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UNIDAD

En esta unidad se presentan los trazados grficos fundamentales que pueden rea-lizarse con el uso exclusivo de la regla y el comps. Para conocer bien sus fundamen-tos geomtricos y sus relaciones se utilizarn estos tiles de dibujo en exclusiva. Noobstante, para aprender el manejo de la escuadra y el cartabn, que se usarn cuan-do las construcciones sean ms complejas, se incluye un apartado en el que se expli-ca grficamente cmo utilizarlas.

Las construcciones geomtricas constan de una ilustracin y un texto explicativoque incluye:

Ttulo. Datos. Secuencia de operaciones necesarias para su construccin. Justificacin del procedimiento utilizado.

Trazados grficos funda-

mentales en el plano

11. CONCEPTOS BSICOS SOBRE ELEMENTOS GEOMTRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1. Puntos, rectas y circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2. ngulos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3. ngulos en la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. TRAZADOS GRFICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1. Construcciones geomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. CONSTRUCCIONES FUNDAMENTALES. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO. . . . . . . . . . . . . 243.1. Mediatriz de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 243.2. Perpendicular a una recta en un punto de ella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3. Perpendicular a una recta desde un punto exterior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4. Paralela a una recta situada a una distancia dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5. Paralela a una recta por un punto exterior .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6. Paralela a una recta por un punto exterior. Mtodo de copia de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. CONSTRUCCIONES FUNDAMENTALES. OPERACIONES CON SEGMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1. Suma y diferencia de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2. Divisin de un segmento en un nmero entero de partes iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3. Producto de un segmento por un nmero fraccionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5. CONSTRUCCIONES FUNDAMENTALES. OPERACIONES CON NGULOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.1. Suma y diferencia de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2. Bisectriz de un ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.3. Divisin de un ngulo en 2 n partes iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.4. ngulos construibles con regla y comps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6. CONSTRUCCIONES CON ESCUADRA Y CARTABN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

N D I C E D E C O N T E N I D O S

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Ilustracin 1. Ejemplo de construccin geomtrica con el dibujo y la explicacin correspondiente

El mtodo de estudio recomendado consta de los siguientes pasos:

U Hacer una primera lectura de cada construccin geomtrica siguiendo su desarrollomediante el dibujo y las explicaciones del libro de texto.

U

Dibujar los datos y reproducir la construccin en hoja aparte.U Memorizar las construcciones de uso ms frecuente.

Los contenidos esenciales de esta Unidad son:

U Conceptos bsicos sobre puntos, rectas, ngulos y circunferencias.

U Relaciones entre ngulos y circunferencias.

U Construcciones geomtricas con regla y comps: operaciones elementales, construccio-nes fundamentales.

Operaciones elementales con reglay comps

Suma y resta desegmentos

Suma y resta dengulos

BisectrizMediatriz

Perpendicularidad y paralelismoProducto y divisin de un segmento

por un nmero fraccionarioConstrucciones fundamentales con regla y comps

Solucin

(trazo grueso)

Datos

(trazo de grosor medio)

Datos

(trazo de grosor medio)

Construccin

(trazo fino)

Paralela a una recta situada a una distancia dada.

Sea la recta s y sea m la distancia a la que queremos trazarle una paralela.

Se eligen dos segmentos AB y CD sobre la recta s y se construyen sus

mediatrices que cortarn a dicha recta en los puntos E y F. Con centro en los puntos E y

F y radio el segmento m se trazan dos arcos que cortarn a las mediatrices en los

puntos G y H.

La recta que pasa por los puntos G y H es una de las dos paralelas posibles.

m

s

m

sA B C D

E F

G H

Datos

Ttulo

Secuencia deoperaciones de laconstruccin

Solucin

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TRAZADOS GRFICOS FUNDAMENTALES EN EL PLANO

1UNIDAD

1. Conceptos bsicos sobre elementosgeomtricos

1.1. Puntos, rectas y circunferencias

El punto indica una posicin en el plano. Se dibuja con dos trazos perpendicu-lares y se nombra con letras maysculas (punto A).

La lnea recta es una sucesin infinita de puntos dispuestos en una misma direc-cin, estando dos puntos consecutivos infinitamente prximos y que puede recorrer-se en sentidos opuestos. Se nombra con letras minsculas (recta m) o haciendo refe-rencia a dos puntos de ella (recta CD).

El segmento es la porcin de recta comprendida entre dos puntos que llamamosextremos. Se dibuja indicando dichos extremos con trazos perpendiculares y se

nombra con una letra minscula que llevar una rayita encima ( ), o bien refirin-

donos a sus extremos ( ).La semirrecta es un segmento tal que uno de sus extremos es un punto cual-

quiera llamado origen y el otro est en el infinito. Se nombra indicando el origen yotro punto cualquiera, por este orden (semirrecta EF).

Rectas secantes son las que tienen un nico punto en comn.

Rectas paralelas son las que no tienen ningn punto en comn.

Rectas perpendiculares son las que se cortan formando un ngulo recto, esdecir un ngulo de noventa grados.

Lugar geomtrico es la forma que definen todos los puntos posibles que cum-plen una determinada condicin. As, los puntos P, Q, Rsituados a igual distanciadel punto O, definen el lugar geomtrico llamado circunferencia.

RS

d

Ilustracin 2. Punto, recta, segmento, semirrecta y su notacin

A C

D

m

R S

d

E

F

Punto A Recta CD, o r Segmento , o s Semirrecta EFRSecta m egmento d

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La circunferencia es el lugar geomtrico que definen los puntos que estn situa-dos a una distancia constante (radio) de un punto fijo (centro). Se nombra haciendoreferencia a su centro y a su radio (circunferencia de centro O y radio r), o medianteuna letra minscula (generalmente c1, c2, c3,...).

Un segmento que tenga por extremos dos puntos de la circunferencia ser unacuerda. Se le llamar dimetro si adems contiene al centro.

Un arco est formado por los puntos de la circunferencia comprendidos entre

dos concretos. Se nombra mediante una terna de puntos: los dos de los extremos yen medio otro cualquiera (arco STU diferente del SPU).

Una recta ser secante a la circunferencia si tiene dos puntos de contacto conella y tangente si slo tiene uno, llamadopunto de tangencia.

La recta perpendicular a la tangente en el punto de tangencia es la normal.

1.2. ngulosngulo es la porcin de plano limitada por dos semirrectas (lados del ngulo)

que comparten el mismo origen (vrtice del ngulo). El ngulo se nombra medianteuna letra mayscula en el vrtice, minscula en el interior (puede ser griega), omediante una terna de puntos formada por el origen, situado en el centro y un puntode cada lado.

m

n

pq

r

s

Rectas secantes Paralelas Perpendiculares

Circunferencia de centro O y radio r

Cuerda - Dimetro - Arco STU

La recta s es secante en los puntos S y U

La recta t es tangente en el punto de tangencia P

La recta n es la normal en el punto P

QR XR

P

Q

S

R

T

U

VW

X

O

t

n

s

r

Ilustracin 3. Conceptos bsicos sobre rectas y la circunferencia

ngulo AVB ngulo obtuso ngulo llano ngulo completo

Sentido positivo ngulo agudo ngulo recto+

< 90 90

> 90 180 360

B

A

V

ngulo

Ilustracin 4. Conceptos bsicos sobre ngulos

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1UNIDAD

Son ngulos yuxtapuestos aquellos que comparten un lado y un vrtice.

Dos ngulos son complementarios o suplementarios si el valor de su suma es90 180 respectivamente.

Dos rectas secantes dan lugar a cuatro ngulos, que tomados de dos en dos sellamarn adyacentes cuando, considerada una de las secantes, queden ambos enel mismo semiplano de los dos en que sta divide al plano. En el caso contrario reci-ben el nombre de opuestos por el vrtice.

Dos rectas paralelas cortadas por una secante dan lugar a ocho ngulos y ml-tiples parejas cuyas relaciones se definen en la Ilust. 5.

1.3. ngulos en la circunferencia

Un ngulo se relaciona con una circunferencia si sus dos lados la cortan, son tan-gentes, o bien, uno la corta y el otro es tangente, recibiendo distintos nombres segnel caso. (Ilust. 6)

El ngulo central tiene su vrtice en el centro de la circunferencia y su medidaes proporcional al arco abarcado. A cada ngulo relacionado con la circunferen-cia le corresponden tantos ngulos centrales como arcos interceptan sus lados y sumedida se obtiene en funcin de estos.

El vrtice del ngulo inscrito es un punto de la circunferencia, sus lados la cor-tan y su valor es la mitad del ngulo central que abarca el mismo arco.

Relaciones entre los ngulos

formados en las intersecciones

de dos rectas paralelas

y una secante

Yuxtapuestos Complementarios Suplementarios

, , , ,...

, , , ,...

(, ), (, ).

(, ), (, ).

(=), (=).........(=), (=).........

(=), (=),............

Externos

Internos

Adyacentes externos

A

Alternos externosAlternos internos

Correspondientes

dyacentes internos

Ilustracin 5

Efectivamente, si consideramos el ngulo inscrito AVC () y trazamos el di-metro VB, aquel quedar dividido en otros dos tambin inscritos y cuyasuma es + = .

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ngulo semiinscrito es el ngulo inscrito que tiene un lado tangente a la circun-ferencia.

El vrtice del ngulo interiores un punto interior a la circunferencia, y su valores la semisuma de los ngulos centrales que abarcan los mismos arcos que aqul ysus prolongaciones.

El tringulo VOA es issceles ya que ,

los ngulos de su base y son iguales y el ngulo

opuesto a la base es suplementario de

es decir, .1802 =+

=+ 2

radioAOVO ==

De estas dos ltimas expresiones se deduce que y razonando de manera

anloga ser y por tanto, y

el valor del ngulo inscrito en funcin del central correspondiente.2=

( ) = += += += 2222 = 2

= 2

A

V C

B

O

ngulo central ngulo inscrito ngulo semiinscrito

ngulo interior ngulo exterior ngulo circunscrito

=/2 =/2

=(+)/2 =()/2 =() =/2

Ilustracin 6

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1UNIDAD

El vrtice del ngulo exterior es un punto exterior a la circunferencia, y su valor

es la semidiferencia de los ngulos centrales que abarcan los mismos arcos queaquel.

El ngulo circunscrito es un ngulo exterior cuyos lados son tangentes a la cir-cunferencia.

Aplicacin

2. Trazados grficos

2.1. Construcciones geomtricasEl dibujo tcnico basa sus fundamentos en la geometra. Utiliza como herramien-

ta las construcciones geomtricas sistematizadas por primera vez por el matemticogriego Euclides (siglo III a. J. C.) en Los Elementos, donde se recogen numerososconocimientos de las primeras culturas sobre la medicin de tierras y la construccinde edificios.

El valor de los ngulos relacionados con lacircunferencia depende del ngulo centralcorrespondiente y es, por tanto, fcil de deducir

en los polgonos regulares de n lados ya queestos dividen a la circunferencia en n arcosiguales, siendo el valor del ngulo central queabarca un solo arco y el que abarca marcos .

El decgono regular estrellado divide lacircunferencia en 10 arcos iguales y el valordel ngulo central que abarca uno slo es

.

El valor del ngulo inscrito es la mitad desu central que abarca 4 arcos y, por tanto,

y .

El valor del ngulo interior es la semisuma de los centrales y que abarcan

5 y 1 arcos y por tanto

El valor del ngulo exterior es la semidiferencia de los centrales y , que

abarcan 3 y 1 arcos, as 36)361363(2/1)(2/1 ===

108)361365(2/1)(2/1 =+=+=

72)364(2/1 ==364=

3610/360 =

/n360m

/n360

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Una construccin geomtrica es la secuencia de operaciones que permiten

resolver grficamente un problema concreto (dividir un segmento o un ngulo en dospartes iguales, construir un tringulo dados sus tres lados,...). Algunas construccio-nes se pueden realizar con una simple regla (en realidad el borde recto de una car-tulina), para otras es preciso el uso de la regla y el comps, y en otros casos serequieren instrumentos especiales, como la plantilla trisectora de ngulos que se uti-liza para dividir un ngulo en tres partes iguales. Los profesionales que usan el dibu-jo tcnico utilizan plantillas como la escuadra y el cartabn para simplificar los traza-dos.

Las construcciones grficas fundamentales se ocupan de las primeras rela-ciones entre los elementos geomtricos, es decir, perpendicularidad, paralelismo y

operaciones con segmentos y ngulos. Los nicos instrumentos que se utilizan pararealizarlas son: el borde de una regla sin graduacin y un comps.

2.2. Operaciones elementales

Las construcciones fundamentales se basan en las siete operaciones elemen-tales que recoge el autor Puig Adam en su Curso de geometra mtrica, cuatro delas cuales tienen por finalidad el dibujo de un elemento:

Trazado de una recta por dos puntos.

Trazado de una circunferencia de centro y radio dado.

Transporte de un segmento.

Transporte de un ngulo.

Y las otras tres postulan la posibilidad de obtener el punto de interseccin derectas y circunferencias entre s.

De las primeras nos serviremos para establecer las condiciones que deben cum-plirse para poder trazar una recta o un arco con regla y comps:

Slo podemos dibujar una lnea recta cuando hayamos obtenido dos de sus puntos.

Para poder trazar un arco de circunferencia necesitamos conocer su centro y su radio.

Por ltimo, se detalla a continuacin (Ilust. 7) cmo se realiza el transporte de unsegmento y de un ngulo.

A B E F G H

I J

m

Ilustracin 7

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1UNIDAD

Sea el segmento que se desea transportar sobre una semirrecta a partir de

su origen A. Se traza un arco con centro en A y radio que cortar a la semirrecta

en el punto B, siendo el segmento transportado.

Sea el ngulo que se desea transportar a partir de la semirrecta cuyo origenes el punto G. Con centro en los puntos E y G se trazan dos arcos de igual radio quecortarn a los lados del ngulo en los puntos F e I y a la semirrecta en el punto H.

Con centro en el punto H y radio se traza un arco que cortar al anterior en elpunto J. El ngulo HGJ () es el ngulo transportado.

3. Construcciones fundamentales.Perpendicularidad y paralelismo

3.1. Mediatriz de un segmentoLa mediatriz de un segmento es la perpendicular a ste que lo divide en dos par-

tes iguales. Tambin podemos definirla como el lugar geomtrico de los puntos queequidistan de los extremos de un segmento. De ah la construccin de la Ilust. 8.

Sea el segmento .

Con centro en los puntos A y B y radio mayor que la mitad del segmento traza-mos dos arcos que se cortan en los puntos C y D. La recta que pasa por los puntos

C y D es la mediatriz del segmento .AB

AB

FI

mAB

m

m

BB AA

C

D

Ilustracin 8

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3.2. Perpendicular a una recta en un punto de ella

Sea la recta s y un punto de esta P (Ilust. 9).

Con centro en el punto P y radio cualquiera se trazan dos arcos a ambos lados

de la recta s que la cortarn en los puntos A y B. La mediatriz del segmento esla perpendicular pedida.

3.3. Perpendicular a una recta desde unpunto exterior

Sea la recta s y un punto exterior P (Ilust. 10).

Con centro en el punto P y radio cualquiera se traza un arco que cortar a larecta s en los puntos A y B. La mediatriz del segmento es la perpendicularpedida.

AB

AB

BA

C

D

P Pss

Ilustracin 9

BA

C

s s

PP

Ilustracin 10

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3.4. Paralela a una recta situada a unadistancia dada

Sea s la recta y m la distancia a la que se desea trazar una paralela (Ilust. 11).

Se eligen dos segmentos y sobre la recta s y se construyen sus media-trices, que cortarn a dicha recta en los puntos E y F. Con centro en los puntos E yF y radio m se trazan dos arcos, que cortarn a las mediatrices en los puntos G y H.La recta que pasa por los puntos G y H es una de las dos soluciones posibles.

Efectivamente, como la distancia entre dos rectas paralelas se mide sobre la per-

pendicular comn a ambas, se trazan dos rectas perpendiculares a la recta s (lasmediatrices) y sobre ellas se transporta la distancia m, determinando as dos puntosde la solucin.

3.5. Paralela a una recta por un puntoexterior


Se traza la perpendicular a la recta s que pasa por el punto P y que corta a dicha

recta en el punto E. Se elige un segmento en la recta s y se construye su media-

triz, que cortar a dicha recta en el punto F. Con centro en F y radio se traza unarco que cortar a la mediatriz en el punto G. La recta que pasa por los puntos P yG es la paralela pedida.

EP

CD

CDAB

m

s

m

sA B C D

E F

G H

Ilustracin 11

sA B C D

F

GP P

sE

Ilustracin 12

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3.6. Paralela a una recta por un punto exterior.Mtodo de copia de ngulos


Con centro en P y radio cualquiera se traza un arco que corta a la recta s en elpunto A. Con centro en A y el mismo radio se traza otro arco que cortar a la recta s

en el punto B. Con centro en A y radio se traza otro arco que cortar al primeroen el punto C. La recta PC es la paralela pedida.

Este mtodo se fundamenta en el procedimiento para transportar ngulos.Consiste en la copia del ngulo PAB para obtener el ngulo APC, del cual su lado PC

es la paralela buscada. Efectivamente, los ngulos PAB y APC son alternos internosy por tanto iguales.

4. Construcciones fundamentales.Operaciones con segmentos

4.1. Suma y diferencia de segmentos

Sean los segmentosa yb (Ilust. 14).

Para obtener el segmentoa +b se transportan los segmentosa yb, conse-

cutivamente y en cualquier orden, a partir del origen P de una semirrecta, obtenin-

dose el segmento .baPR +=

PB

s

P P

sAB

C

Ilustracin 13

P P

a b+

b - a

Q R QR

a

a

a

b b

b

Ilustracin 14

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1UNIDAD

Para obtener el segmentob -a se transportarn los dos segmentosa yb

superpuestos a partir del origen P de la semirrecta, el segmento no comn aambos ser la diferencia.

4.2. Divisin de un segmento en un nmeroentero de partes iguales

El caso general plantea la divisin en n partes, pero para la comprensin de la

construccin es preferible ceirse a un caso concreto.

Sea el segmento que va a ser dividido en un nmero entero n = 5 partesiguales (Ilust. 15).

Se traza una semirrecta con origen en el punto A que forme un ngulo cualquie-

ra con . Sobre ella y a partir del punto A transportamos 5 veces un segmentocualquiera, mediante arcos de circunferencia sucesivos, obteniendo los puntos C, D,E, F, G. Trazamos una lnea recta por los puntos G y B y a continuacin una parale-

la a ella por el punto F, que cortar a en el punto H.

El segmento es la quinta parte del segmento dado.HB

AB

AB

AB

RQ

BB AA

C

E

F

G

H

AB/ 5

IJK

Ilustracin 15

La justificacin del procedimiento se basaen el teorema de Thales que dice: "lossegmentos interceptados sobre dos rec-tas cualesquiera por un sistema de para-lelas son proporcionales".

En esta construccin trazamos segmen-

tos , , , , , igualespor lo que tambin lo sern los intercepta-dos en el segmento .AB

FGEFDECDAC

BA

C

E

F

G

HIJK

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4.3. Producto de un segmento por un nmerofraccionarioAunque el caso general plantea el producto de un segmento por a/b donde a y b

son nmeros enteros, tomaremos a/b = 3/7 en esta construccin.

Sea el segmento cuyos productos sucesivos y se deseaobtener (Ilust. 16).

Se transporta el segmento sobre una semirrecta tres veces consecutivas a

partir de su origen, obteniendo .

Se divide el segmento en siete partes iguales, una de las cuales ser el

producto .

5. Construcciones fundamentales.Operaciones con ngulos

5.1. Suma y diferencia de ngulos

m73

m3

m3

m

m73 m3 m

3 x m 3/7 x m

m

mm

Ilustracin 16

A B

C

D E

F

G H

I

J

+

K L

M

N

Ilustracin 17

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1UNIDAD

Sean los ngulos y (Ilust. 17).

Para construir el ngulo + se transportan, a partir de la semirrecta GH y ensentido positivo, los ngulos y de modo que queden yuxtapuestos.

Para construir el ngulo se transporta el ngulo mayor a partir de la semi-rrecta KL en sentido positivo, determinando as el ngulo LKM. Despus se transpor-ta el ngulo a partir de la semirrecta KM en sentido negativo, determinando el ngu-lo NKM. El ngulo LKN ser la diferencia.

5.2. Bisectriz de un nguloLa bisectriz de un ngulo es la lnea recta que lo divide en dos partes iguales.

Tambin se puede definir la bisectriz como el lugar geomtrico de los puntos queequidistan de los lados del ngulo, de ah la construccin:

Sea el ngulo BAC (Ilust. 18).

Con centro en el punto A se traza un arco de radio cualquiera que corta a loslados del ngulo en los puntos E y D. Con centro en los puntos E y D se trazan dosarcos de igual radio que se cortan en l punto F. La semirrecta AF es la bisectriz.

5.3. Divisin de un ngulo en 2 n partes iguales

A B

C

A B

C

D

E

F

Ilustracin 18

Ilustracin 19

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Sea el ngulo BAC (Ilust. 19).

Al trazar la bisectriz AD quedar dividido en 2 partes iguales. Si se trazan ahoralas bisectrices de los ngulos BAD y DAC se habr dividido el ngulo BAC en 4 par-tes iguales. Otras cuatro bisectrices lo dividirn en 8 partes iguales y as sucesiva-mente.

5.4. ngulos construibles con regla y compsEs posible construir el ngulo de 90 y el de 60 y a partir de ellos obtener los

ngulos que resultan de dividirlos por 2n

. Sumando y restando estos ngulos se pue-den construir muchos ms, algunos de los cuales se recogen en la figura (Ilust. 20).

La construccin del ngulo de 90 a partir de la semirrecta AB, se realiza prolon-gndola y trazando dos arcos de igual radio que determinen sobre ella el segmentoCD, del cual, el punto Aes su punto medio. La mediatriz de dicho segmento es el otrolado del ngulo.

Para construir el ngulo de 60 a partir de la semirrecta EF, se traza un arco deradio cualquiera que la corta en el punto G y con centro en G otro arco de igual radio,

que cortar al anterior en el punto H. La semirrecta EH es el otro lado del ngulo.Efectivamente, el tringulo EGH es equiltero y su ngulo GEH de 60.

Construccin sucesiva de los ngulos de 90, 45, 22,5

90

45

22,5

60

30

120

15

90

Construccin sucesiva de los ngulos de 60, 30, 120, 15, 90

A B

FE G

H

C D

Ilustracin 20

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1UNIDAD

6. Construcciones con escuadra ycartabnEn las figuras recogidas en la Ilust. 21 y en la Ilust. 22 se detallan procedimien-

tos de uso de la escuadra y el cartabn.

15 3045

75

60

105

Ilustracin 21 Construccin de ngulos con escuadra y cartabn

P

P

r

r

P

P

r

r

P

P

r

r

Ilustracin 22 Construccin de una perpendicular y de una paralela a la recta r en el punto P con escuadra y cartabn

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R e c u e r d a

Lugar geomtrico es la forma que definen todos los puntos posibles que cumplen unadeterminada condicin.

Los ngulos que tienen su vrtice en una circunferencia y sus lados secantes o tangentesa ella se llaman inscritos y su valor es la mitad del central que abarca el mismo arco.

Las operaciones elementales con regla y comps (trazar una recta que pase por dospuntos y una circunferencia de centro y radio dado, transporte de un segmento y deun ngulo) son la base de las construcciones fundamentales y en primer lugar de laconstruccin de la mediatriz y la bisectriz.

7/24/2019 Ud_01

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1UNIDAD

A c t i v i d a d e s

1. Cul es el lugar geomtrico de los pun-tos equidistantes de dos rectas secantesa y b? Investigarlo y dibujarlo con regla ycomps sobre los datos dados.

2. Cul es el lugar geomtrico de los pun-tos situados a una distancia d de la rectam? Investigarlo y dibujarlo con regla ycomps sobre los datos dados.

a

b

d

m

3. Deducir razonadamente el valor de losngulos , , , en el trapecio.Dibujarlo con regla y comps a partir dellado AB cuya longitud se da.

4. Deducir el valor del ngulo que formanlos lados del enegono regular.

A B

22,54560

A B

C

D

5. Deducir razonadamente el valor de lassumas ( +) y ( + ) de los ngulosopuestos del cuadriltero inscrito de la

figura.

6. Dado el segmento obtener el segmen-

to sabiendo que este producto se

puede descomponer en la suma de los pro-

ductos .( ) aa +10

62

a6,2

a

a

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