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1 DIVISIBILIDAD
P A R A E M P E Z A R
Halla el resto que se obtiene al dividir 247 entre 3.
247 � 3 � 82 � 1
El resto de la división es igual a 1.
En un supermercado los huevos se venden por docenas.
¿Es posible comprar 37 huevos?
37 � 3 � 12 � 1
Por tanto, no se pueden comprar todos por docenas.
Halla los cinco primeros múltiplos de 23.
Múltiplos de 23: 23, 46, 69, 92, 115
Comprueba si son divisibles por 2, 3, 5 y 11 los siguientes números.
a) 345 b) 4037 c) 360 d) 90
Se aplican los criterios de divisibilidad o directamente.
Son divisibles por 2: 360 y 90.
Terminan en cifra par.
Son divisibles por 3: 345, 360 y 90.
La suma de las cifras es divisible por 3.
Son divisibles por 5: 345, 360 y 90.
La última cifra es 0 ó 5.
Es divisible por 11: 4037.
La suma de las cifras de lugar impar es igual a la suma de las cifras de lugar par: 7 –7 � 0.
En esta estación, ¿cuándo van a pasar trenes por cada uno de los andenes? ¿Cuándo van a coincidir tre-nes en los tres andenes?
El tren del andén A sale cada 20 minutos, el tren del andén B sale cada 30 minutos, y el tren del andén C cada 40 minutos.
Coincidirán todos a los 120 minutos, 2 horas, ya que esa cantidad de minutos es múltiplo de las anteriores.
Números primos. Descomposición en factores primos
P A R A P R A C T I C A R
Comprueba si los siguientes números son primos o compuestos utilizando los criterios de divisibilidad.
a) 93 d) 777
b) 89 e) 246
c) 334 f) 1177
a) 93 � 31 � 3 d) 777 � 3 � 7 � 37
Es divisible por 3, ya que la suma de las cifras es 12. Es divisible por 7, ya que las cifras son iguales.
93 � 3 � 31 Número compuesto
Número compuesto
b) 89 � 89 � 1 e) 246 � 2 � 3 � 41
Número primo, solo tiene dos divisores. Es divisible por 2, termina en número par.
Número compuesto
c) 334 � 2 � 167 f) 1 177 � 11 � 107
Es divisible por 2, ya que es par. Es divisible por 11, ya que 1 � 7 � 1 � 7.
Número compuesto Número compuesto
1.1.
5
4
3
2
1
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Copia en tu cuaderno y realiza la descomposición factorial de estos números.
Factorización de 1000 � 23 � 53
Factorización de 3300 � 33 � 100 � 3 � 11� 22 � 52
Calcula los números que tienen estas factorizaciones y calcula si son divisibles 22 � 3.
a) 3 � 52 c) 22 � 33 � 5
b) 23 � 7 � 13 d) 25 � 112
a) 3 � 52 � 3 � 25 � 75 No son divisibles.
b) 23 � 7 � 13 � 728 No son divisibles.
c) 22 � 33 � 5 � 540 Si son divisibles.
d) 25 � 112 � 3872 No son divisibles.
Factoriza los siguientes números.
a) 63 d) 160
b) 51 e) 180
c) 76 f) 360
a) 63 � 9 � 7 � 32 � 7 d) 160 � 25 � 5
b) 51 � 3 � 17 e) 180 � 22 � 32 � 5
c) 76 � 2 � 38 � 22 � 19 f) 360 � 23 � 32 � 5
Ejercicio resuelto
Descompón en factores primos 48 y 720 e indica qué divisores comunes tienen.
48 � 16 � 3 � 24 � 3
720 � 16 � 9 � 5 � 24 � 32 � 5
1 22 � 4 23 � 8 24 � 16
2 3 � 2 � 6 3 � 22 � 12
3 3 � 23 � 24 3 � 24 � 48
Los divisores comunes son:
1, 2, 3, 4, 6, 24, 8, 12, 48, 16.
Escribe los factores de estos números e indica si tienen algún divisor común.
a) 27 c) 81
b) 36 d) 222
a) 27 � 3 � 9 � 33 c) 81 � 9 � 9 � 34
b) 36 � 4 � 9 � 22 � 32 d) 222 � 2 � 111 � 2 � 3 � 37
El divisor común es el 3.
Factoriza 12 345 y determina sus divisores.
12 345 � 3 � 5 � 823
Divisores: 1, 3, 5, 15, 823, 2 469, 4 115, 12 345
1.7.
1.6.
1.5.
1.4.
1.3.
1.2.
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P A R A A P L I C A R
En un supermercado se venden los huevos por docenas. Para celebrar un cumpleaños Luis hace variastortillas. ¿Puede comprar 97 huevos?
97 � 8 � 12 � 1
Por tanto, no se pueden vender todos por docenas.
Problema resuelto
Los alumnos de una clase deben calcular las dimensiones del aula sabiendo que su área es de 48 metroscuadrados.
a) ¿Cuáles son las dimensiones posibles si son números naturales?
b) ¿Cuáles son las dimensiones reales si son las que más se aproximan a un cuadrado?
a) Descomponemos 48 en factores primos:
48 � 24 � 3
Las dimensiones posibles, en metros, son:
1 y 48 2 y 24 3 y 16 4 y 12 6 y 8
b) Las dimensiones reales del aula son 6 y 8 m.
Un grupo de 36 alumnos realiza una visita al Museo de Ciencias. Si se ha decidido por seguridad, queformen grupos iguales de más de 3 alumnos y menos de 10, ¿cuáles son las posibilidades?
Grupos:
Si van 4 alumnos, 9 grupos.Si van 6 alumnos, 6 grupos.Si van 9 alumnos, 4 grupos.
El Ayuntamiento de una localidad quiere colocar contenedores de reciclaje en 18 calles de la ciudad. Hancomprado 288 contenedores y ha decidido colocar 4 contenedores en cada calle.
a) Realiza la descomposición factorial de 288.
b) ¿En cuántas calles más se podrían colocar contenedores?
a) 288 � 25 � 32
b) Contenedores usados: 4 � 18 � 72Contendores sin colocar: 288 - 72 � 216Calles en que se pueden colocar: 216 � 4 � 54
Máximo común divisor de varios números
Ejercicio resuelto
Calcula el máximo común divisor de 36 y 150.
36 � 22 � 32 150 � 2 · 3 · 52 m.c.d.(36, 150) � 2 · 3 � 6
P A R A P R A C T I C A R
Escribe los divisores comunes de 20 y 50. ¿Cuál es el mayor de todos ellos?
Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20Divisores de 50: 1, 2, 5, 10, 25, 50El mayor divisor es 10.
Realiza la descomposición factorial de 36 y 60.
a) ¿Cuáles son los divisores comunes? b) Calcula el máximo común divisor.
Descomposición en factores: 36 � 3 � 3 � 2 � 2 60 � 5 � 3 � 2 � 2
a) Los divisores comunes son 3, 2, 2. b) m.c.d.(36, 60) � 3 � 2 � 2
1.14
1.13
1.12
1.11
1.10
1.9
1.8
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Calcula el mayor divisor de estos números.a) 12 y 18 c) 33 y 44b) 24 y 36 d) 60 y 75
a) 12 y 18, divisor mayor: 6 c) 33 y 44, divisor mayor: 11
b) 24 y 36, divisor mayor: 12 d) 60 y 75, divisor mayor: 15
Factoriza estos números y halla el máximo común divisor en cada caso.a) 16 y 32 c) 36 y 54b) 80 y 160 d) 30 y 45
a) 16 � 16 � 1 c) 36 � 9 � 2 � 232 � 16 � 2 54 � 9 � 2 � 3m.c.d.(16,32) � 16 m.c.d.(36, 54) � 18
b) 80 � 80 � 1 d) 30 � 5 � 2 � 3160 � 80 � 2 45 � 5 � 3 � 3m.c.d.(80, 160) � 80 m.c.d.(30, 45) � 15
¿Cuál es el máximo común divisor de los siguientes números?a) 18, 36, 72 d) 60, 80, 360b) 30, 150, 300 e) 32, 40, 72c) 15, 45 y 60
a) Se descomponen en factores primos o no.18 � 1 � 1836 � 2 � 1872 � 4 � 18m.c.d.(18, 36, 72) � 18
b) Se descomponen en factores primos o no.30 � 30 � 1150 � 30 � 5360 � 30 � 12m.c.d.(30, 150, 300) � 30
c) Se descomponen en factores primos o no.15 � 1 � 1545 � 3 � 1560 � 4 � 15m.c.d.(15, 45, 60) � 15
d) Se descomponen en factores primos o no.60 � 3 � 2080 � 4 � 20360 � 18 � 20m.c.d.(60, 80, 360) � 20
e) Se descomponen en factores primos o no.32 � 8 � 440 � 8 � 572 � 8 � 9m.c.d.(32, 40, 72) � 8
Sabemos que 24 es múltiplo de 2 y que 5 es divisor de 75.a) ¿Cuál es el máximo común divisor de 24 y 2? Razona la respuesta.b) ¿Cuál es el máximo común divisor de 75 y 5? Razona la respuesta.
a) m.c.d.(24, 2) � 22 es el mayor número que divide a 24 y a 2.
b) m.c.d.(75, 5) � 55 es el mayor número que divide a 75 y a 5.
Si a es múltiplo de b, ¿cuál es el máximo común divisor de ambos números?Razona la respuesta.
Si a es múltiplo de b, se deduce, que b es divisor de a. Por tanto, m.c.d.(a, b) � b
1.19
1.18
1.17
1.16
1.15
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P A R A A P L I C A R
Problema resuelto
Un almacén mide 8 metros de largo, 6 de ancho y 4 de alto. Se va a almacenar la mercancía en cajascúbicas.
a) ¿Cuáles son las dimensiones máximas que pueden tener las cajas?
b) ¿Cuántas cajas se pueden almacenar?
a) Las dimensiones de las cajas tienen que ser un divisor de 8, 6 y 4. Además, como tienen que ser dimensiones máximas, de-bemos calcular el máximo común divisor.
8 � 23 6 � 2 � 3 4 � 22
m.c.d.(8, 6, 4) � 2
El lado de las cajas cúbicas mide 2 metros.
b) 8 � 2 � 4; 6 � 2 � 3; 4 � 2 � 2
Se pueden almacenar:
4 � 3 � 2 � 24 cajas
Tres clases de 2.º de ESO tienen 18, 24 y 30 alumnos.
a) En una reunión, ¿cuál es el máximo grupo que puede representar a cada clase si los grupos han deestar formados por el mismo número de alumnos?
b) ¿Cuántos grupos se formarán?
a) m.c.d.(18, 24, 30) � 6 alumnos
b) Números de grupos: 3 � 4 � 5 � 12
Se quiere dividir un solar rectangular de 180 metros de largo por 120 metros de ancho en parcelas cua-dradas de máxima área.
a) ¿Cuál debe ser la medida del lado?
b) ¿En cuántas parcelas se dividirá?
a) Medida del lado: m.c.d.(180, 120) � 60 m
b) Número de parcelas: (180 � 120) � (60 � 60) � 6 parcelas
Se quiere embalar, por separado, 48 botellas de refresco y 72 botellas de leche en cajas iguales, lo másgrande posible. ¿Cuál será el número de botellas en cada caja?
m.c.d.(48, 72) � 24
Por tanto, son necesarias 2 cajas para la leche y 3 para el refresco.
En un centro escolar se va a organizar talleres sobre Arte. Van a participar 20 alumnos de 1.º de ESO y30 de 2.º
Si los profesores han decidido no mezclar cursos, que en cada grupo haya el mismo número de alumnos yque los grupos están integrados por el mayor número de alumnos posible, ¿cuántos grupos se formarán?
m.c.d.(20, 30) � 10
Grupos de 1.º � 20 � 10 � 2
Grupos de 2.º � 30 � 10 � 3
Mínimo común múltiplo de varios números
Ejercicio resuelto
Calcula el mínimo común múltiplo de 150 y 360.
150 � 2 � 3 � 52
360 � 23 � 32 � 5
m.c.m.(150, 360) = 23 � 32 � 52 = 1 800
1.25
1.24
1.23
1.22
1.21
1.20
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P A R A P R A C T I C A R
Escribe los múltiplos comunes de dos cifras de 4 y 5. ¿Cuál es el menor de todos ellos?
m.c.m.(4, 5) � 20
Múltiplos de 20: 20, 40, 60, 80
Ana cuenta de 2 en 2, Paula de 3 en 3 y Luis de 5 en 5.
a) ¿En qué números coincidirán? Escribe los 5 primeros múltiplos comunes.
b) ¿Cuál es el menor de todos ellos?
a) m.c.m.(2, 3, 5) � 30
Coincidirán en el número 30.
Los cinco primeros múltiplos: 30, 60, 90, 120 y 150
b) El menor número es: 30.
¿Cuál es el número más pequeño de dos cifras que es múltiplo de 15 y de 25 a la vez?
m.c.m.(15, 25) � 75
Múltiplo de 15 � 15 � 5 � 75 Múltiplo de 25 � 25 � 3 � 75
Por tanto, el número es 75.
Calcula el menor múltiplo común de:
a) 3 y 5 b) 3 y 11 c) 17 y 51 d) 16 y 12
a) m.c.m.(3, 5) � 15 c) m.c.m.(17, 51) � 51
b) m.c.m.(3, 11) � 33 d) m.c.m.(16, 12) � 48
Realiza la descomposición factorial de 45 y 84.
a) ¿Qué factores comunes tienen? ¿Y no comunes?
b) Calcula el mínimo común múltiplo.
a) Descomposición en factores: 45 � 32 � 5 84 � 22 � 3 � 7
Factores comunes: 3 Factores no comunes: 2, 22, 32, 5, 7
b) m.c.m.(45, 84) � 22 � 32 � 5 � 7 � 1 260
Factoriza estos números y halla el mínimo común múltiplo en cada caso.
a) 5 y 11 b) 8 y 24 c) 15 y 45 d) 20 y 30
a) Factores, 5 y 11 c) Factores, 3 � 5 y 32 � 5
m.c.m.(5, 11) � 55 m.c.m.(15, 45) � 32 � 5 � 45
b) Factores, 23 y 3 � 23 d) Factores: 22 � 5 y 2 � 3 � 5
m.c.m.(8, 24) � 23 � 3 � 24 m.c.m.(20, 30) � 60
¿Cuál es el mínimo común múltiplo de los siguientes números?
a) 18, 54 y 81 c) 240, 270 y 150
b) 15, 96 y 120 d) 45, 1 100 y 2 200
a) 18, 54 y 81 c) 240, 270 y 150
Factorización: Factorización:
18 � 9 � 2 240 � 10 � 24 � 10 � 8 � 3
54 � 9 � 6 270 � 10 � 27 � 10 � 33
81 � 9 � 9 150 � 10 � 15 � 10 � 3 � 5
m.c.m.(54, 81) � 9 � 6 � 9 � 486 m.c.m.(240, 270, 150) � 10 � 8 � 33 � 5 � 10 800
b) 15, 96 y 120 d) 45, 1 100 y 2 200
Factorización: Factorización:
15 � 3 � 5 45 � 5 � 9
96 � 32 � 3 � 25 � 3 1100 � 11 � 100
120 � 3 � 5 � 23 2200 � 1 100 �2 � 2 � 11 � 100
m.c.m.(15, 96, 120) � 3 � 5 � 25 � 480 m.c.m.( 45, 1 100, 2 200) � 11 � 23 � 53� 32 � 19 800
1.32
1.31
1.30
1.29
1.28
1.27
1.26
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P A R A A P L I C A R
Un rascacielos de 60 pisos de altura tiene 4 ascensores. Uno para en todos los pisos, otro de dos en dos,otro de tres en tres y el cuarto de cuatro en cuatro.
a) ¿En qué plantas paran cada uno de los ascensores?
b) ¿En que plantas coinciden los cuatro?
a) Ascensor 1: para en: 1.ª, 2.ª, 3.ª, ... , 12.ª, ...
Ascensor 2: para en: 2.ª, 4.ª, 6.ª, 8.ª, 10.ª, 12.ª,...
Ascensor 3: para en: 3.ª, 6.ª, 9.ª, 12.ª, ...
Ascensor 4: para en: 4.ª, 8.ª, 12.ª, ...
b) m.c.m.(1, 2, 3, 4) � 12
Se encuentran en las plantas: 12.ª, 24.ª, 36.ª, 48.ª, 60.ª
Ejercicio resuelto
Los alumnos de música del conservatorio se reúnen cada 12 días y los del teatro cada 9 días. Si hoy coin-ciden, ¿cada cuántos días seguirán coincidiendo?
Tenemos que encontrar un múltiplo común de 12 y 9. Para saber cuándo coinciden por primera vez calculamos el mínimo comúnmúltiplo.
12 � 22 � 3 9 � 32
m.c.m.(12, 9) � 36
Por tanto, coincidirán cada 36 días.
Dos ruedas dentadas de un engranaje tienen 24 y 40 dientes, respectivamente.
Si acaban de coincidir los dientes, ¿cuándo volverán a coincidir?
Coincidirán cuando pasen los dientes dados por el m.c.m.(24 y 40)
Factorización de 24 � 8 � 3
Factorización de 40 � 8 � 5
m.c.m.(24, 40) � 8 � 3 � 5 � 120
Vueltas de la rueda mayor, 120 � 40 � 3
Vueltas de la rueda menor, 120 � 24 � 5
Un barco de pasajeros sale de un puerto cada 30 días, otro cada 40 días y un tercero cada 50 días. Sihoy salen a la vez del puerto, ¿cuándo volverán a salir juntos?
m.c.m.(30, 40, 50) � 600
Volverán a salir juntos dentro de 600 días.
En una carrera de motos, los tres primeros participantes tardan en dar una vuelta al circuito 100, 120y 130 segundos, respectivamente.
a) Si mantuvieran ese ritmo, ¿cuánto tiempo tardarían en pasar de nuevo los tres juntos por la línea demeta?
b) ¿Cuántas vueltas ha dado cada uno en ese tiempo?
a) m.c.m.(100, 120, 130) � 7 800 s
Volverán a pasar juntos por la línea de meta dentro de 7 800 s.
b) 1.er participante 78, 2.º participante 65 y 3.er participante 60
Los cuatro nietos de Ángela visitan a su abuela 6, 8, 9 y 12 días respectivamente.
a) Hoy han coincidido los cuatro. ¿Cuándo volverán a coincidir?
b) ¿Cuándo volverán a coincidir tres de ellos?
a) m.c.m.(6, 8, 9, 12) � 72
Volverán a coincidir los cuatro dentro de 72 días.
b) m.c.m.(6, 8, 9) � 72
Volverán a coincidir los tres dentro de 72 días.
1.38
1.37
1.36
1.35
1.34
1.33
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MATEMÁTICAS COTIDIANAS
P A R A A P L I C A R
Se quiere averiguar cuántas personas hay en una sesión de unos cines que cuentan con varias salas. Sesabe que la quinta parte del total más 10 personas están en la sala 1, que la séptima parte más 10 es-tán en la sala 2 y que la octava parte más 10 han comprado las entradas por internet.
a) Calcula el número total sabiendo que en el cine no caben más de 300 personas.
b) ¿Cuántas están en la sala 1?
a) El número total de personas debe ser múltiplo de 5, 7 y 8.
m.c.m.(5, 7, 8) � 280
b) En la sala 1 hay un quinto de 280 más 10, en total, 66 personas.
ACTIVIDADES FINALES
C Á L C U L O M E N T A L
Determina los divisores y escribe los dos múltiplos más pequeños de estos números.
a) 25 b) 32
a) 52 b) 25 m.c.m.(25, 32) = 800
Determina los divisores de estos números.
18 24 30
a) Escribe los dos múltiplos más pequeños de estos números.
b) ¿Cuáles son los divisores de los múltiplos anteriores?
a) 18 � 2 � 32 24 � 3 � 23 30 � 2 � 5 � 3
m.c.m.(18, 24, 30) � 360, por tanto, los dos múltiplos más pequeños son 360 y 720
b) Los divisores de los múltiplos anteriores son 18, 24 y 30.
Calcula los tres múltiplos más pequeños de estos números.
9 20 15
a) ¿Cuáles son los divisores de los múltiplos que has escrito?
b) ¿Qué propiedades cumplen?
Por ejemplo:
Múltiplos de 9: 9, 18, 27 Múltiplos de 20: 20, 40, 60 Múltiplos de 15: 15, 30, 45
a) y b) Los divisores de todos los múltiplos cumplen las propiedades que se indican en la sección Cálculo mental.
P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R
Decide si los siguientes números son primos o compuestos.
a) 252 c) 264 e) 113
b) 199 d) 170 f) 67
a) Se puede dividir por dos, es compuesto. d) Se puede dividir por 5, es compuesto.
b) Es primo. e) Es primo.
c) Se puede dividir por dos, es compuesto. f) Es primo.
1.43
1.42
1.41
1.40
1.39
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Factoriza los siguientes números utilizando los criterios de divisibilidad. Indica qué criterio utilizas encada caso.
a) 35 b) 77 c) 87 d) 56 e) 444 f) 1230a) 35 es divisible por 5, ya que termina en 5.
35 � 5 � 7b) 77 es divisible por 7, ya que cada una de las cifras es 7.
77 � 7 � 11d) 87 es divisible por 3, ya que la suma de sus cifras es divisible por 3.
87 � 3 � 29d) Se utiliza la divisibilidad por 2 en los tres pasos.
56 � 28 � 2 � 2 � 2 � 14 � 2 � 2 � 2 � 7 � 23 � 7e) En este ejercicio se utiliza la divisibilidad por 2 y 3.
444 � 2 � 222 � 2 � 2 � 111 � 22 � 3 � 37f) 1230 es divisible por 5, ya que termina en 0, también es divisible por dos por el mismo motivo.
1230 � 5 � 2 � 3 � 41
Halla el valor numérico de cada letra para que se cumplan las condiciones de cada apartado.a) 34A es divisible por 3 y 5.b) 25B es divisible por 2 y 3.c) 12C es divisible por 2 y 5.a) 34A: – Si es divisible por 5 tiene que terminar 0 o 5.
– Si es divisible por 3 la suma de sus cifras debe ser divisible por 3.– La solución es A � 5.– El número es 345.
b) 25B: – Si es divisible por 2, termina en cifra par.– Si es divisible por 3, la suma de las cifras es divisible por 3.– La solución es B � 2.– El número es 252.
c) 12C: – Si es divisible por 2, termina en cifra par.– Si es divisible por 5, termina en 0 ó 5.– La solución es C � 0.– El número es 120.
Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo en cada caso.a) 24 y 36 c) 30,120b) 25 y 125 d) 27, 36, 63a) m.c.d.(24, 36) � 12 m.c.m.(24, 36) � 72b) m.c.d.(25, 125) � 25 m.c.m.(25, 125) � 125c) m.c.d.(30,120) � 30 m.c.m.(30, 120) � 120d) m.c.d.(27, 36, 63) � 9 m.c.m.(27, 36, 63) � 756
Comprueba si las siguientes factorizaciones de los números son o no correctas. En caso negativo escribeel resultado correcto.a) 360 � 23 � 32 � 5 c) 2160 = 24 � 33 � 5b) 225 � 252 d) 2000 � 24 � 53
a) 360 � 23 � 32 � 5 c) 2 160 � 24 � 33 � 5b) 225 � 25 � 32 d) 2 000 � 24 � 53
A una reunión de Unicef asisten entre 100 y 110 alumnos. Se comprueba que se pueden sentar en me-sas de cuatro, pero si se agrupan en mesas de 5, sobra 1. ¿Cuántos asisten?Múltiplos de 4 a partir de 100: 100, 104, 108, 112, ... Múltiplos de 5 a partir de 100: 100, 105, 110, 115, ...El número de asistentes: 104.
Tres autobuses municipales coinciden en varias paradas y emplean en recorrer su ruta 26, 32 y 40 mi-nutos, respectivamente. Si en un momento están los tres en una parada, ¿cuánto volverán a coincidir enesa parada?m.c.m. (26, 32, 40) � 2080 min
1.49
1.48
1.47
1.46
1.45
1.44
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Tres excursionistas se llaman por el móvil para saber su situación; Eduardo lo hace aproximadamentecada 15 minutos, Marco cada 30 minutos y Jaime cada 45 minutos. Sí acaban de comunicarse los tres,¿cuándo realizarán la próxima llamada?
m.c.m.(15, 30, 45) � 90 min � 1,5 h
Las llamadas se realizan aproximadamente cada hora y media.
P A R A R E F O R Z A R
Sin hacer la división indica si 5445 es divisible por 2, 3, 5 y 11.
No es divisible por 2, ya que no termina en cifra par.
Es divisible por 3, ya que la suma de sus cifras es 18.
Es divisible por 5, ya que termina en 5.
Es divisible por 11, ya que la suma de las cifras de lugar par e impar es la misma.
Razona si los siguientes números son primos o compuestos.
a) 72 d) 75
b) 41 e) 47
c) 48 f) 29
a) Factorización de 72: 72 � 9 � 8, no es primo.
b) Factorización de 41: 41 � 1 � 41, es primo.
c) Factorización de 48: 48 � 7 � 7, no es primo.
d) Factorización de 75: 75 � 5 � 15, no es primo.
e) Factorización de 47: 47 � 1 � 47, es primo.
f) Factorización de 29: 29 � 1 � 29, es primo.
Calcula parejas de divisores de los siguientes números.
a) 75 e) 200
b) 28 f) 500
c) 13 g) 52
d) 144 h) 300
a) 75 y 5 e) 10 y 2
b) 2 y 4 f) 5 y 2
c) 13 y 1 g) 2 y 1
d) 12 y 2 h) 3 y 10
Realiza la descomposición factorial de estos números e indica si son primos o compuestos.
a) 19 d) 31
b) 72 e) 78
c) 57 f) 121
a) 19 � 19 � 1, primo d) 31 � 31 � 1, primo
b) 72 � 32 � 23, compuesto e) 78 � 13 � 2 � 3, compuesto
c) 57 � 57 � 1, primo f) 121 � 112, compuesto
Factoriza 48 y 144.
a) ¿Cuál es el máximo común divisor?
b) ¿Cuál es el mínimo común múltiplo?
Factorización de 48 � 2 � 2 � 2 � 2 � 3 � 24 � 3
Factorización de 144 � 2 � 2 � 2 � 2 � 3 � 3 � 24 � 32
a) Por tanto, 48 es divisor de 144.
m.c.d.(144, 48) � 24 � 3 � 48
b) Mínimo común múltiplo:
m.c.m.(144, 48) � 24 � 32 � 16 � 9 � 144
1.55
1.54
1.53
1.52
1.51
1.50
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Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos números.
a) 15, 45 y 360 b) 16, 24 y 64 c) 12, 45 y 93
a) m.c.d.(15, 45, 360 ) � 15 y m.c.m. � 360
b) m.c.d. � 8 y m.c.m. � 192
c) m.c.d. � 3 y m.c.m. � 5580
Los profesores de un centro escolar dividen a los participantes en unas olimpiadas en grupos de chicosy grupos de chicas iguales y lo más grandes posible.
Si participan 221 chicos y 255 chicas, ¿cuántos grupos hay de chicos? ¿Y de chicas?
Factorización de 221 � 13 � 17 y de 255 � 5 � 17 �3 m.c.d. � 17
Hay 13 grupos de chicos y 15 de chicas .
Una clase ha recogido cierta cantidad de monedas de 1 euro para una ONG. Al contarlas de 4 en 4, de5 en 5 y de 6 en 6 observan que cada vez les queda un resto de 2 euros.
¿Cuánto dinero han recogido si está comprendido entre 100 y 150?
m.c.m.(4, 5, 6) � 60
Múltiplos: 60, 120, 180
La cantidad de euros es: 122.
Un semillero mide 36 metros de largo y 24 de ancho. Se divide en cuadrados lo más grandes posiblepara sembrar las diferentes semillas.
¿Cuántos tipos de semillas se pueden sembrar?
Medidas del semillero: 36 m y 24 m
m.c.d.(36, 24) � 12
Las dimensiones de cuadrados: 12 m
Número de semilleros pequeños: 3 � 2 � 6
P A R A A M P L I A R
Todos los números capicúas con 6 cifras son divisibles por 11.
a) Comprueba esta propiedad con ejemplos.
b) Razona, en general, con el número abc cba.
a) Ejemplos: 123 321, 345 543, ...
b) Las cifras del número abc cba cumplen la condición: a � c � b � b � c � a
Por tanto, son divisibles por 11.
¿Cuál es el número más pequeño por el que hay que multiplicar al número 60 para obtener un númerocuadrado perfecto?
Utiliza la factorización de números.
Factorizamos: 60 � 22 � 3 � 5, para obtener un cuadrado perfecto debemos multiplicar por 15.
Los números siempre dan sorpresas.
a) Halla los divisores de 6, 28 y 496.
b) Suma para cada número sus divisores, excluido el número. ¿Qué número se obtiene?
a) Los divisores son: 6 � 1, 2 y 3, 28 � 1, 2, 4 y 7, 496 � 1, 2, 4, 8, 16, 62, 124, 248.
b) 1 � 2 � 3 � 6
1 � 2 � 4 � 7 � 14 � 28
1 � 2 � 4 � 8 � 16 � 31 � 62 � 124 � 248 � 496
La suma de los divisores distintos del número es igual al número.
Estos números se llaman números perfectos.
1.62
1.61
1.60
1.59
1.58
1.57
1.56
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El mínimo común múltiplo de 12 y 15 es 60 y el máximo común divisor es 3.
Comprueba si el producto de los números es igual al producto de su mínimo común múltiplo por su má-ximo común divisor.
Producto de los dos números: 12 � 15 � 180
Producto de m.c.m. y m.c.d.: 60 � 3 � 180
Los productos son iguales.
Si a � 32 y b � 46, comprueba que se cumple:
m.c.d.(a, b) � m.c.m.(a, b) � a � b.
m.c.d. � 2 m.c.m. � 736
El máximo común divisor de 48 y 72 es 24.
Aplicando la propiedad anterior, ¿cuál será el mínimo común múltiplo?
m.c.m. � 144
El mínimo común múltiplo de 12 y 45 es 180.
¿Cuál será el máximo común divisor?
m.c.d. � 3
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
Carrera ciclista
La tabla muestra la evolución de las carreras realizadas por tres ciclistas A, B y C al dar las tres prime-ras vueltas completas a un circuito.
Se supone que los tres seguirán dando las 20 vueltas que dura la carrera con la misma velocidad quehan llevado hasta ahora.
Calcula cuánto tiempo debe pasar desde el comienzo de la carrera hasta que los tres ciclistas vuelvan aencontrarse juntos en la meta. Calcula también cuántas vueltas completas al circuito ha dado cada unode los ciclistas en este momento.
El primer ciclista da una vuelta cada 60 s.
El segundo ciclista da una vuelta cada 40 s.
El tercer ciclista da una vuelta cada 30 s.
Como el m.c.m. de 60, 40 y 30 es 120, cada dos minutos los tres vuelven a estar en la meta. Al pasar dos minutos, A habrá dado2 vueltas, B tres vueltas y C habrá dado 4 vueltas.
1.67
1.66
1.65
1.64
1.63
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Correa de transmisión
En la figura aparecen dos ruedas unidas mediante una correa de transmisión.
La longitud de la rueda grande es de 252 centímetros, y la de la pequeña, de 168.Cuando la rueda pequeña haya dado 1200 vueltas exactas y completas, ¿habrá dado la rueda mayor al-gún número de vueltas completas? En caso positivo, indica dicho número exacto.
m.c.m.(252, 168) � 504
504 � 252 � 2 y 504 � 168 � 3 , es decir, cuando la rueda pequeña da tres vueltas completas, la mayor ha dado dos vueltasexactas y completas. Por tanto, cuando la rueda pequeña ha dado 1200 vueltas, la mayor ha dado 1200 � 3 � 2� 800 vueltasexactas.
A U T O E V A L U A C I Ó N
Razona si los siguientes números son primos o compuestos.
a) 32 454 c) 1726
b) 5973 d) 4230
a) Compuesto, al menos es divisible por 2. b) Compuesto, al menos es divisible por dos.
b) Compuesto, es divisible por 11. d) Compuesto, al menos es divisible por 5.
Comprueba si el número 24 � 33 � 52 � 74 es divisible por 22 � 32 � 72.
Expresa el resultado en forma factorial.
Sí. 22 � 3 � 52 � 72
Factoriza los siguientes números.
a) 96 c) 2000
b) 720 d) 3300
a) 2�2�2�2�2�3 c) 2�2�2�2�5�5�5
b) 2�2�2�2�5�3�3 d) 2�2�5�5�3�11
Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos números.
a) 39 y 104 b) 40 y 120
a) m.c. m. � 1 872 y m.c.d. � 3 b) m.c.m. 120 y m.c.d. � 40
¿Cuáles son el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números?
a) 4, 17 y 34 b) 12, 36 y 60
a) m.c.d. � no tienen. m.c.m. � 68
b) m.c.d. � 12 m.c.m. � 180
1.A5
1.A4
1.A3
1.A2
1.A1
1.68
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Los controles de Lengua castellana y Literatura se realizan cada 21 días, y los de Matemáticas, cada 28días. Si hoy coinciden, ¿cuándo volverán a coincidir ambas pruebas?
21 � 3 � 7 28 � 4 � 7 m.c.m.(21, 28) � 3 � 4 � 7 � 84
Coinciden cada 84 días.
Se quiere transportar 35 gatos y 45 conejos en cajas iguales de modo que el número de gatos y cone-jos en cada caja sea el mismo. Además deben transportarse en cajas distintas y cada una tiene que con-tener el mayor número posible de animales.
¿Cuántos animales se introducen en cada caja?
m.c.d.(35, 45) � 5
El número de animales en cada caja es 5.
El número de alumnos de segundo está comprendido entre 170 y 210.
¿Cuántos son si pueden clasificarse en grupos de 9, de 15 y de 18 alumnos?
m.c.m.(9, 15, 18) � 2 � 5 � 32 � 90
El número de alumnos debe ser múltiplo de 90.
Posibilidades: 90, 180, 270, 360, ...
Número comprendido en 170 y 210: 180
Número de alumnos: 180
Un grupo de excursionistas está formado por 78 chicos y 72 chicas.
a) Si se forman grupos iguales de chicos y chicas, ¿cuántos grupos se forman de chicos?
b) ¿Y de chicas?
Factorización de: 78 � 6 � 13 72 � 6 � 12 m.c.d.(78, 72) � 6
Grupos de chicos: 13 Grupos de chicas: 12
U N R I N C Ó N P A R A P E N S A R
Estamos jugando a Once en un montón. Cada jugador, en su turno, puede coger 1,2 ó 3 fichas. Ganael que retire la última. Encuentra una estrategia para ganar siempre.
Es posible ganar siempre en este juego. Para ello es necesario ser el jugador que comience la partida, retirar 3 fichas y a par-tir de ahí quitar siempre el complemento a 4 de las que retire nuestro oponente: si él quita 1, nosotros 3; si él quita 2, nos-otros 2; y si él quita 3, nosotros 1.
Para llegar a esta conclusión comenzamos por el final y analizamos las posiciones que nos llevan a ganar la partida.
Gana el que retira la última ficha. Como en cada movimiento se pueden retirar 1, 2 ó 3 fichas, el jugador que se encuentre alfinal con 1, 2 ó 3 fichas gana la partida. Esto nos lleva a que el jugador que se encuentra con 4 fichas ya ha perdido pues in-dependientemente del número de fichas que retire, dejará a su oponente en una posición ganadora.
Razonando de este modo, confeccionamos un listado con las posiciones que son “ganadoras” por llevarnos a la posición final,y las que son “perdedoras”.
Si los dos jugadores conocen las posiciones perdedoras, gana el juego el que empieza si quita 3. Entonces, el oponente se en-cuentra con 8 fichas que es una posición perdedora ya que, independientemente del número de fichas que retire, el jugador quecomenzó la partida puede volver a dejar 4 fichas en juego.
Así que gana el juego el que empieza, ya que siempre tiene posibilidad de dejar a su oponente en posiciones perdedoras, y portanto ganar el juego.
¿Qué ocurre si no nos toca empezar el juego y nuestro contrincante no conoce la estrategia ganadora? Pues que también po-demos ganar en cuanto consigamos colocarnos en una posición ganadora.
1.A9
1.A8
1.A7
1.A6
Posiciones ganadoras Posiciones perdedoras
N.º de fichas sobre el tablero 1, 2 ó 3 4
N.º de fichas sobre el tablero 5, 6 ó 7 8
N.º de fichas sobre el tablero 9, 10 ó 11
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