Título: La desigualdad entre la media aritmética y geométrica en

problemas de olimpiadas.

Resumen:

En el presente artículo se pretende mostrar la utilidad de una desigualdad tan

elemental como la relación entre las medias aritmética y geométrica para

resolver problemas de olimpiadas, se ofrece una demostración algebraica y

una geométrica para esta relación en dos elementos, a continuación se ofrece

la demostración realizada por Cauchy al caso general y se proponen problemas

con soluciones de olimpiadas realizadas en diferentes países.

Palabras claves: desigualdades, media aritmética, media geométrica,

olimpiadas de Matemática.

Summary:

Presently article is sought to show the utility of such an elementary inequality as

the relationship among the stockings arithmetic and geometric to solve

problems of olympiads, he/she offers an algebraic demonstration and a

geometric one for this relationship in two elements, next he/she offers the

demonstration carried out by Cauchy to the general case and they intend

problems with solutions of olympiads carried out in different countries.

Key words: inequalities, half arithmetic, mediates geometric, olympiads of

Mathematics.

Desarrollo:

Se conoce que la media aritmértica entre dos valores no negativos a y b se

calcula como y la media geométrica como entonces demostraremos

que . Usaremos una vía algebraica y una geométrica que nos

permitirá analizar algunas de las interconexiones conceptuales que se

establecen entre estas dos disciplinas de la Matemática.

Vía algebraica: Conocemos que , si en la desigualdad que queremos

demostrar multiplicamos por 2 y transponemos todo al miembro izquierdo,

obtenemos , factorizando tenemos , que se

cumple.

Vía Geométrica:

Utilizando el teorema de las alturas se

tiene que es decir la media

geométrica entre x, y. Por otra parte

podemos percatarnos que , es

decir la media geométrica, que en este

caso es la hipotenusa del triángulo rectángulo AOD y la media geométrica es

uno de sus catetos, entonces se tiene que .

Esta desigualdad se cumple además si la cantidad de valores aumenta. Según

Bulajich, Gómez y Valdés (2008), Cauchy probó esta desigualdad utilizando

una inducción de la siguiente forma:

1. Probar que se cumple para dos números.

2. Probar que si se cumple para n elementos entonces se cumple para n –

1 elementos.

3. Probar que si se cumple para n elementos entonces se cumple para 2n

elementos.

En el caso que nos ocupa el primer paso está probado. Probaremos el segundo

y el tercer pasos:

2) Tomamos n – 1 números no negativos y sea

, como tenemos como premisa que se cumple para n

elementos entonces:

Entonces se cumple para n – 1 elementos.

3) sean 2n números reales no negativos

D O C

A

B

x y

h

A continuación analizaremos algunos problemas de olimpiadas donde se puede

utilizar esta desigualdad.

Problema 1. (Bulgaria, 1995) Sean SA, SB y SC las áreas de los heptágonos

regulares A1A2…A7, B1B2…B7, C1C2…C7, respectivamente. Si se sabe que

A1A2 = B1B3 = C1C4. Prueba que

Solución:

Si a = A1A2, b = B1B3 y c = C1C4, usando el teorema de Ptolomeo se deuce que

ab + ac = bc. Usando esto concluimos que , y

. Usando la desigualdad entre media aritmética y media

geométrica concluimos que

Problema 2. (Estonia, 1995) Sean a, b, c las longitudes de los lados de un

triángulo y α, β y γ los ángulos opuestos a esos lados. Prueba que si r es el

radio de la circunferencia inscrita en el triángulo, entonces:

.

Solución:

Sea S el área del triángulo, tenemos , , y

Por la desigualdad entre la media aritmética y la geométrica

y

Multiplicando se cumple lo buscado.

Problema 3. (Repúblicas Checa y Eslovaca, 2000) Prueba que para todos a, b

reales positivos se cumple que:

Solución: Haciendo y (Esto es fundamental a la hora de

resolver desigualdades, pues en muchas ocasiones una adecuada

transformación puede facilitarnos mucho la demostración.

En este caso

Que se puede transformar en:

Aplicando dos veces la desigualdad entre la media aritmética y la media

geométrica tenemos:

Sumando las dos desigualdades miembro a miembro se tiene la desigualdad

deseada. La igualdad se cumple si y solo si

Problema 4. (Brasil, 2001) Prueba que ,

Solución:

Vamos a transformar

Aplicando la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica se

tiene:

Problema 5. (IMO, 2001) Prueba que para se cumple:

Solución:

Podemos percatarnos que la solución de la desigualdad es equivalente a

demostrar:

. Aplicado a los tres sumandos. Esta última desigualdad se

puede transformar como:

Entonces esto es equivalente a demostrar que:

Aplicando dos veces la desigualdad entre la media aritmética y la media

geométrica:

Multiplicando miembro a miembro se tiene el resultado deseado.

Problema 6. (Balcanes, 2002) Sean a, b, c reales positivos, prueba que:

Solución: aplicando la desigualdad entre la media aritmética y la media

geométrica

Apliquemos dos veces más la desigualdad media aritmética – media

geométrica

; ; entonces

Problema 7. (Canadá, 2002) Prueba que , se cumple que

. ¿Cuándo ocurre la igualdad?

Solución: teniendo en cuenta que podemos multiplicar la desigualdad

por con lo cual transformamos lo que queremos demostrar en:

Transformando el miembro izquierdo,

Si aplicamos media aritmética – media geométrica a cada sumando tenemos:

Aplicando nuevamente la desigualdad media aritmética – media geométrica

tenemos que:

La igualdad si y solo si a = b = c.

Problema 8. (Rusia, 2002) Prueba que , para

Solución:

Esta desigualdad puede ser transformada de la siguiente forma:

Entonces la demostración de la desigualdad original se reduce a demostrar que

Vamos a utilizar 3 veces la desigualdad entre las medias aritmética y

geométrica:

, de la misma forma ;

, sumando estas desigualdades se tiene la deseada.

Problema 9. (Repúblicas Checa y Eslovaca, 2003) Demuestra que si

, entonces .

Solución: Esta desigualdad se puede transformar en

, vamos a demostrar por partes

utilizando la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica.

, de manera análoga

, y . Sumando miembro a miembro obtenemos

la desigualdad deseada.

Problema 10. (Lista corta, OIM 2004) Si los números positivos ,

satisfacen que la suma es 1, prueba que:

.

Soludión: Haciendo , , definimos ;

Es evidente que , , la desigualdad es

equivalente a: . Usando la desigualdad media aritmética – media

geométrica deducimos que:

, usando la desigualdad media aritmética –

media geométrica

Problema 11. (Ucrania, 2004) Sean , con . Prueba que

Solución:

Por la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica esta última

expresión:

, de

manera análoga ; ; por tanto

Problema 12. (Kazajstán, 2009) Prueba que , se cumple

que:

Solución:

La desigualdad se puede transformar multiplicando por ,

Utilizando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica en ambos

factores del miembro izquierdo tenemos:

, entonces ; y además

Entonces

Y , sumando miembro a miembro

tenemos la desigualdad que queremos demostrar.

Problema 13. (Grecia, 2010) Si y ,

prueba que . ¿Cuándo ocurre la igualdad?

Solución:

La desigualdad se puede transformar en

Por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica

; , entonces:

, y

por tanto es suficiente demostrar que

, que se cumple por ser .

La igualdad se verifica si y solo si x = y = z = 1.

Problema 14. (Prueba de selección de Cuba, 2006) Encuentra el mayor valor

posible de k tal que para todo polinomio de grado n > 1 cuyas raíces son todas

reales positivas se cumple

que y determina en qué casos se cumple la igualdad.

En este problema se establecen relaciones entre elementos propios del

Álgebra como es el caso del trabajo con polinomios y la desigualdad entre las

medias.

Solución:

Sean r1, r2, r3, … , rn las raíces de p(x). Según las fórmulas de Vieta se tiene

que 1

1

1

1 1

1

1

1111

n

)i

n

i nj...j

jj

ii

n

i

i

ir...r)()(a)( =

1

1 ...1 1

1...

n

i njj

jj

i

irr

Una doble sumatoria con un total de 1

1

22n

i

nn

i

términos. Ahora por la

desigualdad Media Aritmética-Media Geométrica (aplicable porque los ri son

positivos) se sabe que

22

1

1 ...1

1

1 ...1

1

1

1

1

...22

...

n

i

i

i

i n

i njj

jjn

n

i njj

jj

rr

rr

Para simplificar la raíz (2n-2)-ésima obtenida en este punto nótese que

22

1

1 ...1 1

1...n

i

i

n

i njj

jj rr = 22

1

1 ...1

11

1 ...1 1 11

1 ......n

i ii

i

n

i njj jj

n

k

kn

i njj

jjrr

r

rr

= )(

n

k

k

n

n

r222

22

1

=n

k

kr1

= 0a

Una recopilación de los resultados obtenidos hasta el momento permite

concluir que

1

1

)22()1(n

i

o

n

in

i aa entonces o

nn

i

n

i aa 2

21

1

1 )22()1(

Se tiene que la constante k es (2n -2)2, y en este caso es fácilmente verificable,

por las condiciones de la desigualdad Media Aritmética-Media Geométrica, que

la igualdad en este caso es alcanzada cuando

r1 = r2 = … = rn = 1 y solamente en ese caso, con lo que se obtienen además las

condiciones de igualdad. Además, por existir igualdad par este valor de k, es

claro que no puede encontrarse ninguno mayor.

Problema 15. (Prueba de selección cubana, 2006) Sean a, b y c números

positivos tales que ab + bc + ca = 1. Probar que

3abc

cbaabc

3

33

)(61

.

Solución:

Escribamos 3

222

33

3

6661

3

3)(6

1

3

3

abc

abccabbcacba

abc =

= 33

)(3)(3)(31

3

3

abc

bcabcacababcbcacab

como ab + bc + ca = 1 tenemos 3

222

3

)(33)(33)(331

3

3

abc

cacabcbcabab =

= 3

222

3

)()()(34

3

3

abc

cabcab.

Es fácil ver que 3((ab)2 + (bc)2 + (ca)2) ≥ (ab + bc + ca)2 = 1 con lo que se

prueba que abcabc

13

33

33 , que es equivalente a que (abc)2 ≤

27

1y por la

relación entre la media aritmética y la media geométrica se tiene que (abc)2 =

(ab)(bc)(ca) ≤

2

3

cabcab =

27

1.

La igualdad se cumple si y solo si a = b = c = 3

1.

Otros problemas donde se utiliza la desigualdad

En los problemas que se muestran a continuación se evidencia la utilización de

la desigualdad entre las medias en otros contextos, donde no se solicita

explícitamente la demostración de una desigualdad. Esto muestra las

relaciones internas que se establecen en el Álgebra.

Problema 16. (Grecia, 2009) Determina que satisfacen el sistema

Y tienen la menor suma posible.

Solución:

Sea la solución del sistema con la menor suma posible, entonces por

la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica se tiene:

, con la igualdad para

Problema 17. (Grecia, 2010) Resolver en reales positivos el siguiente sistema:

Solución:

Por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica se tiene que:

La segunda ecuación se transforma en

Usando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica se tiene:

,

entonces

Con la igualdad para

Por (1) y (2), , que es posible cuando

Por tanto la única solución

Problema 18. (Rumanía, 2002) Sea , , y , funciones

reales tal que . Demuestra que la ecuación

tiene soluciones si y solo si las funciones

tienen ceros comunes.

a) Resuelve la ecuación

Solución:

Por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica tenemos:

Entonces se cumple la igualdad en esta desigualdad:

y como ,

porque tiene que cumplirse la igualdad , entonces los

valores de x tienen que ser ceros comunes.

a) La ecuación puede escribirse en la forma:

, por tanto considerando

, , , tenemos

, el resultado

anterior implica que la solución está formada por las raíces comunes a las

tres funciones , que son .

Problema 19. (China, 2006) Sea y . Determina

el máximo valor de la suma , donde

Solución: Por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica:

, luego

La igualdad se logra si y solo si , luego el máximo es .

Problema 20. (Primera prueba selectiva de Cuba, curso 2006 – 2007) Hallar el

valor mínimo posible de si son números reales que satisfacen la

condición , con

Solución:

Sea A = x2 + y2 y B = x2 – y2 entonces x2 = 2

BA y y2 =

2

BA, tenemos que

xy = 22yx = 22

BABA, notemos que debemos asumir que xy > 0.

Sustituyendo en la ecuación dada tenemos A = B22

BABA (1)

De acuerdo a la relación entre la media aritmética y geométrica se cumple que

22

BABA

2

22

BABA

= 2

A teniendo que A

2

AB y B 2.

Reordenando (1) encontramos que 4a2 = B2(A2 – B2) y A2 = 42

4

B

B luego B 2

obteniendo que B > 2.

Ahora, (B2 – 8)2 0, y B4 16B2 – 64 = 16(B2 – 4), teniendo que 42

4

B

B 16

teniendo entonces que x2 + y2 = A 4. Finalmente notemos que x2 + y2 puede

tomar el valor 4, por ejemplo para x = 22 , y = 22 .

Problema 21. (Pruebas de selección Cuba, 2006) Una circunferencia de radio r

y centro S está inscrita en el triángulo ABC. Una recta que pasa por el punto S

interseca a los lados BC y CA en los puntos D y E respectivamente. Si P es el

área del triángulo CED, probar que P 2r2. determina para qué casos se

cumple la igualdad.

Solución:

El área A del triángulo CED satisface que

A = ACES + ACSD= ½ CE r + ½ CD r = 2

CDCEr.

Por la desigualdad entre la media aritmética y la media

geométrica tenemos que 2

CDCEr CDCE por

lo que A CDCE r. El producto de las longitudes de los lados de un triángulo no

es menor que el doble del área del triángulo.

En nuestro caso CE CD 2A, donde la igualdad se cumple si y solo si el ángulo del

vértice C es recto, entonces A CDCE r A2 r y A2 2Ar2 donde A 2r2. La

igualdad se cumple si y solo si CE = CD y C = 900.

Bibliografía: Beskin, N. M. (1980). División de un segmento en una razón dada. Moscú: Mir. Bulajich Manfrino, R. & Gómez Ortega, J. A. (2007). Desigualdades. Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas. México: Instituto de Matemáticas de la UNAM. Bulajich Manfrino, R. & Rubio Barrios, C. J. (2008). Las Olimpiadas Matemáticas en San Luis Potosí 1987 – 2005. Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas. México: Instituto de Matemáticas de la UNAM.

S

D

E

C

A B

Colectivo de autores (1995). Olimpiada Nacional de Bulgaria. Colectivo de autores (1995). Olimpiada Nacional de Estonia. Colectivo de autores (2000). Olimpiada Nacional de Repúblicas Checa y Eslovaca. Colectivo de autores (2001). Olimpiada Nacional de Brasil. Colectivo de autores (2001). Lista Corta de la IMO. Colectivo de autores (2002). Olimpiada Nacional de Rumanía. Colectivo de autores (2002). Olimpiada Nacional de Canadá. Colectivo de autores (2002). Olimpiada Nacional de Rusia. Colectivo de autores (2003). Olimpiada Nacional de Repúblicas Checa y Eslovaca. Colectivo de autores (2004). Lista Corta de la OIM. Colectivo de autores (2004). Olimpiada Nacional de Ucrania. Colectivo de autores (2009). Olimpiada Nacional de Kazajstán. Colectivo de autores (2010). Olimpiada Nacional de Grecia. Colectivo de autores (2009). Olimpiada Nacional de Grecia. Colectivo de autores (2006). Olimpiada Nacional de China. Davidson San Juan, L., Reguer Villar, R., & Frontela, R. (1987). Problemas de Matemática Elemental 1. La Habana: Pueblo y Educación. Davidson San Juan, L., Reguer Villar, R., & Frontela, R. (1995). Problemas de Matemática Elemental 2. La Habana: Pueblo y Educación. Davidson San Juan, & Recio, F. (1974). Los Concursos de Matemática. Primera parte. La Habana: Dirección de producción de medios de enseñanza. MINED. Davidson San Juan, & Recio, F. (1975). Los Concursos de Matemática. Segunda parte. La Habana: Dirección de producción de medios de enseñanza. MINED. Díaz González, M. (2004). Problemas de Matemática para los entrenamientos de la Educación Preuniversitaria I. La Habana: Pueblo y Educación. Díaz González, M. (2007). Problemas de Matemática para los entrenamientos de la Educación Preuniversitaria II. La Habana: Pueblo y Educación. Díaz González, M. (2011). Problemas de Matemática para los entrenamientos de la Educación Secundaria Básica III. La Habana: Pueblo y Educación. Hall, H. S., & Night, S. R. (1948). Álgebra Superior. México: Hispano – Americana. Mati, I. (2007). Classical Inequalities. En www.imocompendium.com