UCV CONJUNTOS

FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES ESCUELA PROFESIONAL ACADMICO DE ADMINISTRACIN - I CICLO

Lic. Mat. Limberg Zue Chero

SESIN N 1 UNIDAD I

EXPERIENCIA CURRICULAR: PENSAMIENTO LGICO CONTENIDO: CONJUNTOS

Introduccin.

La idea de conjunto existi con el hombre desde las

primeras actividades que realiza; primero de manera

prctica y utilitaria, mucho tiempo despus aprende el uso

de los smbolos.

El fsico matemtico George Cantor (1845 1918) creador

de la TEORA DE CONJUNTOS aporta novedosos

argumentos que contribuyen a una visin ms amplia y

comprensible para los matemticos del momento.

El concepto de conjunto es uno de los ms fundamentales

en matemticas, incluso ms que la operacin de contar,

pues se puede encontrar implcita o explcitamente, en

todas las ramas de las matemticas puras y aplicadas. En

su forma explcita, los principios y terminologa de los

conjuntos se utilizan para construir proposiciones

matemticas ms claras y precisas y para explicar

conceptos abstractos como el infinito.

En la actualidad, los principios de esta teora facilitan la

interpretacin lgica de problemas cotidianos y su mejor

alternativa de solucin.

ALGUNAS NOTACIONES MATEMTICAS

: Existencial. ! : Existe un nico. : Conjuncin (y) : Disyuncin (o) : Pertenencia : No pertenece : Negacin. : Para todo. : No incluido. Conclusin (Por lo tanto)

1. IDEA DE CONJUNTO. Se entiende por conjunto a toda

coleccin o agrupacin de objetos abstractos y

concretos que pueden o tener una caracterstica comn.

2. NOTACIN. Todo conjunto se denota con letras

maysculas de nuestro alfabeto.

}5;4;3;1{ elementosonjuntonombredelc

N

3. DETERMINACIN DE UN CONJUNTO. Todo conjunto

se expresa por comprensin y por extensin.

Por comprensin o forma constructiva. Cuando se indica

una propiedad o caracterstica del conjunto.

};71/2{ 2 ZnnnP Por Extensin o forma tabular. Cuando sus elementos

estn expresados explcitamente.

}72;50;32;18;8{P 4. CLASES DE CONJUNTOS

Conjunto finito. Tiene un nmero limitado de elementos.

};52/13{ ZmmmN Conjunto infinito. Tiene un nmero ilimitado de

elementos. }52/{ xQxxS

5. CARDINAL DE UN CONJUNTO. Si A es un conjunto

cualquiera, el cardinal de A se denota por n(A) y nos

indica el nmero de elementos que tiene dicho conjunto.

}11;6;5;3{A n(A) = 4 6. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Inclusin (). Sean A y B dos conjuntos, A est contenido en B (A es subconjunto de B) si todo elemento

de A es tambin elemento de B.

}( BxAxBA

Igualdad. Dos conjuntos A y B son iguales si poseen los

mismos elementos.

ABBABA

7. CONJUNTOS COMPARABLES. Dos conjuntos A y B

son comparables cuando solamente uno de ellos est

incluido en el otro. Es decir:

BA AB Ejemplo:

A = {x/x es un mamfero}

B = {x/x es una ballena}

Se concluye que A y B son comparables, puesto que

AB , pero BA . 8. CONJUNTOS DISJUNTOS. Dos conjuntos A y B son

disjuntos cuando no tienen algn elemento en comn.

A = {x/x es un nmero par}

B = {x/x es un nmero impar}

9. CONJUNTOS ESPECIALES

Conjunto vaco o nulo. No tiene elementos.

Conjunto unitario o singletn. Tiene un solo elemento.

Conjunto universal (U). Es el conjunto referencial para el

estudio de una situacin particular y contiene a todos los

conjuntos considerados.

A B

Fundamentos Tericos



Conjunto de conjuntos. Llamado tambin familia de

conjuntos o clase de conjuntos. Es aquel conjunto que

tiene como elementos otros conjuntos dados.

M = {{1}; {3,4}; {7}}

Conjunto potencia. El conjunto potencia de A, llamado

tambin conjunto de partes de A, es aquel conjunto

formado por todos los subconjuntos posibles que posee

el conjunto A.

Notacin: P(A), se lee conjunto potencia de A.

Ejemplos: si A = {a; b}

P(A) = {{a}; {b}; {a, b}; } n [P(A)] = 4 = 2

2

Los subconjuntos {a}, {b} y se llaman propios. Entonces: n [P(A)] = 2

)(An;

N subconjuntos propios: 2)(An- 1

10. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.

Unin ().

}/{ BxAxxBA

Consecuencias:

i. BABBA ii. )()()( BnAnBAn

A y B son disjuntos.

Interseccin ()

}/{ BxAxxBA Consecuencias:

i. BA A y B son disjuntos. ii. BAABA

Diferencia (-).

}/{ BxAxxBA Consecuencias:

i. ABA A y B son disjuntos. ii. BABA

Diferencia simtrica (). )}()(/{ ABxBAxxBA

Consecuencias:

i. BABABA ii. BAABBA Complemento (

cA )

}/{ AxxAc

Consecuencias:

i. cAB A y B son disjuntos. ii. BAAB cc

LEYES DEL LGEBRA DE CONJUNTOS

Idempotencia

AA = A AA = A Conmutativa

AB = BA AB = BA Asociativa

(AB) C= A(BC) (AB) C= A(BC) Distributiva

A(BC)=(AB) (AC) A(BC)=(AB) (AC)

De Morgan

(AB) ccc BA (AB) ccc BA Del complemento

A cA = U A cA = (

cA ) Ac De la Unidad

AU = U AU = A A= A A= Absorcin

A(AB)= A A(AB)= A A(A cB)= AB A(A cB)= AB



EJERCICIOS DE APLICACION

1. Dados los conjuntos

A = {x/xx

< 500; x }

B = {xA / x 2 < 100; x } Calcule n(A) + n (B)

a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9

2. Dados los conjuntos

A = {2x + 1/ 1 < x < 8; x } B = {(2x + 1) / 1< x < 8}

Determine la suma del mayor elemento de A con el

mayor elemento de B.

a) 29 b) 28 c) 30 d) 31 e) 32

3. Dados los conjuntos iguales:

A = {2 + 3b; 3 + b; b2

+4} y B = {29; 33; 32}

Donde {a, b}Z . Calcule a + b. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

4. El personal de una fbrica est formado por 53

trabajadores. 40 son obreros y, de stos, 15

trabajan de torneros.

a. Grafica la relacin que se establece en la

fbrica

b. Cuntos trabajadores no son obreros?

5. Dado el conjunto A = {5; {7}; 9; 12}. Indicar (V) o

(F), segn corresponda:

i) {7} A ( ) iv) {9} A ( )

ii) 9 A ( ) v) A ( )

iii) 7 A ( ) vi) 10 A ( )

a) VFVFVF b) VFFVVF

c) VVVFFF d) VVFFFV e) N.A.

6. La Tcnica de Panel que consiste en seleccionar una

muestra de la poblacin y entrevistarla repetidas veces

y en diferentes intervalos de tiempo, en relacin con el

consumo de un producto determinado, es un mtodo

muy utilizado en la investigacin de mercado.

Por ejemplo, se elige una muestra de 2000

empleados, a los que se entrevista preguntndoles si

utilizan cierta marca de productos para oficina, para

analizar los efectos de publicidad sobre el consumo.

Seis meses despus se entrevista a esas mismas

personas para preguntarles si continan utilizndolos

y lo mismos e hace un ao despus. Sean P, S y T los

conjuntos de personas que respondieron

afirmativamente a las entrevistas en la primera,

segunda y tercera ocasiones. En el cuadro siguiente

se especifican los datos:

Conjuntos Personas que

respondieron

afirmativamente

Entrevistas

P 838 1

S 827 2

T 808 3

PS 542 1 Y 2 PT 474 1 Y 3 ST 498 2 Y 3

PST 317 1, 2 Y 3

6.1. Utilice el diagrama de Ven Euler para representar

los datos segn la informacin suministrada en el

cuadro anterior.

6.2. Cuantas personas respondieron en las tres

oportunidades?

6.3. Cuntas personas informaron que no los usaban

en la primera entrevista, pero respondieron

afirmativamente en la 2 y 3 ocasin?

6.4. Cuntas personas respondieron que utilizaban

los productos en la primera y segunda entrevistas,

pero no en la tercera?

6.5. Cuntos entrevistados informaron que utilizaban

los productos en la primera y tercera ocasiones en

que fueron interrogados, pero no en la segunda?

6.6. Cuntos consumidores respondieron

afirmativamente solo en la primera entrevista?

6.7. Cuntas personas no respondieron

afirmativamente?



TAREA DOMICILIARIA

1. Cul de las siguientes proposiciones es falsa?

i. a {a, b}

ii. {a, 5, }

iii. 7 {5, 8, 11}

iv. {a} {a, 7, c}

v. {a} {{a}, b, m}

2. Analiza los datos:

Tres hermanos Ana, Laura y Luis, quieren

anotarse en una tabla de edades. Luis tiene 14

aos, Ana dos aos ms que Luis y Laura un

ao ms que Ana.

2.1. Completa el cuadro ubicando cada nombre

en el lugar que le corresponda.

SI SU EDAD ES:

Mayor o igual

que 13 pero

menor que 15

Mayor o

igual que 15

pero menor

que 17

Mayor o

igual que

17

13 x < 15 15 x < 17 X 17

2.2. Cul es la edad de cada uno de los

hermanos?

3. Analiza cada uno de los conjuntos siguientes y

di que clase son:

a) A = { x/ x es un persona mayor que su

abuelo}

b) B = { x/ x es un cuadrpedo de ocho patas}

c) C = { x/ x N; x es mltiplo de 2}

d) D = { x/ x N; 6 < x < 8}

4. El Departamento de Publicidad de El Palacio de Hierro,

interroga a una muestra de 1000 clientes, seleccionados

de entre todos los que abrieron su cuenta de crdito en

el pasado mes de diciembre, y se les pregunta si su

crdito fue utilizado para comprar artculos para el

hogar, artculos de vestir o juguetes. Los resultados

fueron los siguientes:

Mercadera N de

personas

Artculos para el hogar 275

Artculos de vestir 400

Juguetes 550

Artculos de hogar y vestir 150

Artculos del hogar y juguetes 110

Artculos de vestir y juguetes 250

Artculos de vestir, del hogar y

juguetes.

100

Se desea saber:

a) Cuntas personas no usaron su crdito en alguna

de esas tres mercancas?

b) Cuntas personas usaron su crdito slo para

comprar artculos de vestir?

c) Slo para artculos del hogar? Slo para

juguetes?

5. Un investigador de mercados efecta una encuesta

sobre los hbitos de lectura de peridicos de la ciudad,

con los siguientes datos:

Peridico Lectores

La Industria 9,8%

La Repblica 22,9%

El Comercio 12,1%

La Industria y La Repblica 5,1%

La Industria y El Comercio 3,7%

La Repblica y El

Comercio

6,0%

Al menos uno de los tres 32,4%

Calcule el porcentaje de personas que:

a) No leen ninguno de los peridicos mencionados.

b) Leen dos de los peridicos.

6. La Compaa Central de Suministros Metlicos,

distribuidora de artculos de ferretera, ha adquirido un

lote de tuercas a granel en una subasta de la Direccin

de Aduanas. Una muestra de 500 tuercas revel que

estas pueden utilizarse en tres diferentes operaciones

bsicas, como se indica a continuacin:



Operacin Tuercas

Contrapieza 255

Soporte 215

Contrapieza y soporte 25

Contrapieza y nivelacin 125

Slo para nivelacin 105

Contrapieza o soporte 395

Nivelacin y soporte 60

Se desea conocer:

a) Nmero de tuercas que pueden utilizarse en las tres

operaciones.

b) Numero de tuercas que tienen que ser desechadas.

7. A un matrimonio asistieron 150 personas. El nmero de

hombres es el doble del nmero de mujeres. De los

hombres, 23 no usan reloj, pero si tienen terno y 42

usan reloj. De las mujeres, las que no usan vestido son

tantas como los hombres que no usan terno ni reloj. Si

ocho tienen vestido y reloj. Cuntas mujeres usan

vestido pero no reloj?

a) 9 b) 7 c) 12 d) 5 e) 8

8. En una empresa de transporte urbano se dispone de

cierto nmero de combis, de las cuales 5 estn en

reparacin. Se sabe que:

42 circulan en las maanas.

38 circulan en las tardes.

30 circulan en las noches.

20 en las maanas y en las tardes.

14 en las tardes y en las noches.

16 en las maanas y en las noches.

Determine cuntas son en total, si adems se conoce

que son 5 los que trabajan todo el da.

a) 68 b) 69 c) 70 d) 72 e) 75

9. Dado el conjunto 2; 5 ;3;2; 5A Indique la verdad o falsedad de las siguientes

proposiciones:

I. A tiene 8 subconjuntos.

II. A tiene 31 subconjuntos propios.

III. A tiene 32 subconjuntos.

IV. A tiene 31 subconjuntos propios.

a) VFFF b) VVFF c) VVVF d) VVVV e) VFVF

10. Dados dos conjuntos comparables A y B, si AB tiene 12 elementos y A B tiene 27 elementos. Cuntos elementos tiene AB?

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

11. Si AB y AD = . Simplificar:

( )c cA D B B A B

a) 0 b) AB c) A d) B e) DB

12. Sean A y B dos conjuntos disjuntos, simplificar:

A B A B A B a)

b) AB c) AB d) AB e) AB

13. En una encuesta acerca del consumo de bebidas se

obtuvo la siguiente informacin:

Toman Guaran y Coca Cola 1/3 de los que slo toman

Coca Cola y de los que toman Guaran.

Toman otras bebidas diferentes tantos como los que

toman slo una bebida de las mencionadas.

Si los encuestados fueron 495 personas, entonces los

que slo toman una bebida son:

a) 236 b) 125 c) 245 d) 148 e) 225

14. En un saln de clase de 60 alumnos rindieron 3

exmenes para aprobar un curso y se observa que los

que aprobaron un slo examen es el quntuple de los

que aprobaron los 3 exmenes y los que aprobaron slo

dos exmenes es el triple de los que desaprobaron los

3 exmenes. Si el nmero de los desaprobados en

los 3 exmenes es igual al nmero de los que aprobaron

los 3 exmenes. Cuntos aprobaron el curso, si para

aprobarlo es necesario que aprueben por lo menos 2

exmenes?

a) 18 b) 20 c) 21 d) 22 e) 24

15. De una encuesta a 60 personas a 60 personas se recibi

la siguiente informacin:

7 personas consumen el producto A y B pero no C.

6 consumen el producto B y C pero no A.

3 personas consumen el producto A y C pero no B.

50 personas consumen al menos uno de estos

productos.

11 personas consumen el producto A y B.

Las personas que consumen solamente un producto son

a) 25 b) 28 c) 30 d) 32 e) 35

16. 16. Simplificar:

A B A B A B A B

a) b) A c) B d) A B e) N.A.

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