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Tutorial:PropagacióndeerrorCálculodelárea,volumenydensidaddeunaesferamaciza.Preparadopor:ProfesoraPilarCristinaBarreraSilvaCadaestudiantedeterminaeldiámetrodelaesferacontornillomicrométrico.Losdatossonenmilímetros10,30 10,30 10,2910,30Laincertidumbredecadadatodeacuerdoalaparatodemedidaes0,01mmLamasadelaesferaenbalanzaresultaser(4,4±0,1)gResultados:Yaquesetienemasdeundatoymenosdediezseprocededelasiguientemanera:Primerosedeterminaeldiámetropromedio:
𝑑!"#$%&'# =(10,30+ 10,30+ 10,29+ 10.30)
4 = 10,30𝑚𝑚Laincertidumbreenesteresultadoes0,01mmyaquealaplicarelcriterio:
∆𝑑 = !"#$%&'(!"#$% –!"#$%&'( !"#$%
!elresultadoesmenordelaincertidumbredel
aparatodemedida,estoimplicaquesedebetomar∆𝑑 = 0,01 𝑚𝑚Entonces𝑑!"#$%&'# = (10,30±0,01)mmCálculodeláreadelaesferaconsuincertidumbre:𝐴 = 4𝜋𝑅! = 𝜋𝑑!teniendoencuentaque𝑑 = 2𝑅Entonces:𝐴 = 𝜋10,30! =333,3𝑚𝑚!Parahallarlaincertidumbreenelárea,setieneencuentaquelafunciónessimilara:𝑧 = 𝑘𝐴!,donde𝑧seríaelárea,𝑘 = 𝜋,𝐴 = 𝑑 ,y𝑛 = 2,comosesabelaincertidmbreparaestafunciónes:∆𝑧 = 𝑧𝑛∆𝐴/𝐴Seaplica:∆𝐴!"# = 333,3 ∗ 2 ∗ !,!"
!",!"= 0,647𝑚𝑚! dondeseaproxima:
∆𝐴!"# = 0,7 𝑚𝑚!yaqueelaparatodemedidatienesolounacifrasignificativaensuincertidumbre.Eláreadelaesferaenconsecuenciaes:𝐴!"# = (333,3± 0,7)𝑚𝑚!Esteresultadoindicaqueeláreadeestaesferanoesmayorde334𝑚𝑚!,ynoesmenorde332,6𝑚𝑚!.Cálculodelvolumendelaesferaconsurespectivaincertidumbre:
𝑉 =4𝜋𝑅!
3 =𝜋𝑑!
6 Reemplazandovaloresconeldiámetropromedio:𝑉 = 572,2𝑚𝑚!Ahorasedeterminalaincertidumbreenelvolumenapartirdeunprocesosimilarparaeláreaaplicando:
∆𝑉 = 𝑉3∆𝑑𝑑
Reemplazandovaloresnuméricos:∆𝑉 = 1,66𝑚𝑚!,aproximandoalnúmerocorrectodecifrassignificativasestaincertidumbrees:∆𝑉 = 2𝑚𝑚!Elvolumendelaesferaconsuincertidumbreseexpresacomo:𝑉 = (572,2± 2)𝑚𝑚!
Cálculodeladensidaddelaesferaconsuincertidumbre:Sesabeque𝜌 = !
!seprocedearealizarloscálculosyaquesetienelamasayel
volumendelaesferaconsurespectivaincertidumbre:𝜌 = !,!
!"#,!=0,0077g/𝑚𝑚!=7,7g/cm3
Paradeterminarlaincertidumbreenesteresultadosetieneencuentaqueladensidadessimilaralafunción:𝑧 = 𝐴/𝐵dondesuincertidumbreseexpresacomo:
∆𝑧 = 𝑧(∆𝐴𝐴 +
∆𝐵𝐵 )
Laecuaciónqueda:
∆𝜌 = 𝜌(∆𝑚𝑚 +
∆𝑉𝑉 )
Reemplazandolosvaloresnuméricos:
∆𝜌 = 0,00770,14,4+
2572,2 = 201,9𝑋10!! 𝑔/𝑚𝑚! = 0,2 𝑔/𝑐𝑚!
Ladensidaddelaesferaresultaser:𝜌 = (7,7±0,2)g/cm!Yaqueelvalormásprobablees7,7g/cm!indicaquelaesferadebeserdeacerocomparandoconladensidaddeestematerial.