Para todos los otros casos de la forma del rea de drenaje, el
inicio del flujo de estadoseudocontinuo es ms demorado que el
indicado por las ecuaciones 4.59 y 4.60.Por otro lado, en la misma
Tabla 4.3, en la columna Use infinite system solution withless than
1% error for tDA? se indica el lmite mximo por debajo del cual se
puedeusar la solucin funcin-Ei siendo sta precisa en por lo menos
99%.4.2.8. LMITES DE LA APLICACIN DE LA SOLUCIN FUNCIN-Ei Y DELA
SOLUCIN DE FLUJO SEUDOCONTINUO.En forma grfica la funcin-Ei se
presenta en la Fig. 4.3, de coordenadas log-log.Fig. 4.3. Grafico
de la funcin-Ei para 0.001? x ? 5.0.La solucin funcin-Ei
es:MATRICES Y DETERMINANTES6.1. IntroduccionLas matrices y los
determinantes son herramientas del algebra que facilitan el
ordenamiento dedatos, asi como su manejo.Los conceptos de matriz y
todos los relacionados fueron desarrollados basicamente en el siglo
XIXpor matematicos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley
y el irlandes William Hamilton.Las matrices se
456666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666645555555555555555555555555578999999999999999999999999999999999654645564encuentran
en aquellos ambitos en los que se trabaja con datos
regularmenteordenados y aparecen en situaciones propias de las
Ciencias Sociales , Economicas y Biologicas.6.2. Matrices.
Definicion yp rimeros ejemplosUna matriz es una tabla rectangular
de numeros reales dispuestos en filas y columnas del modo:A
=?????a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23 . . . a2n.......... .....am1
am2 am3 . . . amn????? Columnas de la matriz A???????????Filas de
la matriz AAbreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada
elemento de la matriz lleva dos subindices. Elprimero de ellos i,
indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, j,
la columna.Asi el elemento a23 esta en la fila 2 y columna 3. Las
matrices siempre se representaran con letrasmayusculas.Ejemplos:
Son ejemplos de matrices los siguientes:A =2 13 4B =v6 -4 01 2 1C
=????3 1 02 -4 0-1 15v21 0 0????A tiene 2 filas y 2 columnas,
diremos que su tamano es 2 x 2.Que elemento es a21?.B tiene 2 filas
y 3 columnas, diremos que su tamano es 2 x 3.Que elemento es b23?.C
tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tamano es 4 x 3.Que
elemento es c42?.En general, si una matriz A tiene m filas y n
columnas, diremos que su tamano o dimension es mx n (se lee m por
n), siempre en primer lugar el n de filas y en segundo lugar el de
columnas.82CAP ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 836.3. Tipos de
matrices1. Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos
cero.Por ejemplo,A =0 0 0 0 00 0 0 0 0es una matriz nula de tamano
2x5.2. Se llama matriz fila a la que solo tiene una fila, es decir
su dimension es 1x n.Por ejemplo, 1 0 -4 9es una matriz fila de
tamano 1 x 4.3. Se llama matriz columna a la que solo consta de una
columna, es decir su dimension sera m x1, como por ejemplo:C
=??10-v8??es una matriz columna de tamano 3 x 1.4. Una matriz es
cuadrada cuando tiene el mismo numero de filas que de columnas, es
decir sudimension es n x n. La matriz (2 13 4) del primer ejemplo
anterior es cuadrada de tamano 2 x 2 osimplemente de orden 2.Otro
ejemplo de matriz cuadrada es:D =??1 2 36 5 4-3 -4 0??de orden
3.Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a
la formada por los elementosa11, a22, a33, . . ., ann, siendo la
matriz:A =?????a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23 . . . a2n......
.... .....an1 an2 an3 . . . ann?????En la matriz D del ejemplo
anterior, su diagonal principal estaria formada por 1, 5, 0.Se
llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal.
Es decir, Traza (A)=a11+a22 + a33 + . . . + ann , y en el caso de
D, Traza (D)= 1+5+0 = 6.La diagonal secundaria es la formada por
los elementos a1n, a2,n-1, a3,n-2, . . ., an1.En la matriz D
estaria formada por 3, 5, -3.Una clase especial de matrices
cuadradas son las matrices triangulares.Una matriz es triangular
superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal
sonnulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos
situados por encima de dicha diagonal.Son ejemplos de estas
matrices:E =????1 0 0 00 -4 0 03 4 5 01 3 16 -78????Triangular
inferiorF =??1 4 130 9 -50 0 p??Triangular superiorCAP ITULO 6.
MATRICES Y DETERMINANTES 84Si una matriz es a la vez triangular
superior e inferior, solo tiene
elementosyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyhjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjweeeeeeeeeeeeeeeeeeeedffffffffffffffffffffffffffffff
en la
diagonalvddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd?
???? ??? ?? ?DDD D D i tp r t E r2 4( , ) 12o? ???? ??? ?? ? /
20.2521D DD i t rp Ex?0ei(-x)~(ln?x)= -ln x - 0.5772Flujo de
fluidos en medios porosos.94 Ing. Gabriel J. Colmonten la cual se
puede apreciar que D p puede ser correlacionada con el parmetro 2
tD / rDtal como lo muestra la Fig. 4.4. Esta solucin tambin es
conocida como solucin deTheis o solucin de lnea fuente.Fig. 4.4.
Presin adimensional para un pozo en un sistema infinito,sin efecto
de almacenamiento, sin dao.Solucin exponencial integralPara conocer
su rango de tiempo de aplicacin, en la Fig. 4.5, se ilustra la
solucinexacta encontrada por Carslaw y Jaeger (1959) y presentada
por Mueller yWitherspoon (1965) junto con la solucin funcin-Ei
(solucin Theis).Fig. 4.5. Solucin exacta y solu cin aproximada de
TheistD//rD2pD (rD,tD)pD (rD,tD)tD//rD2Flujo de fluidos en medios
porosos.95 Ing. Gabriel J. ColmontLa diferencia entre la solucin
funcin-Ei y la solucin exacta es que la primera asumeel radio del
pozo igual a cero (rw=0), mientras que la segunda emplea el radio
finito delpozo, rw, ambas soluciones siendo para yacimientos de
actuacin como infinitos. Avalores pequeos de / 2 D D t r la solucin
exacta es una funcin de D t y D r ms que unafuncin de 2 tD / rD .
En este rango, la solucin funcin-Ei puede desviarseapreciablemente
de la solucin de radio finito del pozo dependiendo del valor de D r
.Para D r >20, la solucin funcin-Ei concuerda muy bien con la
solucin para radio finitoan para valores pequeos de / 2 D D t r .
Para / 2 D D t r ? 100, la solucin funcin-Ei y lasolucin exacta
para cualquier D r coinciden muy bien con la solucin exacta al
pozo, esdecir para ? 1 D r . Esto significa que la solucin
funcin-Ei puede ser usada paramodelar el comportamiento de las
presiones en un yacimiento que acta como infinito, apartir de ? 100
tD :? 100 tD0.0002637 1002 ?t w C rkt???kC rt t w3.79?105?? 2?que
viene a ser el lmite inferior de tiempo de aplicacin de la solucin
funcin-Ei.Algunos ingenieros asumen que ya a 25 2 ?DDrt , la
solucin aproximada y la exacta paracualquier ? 1 D r , y quekt
Ctrw20.948 105??? ? es el lmite inferior de la
solucinaproximada.Para hallar el lmite superior de aplicacin de la
solucin funcin-Ei podemos hacer usode varios enfoques, uno de
estos, que es considerado como mejor definido, es elpresentado por
H. C. Slider en su libro: Worldwide
