UDEC- Sistemas de Control vii [Modo de compatibilidad]eespinosa/cap7.pdfimplementación para este compensador se muestra en la figura 7.2(a), donde se encuentra que ... enunciar un

PLEV 2010

Diseño y Compensación de Sistemas de Diseño y Compensación de Sistemas de ControlControlControlControl

M.Sc. Javier A. Muñoz V. Eduardo E. Espinosa N.Ingeniero Civil Electrónico Ingeniero Civil Electrón ico

[email protected] [email protected]

Javier Muñoz V.Eduardo Espinosa N.

Universidad de ConcepciónDepartamento de ingeniería Eléctrica

PLEV 2010Contenido del CapituloContenido del CapituloDiseño y Compensación de Sistemas de ControlDiseño y Compensación de Sistemas de Control

I. Introducción

II. Compensación en Adelanto para Sistemas Continuos .II. Compensación en Adelanto para Sistemas Continuos .

III. Compensación en Atraso para Sistemas Continuos.

IV. Compensación con Redes de Primer Orden Discretas .IV. Compensación con Redes de Primer Orden Discretas .

V. Compensación Adelanto - Atraso.

VI. Compensador P.I.D. Análogo.

VII. Compensador P.I.D. Discreto.


- 2 -Universidad de ConcepciónDepartamento de ingeniería Eléctrica

PLEV 2010IntroducciónIntroducción

Los análisis y herramientas desarrollados hasta aquí son útiles para determinar el

controlador a utilizar en un esquema realimentado. Como se ha indicado, el controlador

deberá asegurar características estáticas (error en estado estacionario, etc.) y

dinámicas (sobrepaso, tiempo de asentamiento, etc.). En este capítulo, se estudiarándinámicas (sobrepaso, tiempo de asentamiento, etc.). En este capítulo, se estudiarán

las redes más difundidas como son las de adelanto, atraso y PID (continuos y discretos)

incluyendo el diseño de todas y cada una de sus componentes.incluyendo el diseño de todas y cada una de sus componentes.



PLEV 2010IntroducciónIntroducciónLa estructura a estudiar se presenta en la Fig. 7.1, en donde deberá determinarse el tipo deLa estructura a estudiar se presenta en la Fig. 7.1, en donde deberá determinarse el tipo de

controlador o combinación de ellos y los parámetros de éste, para cumplir con requerimientos talescomo,

- Cero error en estado estacionario (yo = ydo),- Estabilidad ( |y(t)| ≤ ∞ , ∀ t ≥ 0),- Estabilidad ( |y(t)| ≤ ∞ , ∀ t ≥ 0),- Seguimiento ( yd(t) - y(t) = 0),- Regulación ( y(t) → yd(t) ),- Características dinámicas (sobrepaso, tiempo de asentamiento, margen de fase, de- Características dinámicas (sobrepaso, tiempo de asentamiento, margen de fase, de

ganancia,...)- etc.en plantas del tipo lineales, invariantes en el tiempo, continuas o discretas y/o híbridas, y SISO.

Fig. 7.1. Sistemas en L:C. a estudiar.



Fig. 7.1. Sistemas en L:C. a estudiar.

PLEV 2010IntroducciónIntroducción

La estructura del compensador podrá ser una red de adelanto, red de atraso, una combinaciónLa estructura del compensador podrá ser una red de adelanto, red de atraso, una combinación

adelanto-atraso o un P.I.D.. La mayor diferencia entre los compensadores es que a excepción del

compensador P.I.D., todos son compensadores de primer orden. Como herramientas de análisis ycompensador P.I.D., todos son compensadores de primer orden. Como herramientas de análisis y

diseño se emplearán el L.G.R., Diagrama de Bode, y Nyquist.



PLEV 2010Compensación en Adelanto para Sistemas Continuos.Compensación en Adelanto para Sistemas Continuos.

El compensador es del tipo:

, ,donde( ) 1 1

1 1

c cc c c

sT s Th s k k

T s s Tα

α α+ += =

+ +debe cumplirse que el parámetro α esté en el

rango 0 < α < 1. Una alternativa de

( )1 1

c c c

c c

h s k kT s s T

αα α

= =+ +

implementación para este compensador se

muestra en la figura 7.2(a), donde se

( )encuentra que

, por lo tanto, Tc=R1C1, α= (R2C2)/(R1C1),

( ) ( )( )

4 2 1 1

3 1 2 2

1

1

o

c

i

e s R R RC sh s

e s R R R C s

+= =+

kc=(R4C1)/(R3C2)

Fig. 7.2. Red de adelanto; (a) Circuito (b) L.G:R.



Fig. 7.2. Red de adelanto; (a) Circuito (b) L.G:R.(c) Nyquist, (d)(e) Bode.


Características del Compensador en Adelanto

El L.G.R. del compensador, Fig. 7.2(b), indica un cero en s=-1/Tc y un polo en s=-1/(αTc), del( ) 1ch s s T+=Nyquist de ,Fig 7.2 (c), se aprecia que la máxima fase φm cumple con la

expresión , por lo que, y del bode, Fig 7.2(d) y (e), se obtiene

( ) 1

1

c c

c c

h s s T

k s Tα+=

+( )( )1 2 1

sin1 2 1

m

α αφα α

− −= =+ +

1 sin

1 sin

m

m

φαφ

−=+

1 1 1 1que , por lo que . Con estos antecedentes se puede

enunciar un procedimiento para el diseño de una red de adelanto.

( ) m

1 1 1log log log

2m

c cT Tω

α

= +

1m

cTω

α=




Técnicas de Compensación de Adelanto Basadas en el L.G.R.

El procedimiento es el siguiente:

1.- Enumerar las especificaciones solicitadas a la respuesta del sistema en el tiempo. Traducir1.- Enumerar las especificaciones solicitadas a la respuesta del sistema en el tiempo. Traducir

éstas a una ubicación deseada para los polos dominantes.

2.- Dibujar el L.G.R. del sistema no compensado y determinar si es posible que la ganancia lleve

los polos del sistema en L.C. a la ubicación deseada.

3.- Si el compensador es necesario, colocar el cero de la red de adelanto bajo la ubicación de

los polos en L.C. deseadas.los polos en L.C. deseadas.

4.- Determinar la ubicación del polo restante de manera que cumpla con la condición de ángulo.

5.- Calcular la ganancia del sistema en L.D. y así determinar la ganancia del controlador.

Calcular la ganancia de error estático que corresponda (kp, kv, ó ka).

6.- Si la ganancia de error estático fue especificada y no se cumple, ubicar el cero más a la

izquierda del punto original del compensador y volver a 4.



izquierda del punto original del compensador y volver a 4.


Ejemplo 36

Se tiene: y se desea ξ=0.45 y ξωn=4 → ts=1 seg y kv=15

Al utilizar una realimentación unitaria con ganancia k, no se consigue llevar las raíces al lugar( )

1

2gr

s s=

+Al utilizar una realimentación unitaria con ganancia k, no se consigue llevar las raíces al lugar

deseado. Por lo tanto se propone una red de adelanto.

Paso 1.

ξ=0.45 y ξωn=4 →s1,2=-4+-7.93j

Paso 2.

Dibujar L.G.R del sistema no compensadoDibujar L.G.R del sistema no compensado




Ejemplo 36Ejemplo 36

Se tiene: y se desea ξ=0.45 y ξωn=4

Paso 3.( )

1

2gr

s s=

+

Indica que 1/Tc =4

Paso 4.

Condición de ángulo. 180º 49.11ºφ φ φ φ φ+ + − = − ⇒ =Condición de ángulo. 1 2 3 1 3180º 49.11ºp p p z pφ φ φ φ φ+ + − = − ⇒ =

3

3

7.93 7.93tan 4 10.86

4 tanp

p

xx

φφ

= ⇒ = + =−

Resumiendo, 1/(αTc)=10.86, Tc=0.25, α=0.368, la ganancia es

( )( ) ( )1 10.48

2 8.88·8.17 95.87c

c

s Tk s s

α+= + = =

Con lo que por lo que el diseño es correcto.

( ) ( )4 7.93

2 8.88·8.17 95.871 7.93

c

c s j

k s ss T

=− +

= + = =+

( )0

95.47·417.65

10.86·2v

sk lím sgr s

→= = =




Técnicas de Compensación de Adelanto Basadas en el Diagrama de Bode .Técnicas de Compensación de Adelanto Basadas en el Diagrama de Bode .

Esta técnica se justifica en el caso de tener sistemas con retardo, en cuyo caso el uso del

L.G.R. pasaría indeclinablemente por una aproximación de éste. El procedimiento es el siguiente:

1. Dibujar el diagrama de Bode para gr(s) con una ganancia tal que se satisfagan las condiciones

de error en S.S.

2. En el bode (1) determinar el M.F. del sistema no compensado. Calcular la fase necesaria a2. En el bode (1) determinar el M.F. del sistema no compensado. Calcular la fase necesaria a

introducir por el compensador, Φm. Agregar de un 10% a 30% como seguridad.

3. Utilizando determinar1

sin ,1

m

αφα

−=+

1 sin.

1 sin

mφαφ

−=+

4. Calcular la ganancia necesaria h(dB)=10 logα.

5. Ubicar en el Bode de (1) la frecuencia ωm a la cual la atenuación es de h(dB) y utilizando

ω =1/√αTc determinar Tc.

1m α+ .

1 sin m

αφ

=+

ωm=1/√αTc determinar Tc.

6. Dibujar el bode compensado, si las condiciones no se cumplen volver a (2) y utilizar otro margen

de seguridad.



de seguridad.


Ejemplo 37

Se tiene: y se pide ess <10% para entrada rampa y un M.F.>30º.

Paso 1.

( ) ( )( )1 20

kg s

s s s=

+ +Paso 1.

Como se desea ess = 1/(k/20)=0.1, entonces k=200.

Paso 2 y 3 20

Bode DiagramGm = 6.44 dB (at 4.47 rad/sec) , Pm = 9.35 deg (at 3.07 rad/sec)

MF aprox. 10º, por lo tanto,

Φm=20º+8º=28º. Luego α=0.361.-20

-10

0

10

Mag

nitu

de (

dB)

Paso 4.

H(db)=10 log α=-4.34

Paso 5.

-30

-20

-180

-135

Pha

se (

deg)

Paso 5.

ωm=4.05 y por lo tanto Tc=0.406.

Se hace notar que 200=200·Kc·α → Kc=2.71Bode sistema sin compensar

100

101

-225P

hase

(de

g)

Frequency (rad/sec)



Bode sistema sin compensar

PLEV 2010Compensación en Atraso para Sistemas Continuos.Compensación en Atraso para Sistemas Continuos.

El compensador es del tipo:El compensador es del tipo:

donde debe cumplirse que el parámetro

( ) 1 1

1 1

c cc c c

c c

sT s Th s k k

T s s Tα

α α+ += =

+ +donde debe cumplirse que el parámetro

α>1. Una alternativa de implementación para

este compensador se muestra en la figura

7.3 (a), donde se encuentra que7.3 (a), donde se encuentra que

( ) ( )( )

4 2 1 1

3 1 2 2

1,

1

o

c

i

e s R R RC sh s

e s R R R C s

+= =+

2 2 4 11 1

1 1 3 2

con ,c c

R C R CT RC y k

RC R Cα= = =

Fig. 7.3 Red de Atraso; (a) Circuito,



Fig. 7.3 Red de Atraso; (a) Circuito, (b) L.G.R.,(c) Bode.


A. Características del Compensador en Atraso .A. Características del Compensador en Atraso .

El L.G.R. del compensador, Fig 7.3(b), indica un cero en s=-1/Tc y un polo en s=-1/αTc, del

( )h s +Nyquist de , Fig 7.3 (c), se aprecia que la máxima fase Φm cumple con la

expresión , por lo que (con Φm<0) y del bode, Fig 7.3 (d) y

( ) 1

1

c c

c c

h s s T

k s Tα+=

+( )( )

1 2 1sin

1 2 1m

α αφα α

− −= =+ +

1 sin

1 sin

mφαφ

−=+

expresión , por lo que (con Φm<0) y del bode, Fig 7.3 (d) y

(e), se obtiene que por lo que, . Con estos antecedentes

( )sin

1 2 1mφ

α α= =

+ + 1 sin m

αφ

=+

1 1 1log log log

2m

c cT Tω

α

= +

1m

cTω

α=

se puede enunciar un procedimiento para el diseño de una red de atraso.




B. Técnicas de Compensación para la Red de Atraso Utilizando L.G.R.B. Técnicas de Compensación para la Red de Atraso Utilizando L.G.R.

El procedimiento es el siguiente:

1.- Dibujar el L.G.R. para el sistema no compensado.1.- Dibujar el L.G.R. para el sistema no compensado.

2.- Del comportamiento transitorio determinar la ubicación deseada de los polos en L.C. Si el

sistema no pasa por el lugar deseado se deberá emplear otra red de compensación para que así

sea (p. ej. red de adelanto).sea (p. ej. red de adelanto).

3.- Determinar la ganancia necesaria para obtener las raíces en el lugar deseado. Calcular la

constante de error estático.

4.-Si la constante de error estático no es suficiente, calcular el factor en que debe ser

aumentada. Este factor también corresponde al factor α.

5.- Para asegurar que las raíces no se vean afectadas por el cero y polo del compensador, el5.- Para asegurar que las raíces no se vean afectadas por el cero y polo del compensador, el

aporte neto de ángulo entre éstos debe ser menor a 5º. Es decir, | Φz comp-Φp comp|<5º.




Ejemplo 38

Se tiene: del cual se desea tener ξ=0.45 y kv=7, diseñe un compensador

en atraso.

( ) ( )( )1 5

kg s

s s s=

+ +en atraso.

Paso 1.Root Locus

2

3 System: sysGain: 4.16Pole: -0.398 + 0.797iDamping: 0.447Overshoot (%): 20.8

Imag

inar

y A

xis

-2

-1

0

1Frequency (rad/sec): 0.891

Paso 2 y 3 LGR sistema sin compensar.Real Axis

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

-3

-2

Paso 2 y 3

Kv=7, como0

lim 7 355

vs

kk sgr k

→= = = ⇒ =




Ejemplo 38

Sin embargo, el polinomio característico es y el polinomio( )( )2 3 25 6 5k s s s s s s k+ + + = + + +

deseado es

, igualando

términos se tiene que, , por lo que

( )( ) ( )( )2 2 2 22 , con 0.45, por lo que, 0.9 ...n n n ns s s a s s s aξω ω ξ ω ω+ + + = + + + =

( ) ( )3 2 2 2 2 3 2 2 2... 0.9 0.9 0.9 0.9n n n n n n n ns as s as s a s s a s a aω ω ω ω ω ω ω ω= + + + + + = + + + + +

( ) ( )2 20.9 6, 0.9 5,a a a kω ω ω ω+ = + = =términos se tiene que, , por lo que

y entonces

. Con estos resultados se tiene que kv=k/5=4.183/5=0.8366=kv N-C

( ) ( )2 20.9 6, 0.9 5,n n n na a a kω ω ω ω+ = + = =

( )( )2 2 26 0.9 , 5 0.9 6 0.9 5.4 0.81 , donde 0.8976,n n n n n n n na ω ω ω ω ω ω ω ω= − = − + = + − =

5.192, 0.4, 4.183na kξω= = = v v N-C

α=kv C-C / kv N-C = 8.37.

Sea Tc=10, por lo que 1/Tc=0.1, 1/αTc=0.012,

n

( )( ) ( )( )1 190º 0.4 0.012 0.8 115.87º 90º 0.4 0.01 0.8 110.55º

5.31º

p comp z comp

p comp z comp

tg tgφ φφ φ

− −= + − = = + − =

− =




Ejemplo 38

En caso que los 5º deban ser exactos, se puede utilizar la siguiente expresión.

1 1T Tξω α ξω − −

Entonces,

1 1

2 2

1 15º º

1 1

n c n c

n n

T Ttg tg

ξω α ξωω ξ ω ξ

− − − − = − = ∆

− −

{ } ( ) ( ){ }{ } ( ) ( ){ }2 2 2· º· 1 º 1 1 º 0

10.56

0.0947Finalmente en el compensador es

c n c n n

c

T tg T tg tg

T

s

α ω ξω α ω ξ α∆ − + ∆ + − − + ∆ =

=+ 0.0947

Finalmente en el compensador es0.0113

s

s

++




C. Técnica de Compensación para la Red de Atraso Utilizando el Diagrama de BodeC. Técnica de Compensación para la Red de Atraso Utilizando el Diagrama de Bode

Al igual que en la red de adelanto, este procedimiento se justifica en el caso de tener sistemas

con retardo, en donde la utilización del L.G.R. como herramienta de diseño pasaría

ineludiblemente por simplificaciones. El procedimiento es el siguiente:

1.- Dibujar el Bode del sistema sin compensador pero con la ganancia ajustada de manera de

cumplir con la premisa del coeficiente de error estático, de donde se obtiene k α ≥ 1.cumplir con la premisa del coeficiente de error estático, de donde se obtiene kcα ≥ 1.

2.- Determinar el M.F. del sistema. Si no es suficiente, proceder de acuerdo a lo siguiente.

3.- Determinar del gráfico la frecuencia (ωg’) a la cual se generaría un M.F. igual al deseado másg

5º.

4.- Colocar el cero del compensador una década por debajo de ωg’, es decir, 1/Tc = ωg’/10.

5.- Medir la atenuación necesaria en ω ’ y obtener kc de 20 log α= | gr(j ω ’)|.5.- Medir la atenuación necesaria en ωg’ y obtener kc de 20 log α= | gr(j ωg’)|.





Se tiene a y se desea un M.F.>45º y un ess para entrada rampa normalizada

< 0.01.

( ) ( )2500

25gr s

s s=

+

(1)Se desea

(2)El nuevo sistema tiene un M.F =28º que no es suficiente por lo que se prosigue con el diseño.

1 1 2500lim 100 1

0.01 25v c c c

ss

k k k ke

α α α= = = = ⇒ = ( ) ( ) ( ) ( )2500 2500 100

'25 25 0.04 1

cgr s ks s s s s s

α= = =+ + +

(2)El nuevo sistema tiene un M.Fs-c=28º que no es suficiente por lo que se prosigue con el diseño.





Se tiene a y se desea un M.F.>45º y un ess para entrada rampa normalizada

< 0.01.

( ) ( )2500

25gr s

s s=

+

(1)ωg’=21 (4) 1/Tc =ωg’/10 → Tc =0.47

(5) 20 log α= 14 dB, α=3.98 →kc=0.25, por lo que el compensador es… ( ) 2.10.25

0.52c

sh s

s

+=+

(5) 20 log α= 14 dB, α=3.98 →kc=0.25, por lo que el compensador es… ( ) 0.250.52

ch ss

=+



PLEV 2010Compensación con Redes de Primer Orden Discretas.Compensación con Redes de Primer Orden Discretas.

Para continuar con la dualidad de las redes de primer orden continuas, se propone también

estudiar la red de primer orden discreta del tipo . No es conveniente clasificar la( ) 1

1

cc c

c

z Th z k

z Tα+=

+red discreta en adelanto o atraso puesto que el signo de T y α pueden ser negativos y/o positivos,

lo que dificulta la percepción de aporte de fase. Es importante recordar la aparición de un retardo

producto de la implementación digital de este controlador, el que debe ser considerado a la hora de

su diseño. En este caso sólo se revisa la utilización del L.G.R. como herramienta de diseño, puesto

que también permite cubrir casos con retardo, donde éste es múltiplo del tiempo de muestreo. El

procedimiento de diseño es como el explicado en el caso continuo; esto se debe a que las reglas

de construcción del L.G.R. son idénticas en ambos casos.



PLEV 2010Compensación AdelantoCompensación Adelanto--Atraso.Atraso.

Este compensador combina ambas redes en un solo elemento. Sin embargo, el diseño de losEste compensador combina ambas redes en un solo elemento. Sin embargo, el diseño de los

compensadores se realiza por separado y considerando los procedimientos antes expuestos. La

ecuación del compensador total es,

( ) 1 1sT sT+ +( ) 1 21 1 2 2

1 1 2 2

1 1

1 1

c cc c c

c c

sT sTh s k k

T s T sα α

α α+ +=

+ +

con α1 < 1 y α2 > 1, por lo que para su diseño, se ajusta la red de adelanto (lo que modifica la

ubicación de las raíces) y luego se ajusta la red de atraso para satisfacer las condiciones restantes.Al comparar las redes se tiene la Tabla 7.1.



PLEV 2010Compensación AdelantoCompensación Adelanto--Atraso.Atraso.

Un circuito alternativo para la implementación análoga es ilustrado en la Fig. 7.4. El circuito tieneUn circuito alternativo para la implementación análoga es ilustrado en la Fig. 7.4. El circuito tiene

la F. de T.,

( ) 1 21 1 2 2

1 1 2 2

1 1

1 1

c cc c c

c c

sT sTh s k k

T s T sα α

α α+ +=

+ +1 1 2 21 1c cT s T sα α+ +

( ) ( )( )

( )( )

( )

1 3 16 4 2 2

5 3 1 1 2 4 2

6 1 31 2 4 4 2

1 1,

1 1

con , , ,

o

c

i

e s R R C sR R R C sh s

e s R R RC s R R C s

R R RR R R R RT R R C T R C y kα α

+ + += =+ + +

++= + = = = =( ) 6 1 31 2 4 4 21 1 3 1 2 2 2 1 2

1 3 2 5 3 2 4 1

con , , ,c c c

R R RR R R R RT R R C T R C y k

R R R R R R R Rα α ++= + = = = =

+ +Notar que se cumple que α1 < 1 y α2 > 1.



Fig. 7.4 Circuito Compensador Adelanto-Atraso.

PLEV 2010Compensación P.I.D Análogo.Compensación P.I.D Análogo.

Este compensador es uno de los más difundidos en estrategias de control análogas y discretas.Este compensador es uno de los más difundidos en estrategias de control análogas y discretas.

La F. de T. del compensador análogo es,

( ) ( )( )

11 ,c p d

u sh s k T s

e s sT

= = + +

( ) ( )

1 ,c p d

i

h s k T se s sT

= = + +

donde, kp: es la ganancia proporcional, Ti: el tiempo integral, y Td: el tiempo derivativo. Su

nombre P.I.D. es por proporcional, integrativo y derivativo. En el dominio del tiempo el controladornombre P.I.D. es por proporcional, integrativo y derivativo. En el dominio del tiempo el controlador

es,. ( ) ( ) ( ) ( )1,

t

p d

i

du t k e t e t T e t

T dt−∞

= + +

∫

lo que en Laplace se puede escribir como, lo que en Laplace se puede escribir como,

( ) ( )( )

,ic p d

u s kh s k k s

e s s= = + +

donde, kp: es la ganancia proporcional, ki: es la ganancia integral y kd: es la ganancia derivativa.

Un circuito tentativo para la implementación del P.I.D. en forma análoga es el ilustrado en la Fig.

7.5 cuyas ecuaciones son,



7.5 cuyas ecuaciones son,

PLEV 2010Compensación P.I.D AnálogoCompensación P.I.D Análogo

( ) ( )4 1 1 2 2 1 1 2 21

1 ,oe s R RC R C RC R C

h s + = = + + ( ) ( )

( ) ( )

( )

4 1 1 2 2 1 1 2 2

3 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

4 1 1 2 2 1 1 2 21 1 2 2

3 1 2 1 1 2 2

11 ,

con ,

o

c

i

p i d

e s R RC R C RC R Ch s

e s R RC RC R C s RC R C

R RC R C RC R Ck T RC R C y T

R RC RC R C

+ = = + + + +

+= = + =+3 1 2 1 1 2 2R RC RC R C+

El problema es cuánto deben ser los parámetros de un P.I.D. si se considera que tiene un polo enel origen y dos ceros ubicables arbitrariamente de acuerdo a la siguiente representación

( )2 11

1 ,i i d ik TT s T sh s k T s k k s k

+ += + + = + + = ( ) 111 ,i i d i

c p d p d p

i i

k TT s T sh s k T s k k s k

sT s T s

+ += + + = + + =

El problema también se conoce como sintonización del controlador. Para simplificar el problemase estudian los modos de operación del P.I.D.se estudian los modos de operación del P.I.D.



Fig. 7.5 Circuito para Compensador P.I.D.


( ) ( )4 1 1 2 2 1 1 2 21

1 ,oe s R RC R C RC R C

h s + = = + + ( ) ( )

( ) ( )

( )

4 1 1 2 2 1 1 2 2

3 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

4 1 1 2 2 1 1 2 21 1 2 2

3 1 2 1 1 2 2

11 ,

con ,

o

c

i

p i d

e s R RC R C RC R Ch s

e s R RC RC R C s RC R C

R RC R C RC R Ck T RC R C y T

R RC RC R C

+ = = + + + +

+= = + =+3 1 2 1 1 2 2R RC RC R C+

El problema es cuánto deben ser los parámetros de un P.I.D. si se considera que tiene un polo enel origen y dos ceros ubicables arbitrariamente de acuerdo a la siguiente representación

( )2 11

1 ,i i d ik TT s T sh s k T s k k s k

+ += + + = + + = ( ) 111 ,i i d i

c p d p d p

i i

k TT s T sh s k T s k k s k

sT s T s

+ += + + = + + =

El problema también se conoce como sintonización del controlador. Para simplificar el problemase estudian los modos de operación del P.I.D.se estudian los modos de operación del P.I.D.



Fig. 7.5 Circuito para Compensador P.I.D.


Modos de OperaciónModos de OperaciónProporcionalTi→∞, Td →0

En una planta se ajusta kp para asegurar un ess o M.F. dados.

( ) ,c ph s k=

En una planta se ajusta kp para asegurar un ess o M.F. dados.Proporcional-Integral.(Td →0) ( ) 11

1 ,ic p p

i i

sTh s k k

sT sT

+= + =

1 1 1s T s T sTα α+ + +> → ∞ =Es una red de atraso,

Proporcional-Derivativo (Ti →∞)

1 1 1, 1, ,

1

c c cc c c

c

s T s T sTk con con k ks T s s

α αα

+ + +> → ∞ =+

( ) { }1 ,c p dh s k T s= +

Es una red de adelanto: ( )1, 1, 0 : ' 1

1

cc c c

c

sTk con con k sT

sTα α α

α+ < → +

+




Sintonización de un P.I.D.Sintonización de un P.I.D.Esta metodología está basada en la determinación de una manera práctica o empírica de los

parámetros kp, Ti y Td. Es decir, mediante experimentación en la planta o sistema. Se distinguendos casos, el primero para sistemas que pueden operar en L.A. y el segundo para sistemas quesólo pueden operar en L.C. En este último se distinguen entre sistemas que pueden oscilar ensólo pueden operar en L.C. En este último se distinguen entre sistemas que pueden oscilar enforma sostenida y los que no lo pueden hacer.

Compensación empírica en L.A. (Ziegler-Nichols en L.A.)Se utiliza en sistemas que pueden operar en L.A. como son los sistemas estables. LosSe utiliza en sistemas que pueden operar en L.A. como son los sistemas estables. Los

parámetros del controlador se fijan en función de los parámetros de la respuesta de la planta enL.A. a una entrada escalón que se asume de primer orden y con retardo, Fig. 7.6. En particular, seescogen los parámetros de acuerdo a la Tabla 7.2.




Este diseño persigue que la respuesta en L.C. no tenga un sobrepaso mayor al 25% anteEste diseño persigue que la respuesta en L.C. no tenga un sobrepaso mayor al 25% ante

entrada escalón. Nótese que este método se aplica si la planta responde con una dinámica tipo s.

No se tiene esto cuando la planta tiene polos en el eje imaginario o es inestable. Para estos casos

se tienen las alternativas siguientes.se tienen las alternativas siguientes.

Fig. 7.6 Sintonización de un P.I.D. en L.A. (Ziegler-Nichols en L.A.).




Compensación empírica en L.C. (Ziegler -Nichols en L.C.)Compensación empírica en L.C. (Ziegler -Nichols en L.C.)

Este método se utiliza en sistemas que no pueden operar en L.A., como por ejemplo lossistemas que tienen polos en el origen (estanques). Además se requiere que el sistema puedapermanecer oscilando en L.C. en forma permanente para algún valor de la ganancia. Parapermanecer oscilando en L.C. en forma permanente para algún valor de la ganancia. Parasintonizar el controlador se hace Ti → ∞ y Td → 0 y se incrementa kp hasta que el sistema oscileen forma sostenida Fig. 7.7. Esta ganancia es denomina kcr y el período de oscilación sedenomina Tcr. Con estos valores se utiliza la Tabla 7.3 para determinar los parámetros delcontrolador P.I.D..controlador P.I.D..

TABLA 7.3 Selección de parámetros de un PID mediante Ziegler-Nichols en L.C..

Fig. 7.7 Sintonización de un P.I.D. en L.C. (Ziegler-Nichols en L.C.).



mediante Ziegler-Nichols en L.C.. Nichols en L.C.).


HarriotHarriot

Si el sistema en L.C. nunca oscila en forma sostenida y no se puede operar en L.A., entonces sepuede llevar con Ti → ∞ y Td → 0 a una oscilación amortiguada tal que la razón b/a (Fig. 7.8) sea¼. En la oscilación se define Tcr como el período de oscilación y con este valor se ajustan Ti =¼. En la oscilación se define Tcr como el período de oscilación y con este valor se ajustan Ti =Tcr/6 y Td = Tcr/1.5, luego se hace operar el sistema en L.C. y se modifica kp tal que la razón b/asea ¼ nuevamente.

Fig. 7.8.Determinación de Tcr en el método de sintonización de Harriot



PLEV 2010Compensación P.I.D Discreto.Compensación P.I.D Discreto.

La popularidad y éxito del control P.I.D. continuo ha motivado su utilización en sistemas discretos.Sin embargo, la derivada como tal no existe en sistemas digitales por lo que se ha optado porconsiderar a este controlador discreto como uno que tiene un integrador puro (un polo en 1) y dosceros.ceros.

P.I.D. Discreto Generalizado.Se considera al controlador con un polo en 1 y dos ceros. Así, los ceros y la ganancia podrán ser

asignados arbitrariamente y por tanto, para un caso particular, la problemática se reduce aasignados arbitrariamente y por tanto, para un caso particular, la problemática se reduce adeterminar estos valores. Un controlador P.I.D. discreto es entonces,

( ) ( )( )21 21 0 ,

1 1c p p

z z z zz b z bh z k k

z z

+ ++ += =− −

en donde kp, b1 y b0 son parámetros a determinar. Los procedimientos anteriores son válidospara su diseño en el caso de considerar un solo cero, pues entonces se tiene una red de primerorden. Es importante destacar que la implementación en un sistema digital de este controlador –

1 1z z− −

orden. Es importante destacar que la implementación en un sistema digital de este controlador –como cualesquier controlador discreto – agrega un retardo igual al tiempo de muestreo T, el cualdebe ser considerado a la hora del diseño.




P.I.D. Discreto Aproximado .P.I.D. Discreto Aproximado .

Una forma alternativa de determinar los coeficientes del controlador es mediante la aproximacióndel controlador continuo. Es decir, realizar el diseño del controlador P.I.D. continuo y luegoencontrar una aproximación discreta. Sea el controlador P.I.D. continuo,encontrar una aproximación discreta. Sea el controlador P.I.D. continuo,

El que se puede aproximar por,

( ) ( ) ( ) ( )1,

t

p d

i

du t k e t e t T e t

T dt−∞

= + +

∫

( ) ( ) ( ) ( )El que se puede aproximar por,

Donde S(kT-T) es la integral hasta el instante kT-T. También se puede escribir,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1,

2p d

e kT e kT T e kT e kT Tu kT k e kT S kT T T T

T T

+ − + − = + − + +

Donde S(kT-T) es la integral hasta el instante kT-T. También se puede escribir,

Tomando u(kT)-u(kT-T) se tiene,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

21,p d

e kT T e kT Tu kT T k e kT T S kT T T

T T

− + − − = − + − +

T Tomando u(kT)-u(kT-T) se tiene,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )2

,

2 2

ip

d

Te kT e kT T e kT e kT T

Tu kT u kT T k

Te kT e kT T e kT T

T

− − + − − + − − = − − + −



( ) ( ) ( )( )2 2e kT e kT T e kT TT

− − + −



o bien,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 2

2 2

d d dp

i i

T T TT Tu kT u kT T k e kT e kT T e kT T

T T T T T

− − = + + + − + − − + −

y que corresponde a una fórmula directamente implementable en un sistema digital. Sin embargo,al tomar la T.Z. para determinar lo que se está agregando como controlador se tiene que,

2 2i iT T T T T

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 221 1d d dT T TT T

u z z u z k e z z e z z e z− − − − = + + + − + − +

O bien,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 221 1

2 2

d d dp

i i

T T TT Tu z z u z k e z z e z z e z

T T T T T

− − − − = + + + − + − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1

2 2

d d dp

T T TT Tz u z zu z k z e z ze z e z

T T T T T

− = + + + − + − +

Lo que corresponde a la F.de T.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 12 2

p

i i

z u z zu z k z e z ze z e zT T T T T

− = + + + − + − +

( )2 2

1 1d d dT T TT Tz z

+ + + − + − + ( )

( ) ( )

21 12 2

1

d d d

i i

p

z zT T T T Tu z

ke z z z

+ + + − + − + =

−





Claramente, la F. de T. anterior aporta con dos ceros ubicables arbitrariamente, un polo en 1 y unpolo en el origen. Este último no es parte de lo esperado del P.I.D. continuo y es producto delretardo incluido por la aproximación de su derivada. En efecto, si Td = 0, se tiene que la F. de T.retardo incluido por la aproximación de su derivada. En efecto, si Td = 0, se tiene que la F. de T.resultante es,

( )( ) ( )

21 12 2

1

i i

p

T Tz z

T Tu zk

e z z

+ + − +

=−

la que tiene un cero y un polo en 1. Nótese que para efectos de análisis, todavía debe agregarseel retardo por cálculo. Este agrega un polo más en el origen el que sin dudas va en desmedro delos índices de estabilidad.

( ) ( )1e z z −

los índices de estabilidad.



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UDEC- Sistemas de Control vii [Modo de compatibilidad]eespinosa/cap7.pdfimplementación para este compensador se muestra en la figura 7.2(a), donde se encuentra que ... enunciar un