TRIGONOMETRIA

Preparado por:

Prof. Evelyn Dvila

Trigonometra

se refiere a la medida de los lados y los ngulos de un tringulo. Aplicaciones de la TRIGONOMETRIA: topografa, navegacin e ingeniera.

Podemos

desarrollar el tema de trigonometra por medio de dos enfoques, stos son: El crculo El tringulo rectngulo

TrigonometraEnfocada por medio del

TRIANGULO RECTANGULO

Tringulo RectnguloTringulo rectngulohipotenusa

catetosCaracterstica principal de un tringulo rectngulo es que uno de sus ngulos mide 900

Oserv cio esimo n so relo tri g lo b a n p rta tes b s n u s rect g lo nu s Un.

tringulo consta de tres lados y de tres ngulos. suma de los tres ngulos es 1800

La La

suma de la longitud de cualquiera de dos de los lados del tringulo es mayor que la longitud del tercer lado. c la hipotenusa, a y b los catetos, entonces c2 = a2 + b2

Sea

Los ngulos se nombran con letras para identificarlos. Algunas de las letras que utilizamos son del alfabeto griego como por ejemplo;

gamma; alpha ; betha

Podemos relacionar los lados de un tringulo rectngulo con sus ngulos por medio de las relaciones trigonomtricas. Por medio de stas relaciones trigonomtricas podemos hallar informacin sobre ya sea un lado o un ngulo que desconocemos del tringulo. Las relaciones trigonomtricas son seis, tres de ellas son fundamentales ya que dan origen a las otras.

RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA UN TRIANGULO RECTANGULORelaciones bsicasseno = lado opuesto hipotenusa lado adyacente hipotenusa lado opuesto lado adyacentesec ante =

Relaciones recprocascos ecante = 1 hipotenusa = sen lado opuesto

coseno = tangente =

1 hipotenusa = cos eno lado adyacentelado adyacente 1 = tan lado opuesto

cot angente =

Relaciones trigonomtricas de un tringulo rectngulo

Las tres funciones trigonomtricas bsicas para el ngulo seno = lado opuesto hipotenusa lado adyacente hipotenusa lado opuesto lado adyacente

coseno = tangente =

Lado adyacente a gamma

Lado opuesto a gamma

EJEMPLO 1MEDIDA DE LA HIPOTENUSA

3

c = a2 + b2 c = 4 2 + 3 2 = 16 + 9 = 25 c=5

4seno = lado opuesto hipotenusa = 4 5 = = 3 5 4 3

cos ecante = sec ante =

1 5 = sen 4

coseno = tangente =

lado adyacente hipotenusa lado opuesto lado adyacente

1 5 = coseno 31 3 = tan 4

cot angente =

Continuacin EJEMPLO 1seno = 4 5 = 0 .8 coseno = 3 5 = 0 .6 tangente = 4 3 = 1.333 = .75 4

cos ecante =

5 5 = 1.25 sec ante = = 1.67 4 3

cot angente =

3

4

Podemos utilizar cualquiera de los valores anteriores para determinar la medida del ngulo Veamos el siguiente ejemplo

Hallar la medida del ngulo indicado. 3Calcula una de las relaciones trigonomtricas segn la informacin que te provea el ejercicio.

4

seno =

4 5

= 0.8

La razn seno es .8 , si necesito hallar la medida de y conozco el valor de seno , la funcin inversa de seno me permite encontrar el valor de de lasiguiente forma:

Si seno = .8 , entonces

= seno 1 (.8)

CALCULAR LA INVERSA DE SENOSi seno = .8 , entoncesPresenta la respuesta en : Grados___ Radianes___

= seno1 (.8)

Utilizaremos la calculadora

ENTRADA EN LA CALCULADORA .8 SEN-1 =

ENTRADA EN LA CALCULADORA .8 SEN-1 =

PantallaRadianes .927 Grado 53.13

Recuerda escoger en tu calculadora la unidad de medida para el ngulo, (grados o radianes) antes de hacer los cmputos.

PRACTICA 1 Utiliza la informacin de la siguiente figura para contestar las siguientes 3 preguntas. 4

1. Calcula las seis relaciones trigonomtricas para 2. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relacin coseno. 3. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relacin tangente.

Respuestas -PRACTICA 11. Calcula las seis relaciones trigonomtricas para seno = coseno tangente 3 5 = .6 4 5 3 4 = .8 = .75

5 cos ecante = = 1.67 3

=

secante =

=

5 = 1.25 4 4 cot angente = = 1.33 3

2. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relacin coseno. 4 1coseno

=

5

= .8

cos eno

(. 8) =

radianes

.6435

grados

36 .87

3. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relacin tangente. tangente = 3 = .75 ; tan 1 (. 75 ) = 4 radianes .6435 grados 36 .87 0

Compara las relaciones trigonomtricas seno y coseno de

=53.13seno = 4 5 = 0. 8 3 5

0

y = 36.870seno = coseno 3 5 = .6 4 5 = .8

coseno =

= 0. 6

=

La suma de

y es 900

Por tanto y son ngulos complementarios.

Sean

complementarios, entonces, encontramos las siguientes relaciones:

y dos ngulos

cos = sen cos = sen csc = sec csc = sec tan = cot tan = cot

PRACTICA 2 Utiliza la informacin de la siguiente figura para contestar las siguientes preguntas. 3 2 1`. Halla el valor de , en grados y en radianes. 2. Halla el valor de , en grados y en radianes.

2

Respuestas -PRACTICA 21. Halla el valor de , en grados y en radianes.tangente radianes

=.8571

2 3

= 1.1547 grados

tan gente

1

(1.1547 ) =

49 .11

2. Halla el valor de , en grados y en radianes. En la forma corta tenemos que +

Por lo tanto = 90 - = 90-49.11=40.89

= 90,

Utilizando las relaciones trigonomtricas tenemostangente radianes

=.7137

3 2

= .866 grados

tan gente 40 .89

1

(. 866 ) =

Observacin Si conozco dos de los lados de un tringulo rectngulo puedo hallar la medida de sus ngulos.

Ejemplo 2 Halla la medida de la hipotenusa del siguiente tringulo. 4012 es la medida del lado opuesto a 40 grados 12 es la medida del lado adyacente de 50 grados

12 seno 40 = x 12 .6428 = despejamos para x x 12 x= x = 18.668 .6428

12

cos eno 50 =

12 x despejamos para x

.6428 = x=

12 x

12 .6428

x = 18.668

Como 40 y 50 son complementarios entonces seno 40=coseno 50

PRACTICA 1 Halla la medida de los dos catetos del siguiente tringulo a 30 25 b

Respuestas-PRACTICA 1Halla la medida de los dos catetos del siguiente tringulo a

30 25seno 30 = b 25

ba 25

cos eno 30 = .87 =

b .25 = 25 despejam os para b b = (. 5)( 25 ) =12 .5

a 25 despejam os para b b = (. 87 )( 25 ) = 21 .65

APLICACIO N

Estamos cargando una escalera de largo L por un pasillo de 3 pies de ancho hacia un area de 4 pies de ancho, segn el siguiente 3 pies dibujo.

escalera

4 pies

Halla la medida del largo de la escalera como funcin del ngulo tal como se ilustra.

3 pies

escalera

4 pies