∴→π−=
π−
ππ
=
Bloque I
1. Calcular el valor de:
°° °−°
°+°= 180sec90csc )270(csc
180cos
)270cot()270sen(E
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
2. Calcular el valor de:
)]sencos[tan()]2
[tan(cossenE π−π
=
a) 2 b) 0 c) -2d) 1 e) -1
3. La expresión: α−+−α= 21E
Es real, hallar el valor de: M = cos - sen - cotcuando " " es ángulo cuadrantal.
a) -1 b) -2 c) 2d) -3 e) 0
4. Si: 1sen1coscos1 +φ=−θ+θ−Hallar el valor de: E = tan + cot
a) 0 b) -2 c) -1d) 2 e) 1
5. Reducir:
°
°−+°+=
270absen
180cos)ba(90sen)ba(L
322
a) 1 b) -1 c) 4d) -4 e) -ab
6. Hallar el menor de dos ángulos coterminales, si la sumade ambas es 1320° y el mayor de ellos está comprendidoentre 900° y 1200°.
a) 240° b) 260° c) 300°d) 320° e) 340°
7. Hallar las medidas de dos ángulos coterminales, queestán en la relación de 2 a 7 y la diferencia de ambosestá comprendida entre 1200° y 1500°.
a) 2016° y 576° b) 3600° y 1400°c) 900° y 580° d) 1400° y 100°e) 1500° y 360°
8. Si "k" es un número entero positivo, calcular el valorde:
}4
)1k16sec{(
}6
)1k24tan{(E
π+
π+
=
a)6
3b)
3
6c)
6
6
d)2
6e)
4
3
9. Si " " y "φ" son ángulos cuadrantales. Hallar cuántosvalores diferentes adopta:
)](2
3cos[ φ+θ
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
10.Del gráfico, calcular:
|tan|tan)cos(
|sen|sensen
Rβ
αβ−α+
αβ+α
=
y
xα
β
Problemas para la clase
a) 3 b) -3 c) 1d) -1 e) 2
Bloque II
1. S i : a = c o s ( t a n ( s e n 2 )) + sec(sen(cos ))2
π
y P (-a; 5 ) pertenece al lado terminal, del ángulo " "
en posición normal, hallar el valor de: A = 3cos + 2
a) 0 b) 1 c) 2
d)2
3e) 3
2. Calcular el valor de:
°° °+°
°+°= 3603sen2
2270sen2 )90(csc
180cos
90cot)90sen(K
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. La expresión: θ−+−θ= 42E es real, hallar el valor
de: M = sen + tan + cos cuando " " es ángulocuadrantal.
a) 1 b) -1 c) -2d) 2 e) 3
4. Si: 1cos1sensen1 +φ=−θ+θ−" " y " " son positivos y menores que 1 vuelta, calcular:
φ−φ+θ
=sen1coscsc
K2
a) 1 b) 2 c) 3
d)21
e)32
5. Calcular:
°+°
°−−°+=
270cosb90asen
180cos)ba(90sen)ba(Q
34
222
a) 4ab b) 4 c) 4ad) 4b e) b
6. Halle el mayor de dos ángulos coterminales si su sumaes 1520° y el menor está comprendido entre 200° y 250°.
a) 1100° b) 1200° c) 1300°d) 1750° e) 1800°
7. Dos ángulos coterminales están en la relación de 10 a1. Si su diferencia está comprendida entre 1000° y1200°, ¿cuánto suman los ángulos?
a) 1400° b) 1420° c) 1310°d) 1520° e) 1520°
8. Si "n" es un número entero positivo, calcular el valorde:
}4
)1n56cos{(
}3
)1n48{(senS
π+
π+
=
a)2
3b)
2
6c)
3
6
d)4
6e)
6
3
9. Si " " y " " son cuadrantales; cuántos valores toma:sen( + ).
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
10.Del gráfico mostrado, hallar el valor de:
E = tan + tan - tan( - )
α(-20;21)
β
y
x
a) 2,1 b) -2,1 c) 4,1d) -4,1 e) 0
Bloque III
1. Sabiendo que " " y " " son ángulos en posición normalmayores no positivos y cumplen la condición:sen + sec = 0Calcular:
3sen
)(tan44
sensecK
α−
β+
β=
a) 0 b) 1 c) -1d) 2 e) -2
2. Calcular la suma de senos y cosenos de todos los ángulos
cuadrantales positivos y menores a7
1110π
a) 0 b) 1 c) -1d) 2 e) -2
3. Si " " es un ángulo en posición normal del IVC, donde:tan4 - 7tan2 + 1 = 0, además " " y " " son ánguloscoterminales. Calcular: E = | |tan | - |cot | |
a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 7
4. Siendo "x", "y", "z" ángulos cuadrantales positivosmenores o iguales que 360°; además son distintos entresí, se cumple:
|3zcot||xcos|3)ii
ysecycos2ysecycossenx1)i
−=+
−−=++−−
Calcular: x + y + z
a) 180° b) 360° c) 540°d) 720° e) 1080°
5. Sabiendo que: "a", "b" y "c" son positivos, donde:a > b, además: acot - c = b|cot |Hallar "tan " en términos de "a","b" y "c"
a)c
ba −b)
c
ab −c)
b
ca −
d)b
ac −e) cb
ca
−
−
6. Siendo: 0 < x < y < 2 , además:cosy + cscx = 0, calcular:
x3senx2sensenx2
xsen
y16tany8tany4tan4
ytan
Q
+++
+++=
a) 1 b) 2 c) - 2
d) -1 e) 3
7. Siendo: |tan + cot | = 5|tan | además: " 1", " 2"," 3", " 4" son los valores de " " que cumplen con lacondición anterior, donde:
0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 2
Calcular: A = sen 1cos 2tan 3cot 4
a) -5
2b) -
5
3c)
5
2
d)5
3e)
5
4
8. D e l a f i g u r a , h a l l a r " t a n ".
α
y
x
Q(a;b)
a)ba
ba
−
+b)
ba
b
−c)
ba
a
+
d)ab
ab
+
−e)
ba
ba
+
−
9. Si: cos(- ) = -3
1, hallar "cotβ", si: β ∈ IIIC " " y " "
son coterminales.
a)2
2b) 2 c)
3
2
d)4
2e) 22
10.El lado terminal del ángulo (- ) en posición normal pasapor el punto (-4;-6). Hallar el valor de la expresión:
°+θ−
°−+θ=
420cos52
2)(sen
)30(sen52
2cos
E
a) 3 b) -2 c) -1d) 1 e) 2
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